דויד הילברט

דויד הילברט

דויד הילברט (באנגלית: David Hilbert, הגייה בגרמנית: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt]; 23 בינואר 1862 – 14 בפברואר 1943) היה מתמטיקאי ופילוסוף של המתמטיקה גרמני ואחד המתמטיקאים המשפיעים ביותר בכל הזמנים.

הילברט גילה ופיתח מגוון רחב של רעיונות יסודיים, הכוללים תורת האינווריאנטים, חשבון וריאציות, אלגברה קומוטטיבית, תורת המספרים האלגברית, יסודות הגאומטריה, תורת הספקטרום של אופרטורים ויישومه למשוואות אינטגרליות, פיזיקה מתמטית ויסודות המתמטיקה (ובפרט תורת ההוכחה). הוא אימץ והגן על תורת הקבוצות והמספרים הטרנספיניטיים של גאורג קנטור (Georg Cantor). בשנת 1900 הציג אוסף בעיות שהציב תוואי למחקר המתמטי של המאה ה-20.

הילברט ותלמידיו תרמו לביסוס הריגורוזיזם ופיתחו כלים חשובים המשמשים בפיזיקה המתמטית המודרנית. הוא היה ממייסדי תורת ההוכחה והלוגיקה המתמטית.

חיים

### חיים מוקדמים והשכלה

הילברט, הבכור מבין שני ילדים והבן היחיד של אוטו, שופט מחוזי, ומריה טרזה הילברט (לבית ארדטמן), בת של סוחר, נולד בפרובינציית פרוسة בממלכת פרוסיה, או בקניגסברג, כיום קלינינגרד (לפי הצהרתו של הילברט עצמו), או בוהלאו (הידוע מאז 1946 כזנאמנסק) ליד קניגסברג, שם עבד אביו בעת לידתו. סבו מצד אביו היה דויד הילברט, שופט ויועץ חשאי (Geheimrat). לאמו מריה היה עניין בפילוסופיה, אסטרונומיה ומספרים ראשוניים, בעוד שאביו אוטו לימד אותו מעלות פרוsيות. לאחר שאביו נעשה שופט עירוני, עברה המשפחה לקניגסברג. אחותו של דויד, אליזה, נולדה כשהיה בן שש. הוא החל את לימודיו בגיל שמונה, שנתיים מאוחר יותר מגיל ההתחלה הרגיל.

בסוף שנת 1872 נכנס הילברט לגימנסיה פרידריכסקולג (Collegium fridericianum, אותו בית ספר שבו למד עמנואל קאנט 140 שנה קודם לכן); אולם, לאחר תקופה לא מאושרת, עבר (בסוף 1879) וסיים (בתחילת 1880) את הגימנסיה וילהלם הנטויה יותר למדעים. עם סיום לימודיו, בסתיו 1880, נרשם הילברט לאוניברסיטת קניגסברג, "אלברטינה". בתחילת 1882 חזר הרמן מינקובסקי (Hermann Minkowski) (צעיר בשנתיים מהילברט וגם הוא יליד קניגסברג אך למד במשך שלושה סמסטרים בברלין) לקניגסברג ונכנס לאוניברסיטה. הילברט פיתח ידידות ארוכת שנים עם מינקובסקי הבישן והמחונן.

### קריירה

בשנת 1884 הגיע אדולף הורוויץ (Adolf Hurwitz) מגטינגן כפרופסור חבר (Extraordinarius). חילופי דברים מדעיים אינטנסיביים ופוריים החלו בין השלושה, ובעיקר מינקובסקי והילברט הפעילו השפעה הדדית זה על זה בזמנים שונים בקריירות המדעיות שלהם. הילברט קיבל את הדוקטורט שלו בשנת 1885, עם דיסרטציה שנכתבה תחת פרדיננד פון לינדמן שכותרתה Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen ("על התכונות האינווריאנטיות של צורות בינאריות מיוחדות, בפרט פונקציות הרמוניות כדוריות").

הילברט נשאר באוניברסיטת קניגסברג כמרצה בכיר (Privatdozent) בשנים 1886 עד 1895. בשנת 1895, כתוצאה מהתערבות מטעמו של פליקס קליין (Felix Klein), הוא קיבל את משרת פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת גטינגן. במהלך שנות קליין והילברט, הפכה גטינגן למוסד הבולט בעולם המתמטי. הוא נשאר שם למשך שארית חייו.

