פליקס קליין
פליקס כריסטיאן קליין (Felix Christian Klein; 25 באפריל 1849 – 22 ביוני 1925) היה מתמטיקאי, מחנך למתמטיקה והיסטוריון של המתמטיקה גרמני, שנודע בעבודתו בתורת החבורות, בניתוח מרוכב, בגאומטריה לא-אוקלידית ובקשרים שבין גאומטריה לתורת החבורות. "תוכנית ארלנגן" שלו משנת 1872 סיווגה גאומטריות לפי חבורות הסימטריה הבסיסיות שלהן והיוותה סינתזה משפיעה של חלק ניכר מהמתמטיקה של אותה תקופה.
במהלך כהונתו באוניברסיטת גטינגן, הצליח קליין להפוך אותה למרכז למחקר מתמטי ומדעי באמצעות הקמת הרצאות, קתדרות ומכונים חדשים. הסמינרים שלו כיסו את רוב תחומי המתמטיקה שהיו ידועים אז, כמו גם את היישומים שלהם. קליין הקדיש גם זמן רב להוראת המתמטיקה וקידם רפורמה בחינוך המתמטי בכל רמות הלימוד בגרמניה ומחוצה לה. בשנת 1908, בקונגרס הבין-לאומי הרביעי של מתמטיקאים ברומא, הוא הפך לנשיא הראשון של הוועדה הבין-לאומית להוראת המתמטיקה.
חיים
פליקס קליין נולד ב-25 באפריל 1849 בדיסלדורף להורים פרוסים. אביו, קספר קליין (1809–1889), היה מזכיר של פקיד ממשל פרוסי שהוצב במחוז הריין. אמו הייתה סופי אליזה קליין (1819–1890, לבית קייזר). הוא למד בגימנסיה בדיסלדורף, ולאחר מכן למד מתמטיקה ופיזיקה באוניברסיטת בון בין השנים 1865–1866, מתוך כוונה להפוך לפיזיקאי. באותה תקופה החזיק יוליוס פלוקר (Julius Plücker) בקתדרה למתמטיקה ופיזיקה ניסויית בבון, אך עד שהפך קליין לעוזרו ב-1866, תחומי העניין של פלוקר היו בעיקר גאומטריים. קליין קיבל את הדוקטורט שלו מאוניברסיטת בון בשנת 1868, תחת הנחייתו של פלוקר.
פלוקר מת בשנת 1868 והותיר את ספרו על יסודות הגאומטריה של המרחב לא גמור. קליין היה האדם המובן מאליו להשלמת החלק השני של ספרו של פלוקר, Neue Geometrie des Raumes (גאומטריה חדשה של המרחב), וכך התוודע לאלפרד קלבש (Alfred Clebsch), שעבר לגטינגן ב-1868. קליין ביקר אצל קלבש בשנה שלאחר מכן, לצד ביקורים בברלין ובפריז. ביולי 1870, בתחילת מלחמת צרפת–פרוסיה, הוא שהה בפריז ונאלץ לעזוב את המדינה. לזמן קצר שירת כחובש בצבא הפרוסי לפני שמונה ל-Privatdozent (מרצה) בגטינגן בתחילת 1871.
אוניברסיטת ארלנגן מינתה את קליין לפרופסור בשנת 1872, כשהיה בן 23 בלבד. לכך הוא זכה בתמיכתו של קלבש, שראה בו מי שעשוי להפוך למתמטיקאי הטוב ביותר בתקופתו. קליין לא רצה להישאר בארלנגן, שבה היו מעט מאוד סטודנטים, ושמח לקבל הצעה לקתדרה ב-Technische Hochschule München (בית הספר הטכני הגבוה במינכן) בשנת 1875. שם הוא ואלכסנדר פון בריל לימדו קורסים מתקדמים לסטודנטים מצוינים רבים, ביניהם אדולף הורוויץ, ולטר פון דיק, קרל רון, קרל רונגה, מקס פלאנק, לואיג'י ביאנקי וגרגוריו ריצ'י-קורבסטרו.
