חיים מוקדמים ורקע
לחלק קובייה לשתי קוביות אחרות, חזקה רביעית, או באופן כללי כל חזקה שהיא לשתי חזקות מאותו שם מעל השנייה זה בלתי אפשרי, ומצאתי בוודאות הוכחה מעוררת הערצה לכך, אך השוליים צרים מכדי להכיל אותה. פייר דה פרמה (Pierre de Fermat), צרפתית: ; בין 31 באוקטובר ל-6 בדצמבר 1607 – 12 בינואר 1665 היה עורך דין צרפתי בפרלמנט של טולוז, צרפת, ומתמטיקאי שזוכה לקרדיט על פיתוחים מוקדמים שהובילו לחשבון אינפיניטסימלי, כולל טכניקת האדקוואליטי (adequality) שלו. בפרט, הוא מוכר בזכות גילוי שיטה מקורית למציאת האורדינטות הגדולות והקטנות ביותר של קווים עקומים, הדומה לזו של חשבון דיפרנציאלי, שהיה אז לא ידוע, ומחקריו בתורת המספרים. הוא תרם תרומות בולטות לגיאומטריה אנליטית, הסתברות ואופטיקה.
הוא ידוע בעיקר בזכות עקרון פרמה להתפשטות אור ומשפט פרמה האחרון בתורת המספרים, אותו תיאר בהערה בשולי עותק של אריתמטיקה של דיופנטוס (Diophantus). ביוגרפיה פרמה נולד ב-1607 בבומון-דה-לומאן (Beaumont-de-Lomagne), צרפת — האחוזה מהמאה ה-15 שבה נולד פרמה היא כיום מוזיאון. הוא היה מגסקוניה, שם אביו, דומיניק פרמה (Dominique Fermat), היה סוחר עורות עשיר וכיהן שלוש קדנציות של שנה אחת כאחד מארבעת הקונסולים של בומון-דה-לומאן. אמו הייתה קלייר דה לונג (Claire de Long). לפייר היו אח אחד ושתי אחיות והוא כמעט בוודאות גדל בעיר הולדתו. יש מעט ראיות לגבי השכלתו בבית הספר, אך כנראה היה זה בקולז' דה נוואר (Collège de Navarre) במונטובאן. הוא למד באוניברסיטת אורליאן מ-1623 וקיבל תואר ראשון במשפט אזרחי ב-1626, לפני שעבר לבורדו.
קריירה מקצועית ועיסוקים אינטלקטואליים
בורדו, הוא החל את מחקריו המתמטיים הרציניים הראשונים, וב-1629 נתן עותק של שחזורו ל-De Locis Planis של אפולוניוס לאחד המתמטיקאים שם. בוודאות, בבורדו הוא היה בקשר עם בוגראן (Beaugrand) ובמהלך תקופה זו הוא הפיק עבודה חשובה על מקסימום ומינימום אותה נתן לאטיין ד'אספנה (Étienne d'Espagnet) שברור שחלק תחומי עניין מתמטיים עם פרמה. שם הוא הושפע מאוד מעבודתו של פרנסואה וייט (François Viète). ב-1630 הוא קנה את משרת היועץ בפרלמנט של טולוז, אחד מבתי המשפט הגבוהים בצרפת, והושבע על ידי ה-Grand Chambre במאי 1631. הוא החזיק במשרה זו עד סוף ימיו. פרמה הפך בכך לזכאי לשנות את שמו מפייר פרמה לפייר דה פרמה. ב-1 ביוני 1631, פרמה נישא ללואיז דה לונג (Louise de Long), בת דודה מדרגה רביעית של אמו קלייר דה פרמה לבית דה לונג.
לזוג פרמה היו שמונה ילדים, חמישה מהם שרדו לבגרות: קלמנט-סמואל, ז'אן, קלייר, קתרין ולואיז. פרמה, שהיה דובר שש שפות — צרפתית, לטינית, אוקסיטנית, יוונית קלאסית, איטלקית וספרדית — זכה לשבחים על שיריו הכתובים במספר שפות ועצתו התבקשה בלהיטות בנוגע לתיקון טקסטים יווניים. הוא תקשר את רוב עבודתו במכתבים לחברים, לעיתים קרובות עם מעט או ללא הוכחה למשפטיו. בחלק מהמכתבים הללו לחבריו, הוא חקר רבים מהרעיונות הבסיסיים של החשבון לפני ניוטון או לייבניץ. פרמה היה עורך דין מיומן שהפך את המתמטיקה לתחביב יותר מאשר למקצוע. עם זאת, הוא תרם תרומות חשובות לגיאומטריה אנליטית, הסתברות, תורת המספרים וחשבון. סודיות הייתה נפוצה בחוגים מתמטיים אירופיים באותה תקופה.
