שאול קריפקי
שאול אהרון קריפקי (Saul Aaron Kripke; 13 בנובמבר 1940 – 15 בספטמבר 2022) היה פילוסוף ולוגיקן אמריקאי. הוא היה פרופסור מכובד לפילוסופיה במרכז הבוגרים של אוניברסיטת העיר ניו יורק ופרופסור אמריטוס באוניברסיטת פרינסטון. משנות ה-60 ועד מותו, הוא היה דמות מרכזית במספר תחומים הקשורים ללוגיקה מתמטית ומודאלית, פילוסופיה של הלשון והמתמטיקה, מטאפיזיקה, אפיסטמולוגיה ותורת הרקורסיה.
קריפקי תרם תרומות משפיעות ומקוריות ללוגיקה, ובעיקר ללוגיקה מודאלית. תרומתו העיקרית היא סמנטיקה ללוגיקה מודאלית הכוללת עולמות אפשריים, המכונה כיום סמנטיקה של קריפקי. הוא זכה בפרס שוק בלוגיקה ובפילוסופיה לשנת 2001.
קריפקי היה אחראי בחלקו גם לתחיית המטאפיזיקה והמהותנות לאחר דעיכת הפוזיטיביזם הלוגי, בטענה שהכרחיות היא מושג מטאפיזי הנבדל מהמושג האפיסטמי של אפריורי, ושישנן אמיתות הכרחיות הידועות כאפוסטריורי, כגון העובדה שמים הם H2O. סדרת הרצאות בפרינסטון משנת 1970, שפורסמה בצורת ספר בשנת 1980 תחת השם "שמות והכרח" (Naming and Necessity), נחשבת לאחת העבודות הפילוסופיות החשובות ביותר של המאה ה-20. היא הציגה את המושג של שמות כמצביעים קשיחים, המצביעים על (בוחרים, מסמנים, מתייחסים ל) אותו אובייקט בכל עולם אפשרי, בניגוד לתיאורים. היא גם ביססה את תיאוריית הייחוס הסיבתית של קריפקי, תוך ערעור על התיאוריה הדסקריפטיביסטית שנמצאה במושג המובן של גוטלוב פרגה (Gottlob Frege) ובתורת התיאורים של ברטראנד ראסל (Bertrand Russell). קריפקי נתפס לעתים קרובות כניגוד לפילוסוף הגדול האחר של סוף המאה ה-20 שדחה את הפוזיטיביזם הלוגי: וילארד ואן אורמאן קוויין (W. V. O. Quine). קוויין דחה את המהותנות ואת הלוגיקה המודאלית.
קריפקי הציע גם קריאה מקורית של לודוויג ויטגנשטיין (Ludwig Wittgenstein), הידועה בשם "קריפקינשטיין" (Kripkenstein), בספרו "ויטגנשטיין על כללים ושפה פרטית". הספר מכיל את הטיעון שלו על הליכה לפי כללים, פרדוקס עבור ספקנות בנוגע למשמעות. חלק ניכר מעבודתו נותר לא מפורסם או קיים רק כהקלטות וכתבי יד המופצים באופן פרטי.
ביוגרפיה
### חיים מוקדמים וחינוך
שאול קריפקי היה הבכור מבין שלושת ילדיהם של דורותי ק. קריפקי ומאייר ס. קריפקי. שאול ושתי אחיותיו, מדלן ונטה, למדו בבית הספר היסודי דנדי ובתיכון המרכזי של אומהה. קריפקי סומן כילד פלא; הוא לימד את עצמו עברית עתיקה עד גיל שש, קרא את כל יצירות שייקספיר עד גיל תשע, ושלט ביצירותיהם של דקארט ובבעיות מתמטיות מורכבות לפני שסיים את בית הספר היסודי.
### קריירה אקדמית
קריפקי כתב את משפט השלמות הראשון שלו בלוגיקה מודאלית בגיל 17, ופרסם אותו שנה לאחר מכן. לאחר שסיים את התיכון ב-1958, הוא למד באוניברסיטת הרווארד, וסיים בהצטיינות יתרה בשנת 1962 עם תואר ראשון במתמטיקה. במהלך שנת לימודיו השנייה בהרווארד, הוא לימד קורס לוגיקה ברמה מתקדמת ב-MIT הסמוכה. עם סיום לימודיו קיבל מלגת פולברייט, וב-1963 מונה לחבר באגודת החברים (Society of Fellows). קריפקי אמר מאוחר יותר: "הלוואי שהייתי יכול לוותר על הקולג'. הכרתי כמה אנשים מעניינים, אבל אני לא יכול לומר שלמדתי משהו. כנראה הייתי לומד הכל בכל מקרה בקריאה עצמאית". בן דודו הוא אריק קריפקי, תסריטאי ומפיק טלוויזיה.