### אסכולת גטינגן

בין תלמידיו של הילברט היו הרמן ווייל (Hermann Weyl), אלוף השחמט עמנואל לאסקר (Emanuel Lasker), ארנסט צרמלו (Ernst Zermelo) וקרל גוסטב המפל (Carl Gustav Hempel). ג'ון פון נוימן (John von Neumann) היה עוזרו. באוניברסיטת גטינגן הוקף הילברט במעגל חברתי של כמה מהמתמטיקאים החשובים ביותר של המאה ה-20, כגון אמי נתר (Emmy Noether) ושלונזו צ'רץ' (Alonzo Church).

בין 69 דוקטורנטים שלו בגטינגן היו רבים שהפכו בהמשך למתמטיקאים מפורסמים, כולל (עם תאריך התזה): אוטו בלומנטל (1898), פליקס ברנשטיין (1901), הרמן ווייל (1908), ריכרד קוראנט (1910), אריך הק (1910), הוגו שטיינהאוז (1911) ווילהלם אקרמן (1925). בין 1902 ל-1939 היה הילברט עורך כתב העת Mathematische Annalen, כתב העת המוביל במתמטיקה באותה תקופה. הוא נבחר כחבר בינלאומי של האקדמיה הלאומית למדעים של ארצות הברית בשנת 1907.

### חיים אישיים

בשנת 1892 נישא הילברט לקאטה יירוש (Käthe Jerosch) (1864–1945), שהייתה בת של סוחר מקניגסברג, "עלמה ישירה ועצמאית בדעותיה שהתאימה [להילברט]." בהיותם בקניגסברג נולד ילדם היחיד, פרנץ הילברט (1893–1969). פרנץ סבל כל חייו ממחלת נפש, ולאחר שאושפז במרפאה פסיכיאטרית, אמר הילברט: "מעתה ואילך, עלי לראות את עצמי כמי שאין לו בן." יחסו לפרנץ גרם לקאטה צער רב.

הילברט מחשב את המתמטיקאי הרמן מינקובסקי כ"חברו הטוב והנאמן ביותר".

הילברט הוטבל וחונך כקלוויניסט בכנסייה האוונגליסטית של פרוסיה. מאוחר יותר עזב את הכנסייה והפך לאגנוסטיקן. הוא גם טען שהאמת המתמטית עצמאית מקיומו של אלוהים או מהנחות אפריורי אחרות. כאשר גלילאו גליレイ (Galileo Galilei) בוקר על כך שלא עמד על עקרונותיו לגבי התיאוריה ההליוצנטרית, התנגד הילברט: "אבל [גלילאו] לא היה אידיוט. רק אידיוט יכול להאמין שהאמת המדעית זקוקה לקידוש השם; ייתכן שזה נחוץ בדת, אך תוצאות מדעיות מוכיחות את עצמן בזמן הנכון."

### שנים מאוחרות יותר

כמו אלברט איינשטיין (Albert Einstein), להילברט היו קשרים הדוקים עם קבוצת ברלין, שמייסדיה המובילים למדו תחת הילברט בגטינגן (קורט גרלינג, הנס רייכנבאך וולטר דוביסלב).

סביב שנת 1925 פיתח הילברט אנמיה ממאירה, מחסור בוויטמין שלא היה ניתן לריפוי אז ושסימפטומו העיקרי הוא תשישות; עוזרו יوج'ין ויגנר (Eugene Wigner) תיאר אותו ככזה הנתון ל"עייפות עצומה" וכיצד "נראה די זקן", וכי אפילו לאחר שאובחן וטופל לבסוף, הוא "בקושי היה מדען לאחר 1925, ובוודאי לא הילברט".

הילברט נבחר לחברה הפילוסופית האמריקאית בשנת 1932.

הילברט חי עד שראה את הנאצים מטהרים רבים מחברי הסגל הבולטים באוניברסיטת גטינגן בשנת 1933. בין אלו שהוכחו החוצה היו הרמן ווייל (שלקח את הקתדרה של הילברט כאשר פרש ב-1930), אמי נתר ואדמונד לנדאו (Edmund Landau). אחד שנאלץ לעזב את גרמניה, פול ברנאיס (Paul Bernays), שיתף פעולה עם הילברט בלוגיקה מתמטית, והיה שותף לכתיבת הספר החשוב Grundlagen der Mathematik (שבסוף הופיע בשני כרכים, ב-1934 וב-1939). זה היה המשך לספר הילברט-אקרמן Principles of Mathematical Logic (1928). יורשו של הרמן ווייל היה הלמוט האסה (Helmut Hasse).

