ברנהרד רימן: בנו של הכומר שעיצב מחדש את המרחב
בגיל שש-עשרה, בנו הביישן של כומר מהאנובר הכפרית קיבל לידיו את חיבורו בן 859 העמודים של אדריאן-מארי לז'נדר (Adrien-Marie Legendre) על תורת המספרים, אחד מספרי המתמטיקה הדחוסים ביותר בתקופתו. הוא החזיר אותו כעבור שישה ימים ואמר למורו: "זה היה ספר נפלא! שלטתי בו". הוא אכן שלט בו. ברנהרד רימן יבלה את עשרים ושלוש השנים הבאות – הוא מת בגיל שלושים ותשע – בכתיבה מחדש של יסודות הגאומטריה, החשבון האינפיניטסימלי ותורת המספרים, כשהוא מותיר אחריו רעיונות לא גמורים שפיזיקאים ומתמטיקאים עדיין עובדים עליהם יותר מ-150 שנה לאחר מכן.
משק בית של כומר עני
גאורג פרידריך ברנהרד רימן נולד ב-17 בספטמבר 1826, בברזלנץ (Breselenz) שבממלכת הנובר, השני מבין שישה ילדים של כומר לותרני, פרידריך ברנהרד רימן, ואשתו שרלוטה אבּל (Charlotte Ebell). המשפחה חיה קרוב לעוני, ושחפת הייתה איום מתמיד בבית – מחלה שבסופו של דבר תהרוג את רימן עצמו וכמה מאחיו. הוא חונך ברובו בחינוך ביתי על ידי אביו לפני שהחלה הוראה פורמלית; מורה מקומי בשם שולץ לימד אותו חשבון וגאומטריה בגיל עשר, אך רימן הקדים אותו כמעט מיד. מאוחר יותר הוא למד בגימנסיה בהנובר ולאחר מכן בלינבורג, קרוב יותר לבית, שם מורה בשם שמאלפוס זיהה את כישרונו והשאיל לו טקסטים מתקדמים של אוילר (Euler) ולז'נדר – את כרך לז'נדר הוא למד בפחות משבוע.
מתאולוגיה למתמטיקה
רימן נכנס לאוניברסיטת גטינגן באביב 1846, בגיל תשע-עשרה, מתוך כוונה ללמוד תאולוגיה ופילולוגיה כדי ללכת בעקבות אביו לכמורה. הוא נכח בהרצאות של קרל פרידריך גאוס (Carl Friedrich Gauss), שהיה אז כמעט בן שבעים והמתמטיקאי הבולט ביותר באירופה, ועד מהרה קיבל את רשות אביו להחליף תחום לחלוטין. מכיוון שמצא את תוכנית הלימודים של גטינגן מוגבלת, הוא עבר לברלין בין השנים 1847–1849, שם למד אצל קרל יעקובי (Carl Jacobi), פטר גוסטב לז'ן דיריכלה (Peter Gustav Lejeune Dirichlet) וגוטהולד אייזנשטיין (Gotthold Eisenstein), ועבד כעוזר פיזיקה של וילהלם ובר (Wilhelm Weber). דיריכלה בפרט הפך למנטור העיקרי שלו. רימן חזר לגטינגן וסיים את הדוקטורט שלו בדצמבר 1851, בגיל עשרים וחמש, עם דיסרטציה על תורת הפונקציות המרוכבות שהציגה מיפוי קונפורמי ואת המושג של קשירות פשוטה – עבודה שגאוס, שהיה ידוע כקמצן בשבחים, תיאר ככזו שמפגינה "מוח מתמטי יצירתי, פעיל ומקורי להפליא".
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →ההרצאה שחזתה מרחב עקום
בשנת 1854, כדי להסמיך כמרצה ללא שכר, נשא רימן הרצאת מבחן שכותרתה "על ההשערות העומדות ביסוד הגאומטריה". בה הוא הכללי את הגאומטריה מעבר למרחב האוקלידי השטוח והתלת-ממדי שכולם הניחו שהוא פשוט האופן שבו המרחב עובד, והציע שניתן לתאר את המרחב בכל מספר של ממדים ושהוא עצמו יכול להיות עקום – משתנה מנקודה לנקודה במקום להיות שטוח באופן אחיד. המסגרת שבנה, הנקראת כיום גאומטריה רימנית, נותרה ללא שימוש בפיזיקה במשך שישים שנה עד שאלברט איינשטיין נזקק בדיוק למתמטיקה זו כדי לנסח את תורת היחסות הכללית ב-1915, תוך שימוש במרחב עקום כדי לתאר את כוח הכבידה עצמו. באותה תקופה הפיק רימן את ההגדרה הריגורוזית הראשונה לאינטגרל של פונקציה, הנלמדת עדיין לסטודנטים לחשבון אינפיניטסימלי כאינטגרל רימן, ועבודתו מ-1853 על טורי פורייה פתרה שאלות יסודיות ארוכות שנים לגבי מתי טורים כאלה מייצגים למעשה את הפונקציות שמהן הם בנויים.