לאחר שסיקה לזמן קצר בהרווארד, עבר קריפקי ב-1968 לאוניברסיטת רוקפלר בעיר ניו יורק, שם לימד עד 1976. ב-1978 הוא קיבל משרה של פרופסור מן המניין באוניברסיטת פרינסטון. ב-1988 קיבל את פרס בהרמן של האוניברסיטה על הישגים יוצאי דופן במדעי הרוח. בשנת 2002 החל קריפקי ללמד במרכז הבוגרים של CUNY, ובשנת 2003 מונה שם לפרופסור מכובד לפילוסופיה.
### מוות
קריפקי נפטר מסרטן הלבלב ב-15 בספטמבר 2022, בפליינסבורו, ניו ג'רזי, בגיל 81.
פילוסופיה
תרומותיו של קריפקי לפילוסופיה כוללות:
- סמנטיקה של קריפקי ללוגיקה מודאלית וקשורה, שפורסמה במספר מאמרים החל בנערותו.
- הרצאותיו בפרינסטון מ-1970 "שמות והכרח" (פורסמו ב-1972 וב-1980), אשר ארגנו מחדש את הפילוסופיה של הלשון.
הוא גם תרם לתורת הרקורסיה (ראו סודר קביל ותורת הקבוצות של קריפקי-פלטק).
### לוגיקה מודאלית
שתיים מעבודותיו המוקדמות של קריפקי, "משפט שלמות בלוגיקה מודאלית" (1959) ו"שיקולים סמנטיים על לוגיקה מודאלית" (1963), שהראשונה בהן נכתבה כשהיה נער, עסקו בלוגיקה מודאלית. הלוגיקות המוכרות ביותר במשפחה המודאלית בנויות מלוגיקה חלשה שנקראת K, על שם קריפקי. קריפקי הציג את הסמנטיקה הסטנדרטית כיום של קריפקי (הידועה גם כסמנטיקה יחסית או סמנטיקה של מסגרות) עבור לוגיקה מודאלית. סמנטיקה של קריפקי היא סמנטיקה פורמלית למערכות לוגיות לא קלאסיות. היא נוצרה תחילה עבור לוגיקה מודאלית, ומאוחר יותר הותאמה ללוגיקה אינטואיציוניסטית ולמערכות לא קלאסיות אחרות. גילוי הסמנטיקה של קריפקי היה פריצת דרך ביצירת לוגיקות לא קלאסיות, מכיוון שתורת המודלים של לוגיקות כאלה הייתה חסרה לפני קריפקי.
מסגרת של קריפקי (Kripke frame) או מסגרת מודאלית היא זוג
⟨ W , R ⟩
{\displaystyle \langle W,R\rangle }
, כאשר W היא קבוצה לא ריקה, ו-R הוא יחס בינארי על W. איברי W נקראים צמתים או עולמות, ו-R ידוע כקשר נגישות. בהתאם לתכונות של קשר הנגישות (טרנזיטיביות, רפלקסיביות וכו'), המסגרת המתאימה מתוארת, בהרחבה, כטרנזיטיבית, רפלקסיבית וכו'.
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →מודל של קריפקי הוא שלשה
⟨ W , R , ⊩ ⟩
{\displaystyle \langle W,R,\Vdash \rangle }
, כאשר
⟨ W , R ⟩
{\displaystyle \langle W,R\rangle }
היא מסגרת של קריפקי, ו-
⊩
{\displaystyle \Vdash }
הוא קשר בין צמתי W לנוסחאות מודאליות, כך ש:
w ⊩ ¬ A
{\displaystyle w\Vdash \neg A}
אם ורק אם
w ⊮ A
{\displaystyle w\nVdash A}
,
w ⊩ A → B
{\displaystyle w\Vdash A\to B}
אם ורק אם
w ⊮ A
{\displaystyle w\nVdash A}
או
w ⊩ B
{\displaystyle w\Vdash B}
,
w ⊩ ◻ A
{\displaystyle w\Vdash \Box A}
אם ורק אם
∀ u
( w
R
u
{\displaystyle \forall u\,(w\;R\;u}
גורר
u ⊩ A )
{\displaystyle u\Vdash A)}
.
אנו קוראים ל-
w ⊩ A
{\displaystyle w\Vdash A}
כ-"w מספק את A", "A מסופק ב-w", או "w מאלץ את A". הקשר
⊩
{\displaystyle \Vdash }
נקרא קשר הסיפוק, הערכה, או קשר אילוץ. קשר הסיפוק נקבע באופן ייחודי על ידי ערכו על משתנים פסוקיים.
