פטר גוסטב לז'ן דיריכלה
יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet; 13 בפברואר 1805 – 5 במאי 1859) היה מתמטיקאי גרמני. בתורת המספרים, הוא הוכיח מקרים פרטיים של המשפט האחרון של פרמה וייסד את תורת המספרים האנליטית. באנליזה, הוא קידם את תורת טורי פורייה והיה מראשוני המנסחים של ההגדרה הפורמלית המודרנית של פונקציה. בפיזיקה מתמטית, הוא חקר את תורת הפוטנציאל, בעיות ערכי שפה, דיפוזיה של חום והידרודינמיקה.
אף ששם משפחתו הוא לז'ן דיריכלה, הוא מכונה לעיתים קרובות בשם דיריכלה בלבד, במיוחד בהקשר של תוצאות הקרויות על שמו.
ביוגרפיה
### חיים מוקדמים (1805–1822)
גוסטב לז'ן דיריכלה נולד ב-13 בפברואר 1805 בדירן (Düren), עיר על הגדה השמאלית של הריין שהייתה באותה עת חלק מהקיסרות הצרפתית הראשונה, ושבה לפרוסיה לאחר קונגרס וינה ב-1815. אביו, יוהאן ארנולד לז'ן דיריכלה, היה מנהל הדואר, סוחר וחבר מועצת העיר. סבו מצד אביו הגיע לדירן מרישל (Richelle), קהילה קטנה כ-5 ק"מ מצפון-מזרח לליאז' בבלגיה, שממנה נגזר שם משפחתו "לז'ן דיריכלה" (בצרפתית: "הצעיר מרישל").
אף שמשפחתו לא הייתה עשירה והוא היה הצעיר מבין שבעה ילדים, הוריו תמכו בחינוכו. הם רשמו אותו לבית ספר יסודי ולאחר מכן לבית ספר פרטי בתקווה שיהפוך לימים לסוחר. דיריכלה הצעיר, שהפגין עניין רב במתמטיקה לפני גיל 12, שכנע את הוריו לאפשר לו להמשיך בלימודיו. בשנת 1817 הם שלחו אותו לגימנסיה בבון (Gymnasium Bonn) תחת השגחתו של פטר יוזף אלבניך, סטודנט שהמשפחה הכירה. בשנת 1820 עבר דיריכלה לגימנסיה הישועית בקלן, שם שיעוריו אצל גאורג אוהם סייעו להרחיב את ידיעותיו במתמטיקה. הוא עזב את הגימנסיה כעבור שנה עם תעודה בלבד, שכן חוסר יכולתו לדבר לטינית שוטפת מנע ממנו את קבלת תעודת הבגרות (Abitur).
### לימודים בפריז (1822–1826)
דיריכלה שכנע שוב את הוריו לספק תמיכה כספית נוספת ללימודי המתמטיקה שלו, בניגוד לרצונם שיפנה לקריירה משפטית. מכיוון שבגרמניה היו מעט הזדמנויות ללימודי מתמטיקה גבוהה באותה עת, כאשר רק גאוס באוניברסיטת גטינגן החזיק במשרה רשמית של פרופסור לאסטרונומיה וגם כך לא אהב ללמד, החליט דיריכלה לנסוע לפריז במאי 1822. שם השתתף בשיעורים בקולז' דה פראנס ובאוניברסיטת פריז, למד מתמטיקה מאשֶט ואחרים, תוך לימוד עצמי של הספר "מחקרים אריתמטיים" (Disquisitiones Arithmeticae) של גאוס, ספר שליווה אותו כל חייו. ב-1823 קיבל המלצה לגנרל מקסימיליאן פואה, ששכר אותו כמורה פרטי ללמד את ילדיו גרמנית, מה שאפשר לדיריכלה סוף סוף להשתחרר מהתלות הכלכלית בהוריו.