תרומות לגיאומטריה אנליטית וחשבון
זה הוביל באופן טבעי לסכסוכי עדיפות עם בני דורו כמו דקארט וואליס. אנדרס הלד (Anders Hald) כותב כי, "הבסיס למתמטיקה של פרמה היה הטרקטאטים היווניים הקלאסיים בשילוב עם השיטות האלגבריות החדשות של וייט." עבודה עבודתו החלוצית של פרמה בגיאומטריה אנליטית Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum הופצה בכתב יד ב-1636 על בסיס תוצאות שהושגו ב-1629, לפני פרסום ה-La géométrie המפורסם של דקארט ב-1637, שניצל את העבודה. כתב יד זה פורסם לאחר מותו ב-1679 ב-Varia opera mathematica, כ-Ad Locos Planos et Solidos Isagoge (מבוא למקומות מישוריים ומוצקים).
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →ב-Methodus ad disquirendam maximam et minimam וב-De tangentibus linearum curvarum, פיתח פרמה שיטת אדקוואליטי לקביעת מקסימום, מינימום ומשיקים לעקומים שונים שהייתה שקולה לחשבון דיפרנציאלי. בעבודות אלו השיג פרמה טכניקה למציאת מרכזי כובד של דמויות מישוריות ומוצקות שונות, מה שהוביל לעבודתו הנוספת בקוודרטורה. פרמה היה האדם הראשון הידוע שהעריך את האינטגרל של פונקציות חזקה כלליות. בשיטתו הוא הצליח לצמצם הערכה זו לסכום של סדרות גיאומטריות. הנוסחה שהתקבלה הייתה מועילה לניוטון, ואז ללייבניץ, כאשר פיתחו באופן עצמאי את המשפט היסודי של החשבון. פייר דה פרמה בתורת המספרים, פרמה חקר את משוואת פל (Pell's equation), מספרים משוכללים, מספרים ידידותיים ומה שיהפוך מאוחר יותר למספרי פרמה.
תורת המספרים ושיטות מתמטיות
בזמן שחקר מספרים משוכללים הוא גילה את המשפט הקטן של פרמה. הוא המציא שיטת פירוק לגורמים — שיטת הפירוק של פרמה — ופופולרי את ההוכחה על ידי ירידה אינסופית, שבה השתמש כדי להוכיח את משפט המשולש ישר הזווית של פרמה הכולל כקורולרי את משפט פרמה האחרון למקרה n = 4. פרמה פיתח את משפט שני הריבועים, ואת משפט המספרים המצולעים, הקובע שכל מספר הוא סכום של שלושה מספרים משולשים, ארבעה מספרים ריבועיים, חמישה מספרים מחומשים, וכן הלאה. למרות שפרמה טען שהוכיח את כל משפטיו האריתמטיים, מעט רשומות של הוכחותיו שרדו. מתמטיקאים רבים, כולל גאוס, הטילו ספק בכמה מטענותיו, במיוחד בהתחשב בקושי של חלק מהבעיות ובשיטות המתמטיות המוגבלות שעמדו לרשות פרמה.
משפט פרמה האחרון
המשפט האחרון המפורסם שלו התגלה לראשונה על ידי בנו בשוליים בעותק של אביו של מהדורה של דיופנטוס, וכלל את ההצהרה שהשוליים היו קטנים מכדי לכלול את ההוכחה. נראה שהוא לא כתב למרן מרסן (Marin Mersenne) על כך. הוא הוכח לראשונה ב-1994, על ידי סר אנדרו ויילס (Sir Andrew Wiles), תוך שימוש בטכניקות שלא היו זמינות לפרמה. למרות שלמד בקפידה ושאב השראה מדיופנטוס, פרמה החל מסורת אחרת. דיופנטוס הסתפק במציאת פתרון יחיד למשוואותיו, גם אם היה זה פתרון שברי לא רצוי. פרמה התעניין רק בפתרונות שלמים למשוואות הדיופנטיות שלו, וחיפש את כל הפתרונות הכלליים האפשריים. לעיתים קרובות הוא הוכיח שלמשוואות מסוימות אין פתרון, מה שבדרך כלל הדהים את בני דורו. מקום קבורתו של פייר דה פרמה בכיכר ז'אן ז'ורס, קסטר.
