נילס הנריק אבל
נילס הנריק אבל (Niels Henrik Abel; 5 באוגוסט 1802 – 6 באפריל 1829) היה מתמטיקאי נורווגי שתרם תרומות חלוציות במגוון תחומים. התוצאה המפורסמת ביותר שלו היא ההוכחה המלאה הראשונה לכך שלא ניתן לפתור את המשוואה הכללית ממעלה חמישית באמצעות רדיקלים. שאלה זו הייתה אחת הבעיות הפתוחות הבולטות בתקופתו, ולא נפתרה במשך למעלה מ-250 שנה. הוא היה גם חדשן בתחום הפונקציות האליפטיות ומגלה הפונקציות האבליות. הוא הגיע לתגליותיו בעודו חי בעוני ומת בגיל 26 משחפת.
רוב עבודתו נעשתה בשש או שבע שנים במהלך חייו המקצועיים. על אבל אמר המתמטיקאי הצרפתי שארל הרמיט (Charles Hermite): "אבל הותיר למתמטיקאים מספיק כדי להעסיק אותם במשך חמש מאות שנה". מתמטיקאי צרפתי אחר, אדריאן-מארי לז'נדר (Adrien-Marie Legendre), אמר: "איזה ראש יש לנורווגי הצעיר הזה!"
חיים
### חיים מוקדמים
נילס הנריק אבל נולד פג בנסטראנד (Nedstrand), נורווגיה, כילד השני של הכומר סרן גאורג אבל (Søren Georg Abel) ואן מארי סימונסן (Anne Marie Simonsen). כשנולד נילס הנריק, המשפחה התגוררה בבית כומר בפינוי (Finnøy). סביר להניח שנילס הנריק נולד בקהילה השכנה, שכן הוריו היו אורחיו של השריף בנסטראנד ביולי ובאוגוסט של שנת הולדתו.
אביו של נילס הנריק אבל, סרן גאורג אבל, החזיק בתואר בתאולוגיה ובפילוסופיה ושירת ככומר בכנסיית הסבי (Hesby Church) בפינוי. אביו של סרן, סבו של נילס, הנס מתיאס אבל (Hans Mathias Abel), היה גם הוא כומר בכנסיית ירסטאד (Gjerstad Church) ליד העיר ריסר (Risør). סרן בילה את ילדותו בירסטאד ושירת שם ככומר; לאחר מות אביו ב-1804, מונה סרן לכומר בירסטאד והמשפחה עברה לשם. משפחת אבל הגיעה במקורה משלזוויג והגיעה לנורווגיה במאה ה-17.
אן מארי סימונסן הייתה מריסר; אביה, נילס הנריק סקסילד סימונסן (Niels Henrik Saxild Simonsen), היה סוחר ובעל אוניות סוחר, ונאמר עליו שהיה האדם העשיר ביותר בריסר. אן מארי גדלה עם שתי אמהות חורגות, בסביבה יוקרתית יחסית. בבית הכומר בירסטאד היא נהנתה לארגן נשפים ומפגשים חברתיים. ישנן עדויות רבות לכך שהיא סבלה מאלכוהוליזם בשלב מוקדם ולא גילתה עניין רב בגידול הילדים. נילס הנריק ואחיו קיבלו את השכלתם מאביהם, עם ספרים בכתב יד לקריאה. טבלת חיבור בספר מתמטיקה מציגה: 1+0=0.
### בית הספר הקתדרלי ואוניברסיטת המלך פרדריק
עם העצמאות הנורווגית והבחירות הראשונות שנערכו בנורווגיה ב-1814, נבחר סרן אבל לנציג בסטורטינג (Storting). ישיבות הסטורטינג נערכו עד 1866 באולם המרכזי של בית הספר הקתדרלי בכריסטיאניה (כיום ידועה כאוסלו). כמעט בוודאות, כך הוא בא במגע עם בית הספר, והחליט שבנו הבכור, הנס מתיאס, יתחיל ללמוד שם בשנה שלאחר מכן. עם זאת, כאשר התקרב זמן עזיבתו, הנס היה עצוב ומדוכא כל כך על הצורך לעזוב את הבית, שאביו לא העז לשלוח אותו. הוא החליט לשלוח את נילס במקומו.