בשנת 1875 נישא קליין לאנה הגל, נכדתו של הפילוסוף גאורג וילהלם פרידריך הגל.
לאחר שבילה חמש שנים בבית הספר הטכני הגבוה, מונה קליין לקתדרה לגאומטריה באוניברסיטת לייפציג. עמיתיו כללו את ולטר פון דיק, רון, אדוארד שטודי ופרידריך אנגל. שנותיו של קליין בלייפציג, 1880 עד 1886, שינו את חייו מן היסוד. ב-1882 בריאותו התדרדרה והוא נאבק בדיכאון במשך השנתיים הבאות. אף על פי כן, מחקרו נמשך; עבודתו המכוננת על פונקציות סיגמא היפר-אליפטיות, שפורסמה בין 1886 ל-1888, מתוארכת לתקופה זו.
קליין קיבל קתדרה באוניברסיטת גטינגן בשנת 1886. מאז ועד פרישתו ב-1913, הוא ביקש לבסס מחדש את גטינגן כמרכז המחקר המתמטי המוביל בעולם. עם זאת, הוא מעולם לא הצליח להעביר מלייפציג לגטינגן את תפקידו המוביל כמפתח הגאומטריה. הוא לימד מגוון קורסים בגטינגן, בעיקר בנושאים שבין מתמטיקה לפיזיקה, ובפרט מכניקה ותורת הפוטנציאל.
מתקן המחקר שהקים קליין בגטינגן שימש מודל למתקנים הטובים מסוגו ברחבי העולם. הוא הנהיג פגישות דיון שבועיות ויצר חדר קריאה וספרייה מתמטיים. בשנת 1895 גייס קליין את דויד הילברט מאוניברסיטת קניגסברג. מינוי זה התברר כחשוב מאוד; הילברט המשיך לחזק את עליונותה של גטינגן במתמטיקה עד לפרישתו שלו ב-1932. קליין והילברט הזמינו יחד את אמי נתר לגטינגן ב-1915, שם היא הציגה לאיינשטיין את תורת החבורות ואת הקשר בין סימטריות לעקרונות שימור.
תחת עריכתו של קליין, הפך ה-Mathematische Annalen לאחד מכתבי העת המתמטיים הטובים בעולם. הוא נוסד על ידי קלבש וגדל תחת ניהולו של קליין כדי להתחרות ב-Crelle's Journal (כתב העת של קרל) שמושבו באוניברסיטת ברלין, ובסופו של דבר אף לעקוף אותו. קליין הקים צוות קטן של עורכים שנפגשו בקביעות וקיבלו החלטות ברוח דמוקרטית. בתחילה התמחה כתב העת בניתוח מרוכב, גאומטריה אלגברית ותורת האינווריאנטים. הוא סיפק גם אפיק חשוב לניתוח ממשי ולתורת החבורות החדשה.
בשנת 1893 היה קליין דובר מרכזי בקונגרס המתמטי הבין-לאומי שנערך בשיקגו כחלק מהתערוכה העולמית של קולומביה. בחלקו בשל מאמציו של קליין, החלה גטינגן לקבל נשים בשנת 1893. הוא הנחה את עבודת הדוקטורט הראשונה במתמטיקה שנכתבה בגטינגן על ידי אישה, גרייס צ'ישולם יאנג, סטודנטית אנגלייה של ארתור קיילי, שאותו העריץ קליין. בשנת 1897 הפך קליין לחבר חוץ באקדמיה המלכותית ההולנדית לאמנויות ולמדעים.