כשנה לאחר הטהור, השתתף הילברט בבנקט והושב לצד שר החינוך החדש, ברנהרד רוסט (Bernhard Rust). רוסט שאל האם "המכון המתמטי באמת סבל כל כך בגלל עזיבתם של היהודים". הילברט השיב: "סבל? הוא כבר לא קיים, נכון?"

### מוות

עד מותו של הילברט ב-1943, הנאצים איכלסו מחדש כמעט לחלוטין את האוניברסיטה, שכן רבים מחברי הסגל הקודמים היו יהודים או נשואים ליהודים. בהלווייתו של הילברט השתתפו פחות משנים עשר אנשים, ורק שניים מהם היו עמיתים אקדמיים, ביניהם ארנולד זומרפלד (Arnold Sommerfeld), פיזיקאי תיאורטי וגם הוא יליד קניגסברג. חדשת מותו נודעה לעולם הרחב רק מספר חודשים לאחר מותו.

האפיטף על מצבתו בגטינגן מורכב מהשורות המפורסמות שאמר בסיום נאום הפרישה שלו לחברה של מדענים ורופאים גרמנים ב-8 בספטמבר 1930. המילים ניתנו כתגובה למקסימה הלטינית: "Ignoramus et ignorabimus" או "איננו יודעים ולא נדע":

> Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

תרגום:

> עלינו לדעת. אנו נדע.

ביום שלפני שהילברט הגה ביטויים אלו בפגישה השנתית של החברה למדענים ורופאים גרמנים ב-1930, קורט גדל (Kurt Gödel) – בדיון שולחן עגול במהלך הכנס על אפיסטמולוגיה שהתקיים במשותף עם פגישות החברה – הכריז באופן מהוסס על הביטוי הראשון של משפט אי-השלמות שלו. משפטי האי-שלמות של גדל מראים שאפילו מערכות אקסיומטיות אלמנטריות כמו אריתמטיקה של פאנו הן או סותרות את עצמן או מכילות טענות לוגיות שבלתי אפשרי להוכיח או להפריך במסגרת אותה מערכת.

תרומות למתמטיקה ולפיזיקה

### פתרון בעיית גורדן

עבודתו הראשונה של הילברט על פונקציות אינווריאנטיות הובילה אותו להדגמה בשנת 1888 של משפט הסופיות המפורסם שלו. עשרים שנה קודם לכן, פול גורדן (Paul Gordan) הדגים את משפט הסופיות של יוצרים עבור צורות בינאריות באמצעות גישה חישובית מורכבת. ניסיונות להכליל את שיטתו לפונקציות עם יותר משני מששתות נכשלו עקב הקושי העצום של החשובים המעורבים. כדי לפתור את מה שהפך ידוע בחוגים מסוימים כבעיית גורדן, הבין הילברט שחובה לנקוט בדרכים שונות לחלוטין. כתוצאה מכך, הוא הדגים את משפט הבסיס של הילברט, המראה את קיומה של קבוצה סופית של יוצרים, עבור אינווריאנטים של קוונטיקים במספר כלשהו של משתנים, אך בצורה מופשטת. כלומר, תוך הדגמת קיומה של קבוצה כזו, זו לא הייתה הוכחה קונסטרוקטיבית – היא לא הציגה "אובייקט" – אלא הייתה זו הוכחת קיום שהסתמכה על השימוש בחוק השלישי המנוכר בהרחבה אינסופית.

הילברט שלח את תוצאותיו לכתב העת Mathematische Annalen. גורדן, מומחה הבית לתורת האינווריאנטים של Mathematische Annalen, לא הצליח להעריך את אופיו המהפכני של משפטו של הילברט ודחה את המאמר, כשהוא מבקר את ההצגה משום שלא הייתה מקיפה מספיק. הערתו הייתה:

> Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie.

תרגום:

> זו אינה מתמטיקה. זו תאולוגיה.

קליין, לעומת זאת, הכיר בחטיבות העבודה, והבטיח שהיא תפורסם ללא כל שינויים. מעודד על ידי קליין, הילברט הרחיב את שיטתו במאמר שני, והעניק הערכות על המעמד המרבי של קבוצת היוצרים המינימלית, והוא שלח אותה פעם נוספת לאנאלן. לאחר שקרא את כתב היד, כתב לו קליין באומרו:

> ללא ספק זו העבודה החשובה ביותר על אלגברה כללית שכתב העת Annalen פרסם אי פעם.

מאחר ושימושיות שיטתו של הילברט הוכרה אוניברסלית, גורדן עצמו אמר:

> שכנעתי את עצמי שגם לתאולוגיה יש את המעלות שלה.