בשנת 1815 נכנס נילס אבל לבית הספר הקתדרלי בגיל 13. אחיו הבכור הנס הצטרף אליו שנה לאחר מכן. הם חלקו חדרים ולמדו יחד בכיתות. הנס קיבל ציונים טובים יותר מנילס; עם זאת, מורה חדש למתמטיקה, ברנט מיכאל הולמבו (Bernt Michael Holmboe), מונה בשנת 1818. הוא נתן לתלמידים משימות מתמטיות לביצוע בבית. הוא זיהה את כישרונו של נילס הנריק במתמטיקה ועודד אותו ללמוד את הנושא ברמה מתקדמת. הוא אף נתן לנילס שיעורים פרטיים לאחר הלימודים.
בשנת 1818 ניהל סרן אבל ויכוח תאולוגי פומבי עם התאולוג סטנר יוהנס סטנרסן (Stener Johannes Stenersen) בנוגע לקטכיזם שלו משנת 1806. הוויכוח סוקר בהרחבה בעיתונות. סרן קיבל את הכינוי "אבל המטפל" (בנורווגית: "Abel Spandabel"). תגובתו של נילס למריבה תוארה כ"עליזות מוגזמת". במקביל, סרן כמעט עמד בפני הדחה לאחר שהעליב את קרסטן אנקר (Carsten Anker), מארח האספה המכוננת הנורווגית; ובספטמבר 1818 הוא חזר לירסטאד כשקריירה הפוליטית שלו הרוסה. הוא החל לשתות בכבדות ומת שנתיים בלבד לאחר מכן, ב-1820, בגיל 48.
ברנט מיכאל הולמבו תמך בנילס הנריק אבל במלגה כדי שיישאר בבית הספר וגייס כסף מחבריו כדי לאפשר לו ללמוד באוניברסיטת המלך פרדריק.
כאשר אבל נכנס לאוניברסיטה ב-1821, הוא כבר היה המתמטיקאי בעל הידע הרב ביותר בנורווגיה. להולמבו לא היה עוד מה ללמד אותו, ואבל למד את כל הספרות המתמטית העדכנית ביותר בספריית האוניברסיטה. בתקופה זו החל אבל לעבוד על המשוואה ממעלה חמישית באמצעות רדיקלים. מתמטיקאים חיפשו פתרון לבעיה זו במשך למעלה מ-250 שנה. בשנת 1821 חשב אבל שמצא את הפתרון. שני הפרופסורים למתמטיקה בכריסטיאניה, סרן רסמוסן (Søren Rasmussen) וכריסטופר הנסטן (Christopher Hansteen), לא מצאו טעויות בנוסחאות של אבל ושלחו את העבודה למתמטיקאי המוביל במדינות הנורדיות, קרל פרדיננד דגן (Carl Ferdinand Degen) בקופנהגן. גם הוא לא מצא תקלות, אך עדיין הטיל ספק בכך שהפתרון, שמתמטיקאים בולטים רבים חיפשו זמן כה רב, יכול היה להימצא על ידי סטודנט לא ידוע בכריסטיאניה המרוחקת. דגן ציין, עם זאת, את מוחו החד באופן יוצא דופן של אבל, והאמין שצעיר מוכשר כזה לא צריך לבזבז את יכולותיו על "אובייקט עקר" כמו משוואה ממעלה חמישית, אלא על פונקציות אליפטיות וטרנסצנדנטיות; שכן אז, כתב דגן, הוא "יגלה נתיבי מגלן לחלקים גדולים של אוקיינוס אנליטי עצום". דגן ביקש מאבל לתת דוגמה מספרית לשיטתו. בעודו מנסה לספק דוגמה, מצא אבל טעות במאמרו. זה הוביל לתגלית בשנת 1823 שפתרון באמצעות נוסחה למשוואה ממעלה חמישית או גבוהה יותר אינו בהכרח אפשרי.
