ג'ון פורבס נאש: שלוש מאות מילים, שלושים שנים אבודות
בשנת 1948 התבקש פרופסור במכון הטכנולוגי קרנגי בשם ריצ'רד דאפין (Richard Duffin) לכתוב מכתב המלצה עבור בן עשרים המגיש מועמדות לפרינסטון. הוא כתב משפט אחד: "האיש הזה הוא גאון". שנתיים לאחר מכן הפיק הצעיר מאמר של 317 מילים שיארגן מחדש את הכלכלה, מדע המדינה, הביולוגיה האבולוציונית וחקר ההרתעה הגרעינית. לאחר מכן, במשך שלושה עשורים, כמעט כלום.
מבלופילד לקרנגי טק
נאש נולד ב-13 ביוני 1928 בבלופילד, וירג'יניה המערבית. הוא הלך למכון הטכנולוגי קרנגי – כיום קרנגי מלון – מתוך כוונה ללמוד הנדסה כימית, ועבר למתמטיקה, הדיסציפלינה שתבעה אותו בשקט. הרווארד התעניינה. הוא בחר בפרינסטון, והגיע עם שורת העדות הבודדת של דאפין בתיקו.
שלוש מאות ושבע עשרה מילים
הרעיון הגיע כמעט מיד. בשנת 1950, בעודו סטודנט לתואר שני, פרסם נאש את Equilibrium points in N-person games (נקודות שיווי משקל במשחקים של N משתתפים) – 317 מילים, אחד המאמרים המשמעותיים הקצרים ביותר בהיסטוריה של מדעי החברה – והרחיב את הטיעון במאמר נוסף ב-1951. הדוקטורט שלו הגיע מפרינסטון ב-1950.
מה שהוא עשה היה למתוח קו שאף אחד לא מתח בצורה נקייה לפני כן, בין משחקים שיתופיים, שבהם שחקנים יכולים ליצור הסכמים מחייבים, לבין משחקים לא-שיתופיים, שבהם הם אינם יכולים. עבור המקרה השני והנפוץ הרבה יותר הוא הגדיר פתרון: שיווי משקל נאש מתרחש כאשר אף אחד לא יכול להגדיל את התגמול שלו על ידי שינוי אסטרטגיה, בהינתן מה שכולם עושים. לאחר מכן הוא הוכיח שנקודה כזו תמיד קיימת.
הכוח של זה הוא שזה לא דורש מאף אחד להיות נחמד, או מתואם, או אפילו תקשורתי. זה מתאר איך נראות תוצאות יציבות בקרב סוכנים רציונליים הרודפים אחרי האינטרסים שלהם בסכסוך – כלומר, רוב ענייני האנושות. כלכלנים בילו את ארבעים השנים הבאות בבנייה מחדש של הדיסציפלינה שלהם סביבו.
RAND והמלחמה הקרה
נאש הלך לעבוד בתאגיד RAND, שם תורת המשחקים יושמה ישירות על מדיניות אסטרטגית של המלחמה הקרה. מרוץ החימוש הוא המשחק הלא-שיתופי הקנוני: שני שחקנים, ללא הסכמים מחייבים, שיווי משקל שהוא יציב ונורא עבור שניהם. העובדה שההפשטה שלו הפכה לדקדוק של האסטרטגיה הגרעינית היא אחת העובדות המפכחות ביותר על המתמטיקה של המאה העשרים.
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →המתמטיקאי של המתמטיקאי
ואז הוא עשה משהו יוצא דופן: הוא התרחק מהתחום שייסד ועשה עבודה קשה יותר במקום אחר. ב-MIT, עמיתו וורן אמברוז (Warren Ambrose) אתגר אותו בבעיית השיכון עבור יריעות (manifolds). משפטי השיכון של נאש מ-1954 ו-1956 קבעו שניתן לשכן כל יריעה רימנית בתוך מרחב אוקלידי כלשהו – שניתן לממש כל גאומטריה עקומה המוגדרת באופן מופשט כמשטח היושב בתוך מרחב שטוח רגיל. ג'ון קונוויי (John Conway) כינה זאת "אחת היצירות החשובות ביותר של ניתוח מתמטי במאה זו".
מאותה תקופה הגיע משפט הפונקציה ההפוכה של נאש-מוזר (Nash–Moser), ובעקבות הצעה של לואי נירנברג (Louis Nirenberg), משפט נאש-דה ג'ורג'י (Nash–De Giorgi) על משוואות דיפרנציאליות חלקיות פרבוליות ואליפטיות. נאש עבד, בעצם לבדו, ברמה הגבוהה ביותר של ניתוח גאומטרי. דייוויד גבאי (David Gabai) מפרינסטון אמר שמשפטי השיכון "דרשו לא רק תובנה יוצאת דופן אלא גם מומחיות טכנית עצומה" וכינה אותם "תוצאות מדהימות לחלוטין".