על אף כל הצלחתו, אופי הוכחתו יצר צרות רבות מכפי שהילברט יכול היה לדמיין. למרות שקרונקר הודה, הילברט יגיב מאחרים על ביקורות דומות ש"בניינים שונים רבים מסוכמים תחת רעיון בסיסי אחד" – במילים אחרות (בציטוט של ריד): "דרך הוכחת קיום, הילברט הצליח להשיג בנייה"; "ההוכחה" (כלומר הסמלים בדף) הייתה "האובייקט". לא כולם השתכנעו. בעוד שקרונקר ימות זמן קצר לאחר מכן, הפילוסופיה הקונסטרוקטיביסטית שלו תמשיך עם הצעיר בראואר (Brouwer) וה"אסא" האינטואיציוניסטית המתפתחת שלו, להפתעתו הרבה של הילברט בשנותיו המאוחרות. אכן, הילברט איבד את "תלמידו המחונן" ווייל לאינטואיציוניזם – "הילברט הוטרד מהתעניינותו של תלמידו לשעבר ברעיונות של בראואר, מה שעורר בהילברט את הזיכרון של קרונקר". בראואר האינטואיציוניסט במיוחד התנגד לשימוש בחוק השלישי המנוכר על קבוצות אינסופיות (כפי שהשתמש בו הילברט). הילברט השיב:

> לקחת את עקרון השלישי המנוכר מהמתמטיקאי... זה כמו... לאסור על המתאג' להשתמש באגרופיו.

### משפט האפסים (Nullstellensatz)

בנושא האלגברה, שדה נקרא סגור אלגברית אם ורק אם לכל פולינום מעליו יש שורש בתוכו. תחת תנאי זה, הילברט נתן קריטריון למתי אוסף של פולינומים

(

p

λ

)

λ ∈ Λ

{\displaystyle (p_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}

של

n

{\displaystyle n}

משתנים יש שורש משותף: זהו המקרה אם ורק אם לא קיימים פולינומים

q

1

, … ,

q

k

{\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{k}}

ואינדקסים

λ

1

, … ,

λ

k

{\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}

כך ש

1 =

∑

j = 1

k

p

λ

j

(

x →

)

q

j

(

x →

)

{\displaystyle 1=\sum _{j=1}^{k}p_{\lambda _{j}}({\vec {x}})q_{j}({\vec {x}})}

.

תוצאה זו ידועה כמשפט השורשים של הילברט, או "Hilberts Nullstellensatz" בגרמנית. הוא גם הוכיח שההתאמה בין אידיאלים מתאפסים לקבוצות המתאפסות שלהם היא ביג'קטיבית בין יריעות אפיניות ואידיאלי רדיקל ב

C

[

x

1

, … ,

x

n

]

{\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}

.

### עקומה

במרץ 1890 פרסם ג'וזפה פאנו (Giuseppe Peano) מאמר ב-Mathematische Annalen המתאר את עקומת מלאת-המרחב הראשונה מבחינה היסטורית. בתגובה, הילברט עיצב בנייה משלו לעקומה כזו, הנקראת כיום עקומת הילברט. קירובים לעקומה זו נבנים איטרטיבית לפי כללי ההחלפה בתמונה הראשונה של סעיף זה. העקומה עצמה היא אפוא הגבול הנקודתי.

### אקסיומטיזציה של הגאומטריה

הטקסט Grundlagen der Geometrie (בתרגום: יסודות הגאומטריה) שפורסם על ידי הילברט ב-1899 מציע מערכת פורמלית, הנקראת אקסיומות של הילברט, המחליפה את האקסיומות המסורתיות של אוקלידס. הן נמנעות מחולשות שזוהו באלו של אוקלידס, שעבודותיו באותה תקופה עדיין שימשו כספרי לימוד. קשה לציין את האקסיומות שבהן השתמש הילברט מבלי להתייחס להיסטוריית הפרסום של ה-Grundlagen מכיוון שהילברט שינה ושינה אותן מספר פעמים. המונוגרפיה המקורית לוותה במהירות בתרגום צרפתי, שבו הוסיף הילברט V.2, אקסיומת השלמות. תרגום לאנגלית, באישורו של הילברט, נעשה על ידי א.ג'. טאונסנד (E.J. Townsend) וזכה בזכויות יוצרים ב-1902. תרגום זה שילב את השינויים שנעשו בתרגום הצרפתי ולכן נחשב לתרגום של המהדורה השנייה. הילברט המשיך לבצע שינויים בטקסט ומספר מהדורות הופיעו בגרמנית. מהדורה 7 הייתה האחרונה שהופיעה בחייו של הילברט. מהדורות חדשות עקבו אחר המהדורה ה-7, אך הטקסט העיקרי לא תוקן במהותו.