אבל סיים את לימודיו בשנת 1822. הישגיו היו גבוהים במיוחד במתמטיקה וממוצעים בנושאים אחרים.
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →### קריירה
לאחר שסיים את לימודיו, פרופסורים מהאוניברסיטה תמכו באבל כלכלית, והפרופסור כריסטופר הנסטן אפשר לו לגור בחדר בעליית הגג של ביתו. אבל יראה מאוחר יותר בגברת הנסטן כאמו השנייה. בזמן שגר שם, עזר אבל לאחיו הצעיר, פדר אבל (Peder Abel), לעבור את בחינות הכניסה לאוניברסיטה (examen artium). הוא גם עזר לאחותו אליזבת למצוא עבודה בעיר.
בתחילת 1823 פרסם נילס אבל את מאמרו הראשון ב-"Magazin for Naturvidenskaberne", כתב העת המדעי הראשון של נורווגיה, שהיה שותף להקמתו הפרופסור הנסטן. אבל פרסם מספר מאמרים, אך כתב העת הבין עד מהרה שזהו אינו חומר לקורא הממוצע. בשנת 1823 כתב אבל גם מאמר בצרפתית. זה היה "ייצוג כללי של האפשרות לאינטגרציה של כל נוסחאות הדיפרנציאל" (בנורווגית: en alminnelig Fremstilling af Muligheten at integrere alle mulige Differential-Formler). הוא הגיש בקשה למימון באוניברסיטה כדי לפרסם אותו. עם זאת, העבודה אבדה בזמן שנבדקה, ומעולם לא נמצאה לאחר מכן.
באמצע 1823 העניק הפרופסור רסמוסן לאבל מתנה של 100 ספסידאלר (speciedaler) כדי שיוכל לנסוע לקופנהגן ולבקר את פרדיננד דגן ומתמטיקאים אחרים שם. בזמן שהיה בקופנהגן, עבד אבל על המשפט האחרון של פרמה. דודו של אבל, פדר מנדרופ טוקסן (Peder Mandrup Tuxen), חי בבסיס הצי בכריסטיאנסהאון, קופנהגן, ובנשף שנערך שם פגש נילס אבל את כריסטין קמפ (Christine Kemp), ארוסתו לעתיד. בשנת 1824 עברה כריסטין לסון (Son), נורווגיה, כדי לעבוד כאומנת, והזוג התארס במהלך חג המולד.
לאחר שחזר מקופנהגן, הגיש אבל בקשה למלגה ממשלתית כדי לבקר מתמטיקאים מובילים בגרמניה ובצרפת, אך במקום זאת הוענקו לו 200 ספסידאלר לשנה למשך שנתיים, כדי להישאר בכריסטיאניה וללמוד גרמנית וצרפתית. בשנתיים הבאות הובטחה לו מלגה של 600 ספסידאלר לשנה ואז יורשה לנסוע לחו"ל. בזמן שלמד שפות אלו, פרסם אבל את עבודתו החשובה הראשונה בשנת 1824, Mémoire sur les équations algébriques où on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré (מזכר על משוואות אלגבריות, שבו מוכחת אי-הפתירות של המשוואה הכללית ממעלה חמישית). עד 1823, אבל הוכיח סוף סוף את אי-הפתירות של המשוואה ממעלה חמישית באמצעות רדיקלים (הידוע כיום כמשפט אבל-רופיני). עם זאת, מאמר זה היה בצורה מורכבת וקשה, בין היתר משום שהגביל את עצמו לשישה עמודים בלבד כדי לחסוך בעלויות הדפוס. הוכחה מפורטת יותר פורסמה בשנת 1826 בכרך הראשון של כתב העת של קרלה (Crelle's Journal).