ההשערה שהותיר לא פתורה
בשנת 1859, לאחר שמונה ליורשו של דיריכלה כפרופסור בגטינגן, פרסם רימן מאמר בן שמונה עמודים המקשר בין התפלגות המספרים הראשוניים לפונקציה של מספרים מרוכבים הנקראת כיום פונקציית זטא של רימן. בתוכו הוא שיער שכל האפסים הלא-טריוויאליים של הפונקציה חולקים חלק ממשי ספציפי של חצי – טענה הידועה כיום כהשערת רימן. הוא מעולם לא סיפק הוכחה ריגורוזית, וכתב בזמנו שהוכחה "נראית מיותרת למטרה המיידית של מחקרי". השערה זו נחשבת כיום לבעיה הלא-פתורה החשובה ביותר במתמטיקה; מכון קליי למתמטיקה הציע פרס של מיליון דולר עבור הוכחה או הפרכה, והיא נותרה ללא דורש יותר מ-165 שנים לאחר מכן.
חיים שבירים ומסוגרים
רימן היה על פי רוב הדיווחים מופנם, ביישן בצורה כואבת, וחשש מדיבור בפני קהל, ואולמות ההרצאות שלו בגטינגן היו לרוב דלילים; על פי הדיווחים הוא דאג, בטעות, שעמיתיו אינם מחבבים אותו. בשנת 1857 הוא סבל מהתקף דיכאון חמור מספיק עד שעמיתו ריכרד דדקינד (Richard Dedekind) ליווה אותו בטיולים בהרי ההארץ כדי לעזור לו להחלים. בריאותו, שהייתה חלשה מילדות, הידרדרה עוד יותר לאחר שנישא לאליזה קוך (Elise Koch) ב-1862; בתוך חודש מהחתונה הוא פיתח דלקת קרום הריאה, ככל הנראה קשורה לשחפת שבסופו של דבר תהרוג אותו. בתם, אידה, נולדה ב-1863, בפיזה, לשם נסע רימן בחיפוש אחר אקלים מתון יותר לריאותיו.
מדוע ברנהרד מכונה גאון
גאונותו של רימן טמונה ביכולת יוצאת דופן לנטוש הנחות ירושות לחלוטין – לא לשאול כיצד פועלת הגאומטריה במסגרת של אוקלידס, אלא מה יכולה להיות גאומטריה אם אותה מסגרת הייתה רק אפשרות אחת מני רבות, שאלה שכמעט אף אחד אחר ב-1854 לא חשב לשאול ברצינות. הערכתו הכתובה של גאוס עצמו על עבודת הדוקטורט שלו, ששיבחה את "מקוריותו הפורייה להפליא", הגיעה ממתמטיקאי שלעיתים רחוקות הציע שבחים כאלה למישהו. העדות הברורה ביותר להיקף הגאונות הזו היא כמה זמן לקח לשאר המדע להדביק את הפער: הגאומטריה שלו המתינה שישים שנה עד שאיינשטיין יזדקק לה, והשערתו לגבי מספרים ראשוניים שרדה כעת מאה וחמישים שנה של ניסיונות מצד טובי המתמטיקאים החיים להוכיח אותה. הסיבוך הכנה הוא שרימן עצמו הותיר כמות עצומה של עבודה לא גמורה או בקושי משורטטת – מאמר פונקציית הזטא שהוליד את השערתו היה באורך שמונה עמודים ולא הציע שום הוכחה, ורבים ממחקריו ששרדו היו קיימים רק בשברים, שחלקם הושמדו על ידי מנקה לאחר מותו שלא זיהה את ערכם. גאונותו הפיקה שאלות בעומק יוצא דופן לעיתים קרובות יותר מאשר הפיקה תשובות סופיות.
מורשת
רימן מת ב-20 ביולי 1866, בגיל שלושים ותשע, משחפת, בכפר האיטלקי סלאסקה (Selasca), כשהוא על פי הדיווחים עובד על מתמטיקה מתחת לעץ תאנה בימיו האחרונים. דדקינד אסף ופרסם את מאמריו ששרדו ב-1868. הגאומטריה שהמציא למען עצמה הפכה, שני דורות לאחר מכן, לשפה המתמטית של עקמומיות היקום, וההשערה שהניח בצד כמיותרת למטרותיו הפכה לבעיה שכל תחום עדיין מודד את עצמו לפיה.