מחקרו המקורי הראשון, שכלל חלק מהוכחה למקרה n=5 במשפט האחרון של פרמה, הביא לו פרסום מיידי, שכן היה זה הצעד הראשון במשפט מאז ההוכחה של פרמה למקרה n=4 והוכחת אוילר למקרה n=3. אדריאן-מארי לז'נדר, אחד השופטים, השלים זמן קצר לאחר מכן את ההוכחה למקרה זה; דיריכלה השלים הוכחה משלו זמן קצר אחרי לז'נדר, וכעבור שנים ספורות הפיק הוכחה מלאה למקרה n=14. ביוני 1825 התקבל להרצות על הוכחתו החלקית למקרה n=5 באקדמיה הצרפתית למדעים, הישג יוצא דופן לסטודנט בן 20 ללא תואר. הרצאתו באקדמיה גם קשרה את דיריכלה בקשרים קרובים עם פורייה ופואסון, שעוררו את התעניינותו בפיזיקה תאורטית, ובמיוחד בתאוריה האנליטית של החום של פורייה.
### חזרה לפרוסיה, ברסלאו (1825–1828)
כאשר מת הגנרל פואה בנובמבר 1825 ולא ניתן היה למצוא משרה בשכר בצרפת, נאלץ דיריכלה לשוב לפרוסיה. פורייה ופואסון הציגו אותו בפני אלכסנדר פון הומבולדט, שנקרא להצטרף לחצרו של המלך פרידריך וילהלם השלישי. הומבולדט, שתכנן להפוך את ברלין למרכז מדע ומחקר, הציע מיד את עזרתו לדיריכלה, ושלח מכתבי המלצה לממשלה הפרוסית ולאקדמיה הפרוסית למדעים. הומבולדט גם השיג מכתב המלצה מגאוס, שלאחר קריאת זיכרונותיו של דיריכלה על משפט פרמה כתב בשבח חריג כי "דיריכלה הפגין כישרון מצוין". בתמיכת הומבולדט וגאוס, הוצע לדיריכלה משרת הוראה באוניברסיטת ברסלאו. עם זאת, מכיוון שלא הגיש דוקטורט, הגיש את מחקרו על משפט פרמה כתזה לאוניברסיטת בון. שוב, חוסר שליטתו בלטינית מנע ממנו לערוך את הוויכוח הציבורי הנדרש; לאחר דיונים רבים, החליטה האוניברסיטה לעקוף את הבעיה על ידי הענקת תואר דוקטור לשם כבוד בפברואר 1827. כמו כן, שר החינוך העניק לו פטור מהוויכוח בלטינית הנדרש עבור ההביליטציה. דיריכלה קיבל את ההביליטציה והרצה בשנת הלימודים 1827–1828 כמרצה פרטי (Privatdozent) בברסלאו.
במהלך שהותו בברסלאו המשיך דיריכלה במחקריו בתורת המספרים, ופרסם תרומות חשובות לחוק ההדדיות הדו-ריבועית, שהיה באותה עת מוקד מחקרו של גאוס. אלכסנדר פון הומבולדט ניצל תוצאות חדשות אלו, שזכו לשבח נלהב גם מצד פרידריך בסל, כדי לארגן עבורו את המעבר המבוקש לברלין. בשל גילו הצעיר (הוא היה בן 23 באותה עת), הומבולדט הצליח להשיג לו רק משרת ניסיון באקדמיה הצבאית הפרוסית בברלין, תוך שהוא נשאר מועסק רשמית על ידי אוניברסיטת ברסלאו. תקופת הניסיון הוארכה לשלוש שנים עד שהמשרה הפכה לקבועה ב-1831.
### נישואין לרבקה מנדלסון
לאחר מעברו של דיריכלה לברלין, הציג אותו הומבולדט בסלונים הגדולים שניהלו הבנקאי אברהם מנדלסון ברתולדי ומשפחתו. ביתם היווה נקודת מפגש שבועית לאמנים ומדענים בברלין, כולל ילדיו של אברהם, פליקס ופאני מנדלסון, שניהם מוזיקאים יוצאי דופן, והצייר וילהלם הנזל (בעלה של פאני). דיריכלה גילה עניין רב בבתם השנייה של אברהם, רבקה, לה נישא ב-1832.