בשנת 1825 כתב אבל מכתב אישי למלך קרל יוהאן מנורווגיה/שוודיה בבקשת רשות לנסוע לחו"ל. הוא קיבל רשות זו, ובספטמבר 1825 עזב את כריסטיאניה יחד עם ארבעה חברים מהאוניברסיטה (כריסטיאן פ.ב. בק, בלתזאר מ. קילהאו, ניקולאי ב. מולר ואוטו טנק). ארבעת חבריו של אבל נסעו לברלין ולאלפים כדי ללמוד גאולוגיה. אבל רצה להצטרף אליהם לקופנהגן ומשם להמשיך לגטינגן. תנאי המלגה שלו קבעו שעליו לבקר את גאוס בגטינגן ואז להמשיך לפריז. עם זאת, כשהגיע לקופנהגן, הוא שינה את תוכניותיו. הוא רצה לעקוב אחרי חבריו לברלין במקום זאת, מתוך כוונה לבקר בגטינגן ובפריז לאחר מכן.
בדרך ביקר את האסטרונום היינריך כריסטיאן שומאכר (Heinrich Christian Schumacher) באלטונה, כיום רובע בהמבורג. לאחר מכן בילה ארבעה חודשים בברלין, שם התיידד עם אוגוסט ליאופולד קרלה (August Leopold Crelle), שעמד אז לפרסם את כתב העת המתמטי שלו, Journal für die reine und angewandte Mathematik. פרויקט זה זכה לעידוד חם מצד אבל, שתרם רבות להצלחת המיזם. אבל תרם לו שבעה מאמרים בשנה הראשונה לקיומו.
מברלין עקב אבל גם אחרי חבריו לאלפים. הוא נסע ללייפציג ולפרייברג כדי לבקר את גאורג אמדאוס קרל פרידריך נאומן (Georg Amadeus Carl Friedrich Naumann) ואת אחיו המתמטיקאי אוגוסט נאומן. בפרייברג ערך אבל מחקר בתורת הפונקציות, ובמיוחד בפונקציות אליפטיות, היפר-אליפטיות ומחלקה חדשה הידועה כיום כפונקציות אבליות.
מפרייברג הם המשיכו לדרזדן, פראג, וינה, טריאסטה, ונציה, ורונה, בולצאנו, אינסברוק, לוצרן ובזל. מיולי 1826 נסע אבל לבדו מבזל לפריז. אבל שלח את רוב עבודתו לברלין כדי שתפורסם בכתב העת של קרלה, אך הוא שמר את מה שנחשב בעיניו לעבודתו החשובה ביותר עבור האקדמיה הצרפתית למדעים, משפט על חיבור של דיפרנציאלים אלגבריים. בעזרתו של צייר, יוהאן גורביץ (Johan Gørbitz), הוא מצא דירה בפריז והמשיך בעבודתו על המשפט. הוא סיים באוקטובר 1826 והגיש אותו לאקדמיה. הוא היה אמור להיבדק על ידי אוגוסטן-לואי קושי (Augustin-Louis Cauchy). עבודתו של אבל כמעט לא הייתה ידועה בפריז, וצניעותו מנעה ממנו להכריז על מחקרו. המשפט הונח בצד ונשכח עד מותו.