נוסחה A היא תקפה ב:
⟨ W , R , ⊩ ⟩
{\displaystyle \langle W,R,\Vdash \rangle }
, אם
w ⊩ A
{\displaystyle w\Vdash A}
לכל w ∈ W,
⟨ W , R ⟩
{\displaystyle \langle W,R\rangle }
, אם היא תקפה ב-
⟨ W , R , ⊩ ⟩
{\displaystyle \langle W,R,\Vdash \rangle }
לכל בחירה אפשרית של
⊩
{\displaystyle \Vdash }
,
- מחלקה C של מסגרות או מודלים, אם היא תקפה בכל איבר של C.
אנו מגדירים את Thm(C) להיות קבוצת כל הנוסחאות שתקפות ב-C. לעומת זאת, אם X היא קבוצת נוסחאות, תהי Mod(X) מחלקת כל המסגרות המאמתות כל נוסחה מ-X.
לוגיקה מודאלית (כלומר, קבוצת נוסחאות) L היא נכונה ביחס למחלקה של מסגרות C, אם L ⊆ Thm(C). L היא שלמה ביחס ל-C אם L ⊇ Thm(C).
סמנטיקה שימושית לחקירת לוגיקה (כלומר, מערכת גזירה) רק אם קשר הנובעות הסמנטי משקף את המקבילה התחבירית שלה, קשר הנובעות (גזירות). חשוב לדעת אילו לוגיקות מודאליות הן נכונות ושלמות ביחס למחלקה של מסגרות קריפקי, ועבורן, לקבוע איזו מחלקה זו.
לכל מחלקה C של מסגרות קריפקי, Thm(C) היא לוגיקה מודאלית נורמלית (בפרט, משפטי הלוגיקה המודאלית הנורמלית המינימלית, K, תקפים בכל מודל של קריפקי). עם זאת, ההיפך אינו מתקיים בדרך כלל. ישנן לוגיקות מודאליות נורמליות לא שלמות של קריפקי, וזה לא בעייתי, כי רוב המערכות המודאליות שנחקרו הן שלמות ביחס למחלקות של מסגרות המתוארות על ידי תנאים פשוטים.
לוגיקה מודאלית נורמלית L מתאימה למחלקה של מסגרות C, אם C = Mod(L). במילים אחרות, C היא המחלקה הגדולה ביותר של מסגרות כך ש-L נכונה ביחס ל-C. נובע מכך ש-L היא שלמה במובן קריפקי אם ורק אם היא שלמה ביחס למחלקה המתאימה לה.
נבחן את הסכימה T :
◻ A → A
{\displaystyle \Box A\to A}
. T תקפה בכל מסגרת רפלקסיבית
⟨ W , R ⟩
{\displaystyle \langle W,R\rangle }
: אם
w ⊩ ◻ A
{\displaystyle w\Vdash \Box A}
, אזי
w ⊩ A
{\displaystyle w\Vdash A}
מאחר ש-w R w. מצד שני, מסגרת שמאמתת את T חייבת להיות רפלקסיבית: נקבע w ∈ W, ונגדיר סיפוק של משתנה פסוקי p באופן הבא:
u ⊩ p
{\displaystyle u\Vdash p}
אם ורק אם w R u. אזי
w ⊩ ◻ p
{\displaystyle w\Vdash \Box p}
, לפיכך
w ⊩ p
{\displaystyle w\Vdash p}
לפי T, מה שאומר w R w תוך שימוש בהגדרה של
⊩
{\displaystyle \Vdash }
. T מתאימה למחלקת מסגרות קריפקי רפלקסיביות.
לעיתים קרובות הרבה יותר קל לאפיין את המחלקה המתאימה ל-L מאשר להוכיח את שלמותה, ולכן התאמה משמשת כמדריך להוכחות שלמות. התאמה משמשת גם כדי להראות אי-שלמות של לוגיקות מודאליות: נניח ש-L1 ⊆ L2 הן לוגיקות מודאליות נורמליות התואמות לאותה מחלקה של מסגרות, אך L1 אינה מוכיחה את כל המשפטים של L2. אזי L1 אינה שלמה במובן קריפקי. למשל, הסכימה
◻ ( A ≡ ◻ A ) → ◻ A
{\displaystyle \Box (A\equiv \Box A)\to \Box A}
יוצרת לוגיקה לא שלמה, שכן היא מתאימה לאותה מחלקה של מסגרות כמו GL (דהיינו מסגרות טרנזיטיביות ובעלות סדר הפוך מבוסס היטב), אך אינה מוכיחה את הטאוטולוגיה של GL
◻ A → ◻ ◻ A
{\displaystyle \Box A\to \Box \Box A}
.