רבקה הנרייטה לז'ן דיריכלה (נולדה כרבקה מנדלסון; 11 באפריל 1811 – 1 בדצמבר 1858) הייתה נכדתו של משה מנדלסון ואחותם הצעירה של פליקס מנדלסון ופאני מנדלסון. רבקה נולדה בהמבורג. בשנת 1816 דאגו הוריה להטבילה לנצרות, אז קיבלה את השמות רבקה הנרייטה מנדלסון ברתולדי. היא הפכה לחלק מהסלון החשוב של הוריה, אברהם מנדלסון ואשתו לאה, וקיימה קשרים חברתיים עם מוזיקאים, אמנים ומדענים חשובים בתקופה יצירתית ביותר בחיי האינטלקטואלים הגרמניים. בשנת 1829 שרה תפקיד קטן בבכורה של הזינגשפיל "השיבה מהנכר" (Die Heimkehr aus der Fremde) של פליקס, שנערך בבית משפחת מנדלסון. מאוחר יותר כתבה:
> אחי ואחותי הגדולים גנבו ממני את המוניטין כאמנית. בכל משפחה אחרת הייתי נחשבת מאוד כמוזיקאית ואולי עומדת בראש קבוצה. לצד פליקס ופאני, לא יכולתי לשאוף לשום הכרה.
בשנת 1832 נישאה לדיריכלה, שהוצג בפני משפחת מנדלסון על ידי אלכסנדר פון הומבולדט. ב-1833 נולד בנם הבכור, ולטר. היא נפטרה בגטינגן ב-1858.
### ברלין (1826–1855)
מיד עם בואו לברלין, ביקש דיריכלה להרצות באוניברסיטת ברלין, ושר החינוך אישר את ההעברה וב-1831 שייך אותו לפקולטה לפילוסופיה. הפקולטה דרשה ממנו לעבור הסמכת הביליטציה מחודשת, ואף על פי שדיריכלה כתב תזה כנדרש, הוא דחה את מסירת ההרצאה המחייבת בלטינית במשך 20 שנה נוספות, עד 1851. כיוון שלא השלים דרישה פורמלית זו, נותר קשור לפקולטה עם זכויות חלקיות בלבד, כולל שכר מוגבל, מה שאילץ אותו להמשיך במקביל במשרת ההוראה שלו בבית הספר הצבאי. ב-1832 הפך דיריכלה לחבר באקדמיה הפרוסית למדעים, כשהוא החבר הצעיר ביותר בגיל 27 בלבד.
דיריכלה נהנה ממוניטין טוב בקרב הסטודנטים בשל הבהירות של הסבריו ונהנה מהוראה, במיוחד מכיוון שהרצאותיו באוניברסיטה נטו לעסוק בנושאים מתקדמים יותר שבהם עסק במחקריו: תורת המספרים (הוא היה הפרופסור הגרמני הראשון שהרצה על תורת המספרים), אנליזה ופיזיקה מתמטית. הוא הדריך את עבודות הדוקטורט של כמה מתמטיקאים גרמנים חשובים, כגון גוטהולד אייזנשטיין, ליאופולד קרונקר, רודולף ליפשיץ וקרל וילהלם בורכרדט, והיה בעל השפעה רבה על ההכשרה המתמטית של מדענים רבים אחרים, בהם אלווין ברונו כריסטופל, וילהלם ובר, אדוארד היינה, לודוויג פון זיידל ויוליוס ויינגרטן. באקדמיה הצבאית הצליח דיריכלה להכניס לתוכנית הלימודים את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, ובכך העלה את רמת ההשכלה המדעית שם. עם זאת, הוא החל להרגיש בהדרגה שעומס ההוראה הכפול שלו באקדמיה הצבאית ובאוניברסיטה מגביל את הזמן העומד לרשותו למחקר.
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →בעת שהותו בברלין, שמר דיריכלה על קשר עם מתמטיקאים אחרים. בשנת 1829, במהלך טיול, פגש את קרל יעקובי, שהיה אז פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת קניגסברג. עם השנים הם המשיכו להיפגש ולהתכתב בנושאי מחקר, והפכו לידידים קרובים. בשנת 1839, במהלך ביקור בפריז, פגש דיריכלה את ז'וזף ליוביל; שני המתמטיקאים הפכו לידידים, שמרו על קשר ואף ביקרו זה את זה עם משפחותיהם כעבור שנים אחדות. ב-1839 שלח יעקובי לדיריכלה מאמר מאת ארנסט קומר, שהיה אז מורה בבית ספר. משהבינו את הפוטנציאל של קומר, הם סייעו לו להיבחר לאקדמיה בברלין, וב-1842 השיגו עבורו משרה של פרופסור מן המניין באוניברסיטת ברסלאו. ב-1840 נישא קומר לאוטילייה מנדלסון, בת דודתה של רבקה.