משאביו המוגבלים של אבל אילצו אותו לבסוף לנטוש את סיורו בינואר 1827. הוא חזר לברלין והוצע לו תפקיד עורך בכתב העת של קרלה, אך הוא סירב. עד מאי 1827 הוא חזר לנורווגיה. סיורו בחו"ל נתפס ככישלון. הוא לא ביקר את גאוס בגטינגן ולא פרסם דבר בפריז. לכן המלגה שלו לא חודשה והוא נאלץ לקחת הלוואה פרטית בבנק נורווגיה (Norges Bank) בסך 200 ספסידאלר. הוא מעולם לא החזיר הלוואה זו. הוא גם החל לתת שיעורים פרטיים. הוא המשיך לשלוח את רוב עבודתו לכתב העת של קרלה. אך באמצע 1828 פרסם, ביריבות עם קרל יעקובי (Carl Jacobi), עבודה חשובה על פונקציות אליפטיות ב-Astronomische Nachrichten באלטונה.
### מוות
בזמן שהיה בפריז, חלה אבל בשחפת. בחג המולד 1828 נסע במזחלת לפרוֹלנד (Froland), נורווגיה, כדי לבקר את ארוסתו. הוא חלה קשות במהלך המסע. למרות שיפור זמני שאפשר לזוג ליהנות מהחג יחד, הוא מת זמן קצר לאחר מכן ב-6 באפריל 1829, יומיים בלבד לפני שהגיע מכתב מאוגוסט קרלה שבישר לאבל כי קרלה הבטיח לו מינוי כפרופסור באוניברסיטת ברלין.
תרומות למתמטיקה
אבל הראה שאין פתרון אלגברי כללי לשורשים של משוואה ממעלה חמישית, או לכל משוואה פולינומית כללית ממעלה גבוהה מארבע, במונחים של פעולות אלגבריות מפורשות, באמצעות משפט אבל-רופיני. כדי לעשות זאת, הוא המציא (באופן בלתי תלוי מגאלואה) ענף במתמטיקה הידוע כתורת החבורות, שהוא בעל ערך רב לא רק בתחומים רבים של המתמטיקה, אלא גם עבור חלק גדול מהפיזיקה. אבל שלח מאמר על אי-הפתירות של המשוואה ממעלה חמישית לקרל פרידריך גאוס, שהמשיך להשליך ללא מבט את מה שחשב לעבודה חסרת ערך של משוגע.
כנער בן 16, נתן אבל הוכחה קפדנית למשפט הבינום התקפה לכל המספרים, והרחיב את התוצאה של אוילר שהייתה תקפה רק למספרים רציונליים. אבל כתב עבודה יסודית על תורת האינטגרלים האליפטיים, המכילה את יסודות תורת הפונקציות האליפטיות. בזמן שנסע לפריז פרסם מאמר החושף את המחזוריות הכפולה של פונקציות אליפטיות, שאדריאן-מארי לז'נדר תיאר מאוחר יותר לאוגוסטן-לואי קושי כ"אנדרטה עמידה יותר מארד" (בהשאלה ממשפט מפורסם של המשורר הרומי הורטיוס). המאמר, עם זאת, אבד על ידי קושי.
בזמן שהיה בחו"ל שלח אבל את רוב עבודתו לברלין כדי שתפורסם בכתב העת של קרלה, אך הוא שמר את מה שנחשב בעיניו לעבודתו החשובה ביותר עבור האקדמיה הצרפתית למדעים, משפט על חיבור של דיפרנציאלים אלגבריים. המשפט הונח בצד ונשכח עד מותו. בזמן שהיה בפרייברג, ערך אבל מחקר בתורת הפונקציות, ובמיוחד בפונקציות אליפטיות, היפר-אליפטיות ומחלקה חדשה הידועה כיום כפונקציות אבליות.
בשנת 1823 כתב אבל מאמר שכותרתו "ייצוג כללי של האפשרות לאינטגרציה של כל נוסחאות הדיפרנציאל" (בנורווגית: en alminnelig Fremstilling af Muligheten at integrere alle mulige Differential-Formler). הוא הגיש בקשה למימון באוניברסיטה כדי לפרסם אותו. עם זאת, העבודה אבדה בזמן שנבדקה, ומעולם לא נמצאה לאחר מכן.