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →בסביבות שנת 1900 החל קליין להתעניין בהוראת המתמטיקה בבתי הספר. בשנת 1905 הוא מילא תפקיד מכריע בגיבוש תוכנית שהמליצה ללמד גאומטריה אנליטית, יסודות החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי ומושג הפונקציה בבתי הספר התיכוניים. המלצה זו יושמה בהדרגה במדינות רבות ברחבי העולם. בשנת 1908 נבחר קליין לנשיא הוועדה הבין-לאומית להוראת המתמטיקה בקונגרס המתמטיקאים הבין-לאומי ברומא. בהנחייתו פרסם החלק הגרמני של הוועדה כרכים רבים על הוראת המתמטיקה בכל הרמות בגרמניה. בשנת 1892 העניקה האגודה הספרותית והפילוסופית של מנצ'סטר לקליין חברות כבוד באגודה. האגודה המתמטית של לונדון העניקה לקליין את מדליית דה מורגן שלה ב-1893. הוא נבחר לחבר בחברה המלכותית ב-1885, ובשנת 1912 הוענקה לו מדליית קופלי. הוא פרש בשנה שלאחר מכן עקב בריאות לקויה, אך המשיך ללמד מתמטיקה בביתו במשך כמה שנים נוספות.
קליין היה אחד מ-93 החותמים על "מניפסט ה-93", מסמך שנכתב בתמיכה בפלישה הגרמנית לבלגיה בשלבים המוקדמים של מלחמת העולם הראשונה.
הוא מת בגטינגן בשנת 1925.
עבודה
הדיסרטציה של קליין, על גאומטריה של ישרים ויישומיה למכניקה, סיווגה מרוכבי ישרים מדרגה שנייה באמצעות התאוריה של ויירשטראס על מחלקים אלמנטריים.
התגליות המתמטיות החשובות הראשונות של קליין נעשו בשנת 1870. בשיתוף פעולה עם סופוס לי (Sophus Lie), הוא גילה את התכונות הבסיסיות של הקווים האסימפטוטיים על משטח קומר. מאוחר יותר הם חקרו עקומות W, עקומות אינווריאנטיות תחת חבורה של טרנספורמציות פרויקטיביות. היה זה לי שהכיר לקליין את מושג החבורה, שהיה אמור למלא תפקיד מרכזי בעבודתו המאוחרת. קליין למד על חבורות גם מקאמי ז'ורדן.
קליין הגה את "בקבוק קליין" הקרוי על שמו, משטח סגור חד-צדדי שלא ניתן להטמיע במרחב אוקלידי תלת-ממדי, אך ניתן לשקע אותו כגליל שמתלפף חזרה דרך עצמו כדי להתחבר לקצהו השני מ"הפנים". ניתן להטמיע אותו במרחב אוקלידי מממד 4 ומעלה. הרעיון של בקבוק קליין נהגה כרצועת מביוס תלת-ממדית, כאשר שיטה אחת לבנייתו היא חיבור הקצוות של שתי רצועות מביוס.
במהלך שנות ה-90 של המאה ה-19 החל קליין ללמוד פיזיקה מתמטית באופן אינטנסיבי יותר, וכתב על הגירוסקופ עם ארנולד זומרפלד. בשנת 1894 הוא יזם את הרעיון של אנציקלופדיה למתמטיקה הכוללת את יישומיה, שהפכה ל-Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften (אנציקלופדיה למדעי המתמטיקה). מיזם זה, שנמשך עד 1935, סיפק מקור עזר סטנדרטי חשוב בעל ערך מתמשך.
### תוכנית ארלנגן
בשנת 1871, בעת שהותו בגטינגן, ביצע קליין תגליות מרכזיות בגאומטריה. הוא פרסם שני מאמרים שכותרתם "על הגאומטריה הלא-אוקלידית כביכול", המראים כי ניתן להתייחס לגאומטריות אוקלידיות ולא-אוקלידיות כאל מרחבים מטריים שנקבעים על ידי מטריקת קיילי-קליין. לתובנה זו הייתה המסקנה שהגאומטריה הלא-אוקלידית עקבית אם ורק אם הגאומטריה האוקלידית עקבית, מה שהעניק מעמד שווה לגאומטריות אוקלידיות ולא-אוקלידיות וסיים את כל המחלוקות לגבי הגאומטריה הלא-אוקלידית. ארתור קיילי מעולם לא קיבל את הטיעון של קליין, מתוך אמונה שהוא מעגלי.