גישתו של הילברט סימנה את המעבר לשיטה האקסיומטית המודרנית. בכך, הילברט קודם על ידי עבודתו של מוריץ פאש (Moritz Pasch) מ-1882. אקסיומות אינן נלקחות כאמיתות מובנות מאליהן. גאומטריה עשויה להתייחס לדברים שעליהם יש לנו אינטואיציות חזקות, אך אין צורך להקצות משמעות מפורשת למונחים הבלתי מוגדרים. האלמנטים, כגון נקודה, קו, מישור ואחרים, יכולים להיות מוחלפים, כפי שמסופר שהילברט אמר לשנפליס וקוטר, על ידי שולחנות, כיסאות, כוסות בירה וחפצים אחרים מעין אלו. אלו הם היחסים המוגדרים שלהם שנדונים.

הילברט מנה תחילה את המושגים הבלתי מוגדרים: נקודה, קו, מישור, מונח על (יחס בין נקודות וקווים, נקודות ומישורים, וקווים ומישורים), בין-לבין, חופפות של זוגות נקודות (קטעי קווים), וחופפות של זוויות. האקסיומות מאחדות את הגאומטריה המישורית והגאומטריה המרחבית של אוקלידס במערכת אחת.

### 23 בעיות

הילברט הציג רשימה של 23 בעיות פתוחות בקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים בפריז בשנת 1900. רשימה זו, הכוללת את השערת רימן, נחשבת בדרך כלל כאוסף המוצלח והשקול ביותר של בעיות פתוחות שנוצר אי פעם על ידי מתמטיקאי בודד.

לאחר עיבוד מחדש של יסודות הגאומטריה הקלאסית, הילברט יכול היה להסב את מבטו לשאר המתמטיקה. גיסתו הייתה שונה מה"פונדמנטליסטית" המאוחרת של ראסל-וייטהד או ה"אנציקלופדיסטית" של ניקולא בורבאקי, ומזו של בן דורו ג'וזפה פאנו. הקהילה המתמטית כולה יכולה הייתה לעסוק בבעיות שאותן זיהה כהיבטים מכריעים בתחומי מתמטיקה חשובים.

קבוצת הבעיות הושקה כהרצאה, "הבעיות של המתמטיקה", שהוצגה במהלך הקונגרס הבינלאומי השני של המתמטיקאים, שהתקיים בפריז. מבוא הנאום שנשא הילברט אמר:

> מי מאתנו לא ישמח להרים את הצעיף שמאחוריו העתיד חבוי; להעיף מבט אל ההתקדמויות הבאות של המדע שלנו ועל סודות התפתחותו במהלך המאות הבאות? אילו מטרות מסוימות יהיו שקראת אליהן יחתרו הרוחות המתמטיקות המובילות של הדורות הבאים? אילו מתודות חדשות ועובדות חדשות בשדה המחשבה המתמטית הרחב והעשיר יחשפו המאות החדשות?

הוא הציג פחות ממחצית הבעיות בקונגרס, שפורסמו בפרוטוקולים של הקונגרס. בפרסום מאוחר יותר, הוא הרחיב את הנוף, והגיע לניסוחן של 23 הבעיות הקאנוניות כיום של הילברט (ראו גם בעיית ה-24 של הילברט). הטקסט המלא חשוב, שכן הפרשנות של השאלות עדיין יכולה להיות נתונה לדיון כאשר נשאל כמה מהן נפתרו.

חלק מאלה נפתרו זמן קצר לאחר מכן. אחרים נדונו לאורך המאה ה-20, כאשר חלקם נחשבים כעת פתוחים בצורה לא מתאימה כדי להגיע לסיום. חלקם ממשיכים להישאר אתגרים.

אלו הם הכותרות ל-23 הבעיות של הילברט כפי שהופיעו בתרגום משנת 1902 ב-Bulletin of the American Mathematical Society.