אבל אמר באופן מפורסם על סגנון הכתיבה של קרל פרידריך גאוס: "הוא כמו השועל, המוחק את עקבותיו בחול עם זנבו". גאוס השיב לו באומרו: "אף אדריכל בעל כבוד עצמי לא משאיר את הפיגומים במקומם לאחר השלמת הבניין שלו."
מורשת
תחת הדרכתו של אבל, החלו להתבהר הערפלויות השוררות באנליזה, נכנסו לתחומים חדשים וחקר הפונקציות התקדם עד כדי כך שסיפק למתמטיקאים הסתעפויות רבות שדרכן ניתן היה להתקדם. עבודותיו, שרובן הופיעו במקור בכתב העת של קרלה, נערכו על ידי ברנט מיכאל הולמבו ופורסמו בשנת 1839 על ידי ממשלת נורווגיה, ומהדורה מלאה יותר על ידי לודוויג סילו (Ludwig Sylow) וסופוס לי (Sophus Lie) פורסמה בשנת 1881. שם התואר "אבלי", הנגזר משמו, הפך לכל כך נפוץ בכתיבה מתמטית שהוא נכתב באופן קונבנציונלי באות קטנה (למשל, חבורה אבלית, קטגוריה אבלית ויריעה אבלית).
ב-6 באפריל 1929 הונפקו ארבעה בולים נורווגיים לציון מאה שנה למותו של אבל. דיוקנו מופיע על שטר ה-500 כתר (גרסה V) שהונפק במהלך 1978–1985. ב-5 ביוני 2002 הונפקו ארבעה בולים נורווגיים לכבודו של אבל, חודשיים לפני יום הולדתו ה-200. ישנו גם מטבע של 20 כתר שהונפק על ידי נורווגיה לכבודו. פסל של אבל ניצב באוסלו, ומכתש אבל על הירח נקרא על שמו.
פרס אבל במתמטיקה הוקם לזכרו של אבל ונקרא על שמו. למרות שהוצע במקור בשנת 1899 כדי להשלים את פרסי נובל, הוא הוענק לראשונה בשנת 2003, בעוד סלברג קיבל פרס אבל של כבוד בשנה הקודמת.
המתמטיקאי פליקס קליין (Felix Klein) כתב על אבל:
> אך לא הייתי רוצה להיפרד מטיפוס אידיאלי זה של חוקר, כפי שמעט הופיעו בהיסטוריה של המתמטיקה, מבלי להעלות דמות מתחום אחר, שלמרות תחום עיסוקו השונה לחלוטין, עדיין נראית קשורה. כך, למרות שאבל חלק עם מתמטיקאים רבים חוסר מוחלט בכישרון מוזיקלי, לא אשמע אבסורדי אם אשווה את סוג הפרודוקטיביות שלו ואת אישיותו לזו של מוצרט. כך ניתן להקים אנדרטה למתמטיקאי בעל השראה אלוהית זו כמו זו של מוצרט בווינה: פשוט וצנוע הוא עומד שם ומקשיב, בעוד מלאכים חינניים מרחפים סביב, מביאים לו בשובבות השראה מעולם אחר. במקום זאת, עלי להזכיר את סוג האנדרטה השונה מאוד שהוקמה למעשה לאבל בכריסטיאניה, אשר חייבת לאכזב מאוד כל מי שמכיר את טבעו. על גוש גרניט נישא ותלול, אתלט צעיר מהסוג הביירוני פוסע מעל שני קורבנות אפורים, כיוונו אל השמיים. אם יש צורך, אפשר לראות בגיבור סמל לרוח האנושית, אך אדם תוהה לשווא על המשמעות העמוקה יותר של שני המפלצות. האם אלו המשוואות ממעלה חמישית שנכבשו או הפונקציות האליפטיות? או שמא אלו הצער והדאגות של חיי היומיום שלו? בסיס האנדרטה נושא, באותיות ענק, את הכתובת ABEL.
—