בשנת 1843, כשחלה יעקובי, נסע דיריכלה לקניגסברג כדי לסייע לו, ולאחר מכן השיג עבורו את עזרתו של רופאו האישי של המלך פרידריך וילהלם הרביעי. כאשר המליץ הרופא שיעקובי ישהה זמן מה באיטליה, הצטרף אליו דיריכלה למסע יחד עם משפחתו. ליווה אותם לאיטליה לודוויג שלפלי, שהגיע כמתורגמן; כיוון שהתעניין מאוד במתמטיקה, הן דיריכלה והן יעקובי הרצו בפניו במהלך הטיול, ומאוחר יותר הוא הפך למתמטיקאי חשוב בעצמו. משפחת דיריכלה האריכה את שהותה באיטליה עד 1845, ושם נולדה בתם פלורה. בשנת 1844 עבר יעקובי לברלין כפנסיונר מלכותי, וידידותם הפכה לקרובה עוד יותר. בשנת 1846, כאשר ניסתה אוניברסיטת היידלברג לגייס את דיריכלה, סיפק יעקובי להומבולדט את התמיכה הדרושה כדי להכפיל את שכרו של דיריכלה באוניברסיטה על מנת להשאירו בברלין; עם זאת, גם אז לא קיבל שכר של פרופסור מן המניין ולא יכול היה לעזוב את האקדמיה הצבאית.
בשל השקפותיו הליברליות, תמכו דיריכלה ומשפחתו במהפכת 1848; הוא אף שמר עם רובה על ארמונו של נסיך פרוסיה. לאחר כישלון המהפכה, נסגרה האקדמיה הצבאית זמנית, מה שגרם לו לאובדן הכנסה גדול. כאשר נפתחה מחדש, הסביבה הפכה עוינת יותר כלפיו, שכן הקצינים שלימד היו אמורים להיות נאמנים לממשל המכהן. חלק מהעיתונות שלא צידדה במהפכה הצביעה עליו, כמו גם על יעקובי ופרופסורים ליברלים אחרים, כ"המשמרת האדומה של הסגל".
בשנת 1849 השתתף דיריכלה, יחד עם ידידו יעקובי, ביובל הדוקטורט של גאוס.
### גטינגן (1855–1859)
למרות מומחיותו של דיריכלה והכבוד שזכה לו, ואף על פי שעד 1851 השלים סוף סוף את כל הדרישות הפורמליות לפרופסור מן המניין, נושא העלאת שכרו באוניברסיטה עדיין התנהל בעצלתיים והוא עדיין לא יכול היה לעזוב את האקדמיה הצבאית. בשנת 1855, עם מותו של גאוס, החליטה אוניברסיטת גטינגן לקרוא לדיריכלה כיורשו. לאור הקשיים שחווה בברלין, החליט לקבל את ההצעה ועבר מיד לגטינגן עם משפחתו. קומר נקרא למלא את מקומו כפרופסור למתמטיקה בברלין.
דיריכלה נהנה מזמנו בגטינגן, שכן עומס ההוראה הקל יותר אפשר לו זמן רב יותר למחקר והוא בא במגע קרוב עם הדור החדש של החוקרים, במיוחד ריכרד דדקינד וברנהרד רימן. לאחר המעבר לגטינגן הצליח להשיג מלגה שנתית קטנה עבור רימן כדי להשאירו בסגל ההוראה שם. דדקינד, רימן, מוריץ קנטור ואלפרד אנפר, אף שכבר קיבלו את הדוקטורט שלהם, השתתפו בשיעוריו של דיריכלה כדי ללמוד איתו. דדקינד, שהרגיש כי היו פערים בהשכלתו המתמטית, ראה בהזדמנות ללמוד אצל דיריכלה דבר שהפך אותו ל"אדם חדש". מאוחר יותר הוא ערך ופרסם את הרצאותיו של דיריכלה ותוצאות אחרות בתורת המספרים תחת הכותרת "הרצאות על תורת המספרים" (Vorlesungen über Zahlentheorie).