1. בעיית המספר העוצמתי של הרצף של קנטור. 2. העקביות של האקסיומות האריתמטיות. 3. השוויון של הנפחים של שני טטרהדראות בעלי בסיסים שווים וגבהים שווים. 4. בעיית הקו הישר כמרחק הקצר ביותר בין שני נקודות. 5. מושג החבורה הרציפה של טרנספורמציות של לי ללא הנחת הגזירות של הפונקציות המגדירות את החבורה. 6. טיפול מתמטי באקסיומות של הפיזיקה. 7. אי-רציונליות וטרנסצנדנטליות של מספריים מסוימים. 8. בעיות של מספרים ראשוניים ("השערת רימן"). 9. הוכחת חוק ההדדיות הכללי ביותר בכל שדה מספרים. 10. קביעת הפתירות של משוואה דיופανטית. 11. צורות ריבועיות עם מקדמים נומריים אלגבריים כלשהם 12. הרחבות של משפט קרונקר על שדות אבליים לכל תחום רציונליות אלגברי 13. חוסר האפשרות של פתרון המשוואה הכללית ממעלה 7 באמצעות פונקציות של שני משתנים בלבד. 14. הוכחת הסופיות של מערכות שלמות מסוימות של פונקציות. 15. יסוד ריגורוזי של חשבון האנמורציה של שוברט. 16. בעיית הטופולוגיה של עקומות ומשטחים אלגבריים. 17. הבעת צורות מוגדרות על ידי ריבועים. 18. בניית מרחב מפוליהדראות חופפים. 19. האם הפתרונות של בעיות רגולריות بحשבון הווריאציות הם תמיד בהכרח אנליטיים? 20. הבעיה הכללית של ערכי שפה (בעיות ערכי שפה במשוואות דיפרנציאליות חלקיות). 21. הוכחת קיומן של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות בעלות חבורת מונודרומי מוכתבת. 22. אוניפורמיזציה של יחסים אנליטיים באמצעות פונקציות אוטומורפיות. 23. פיתוח נוסף של השיטות של חשבון הווריאציות.

### פורמליזם

בדיווח שהפך סטנדרטי עד אמצע המאה, קבוצת הבעיות של הילברט היוותה גם מעין מניفסט שפתח את הדרך להתפתחות האסכולה הפורמליסטית, אחת משלוש האסכולות המרכזיות של המתמטיקה במאה ה-20. לפי הפורמליסט, מתמטיקה היא מניפולציה של סמלים לפי כללים פורמליים מוסכמים. זוהי אפוא פעילות מחשבתית אוטונומית.

תוכנית

בשנת 1920 הציע הילברט פרויקט מחקר במטא-מתמטיקה שנודע כתכנית של הילברט. הוא רצה שהמתמטיקה תנוסח על בסיס לוגי יציב ושלם. הוא האמין שעקרונית ניתן לעשות זאת על ידי הצגת כך ש:

כל המתמטיקה נובעת ממערכת אקסיומות סופית שנבחרה כהלכה; ו

- שניתן להוכיח כי מערכת אקסיומות כזו עקבית באמצעות אמצעים כלשהם כגון חשבון אפסילון.

נראה כי היו לו סיבות טכניות ופילוסופיות כאחד לנסח הצעה זו. היא אישרה את סלידתו ממה שהפך ידוע כ-ignorabimus, עדיין נושא פעיל בזמנו במחשבה הגרמנית, ומקורו בניסוח זה באמואיל דו בוא-ריימונד (Emil du Bois-Reymond).

תוכנית זו עדיין ניתנת לזיהוי בפילוסופיה הפופולרית ביותר של המתמטיקה, שבה היא נקראת בדרך כלל פורמליזם. לדוגמה, קבוצת בורבאקי אימצה גרסה מדוללת וסלקטיבית שלה כמתאימה לדרישות של הפרויקטים התאומים שלהם של (א) כתיבת עבודות יסוד אנציקלופדיות, ו-(ב) תמיכה בשיטה האקסיומטית ככלי מחקר. גישה זו הצליחה והייתה משפיעה בקשר לעבודתו של הילברט באלגברה ואנליזה פונקציונלית, אך כשלה מלהשתלב באופן דומה עם תחומי העניין שלו בפיזיקה ובלוגיקה.

הילברט כתב ב-1919:

> איננו מדברים כאן על שרירותיות בשום מובן. המתמטיקה אינה כמו משחק שמשימותיו נקבעות על ידי כללים שנקבעו בשרירותיות. אלא, זוהי מערכת מושגית בעלת הכרח פנימי שיכולה להיות אך ורק כך ולא בשום אופן אחר.

הילברט פרסם את השקפותיו על יסודות המתמטיקה בעבודת שני הכרכים, Grundlagen der Mathematik.

עבודתו של גדל

הילברט והמתמטיקאים שעבדו עמו במפעל שלו היו מחויבים לפרויקט. ניסיונו לתמוך במתמטיקה אקסיומטית בעזרת עקרונות חלוציים, שיכלו לבער אי ודאויות תאורטיות, הסתיים בכישלון.