1959
הוא אושפז לראשונה ב-1959 ואובחן כסובל מסכיזופרניה פרנואידית. הוא התפטר מ-MIT באותה שנה. הוא ואלישיה לארדה (Alicia Lardé) התגרשו ב-1962. מה שבא לאחר מכן היו עשורים שבהם הוא היה נוכחות ולא משתתף בפרינסטון – הפנטום של פיין הול (Fine Hall), דמות שסטודנטים היו רואים כותבת על לוחות ריקים. הוא החל להחלים בהדרגה במהלך שנות ה-80. הוא ואלישיה נישאו מחדש ב-2001.
השיבה
בשנת 1994 הוענק לנאש שליש מפרס בנק שוודיה למדעי הכלכלה, והוא צוין יחד עם עמיתיו לפרס "על הניתוח החלוצי שלהם של שיווי משקל בתורת המשחקים הלא-שיתופיים". הוא נרשם תחת פרינסטון, שם הצטרף ב-1995 למחלקה למתמטיקה כמתמטיקאי מחקר בכיר, ושם עמיתים זכרו אותו כנגיש ומעורר השראה בשקט למתמטיקאים צעירים. כבודים קודמים כללו את פרס ג'ון פון נוימן לתאוריה ב-1978; מדליית הסליל הכפול (Double Helix Medal) הגיעה ב-2010.
פרס אבל, וחמישה ימים
בשנת 2015 העניקה האקדמיה הנורווגית את פרס אבל – הכבוד היוקרתי ביותר במתמטיקה – במשותף לנאש ולנירנברג על "תרומות בולטות ופורצות דרך לתורת המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות הלא-ליניאריות ויישומיהן לניתוח גאומטרי". סרג'יו קליינרמן (Sergiu Klainerman) מפרינסטון אמר שהפרס "תיקן אנומליה היסטורית" על ידי הכרה סוף סוף בעבודה עמוקה בהרבה מתורת המשחקים שעבורה הציבור הכיר אותו. נאש, אז בן שמונים ושש, היה פשוט באופן אופייני: "פרס אבל הוא ברמה הגבוהה ביותר בין פרסי המתמטיקה. באמת אין שום דבר טוב יותר".
הוא נותר האדם היחיד שקיבל גם את פרס מדעי הכלכלה וגם את פרס אבל. ב-23 במאי 2015, בחזרתם מהטקס בנורווגיה, נהרגו נאש ואלישיה בתאונת מונית בניו ג'רזי.
מדוע ג'ון מכונה גאון
המילה אינה קישוט מאוחר; היא נמצאת בתיעוד הדוקומנטרי מ-1948, כאשר דאפין השתמש בה ולא בשום דבר אחר. מה שמצדיק אותה הוא טווח בשילוב עם ישירות. נאש הפיק תוצאות יסוד בשלושה תחומים – תורת המשחקים, גאומטריה דיפרנציאלית, משוואות דיפרנציאליות חלקיות לא-ליניאריות – שחולקים כמעט שום טכניקה, ובכל מקרה הוא תקף את הבעיה חזיתית עם מכונות שהוא היה צריך לבנות בעצמו. פיטר סרנאק (Peter Sarnak) ניסח את האופי של זה במדויק: "בעוד שרשימת הפרסומים שלו קצרה משל מתמטיקאים רבים, החידוש וההשפעה של כל אחד ממאמריו הם ייחודיים". הוא לא צבר. הוא פתר.
יש לומר את מקרה הנגד בזהירות. חיי המחקר שלו היו קצרים – בערך העשור שבין 1948 ל-1958 – והמחלה שהחלה ב-1959 לא העשירה אותם אלא הרסה אותם. שום דבר בתיעוד אינו תומך בערבוב הרומנטי של שיגעון עם תובנה; הסכיזופרניה עלתה לו בשלושים שנה, בנישואיו ובמעמדו, והמתמטיקה נעצרה. תהילתו הציבורית נשענת גם על הדבר הפחות תובעני מבחינה מתמטית שעשה: מאמרי שיווי המשקל הם מבריקים אך קצרים, והעבודה העמוקה יותר בניתוח נותרה ללא תגמול עד שהיה בן שמונים ושש, וזה מה שקליינרמן התכוון אליו באנומליה היסטורית. והפרס שקיבל אינו פרס מתמטי כלל. אפשר להעריץ את נאש מאוד תוך כדי הבחנה שהגרסה הפופולרית שלו – החוזה המיוסר שהחזיונות שלו היו גם המתנה שלו – הופכת את מה שקרה לו באמת.
מורשת
שיווי משקל נאש הוא כיום תשתית. הוא עומד בבסיס עיצוב מכירות פומביות, ניתוח הגבלים עסקיים, ביולוגיה אבולוציונית, תורת בקרת נשק והאלגוריתמים שמקצים ספקטרום ומתאימים תושבים רפואיים לבתי חולים. בקרב מתמטיקאים, משפטי השיכון ועבודת ה-PDE נחשבים בהערכה דומה. הוא קיבל את שני החצאים של קריירה שהעולם מעניק בדרך כלל לאנשים שונים, והוא קיבל אותם לפני שהיה בן שלושים.