מודלים קנוניים
לכל לוגיקה מודאלית נורמלית L, ניתן לבנות מודל קריפקי (הנקרא המודל הקנוני), המאמת בדיוק את משפטי L, על ידי התאמה של הטכניקה הסטנדרטית של שימוש בקבוצות עקביות מקסימליות כמודלים. מודלים קנוניים של קריפקי ממלאים תפקיד דומה לבניית אלגברת לינדנבאום-טרסקי בסמנטיקה אלגברית.
קבוצת נוסחאות היא L-עקבית אם לא ניתן לגזור מהן סתירה תוך שימוש באקסיומות של L, ובמודוס פוננס. קבוצה L-עקבית מקסימלית (L-MCS בקיצור) היא קבוצה L-עקבית שאין לה על-קבוצה L-עקבית ממשית.
המודל הקנוני של L הוא מודל קריפקי
⟨ W , R , ⊩ ⟩
{\displaystyle \langle W,R,\Vdash \rangle }
, כאשר W היא קבוצת כל ה-L-MCS, והקשרים R ו-
⊩
{\displaystyle \Vdash }
הם כדלקמן:
X
R
Y
{\displaystyle X\;R\;Y}
אם ורק אם לכל נוסחה
A
{\displaystyle A}
, אם
◻ A ∈ X
{\displaystyle \Box A\in X}
אזי
A ∈ Y
{\displaystyle A\in Y}
,
X ⊩ A
{\displaystyle X\Vdash A}
אם ורק אם
A ∈ X
{\displaystyle A\in X}
.
המודל הקנוני הוא מודל של L, שכן כל L-MCS מכיל את כל המשפטים של L. לפי הלמה של צורן, כל קבוצה L-עקבית מוכלת ב-L-MCS, בפרט לכל נוסחה שאינה ניתנת להוכחה ב-L יש דוגמה נגדית במודל הקנוני.
היישום העיקרי של מודלים קנוניים הוא הוכחות שלמות. תכונות המודל הקנוני של K גוררות מיד שלמות של K ביחס למחלקת כל מסגרות קריפקי. טיעון זה לא עובד עבור L שרירותית, כי אין ערובה לכך שהמסגרת הבסיסית של המודל הקנוני מקיימת את תנאי המסגרת של L.
אנו אומרים שנוסחה או קבוצה X של נוסחאות היא קנונית ביחס לתכונה P של מסגרות קריפקי, אם
- X תקפה בכל מסגרת המקיימת את P,
- לכל לוגיקה מודאלית נורמלית L המכילה את X, המסגרת הבסיסית של המודל הקנוני של L מקיימת את P.
איחוד של קבוצות נוסחאות קנוניות הוא קנוני בעצמו. מהדיון הקודם נובע שכל לוגיקה המאותגרת על ידי קבוצה קנונית של נוסחאות היא שלמה במובן קריפקי, וקומפקטית.
האקסיומות T, 4, D, B, 5, H, G (ובכך כל שילוב שלהן) הן קנוניות. GL ו-Grz אינן קנוניות, מכיוון שהן אינן קומפקטיות. האקסיומה M כשלעצמה אינה קנונית (גולדבלט, 1991), אך הלוגיקה המשולבת S4.1 (למעשה, אפילו K4.1) היא קנונית.
באופן כללי, לא ניתן להכריע האם אקסיומה נתונה היא קנונית. אנו מכירים תנאי מספיק נחמד: ה. סאהלוויסט (H. Sahlqvist) זיהה מחלקה רחבה של נוסחאות (המכונות כיום נוסחאות סאהלוויסט) כך ש:
- מחלקת המסגרות המתאימה לנוסחת סאהלוויסט ניתנת להגדרה מסדר ראשון,
- קיים אלגוריתם המחשב את תנאי המסגרת המתאים לנוסחת סאהלוויסט נתונה.
זהו קריטריון עוצמתי: למשל, כל האקסיומות שפורטו לעיל כקנוניות הן (שקולות ל) נוסחאות סאהלוויסט. ללוגיקה יש את תכונת המודל הסופי (FMP) אם היא שלמה ביחס למחלקה של מסגרות סופיות. יישום של מושג זה הוא שאלת הכריעות: נובע ממשפט פוסט שלוגיקה מודאלית מאותגרת רקורסיבית L שיש לה FMP היא כריעה, בתנאי שניתן להכריע האם מסגרת סופית נתונה היא מודל של L. בפרט, כל לוגיקה ניתנת לאקסיומטיזציה סופית עם FMP היא כריעה.
ישנן שיטות שונות לביסוס FMP עבור לוגיקה נתונה. שיפורים והרחבות של בניית המודל הקנוני עובדים לעתים קרובות, תוך שימוש בכלים כגון סינון או פרימה. כאפשרות נוספת, הוכחות שלמות המבוססות על חשבון רצפים ללא חיתוך מייצרות בדרך כלל מודלים סופיים ישירות.