גדל הוכיח שכל מערכת פורמליות עקבית החזקה דיה כדי להביע אריתמטיקה בסיסית אינה יכולה להוכיח את שלמותה שלה תוך שימוש באקסיומות ובכללי ההיסק שלה בלבד. בשנת 1931, משפט האי-שלמות שלו הראה שהתוכנית הגדולה של הילברט הייתה בלתי אפשרית כפי שניסחה. את הנקודה השנייה אין אפשרות לשלב בשום אופן סביר עם הנקודה הראשונה, כל עוד מערכת האקסיומות פיניטרית באמת.

אף על פי כן, ההישגים המאוחרים ביותר של תורת ההוכחה לכל הפחות הבהירו עקביות כפי שהיא מתייחסת לתיאוריות שמרכזיותן למתמטיקאים. עבודתו של הילברט החלה את הלוגיקה במסלול הבהרה זה; הצורך להבין את עבודתו של גדל הוביל לאחר מכן לפיתוח תורת הרקורסיה ולאחר מכן הלוגיקה המתמטית כדיסציפלינה אוטונומית בשנות ה-30 של המאה ה-20. הבסיס למדעי המחשב התיאורטיים המאוחרים יותר, בעבודתם של אלונזו צ'רץ' ואלן טיורינג (Alan Turing), צמח גם הוא ישירות מתוך "ויכוח" זה.

### אנליזה פונקציונלית

סביב שנת 1909 הילברט הקדיש את עצמו לחקר משוואות דיפרנציאליות ואינטגרליות; לעבודתו היו השלכות ישירות על חלקים חשובים באנליזה פונקציונלית מודרנית. על מנת לבצע מחקרים אלו, הילברט הציג את המושג של מרחב אוקלידי אינסופי-ממדי, שנקרא לימים מרחב הילברט. עבודתו בחלק זה של האנליזה סיפקה את הבסיס לתרומות חשובות למתמטיקה של הפיזיקה בשתי העשורים הבאים, אם כי מכיוון בלתי צפוי. בהמשך, סטפן בנך (Stefan Banach) הרחיב את המושג, כשהגדיר מרחבי בנך. מרחבי הילברט הם מחלקה חשובה של אובייקטים בתחום האנליזה הפונקציונלית, במיוחד של תורת הספקטרום של אופרטורים ליניאריים צמודים-עצמית, שצמחו סביבה במהלך המאה ה-20.

### פיזיקה

עד 1912 היה הילברט מתמטיקאי טהור כמעט בלבד. בתכנון ביקור מ-בון, שם היה שקוע בלמידת פיזיקה, עמיתו המתמטיקאי וחברו הרמן מינקובסקי התבדח שעליו לבלות 10 ימים בהסגר בטרם יוכל לבקר את הילברט. למעשה, נראה שמינקובסקי אחראי לרוב חקירות הפיזיקה של הילברט טרם 1912, כולל הסמינר המשותף שלהם בנושא ב-1905.

בשנת 1912, שלוש שנים לאחר מות חברו, הפנה הילברט את מוקדו לנושא כמעט בלעדי. הוא דאג שיהיה לו "מורה פרטי לפיזיקה" לעצמו. הוא החל ללמוד תורת הקינטית של הגזים ועבר לתורת הקרינה האלמנטרית והתאוריה המולקולרית של החומר. אפילו לאחר שפרצה המלחמה ב-1914, הוא המשיך בסמינרים ובשיעורים שבהם עבודותיהם של אלברט איינשטיין ואחרים נעקבו מקרוב.

עד 1907, איינשטיין מסגר את יסודות תורת הכבידה, אך לאחר מכן נאבק כמעט 8 שנים כדי להכניס את התיאוריה לצורתה הסופית. פגישה עם אמי נתר בגטינגן הייתה מכרעת לפריצת הדרך שלו. עד תחילת קיץ 1915, עניינו של הילברט בפיזיקה התמקד ביחסות כללית, והוא הזמין את איינשטיין לגטינגן כדי להעביר שבוע של הרצאות בנושא. איינשטיין קיבל קבלת פנים נלהבת בגטינגן. במהלך הקיץ, איינשטיין למד שהילברט עובד גם הוא על משוואות השדה והכפיל את מאמציו שלו. במהלך נובמבר 1915, איינשטיין פרסם מספר מאמרים שהגיעו לשיאם במשוואות השדה של הכבידה (ראו משוואות שדה של איינשטיין). כמעט בו-זמנית, הילברט פרסם את "יסודות הפיזיקה", גזירה אקסיומטית של משוואות השדה (ראו פעולת איינשטיין-הילברט). הילברט זיכה את איינשטיין במלואו כממציא התיאוריה ומחלוקת עדיפות פומבית הנוגעת למשוואות השדה מעולם לא התעוררה בין שני הגברים במהלך חייהם.