תורת ההסתברות ופיזיקה
דרך התכתבותם ב-1654, פרמה ובלז פסקל (Blaise Pascal) עזרו להניח את היסודות לתורת ההסתברות. משיתוף פעולה קצר אך פורה זה על בעיית הנקודות, הם נחשבים כיום למייסדים משותפים של תורת ההסתברות. פרמה זוכה לקרדיט על ביצוע חישוב ההסתברות הקפדני הראשון אי פעם. בו, הוא נשאל על ידי מהמר מקצועי מדוע אם הוא מהמר על הטלת לפחות שש אחת בארבע הטלות של קובייה הוא מנצח בטווח הארוך, בעוד שהימור על הטלת לפחות שש-שש אחת ב-24 הטלות של שתי קוביות הביא להפסדו. פרמה הראה מתמטית מדוע זה היה המקרה. עקרון הווריאציה הראשון בפיזיקה נוסח על ידי אוקלידס ב-Catoptrica שלו. הוא אומר שעבור נתיב האור המשתקף ממראה, זווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה.
מוות ומורשת
הירו מאלכסנדריה הראה מאוחר יותר שנתיב זה נתן את האורך הקצר ביותר ואת הזמן הקצר ביותר. פרמה זיקק והכליל זאת ל"אור נע בין שתי נקודות נתונות לאורך הנתיב של הזמן הקצר ביותר" הידוע כיום כעקרון הזמן הקצר ביותר. על כך, פרמה מוכר כדמות מפתח בהתפתחות ההיסטורית של העיקרון היסודי של הפעולה המינימלית בפיזיקה. המונחים עקרון פרמה ופונקציונל פרמה נקראו בהכרה בתפקיד זה. מוות פייר דה פרמה מת ב-12 בינואר 1665, בקסטר, במחלקה של טארן של ימינו. בית הספר התיכון העתיק והיוקרתי ביותר בטולוז נקרא על שמו: הליסאום פייר-דה-פרמה. הפסל הצרפתי תאופיל בארו (Théophile Barrau) יצר פסל שיש בשם Hommage à Pierre Fermat כמחווה לפרמה, כעת בקפיטול של טולוז. מקום קבורתו של פייר דה פרמה בכיכר ז'אן ז'ורס, קסטר.
הערכת עבודה
תרגום הלוח: במקום זה נקבר ב-13 בינואר 1665, פייר דה פרמה, יועץ ב-Chambre de l'Édit בית משפט שהוקם על ידי האדיקט של נאנט ומתמטיקאי בעל שם רב, שחגג את משפטו, an + bn ≠ cn עבור n>2 אנדרטה לפרמה בבומון-דה-לומאן חזה באולם אנרי-מרטן בקפיטול של טולוז צוואה הולוגרפית בכתב ידו של פרמה ב-4 במרץ 1660 — נשמרת בארכיון המחלקתי של הוט-גארון, בטולוז הערכת עבודתו יחד עם רנה דקארט, פרמה היה אחד משני המתמטיקאים המובילים במחצית הראשונה של המאה ה-17. לפי פיטר ל. ברנשטיין (Peter L. Bernstein), פרמה "היה מתמטיקאי בעל כוח נדיר. הוא היה ממציא עצמאי של גיאומטריה אנליטית, הוא תרם לפיתוח המוקדם של החשבון, הוא עשה מחקר על משקל כדור הארץ, והוא עבד על שבירת אור ואופטיקה.
במהלך מה שהתברר כהתכתבות ממושכת עם בלז פסקל, הוא תרם תרומה משמעותית לתורת ההסתברות. אבל ההישג הגדול ביותר של פרמה היה בתורת המספרים." לגבי עבודתו של פרמה באנליזה, אייזק ניוטון כתב שהרעיונות המוקדמים שלו על חשבון הגיעו ישירות מ"הדרך של פרמה לשרטוט משיקים." חזה באולם אנרי-מרטן בקפיטול של טולוז על עבודתו של פרמה בתורת המספרים, המתמטיקאי מהמאה ה-20 אנדרה וייל (André Weil) כתב כי: "מה שיש לנו משיטותיו להתמודדות עם עקומים מסוג 1 הוא עקבי להפליא; זה עדיין הבסיס לתאוריה המודרנית של עקומים כאלה. זה מתחלק באופן טבעי לשני חלקים; הראשון...
ניתן לכנות בנוחות שיטת עלייה, בניגוד לירידה שנחשבת בצדק לשלו של פרמה." לגבי השימוש של פרמה בעלייה, וייל המשיך: "החידוש היה בשימוש הנרחב בהרבה שפרמה עשה בו, מה שנתן לו לפחות שווה ערך חלקי למה שהיינו משיגים על ידי שימוש שיטתי בתכונות תורת החבורות של הנקודות הרציונליות על מעוקב סטנדרטי." עם הכישרון שלו ליחסי מספרים והיכולת שלו למצוא הוכחות לרבים ממשפטיו, פרמה יצר למעשה את תורת המספרים המודרנית.