רוב המערכות המודאליות המשמשות בפועל (כולל כל אלה שפורטו לעיל) הן בעלות FMP.
במקרים מסוימים, אנו יכולים להשתמש ב-FMP כדי להוכיח שלמות קריפקי של לוגיקה: כל לוגיקה מודאלית נורמלית היא שלמה ביחס למחלקה של אלגברות מודאליות, ואלגברה מודאלית סופית ניתנת להפיכה למסגרת של קריפקי. כדוגמה, רוברט בול הוכיח באמצעות שיטה זו שכל הרחבה נורמלית של S4.3 היא בעלת FMP, והיא שלמה במובן קריפקי.
לסמנטיקה של קריפקי יש הכללה פשוטה ללוגיקות עם יותר ממודליות אחת. מסגרת קריפקי לשפה עם
{
◻
i
∣
i ∈ I }
{\displaystyle \{\Box _{i}\mid \,i\in I\}}
כקבוצת אופרטורי ההכרחיות שלה מורכבת מקבוצה לא ריקה W המצוידת ביחסים בינאריים Ri עבור כל i ∈ I. הגדרת קשר סיפוק משתנה כדלקמן:
w ⊩
◻
i
A
{\displaystyle w\Vdash \Box _{i}A}
אם ורק אם
∀ u
( w
R
i
u ⇒ u ⊩ A ) .
{\displaystyle \forall u\,(w\;R_{i}\;u\Rightarrow u\Vdash A).}
מודלים של קרלסון
סמנטיקה פשוטה, שהתגלתה על ידי טים קרלסון, משמשת לעתים קרובות עבור לוגיקות כריעות פולימודאליות. מודל של קרלסון הוא מבנה
⟨ W , R , {
D
i
}
i ∈ I
, ⊩ ⟩
{\displaystyle \langle W,R,\{D_{i}\}_{i\in I},\Vdash \rangle }
עם יחס נגישות יחיד R, ותתי-קבוצות Di ⊆ W לכל מודליות. סיפוק מוגדר כ:
w ⊩
◻
i
A
{\displaystyle w\Vdash \Box _{i}A}
אם ורק אם
∀ u ∈
D
i
( w
R
u ⇒ u ⊩ A ) .
{\displaystyle \forall u\in D_{i}\,(w\;R\;u\Rightarrow u\Vdash A).}
מודלים של קרלסון קלים יותר לדמיון ולעבודה מאשר מודלים פולימודאליים רגילים של קריפקי; עם זאת, ישנן לוגיקות פולימודאליות שלמות במובן קריפקי שאינן שלמות במובן קרלסון.
ב"שיקולים סמנטיים על לוגיקה מודאלית", שפורסם ב-1963, הגיב קריפקי לקושי בתורת הכמתים הקלאסית. המוטיבציה לגישה יחסית-עולם הייתה לייצג את האפשרות שאובייקטים בעולם אחד עשויים שלא להתקיים באחר. אך אם משתמשים בכללי כמתים סטנדרטיים, כל מונח חייב להתייחס למשהו שקיים בכל העולמות האפשריים. זה נראה לא תואם את הנוהג הרגיל שלנו להשתמש במונחים כדי להתייחס לדברים שקיימים באופן תלוי-נסיבות (קונטינגנטי).
תגובתו של קריפקי לקושי זה הייתה לחסל מונחים. הוא נתן דוגמה למערכת שמשתמשת בפרשנות יחסית-עולם ומשמרת את הכללים הקלאסיים. אך העלויות חמורות. ראשית, השפה שלו מדולדלת באופן מלאכותי, ושנית, הכללים עבור הלוגיקה המודאלית הפסוקית חייבים להיחלש.
### לוגיקה אינטואיציוניסטית
סמנטיקה של קריפקי ללוגיקה אינטואיציוניסטית עוקבת אחר אותם עקרונות כמו סמנטיקה של לוגיקה מודאלית, אך משתמשת בהגדרה שונה של סיפוק.
מודל אינטואיציוניסטי של קריפקי הוא שלשה
⟨ W , ≤ , ⊩ ⟩
{\displaystyle \langle W,\leq ,\Vdash \rangle }
, כאשר
⟨ W , ≤ ⟩
{\displaystyle \langle W,\leq \rangle }
היא מסגרת קריפקי סדורה חלקית, ו-
⊩
{\displaystyle \Vdash }
מקיימת את התנאים הבאים:
w ≤ u
{\displaystyle w\leq u}
, ו-
w ⊩ p
{\displaystyle w\Vdash p}
, אזי
u ⊩ p
{\displaystyle u\Vdash p}
(תנאי התמדה),
w ⊩ A ∧ B
{\displaystyle w\Vdash A\land B}
אם ורק אם
w ⊩ A
{\displaystyle w\Vdash A}
ו-
w ⊩ B
{\displaystyle w\Vdash B}
,
w ⊩ A ∨ B
{\displaystyle w\Vdash A\lor B}
אם ורק אם
w ⊩ A
{\displaystyle w\Vdash A}
או
w ⊩ B
{\displaystyle w\Vdash B}
,
w ⊩ A → B
{\displaystyle w\Vdash A\to B}
אם ורק אם לכל
u ≥ w
{\displaystyle u\geq w}
,
u ⊩ A
{\displaystyle u\Vdash A}
גורר
u ⊩ B
{\displaystyle u\Vdash B}
,
w ⊩ ⊥
{\displaystyle w\Vdash \bot }
.