בנוסף, עבודתו של הילברט הקדימה וסייעה למספר התקדמויות בניסוח המתמטי של מכניקת הקוונטים. עבודתו הייתה היבט מרכזי בעבודתם של הרמן ווייל וג'ון פון נוימן על השקילות המתמטית של מכניקת המטריצות של ורנר הייזנברג (Werner Heisenberg) ומשוואת הגלים של ארווין שרדינגר (Erwin Schrödinger), ומרחב הילברט הנושא את שמו משחק תפקיד חשוב בתורת הקוונטים. בשנת 1926 הראה פון נוימן שאם מצבים קוונטיים יובנו כווקטורים במרחב הילברט, הם יהיו תואמים גם לתורת פונקציית הגלים של שרדינגר וגם למטריצות של הייזנברג.

לאורך טבילה זו בפיזיקה, הילברט עבד על הכנסת קפדנות למתמטיקה של הפיזיקה. תוך תלות רבה במתמטיקה גבוהה, פיזיקאים נטו להיות "רשלנים" איתה. עבור מתמטיקאי טהור כמו הילברט, זה היה גם מכוער וקשה להבנה. כאשר החל להבין את הפיזיקה וכיצד פיזיקאים משתמשים במתמטיקה, הוא פיתח תיאוריה מתמטית עקבית למה שמצא – חשוב מכך בתחום המשוואות האינטגרליות. כאשר עמיתו ריכרד קוראנט כתב את Methoden der mathematischen Physik (שיטות של פיזיקה מתמטית) שהפך כיום לקלאסיקה וכלל חלק מרעיונותיו של הילברט, הוא הוסיף את שמו של הילברט כמחבר למרות שהילברט לא תרם ישירות לכתיבה. הילברט אמר "הפיזיקה קשה מדי עבור פיזיקאים", כשהוא רומז שהמתמטיקה הדרושה הייתה בדרך כלל מעבר להם; ספר קוראנט-הילברט הקל עליהם.

### תורת המספרים

הילברט איחד את תחום תורת המספרים האלגברית בחיבורו משנת 1897 Zahlbericht (מילולית "דוח על מספרים"). הוא גם פתר בעיה משמעותית בתורת המספרים שניסח ווארינג ב-1770. כמו במשפט הסופיות, הוא השתמש בהוכחת קיום המראה שחייבים להיות פתרונות לבעיה במקום לספק מנגנוני הפקה לתשובות. לאחר מכן היו לו מעט מאוד דברים לפרסם בנושא; אך הופעתן של תבניות מודולריות של הילברט בדיסרטציה של סטודנט פירושה ששמו משויך עוד יותר לתחום מרכזי.

הוא העלה סדרה של השערות על תורת שדות המחלקה. המושגים היו משפיעים ביותר, ותרומתו שלו חיה ונושמת בשמותיהם של שדה המחלקה של הילברט ושל סימול הילברט של תורת שדות מחלקה מקומיים. תוצאות הוכחו ברובן עד 1930, לאחר עבודתו של טייג'י טאקאגי (Teiji Takagi).

הילברט לא עבד בתחומים המרכזיים של תורת המספרים האנליטית, אך שמו נודע בזכות השערת הילברט-פויליה, מסיבות אנקדוטליות. ארנסט הלינגר (Ernst Hellinger), סטודנט של הילברט, סיפר פעם לאנדרה וייל (André Weil) שהילברט הכריז בסמינר שלו בראשית שנות ה-1900 שהוא מצפה שהוכחת השערת רימן תהיה תוצאה של עבודתו של פרדהולם על משוואות אינטגרליות עם גרעין סימטרי.

עבודות

עבודותיו המנוּסחות (Gesammelte Abhandlungen) פורסמו פעמים רבות. הגרסאות המקוריות של מאמריו כללו "שגיאות טכניות רבות ברמות חומרה שונות"; כאשר האוסף פורסם לראשונה, השגיאות תוקנו ונמצא שניתן לעשות זאת ללא שינויים משמעותיים בהצהרות המשפטים, למעט חריג אחד – הוכחה נטענת של השערת הרציפות. השגיאות היו אף על פי כן כל כך רבות ומשמעותיות עד שלקח לאולגה טאוסקי-טוד (Olga Taussky-Todd) שלוש שנים לבצע את התיקונים.