בקיץ 1858, במהלך טיול למונטרה, לקה דיריכלה בהתקף לב. ב-5 במאי 1859 מת בגטינגן, חודשים ספורים לאחר מות אשתו רבקה. מוחו של דיריכלה נשמר במחלקה לפיזיולוגיה באוניברסיטת גטינגן, יחד עם מוחו של גאוס. האקדמיה בברלין כיבדה אותו בנאום זיכרון רשמי שנשא קומר ב-1860, ומאוחר יותר הורתה על פרסום כתביו המקובצים בעריכת קרונקר ולזרוס פוקס.
מחקר במתמטיקה
### תורת המספרים
תורת המספרים הייתה תחום המחקר העיקרי של דיריכלה, תחום שבו גילה כמה תוצאות עמוקות ובהוכחתן הציג כמה כלים יסודיים, שרבים מהם נקראו מאוחר יותר על שמו. בשנת 1837 הוכיח דיריכלה את משפטו על סדרות חשבוניות באמצעות מושגים מאנליזה מתמטית כדי לפתור בעיה אלגברית, ובכך ייסד את ענף תורת המספרים האנליטית. בהוכחת המשפט הוא הציג את אופי דיריכלה ואת פונקציות L. במאמר זה הוא גם ציין את ההבדל בין התכנסות מוחלטת לתנאית של טורים ואת השפעתו על מה שנקרא מאוחר יותר משפט טורי רימן. בשנת 1841 הוא הכליל את משפט הסדרות החשבוניות שלו משלמים לחוג השלמים הגאוסיים
Z
[ i ]
{\displaystyle \mathbb {Z} }
.
בזוג מאמרים ב-1838 וב-1839 הוא הוכיח את נוסחת מחלקת המספרים הראשונה עבור תבניות ריבועיות (ששופרה מאוחר יותר על ידי תלמידו קרונקר). הנוסחה, שיעקובי כינה "תוצאה הנוגעת בשיא התבונה האנושית", סללה את הדרך לתוצאות דומות בנוגע לשדות מספרים כלליים יותר. בהתבסס על מחקרו על מבנה חבורת היחידות של שדות ריבועיים, הוא הוכיח את משפט היחידות של דיריכלה, תוצאה יסודית בתורת המספרים האלגברית.
הוא השתמש לראשונה בעקרון שובך היונים, טיעון ספירה בסיסי, בהוכחת משפט בקירוב דיופנטי, שנקרא מאוחר יותר על שמו "משפט הקירוב של דיריכלה". הוא פרסם תרומות חשובות למשפט האחרון של פרמה, שעבורו הוכיח את המקרים n=5 ו-n=14, ולחוק ההדדיות הדו-ריבועית. בעיית המחלקים של דיריכלה, שעבורה מצא את התוצאות הראשונות על ידי הצגת שיטת ההיפרבולה של דיריכלה, היא עדיין בעיה לא פתורה בתורת המספרים למרות תרומות מאוחרות של מתמטיקאים אחרים.
### אנליזה
בהשראת עבודתו של המנטור שלו בפריז, פרסם דיריכלה ב-1829 זיכרון מפורסם שנתן את התנאים והראה עבור אילו פונקציות מתקיימת ההתכנסות של טורי פורייה. לפני הפתרון של דיריכלה, לא רק פורייה, אלא גם פואסון וקושי ניסו ללא הצלחה למצוא הוכחה קפדנית להתכנסות. הזיכרון הצביע על טעותו של קושי והציג את מבחן דיריכלה להתכנסות טורים. הוא גם הציג את פונקציית דיריכלה כדוגמה לפונקציה שאינה אינטגרבילית (האינטגרל המסוים היה עדיין נושא מתפתח באותה עת) ובהוכחת המשפט לטורי פורייה הציג את גרעין דיריכלה ואת אינטגרל דיריכלה.