לוגיקה אינטואיציוניסטית היא נכונה ושלמה ביחס לסמנטיקה של קריפקי שלה, ויש לה את תכונת המודל הסופי.
לוגיקה אינטואיציוניסטית מסדר ראשון
תהי L שפה מסדר ראשון. מודל קריפקי של L הוא שלשה
⟨ W , ≤ , {
M
w
}
w ∈ W
⟩
{\displaystyle \langle W,\leq ,\{M_{w}\}_{w\in W}\rangle }
, כאשר
⟨ W , ≤ ⟩
{\displaystyle \langle W,\leq \rangle }
היא מסגרת קריפקי אינטואיציוניסטית, Mw הוא מבנה-L (קלאסי) עבור כל צומת w ∈ W, ותנאי התאימות הבאים מתקיימים בכל פעם ש-u ≤ v:
- התחום של Mu מוכל בתחום של Mv,
- מימושים של סמלי פונקציות ב-Mu וב-Mv מסכימים על איברים של Mu,
- לכל פרדיקט n-ארי P ואיברים a1,...,an ∈ Mu: אם P(a1,...,an) מתקיים ב-Mu, אזי הוא מתקיים ב-Mv.
בהינתן הערכה e של משתנים על ידי איברים של Mw, אנו מגדירים את קשר הסיפוק
w ⊩ A [ e ]
{\displaystyle w\Vdash A}
:
w ⊩ P (
t
1
, … ,
t
n
) [ e ]
{\displaystyle w\Vdash P(t_{1},\dots ,t_{n})}
אם ורק אם
P (
t
1
[ e ] , … ,
t
n
[ e ] )
{\displaystyle P(t_{1},\dots ,t_{n})}
מתקיים ב-Mw,
w ⊩ ( A ∧ B ) [ e ]
{\displaystyle w\Vdash (A\land B)}
אם ורק אם
w ⊩ A [ e ]
{\displaystyle w\Vdash A}
ו-
w ⊩ B [ e ]
{\displaystyle w\Vdash B}
,
w ⊩ ( A ∨ B ) [ e ]
{\displaystyle w\Vdash (A\lor B)}
אם ורק אם
w ⊩ A [ e ]
{\displaystyle w\Vdash A}
או
w ⊩ B [ e ]
{\displaystyle w\Vdash B}
,
w ⊩ ( A → B ) [ e ]
{\displaystyle w\Vdash (A\to B)}
אם ורק אם לכל
u ≥ w
{\displaystyle u\geq w}
,
u ⊩ A [ e ]
{\displaystyle u\Vdash A}
גורר
u ⊩ B [ e ]
{\displaystyle u\Vdash B}
,
w ⊩ ⊥ [ e ]
{\displaystyle w\Vdash \bot }
,
w ⊩ ( ∃ x
A ) [ e ]
{\displaystyle w\Vdash (\exists x\,A)}
אם ורק אם קיים
a ∈
M
w
{\displaystyle a\in M_{w}}
כך ש-
w ⊩ A [ e ( x → a ) ]
{\displaystyle w\Vdash A[e(x\to a)]}
,
w ⊩ ( ∀ x
A ) [ e ]
{\displaystyle w\Vdash (\forall x\,A)}
אם ורק אם לכל
u ≥ w
{\displaystyle u\geq w}
וכל
a ∈
M
u
{\displaystyle a\in M_{u}}
,
u ⊩ A [ e ( x → a ) ]
{\displaystyle u\Vdash A[e(x\to a)]}
.
כאן e(x→a) היא ההערכה שנותנת ל-x את הערך a, ובשאר מסכימה עם e.