הסינתזה של קליין לגאומטריה כחקר התכונות של מרחב שהן אינווריאנטיות תחת חבורה נתונה של טרנספורמציות, הידועה כ"תוכנית ארלנגן" (1872), השפיעה עמוקות על התפתחות המתמטיקה. תוכנית זו הושקה בהרצאת הבכורה של קליין כפרופסור בארלנגן, אם כי זה לא היה הנאום הממשי שנשא באותה הזדמנות. התוכנית הציעה מערכת מאוחדת של גאומטריה שהפכה לשיטה המודרנית המקובלת. קליין הראה כיצד ניתן לייצג את התכונות המהותיות של גאומטריה נתונה על ידי חבורת הטרנספורמציות המשמרות תכונות אלו. לפיכך, הגדרת הגאומטריה של התוכנית הקיפה הן את הגאומטריה האוקלידית והן את הלא-אוקלידית.
כיום, חשיבות תרומותיו של קליין לגאומטריה ברורה. הן הפכו לחלק כה אינטגרלי מהחשיבה המתמטית, עד שקשה להעריך את החידוש שבהן כאשר הוצגו לראשונה, ולהבין את העובדה שהן לא התקבלו מיד על ידי כל בני דורו.
### ניתוח מרוכב
קליין ראה בעבודתו על ניתוח מרוכב את תרומתו העיקרית למתמטיקה, ובאופן ספציפי בעבודתו על:
הקשר בין רעיונות מסוימים של רימן לתורת האינווריאנטים,
- גאומטריה בממדים גדולים מ-3 ומשוואות דיפרנציאליות, ובמיוחד משוואות שהוא המציא, שפונקציות מודולריות אליפטיות ופונקציות אוטו-מורפיות מספקות.
קליין הראה שהחבורה המודולרית מזיזה את התחום היסודי של המישור המרוכב כך שהיא יוצרת ריצוף של המישור. בשנת 1879 הוא בחן את הפעולה של PSL(2,7), שנחשבת לתמונה של החבורה המודולרית, וקיבל ייצוג מפורש של משטח רימן המכונה כיום ה"קוורטיקה של קליין". הוא הראה שמדובר בעקומה מרוכבת במרחב פרויקטיבי, שהמשוואה שלה היא xy + yz + zx = 0, ושהיא בעלת חבורת סימטריות PSL(2,7) מסדר 168. ספרו Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale (על התאוריה של רימן לפונקציות אלגבריות והאינטגרלים שלהן, 1882) מטפל בניתוח מרוכב בדרך גאומטרית, תוך קישור בין תורת הפוטנציאל להעתקות קונפורמיות. עבודה זו התבססה על מושגים מדינמיקה של זורמים.
קליין בחן משוואות ממעלה גדולה מ-4, והתעניין במיוחד בשימוש בשיטות טרנסצנדנטיות לפתרון המשוואה הכללית ממעלה חמישית. בהתבסס על שיטות של שארל הרמיט ולאופולד קרונקר, הוא הפיק תוצאות דומות לאלו של בריוסקי, ולאחר מכן פתר את הבעיה לחלוטין באמצעות חבורת האיקוסהדרון. עבודה זו אפשרה לו לכתוב סדרת מאמרים על פונקציות מודולריות אליפטיות.
בספרו משנת 1884 על האיקוסהדרון, ביסס קליין תאוריה של פונקציות אוטו-מורפיות, תוך חיבור בין אלגברה לגאומטריה. פואנקרה פרסם מתווה לתאוריית הפונקציות האוטו-מורפיות שלו ב-1881, מה שהוביל ליריבות ידידותית בין השניים. שניהם ביקשו להגדיר ולהוכיח משפט אוניפורמיזציה גדול שיבסס את התאוריה החדשה בצורה מלאה יותר. קליין הצליח לנסח משפט כזה ולתאר אסטרטגיה להוכחתו. הוא העלה את ההוכחה שלו במהלך התקף אסתמה בשעה 2:30 לפנות בוקר ב-23 במרץ 1882.
קליין סיכם את עבודתו על פונקציות אוטו-מורפיות ופונקציות מודולריות אליפטיות בחיבור בן ארבעה כרכים, שנכתב עם רוברט פריקה במשך תקופה של כ-20 שנה.