דיריכלה חקר גם את בעיית ערך השפה הראשונה עבור משוואת לפלס, כשהוא מוכיח את יחידות הפתרון; סוג זה של בעיה בתורת המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות נקרא מאוחר יותר "בעיית דיריכלה" על שמו. פונקציה המקיימת משוואה דיפרנציאלית חלקית הכפופה לתנאי שפת דיריכלה חייבת להיות בעלת ערכים קבועים על השפה. בהוכחה השתמש באופן בולט בעקרון לפיו הפתרון הוא הפונקציה הממזערת את מה שנקרא "אנרגיית דיריכלה". רימן כינה מאוחר יותר גישה זו "עקרון דיריכלה", אף שידע שהיא שימשה גם את גאוס ואת לורד קלווין.
### הצגת המושג המודרני של פונקציה
בעת שניסה להעריך את טווח הפונקציות שעבורן ניתן להראות התכנסות של טורי פורייה, הגדיר דיריכלה פונקציה על פי התכונה ש"לכל x מתאים y יחיד וסופי", אך לאחר מכן הגביל את תשומת ליבו לפונקציות רציפות למקוטעין. על סמך זאת, הוא נחשב למי שהציג את המושג המודרני של פונקציה, בניגוד להבנה המעורפלת הישנה של פונקציה כנוסחה אנליטית. אימרה לקטוש מצטט את הרמן האנקל כמקור מוקדם לייחוס זה, אך חולק על הטענה באומרו כי "ישנן הוכחות רבות לכך שלא היה לו מושג זה [...] למשל, כשהוא דן בפונקציות רציפות למקוטעין, הוא אומר שבנקודות אי-רציפות לפונקציה יש שני ערכים".
### תחומים אחרים
דיריכלה עסק גם בפיזיקה מתמטית, הרצה ופרסם מחקרים בתורת הפוטנציאל (כולל בעיית דיריכלה ועקרון דיריכלה שהוזכרו לעיל), תורת החום והידרודינמיקה. הוא שיפר את עבודתו של לגראנז' על מערכות משמרות על ידי הוכחה שהתנאי לשיווי משקל הוא שהאנרגיה הפוטנציאלית היא מינימלית.
דיריכלה הרצה גם על תורת ההסתברות ועל שיטת הריבועים הפחותים, כשהוא מציג כמה שיטות ותוצאות מקוריות, בפרט עבור משפטי גבול ושיפור של שיטת הקירוב של לפלס הקשורה למשפט הגבול המרכזי. התפלגות דיריכלה ותהליך דיריכלה, המבוססים על אינטגרל דיריכלה, קרויים על שמו.
תארים וכבוד
דיריכלה נבחר כחבר בכמה אקדמיות:
האקדמיה הפרוסית למדעים (1832)
- האקדמיה למדעים של סנקט פטרבורג (1833) – חבר מתכתב
- האקדמיה הצרפתית למדעים (1854) – חבר חוץ
- האקדמיה המלכותית השוודית למדעים (1854)
- האקדמיה המלכותית הבלגית למדעים (1855)
בשנת 1855 הוענקה לדיריכלה המדליה האזרחית של מסדר פור לה מריט (Pour le Mérite) בהמלצתו של אלכסנדר פון הומבולדט. המכתש דיריכלה על הירח והאסטרואיד 11665 דיריכלה קרויים על שמו.
פרסומים נבחרים
- לז'ן דיריכלה, י"פ ג'. (1889). ל' קרונקר (עורך). Werke. כרך 1. ברלין: ריימר.
- לז'ן דיריכלה, י"פ ג'. (1897). ל' קרונקר, ל' פוקס (עורכים). Werke. כרך 2. ברלין: ריימר.
- לז'ן דיריכלה, י"פ ג'; ריכרד דדקינד (1863). Vorlesungen über Zahlentheorie. פ' פיווג ובנו.
ביבליוגרפיה מלאה של עבודותיו שפורסמו של דיריכלה, כולל תרגומים שלהן והרצאות שלא נכללו ב-Werke, זמינה ב:
- מרצבך, אוטה סי. (2018). Dirichlet: A Mathematical Biography. שפרינגר. doi:10.1007/978-3-030-01073-7. ISBN 978-3-030-01071-3. MR 3887586. Zbl 1412.01003.