### שמות והכרח
שלוש ההרצאות המרכיבות את "שמות והכרח" מהוות התקפה על התיאוריה הדסקריפטיביסטית של שמות. קריפקי מייחס גרסאות של תיאוריות דסקריפטיביסטיות לפרגה, ראסל, ויטגנשטיין וג'ון סירל (John Searle), בין היתר. לפי תיאוריות דסקריפטיביסטיות, שמות עצם או שהם מילים נרדפות לתיאורים, או שהייחוס שלהם נקבע מכוח היותו של השם משויך לתיאור או לקבוצת תיאורים שאובייקט מספק באופן ייחודי. קריפקי דוחה את שני סוגי הדסקריפטיביזם הללו. הוא מביא מספר דוגמאות המתיימרות להפוך את הדסקריפטיביזם לבלתי סביר כתיאוריה של האופן שבו שמות קובעים את הייחוס שלהם (למשל, ודאי שאריסטו היה יכול למות בגיל שנתיים ובכך לא לספק אף אחד מהתיאורים שאנו משייכים לשמו, אך זה ייראה שגוי להכחיש שהוא עדיין היה אריסטו).
כחלופה, קריפקי שרטט תיאוריית ייחוס סיבתית, לפיה שם מתייחס לאובייקט מכוח קשר סיבתי עם האובייקט כפי שהוא מתווך דרך קהילות של דוברים. הוא מציין ששמות עצם, בניגוד לרוב התיאורים, הם מצביעים קשיחים: כלומר, שם עצם מתייחס לאובייקט הנקוב בכל עולם אפשרי שבו האובייקט קיים, בעוד שרוב התיאורים מצביעים על אובייקטים שונים בעולמות אפשריים שונים. למשל, "ריצ'רד ניקסון" מתייחס לאותו אדם בכל עולם אפשרי שבו ניקסון קיים, בעוד ש"האדם שניצח בבחירות לנשיאות ארצות הברית ב-1968" יכול להתייחס לניקסון, המפרי או אחרים בעולמות אפשריים שונים.
קריפקי העלה גם את האפשרות של אמיתות הכרחיות אפוסטריוריות—עובדות שהן נכונות בהכרח, אף שניתן לדעת אותן רק באמצעות חקירה אמפירית. דוגמאות כוללות "הספרוס הוא זרחן", "קיקרו הוא טוליו", "מים הם H2O", ותביעות זהות אחרות שבהן שני שמות מתייחסים לאותו אובייקט. לפי קריפקי, ההבחנות הקאנטיאניות בין אנליטי לסינתטי, אפריורי ואפוסטריורי, ומקרי והכרחי אינן מתאימות זו לזו. במקום זאת, אנליטי/סינתטי הוא הבחנה סמנטית, אפריורי/אפוסטריורי הוא הבחנה אפיסטמית, ומקרי/הכרחי הוא הבחנה מטאפיזית.
לבסוף, קריפקי העלה טיעון נגד חומריות זהות בפילוסופיה של הנפש, העמדה שכל פרט מנטלי זהה לפרט פיזי כלשהו. קריפקי טען שהדרך היחידה להגן על זהות זו היא כזהות הכרחית אפוסטריורית, אך שזהות כזו—למשל, שכאב הוא ירי של סיבי C—לא יכולה להיות הכרחית, בהינתן האפשרות (הניתנת להשגה בבירור) שכאב יכול להיות נפרד מירי של סיבי C, או שירי של סיבי C יהיה נפרד מכאב. (טיעונים דומים הועלו מאז על ידי דייוויד צ'אלמרס.) בכל מקרה, תיאורטיקן זהות הפסיכו-פיזי, לפי קריפקי, נושא בחובה דיאלקטית להסביר את האפשרות הלוגית לכאורה של נסיבות אלו, שכן לפי תיאורטיקנים כאלה הן אמורות להיות בלתי אפשריות.
קריפקי נשא את הרצאות ג'ון לוק בפילוסופיה באוקספורד ב-1973. תחת הכותרת "ייחוס וקיום", הן היו במידה רבה המשך של "שמות והכרח", ועוסקות בנושאים של שמות בדיוניים וטעות תפיסתית. בשנת 2013 הוצאת אוניברסיטת אוקספורד פרסמה את ההרצאות כספר, גם הוא תחת הכותרת "ייחוס וקיום".
במאמר מ-1995, הפילוסוף קוונטין סמית' טען שמושגי מפתח בתיאוריה החדשה של הייחוס של קריפקי מקורם בעבודתה של רות ברקן מרקוס (Ruth Barcan Marcus) יותר מעשור קודם לכן. סמית' זיהה שישה רעיונות משמעותיים בתיאוריה החדשה שסמית' טען שמרקוס פיתחה: (1) ששמות עצם הם ייחוסים ישירים שאינם מורכבים מהגדרות מוכלות; (2) שבעוד שאפשר לבודד דבר אחד באמצעות תיאור, תיאור זה אינו שקול לשם עצם של דבר זה; (3) הטיעון המודאלי ששמות עצם הם בעלי ייחוס ישיר, ולא תיאורים מוסווים; (4) הוכחת לוגיקה מודאלית פורמלית להכרחיות הזהות; (5) המושג של מצביע קשיח, אם כי קריפקי טבע את המונח הזה; ו-(6) זהות אפוסטריורית. סמית' טען שקריפקי לא הצליח להבין את התיאוריה של מרקוס בזמנו אך אימץ מאוחר יותר רבים מהנושאים המושגיים המרכזיים שלה בתיאוריה החדשה שלו של ייחוס.
מלומדים אחרים הציעו לאחר מכן תגובות מפורטות בטענה שלא התרחשה גניבה ספרותית.
"חידה על אמונה"
ב"שמות והכרח", קריפקי טוען לתיאוריית ייחוס ישיר (שהמשמעות של שם היא פשוט האובייקט שהוא מתייחס אליו). עם זאת, הוא מכיר באפשרות שתכנים המכילים שמות עשויים להיות בעלי תכונות סמנטיות נוספות, תכונות שיכולות להסביר מדוע שני שמות המתייחסים לאותו אדם עשויים לתת ערכי אמת שונים בתכנים על אמונות. למשל, לויס ליין מאמינה שסופרמן יכול לעוף, אף שהיא לא מאמינה שקלארק קנט יכול לעוף. לפי תיאוריית הייחוס המתווך של שמות, זה מוסבר על ידי העובדה שהשמות "סופרמן" ו"קלארק קנט", אף שהם מתייחסים לאותו אדם, הם בעלי תכונות סמנטיות מובחנות.
אך במאמרו "חידה על אמונה" (1988) נראה שקריפקי מתנגד אפילו לאפשרות זו. ניתן לשחזר את הטיעון שלו כדלקמן: הרעיון ששני שמות המתייחסים לאותו אובייקט עשויים להיות בעלי תכונות סמנטיות שונות אמור להסביר את העובדה שהחלפה הדדית של שמות בעלי ייחוס זהה בתכנים על אמונות יכולה לשנות ערך אמת (כמו במקרה של לויס ליין). אך אותה תופעה מתרחשת גם ללא החלפה הדדית של שמות בעלי ייחוס זהה: קריפקי מזמין אותנו לדמיין ילד צרפתי חד-לשוני, פייר, המאמין בתוכן המבוטא על ידי "Londres est jolie" ("לונדון יפה"). פייר עובר ללונדון מבלי להבין שלונדון = Londres. הוא אז לומד אנגלית באותה דרך שילד היה לומד את השפה, כלומר, לא על ידי תרגום מילים מצרפתית לאנגלית. פייר לומד את השם "London" מהחלק הלא מושך של העיר שבו הוא חי, וכך מגיע להאמין שלונדון אינה יפה. פייר כעת יסכים למשפטים "Londres est jolie" ו-"London is not beautiful". רק עם תרגום וביטול מרכאות, ניתן ליצור את החידה: פייר גם מאמין שלונדון יפה וגם לא מאמין שלונדון יפה. פרדוקס זה מתעורר מבלי להשתמש בהחלפה הדדית של שמות בעלי ייחוס זהה. קריפקי מראה מאוחר יותר במאמר כיצד ניתן ליצור חידה זו בתוך שפה יחידה, תוך שימוש בביטול מרכאות בלבד. התוצאה של זה, לפי קריפקי, היא שלא ניתן להאשים החלפה הדדית של שמות בעלי ייחוס זהה בקושי שנוצר על ידי הקשרי אמונה. אם זה נכון, בניגוד לתומכי תיאוריית הייחוס המתווך, לא ניתן לראות בחוסר העקביות של הקשרי אמונה הכוללים שמות בעלי ייחוס זהה עדות נגד תיאוריית הייחוס הישיר של שמות שלו.
### ויטגנשטיין
פורסם לראשונה ב-1982, ספרו של קריפקי "ויטגנשטיין על כללים ושפה פרטית" טוען שהטיעון המרכזי של "חקירות פילוסופיות" של ויטגנשטיין מתרכז בפרדוקס הליכה-לפי-כללים הרסני המערער על האפשרות שאנו אי פעם נלך לפי כללים בשימוש שלנו בשפה. קריפקי כותב שפרדוקס זה הוא "הבעיה הספקנית הרדיקלית והמקורית ביותר שהפילוסופיה ראתה עד כה", ושויטגנשטיין לא דוחה את הטיעון שמוביל לפרדוקס ההליכה-לפי-כללים, אלא מקבל אותו ומציע "פתרון ספקני" כדי לשפר את ההשפעות ההרסניות של הפרדוקס.
רוב הפרשנים מקבלים ש"חקירות פילוסופיות" מכיל את פרדוקס ההליכה-לפי-כללים כפי שקריפקי מציג אותו, אך מעטים הסכימו עם ייחוס פתרון ספקני לוויטגנשטיין. קריפקי עצמו מביע ספקות ב"ויטגנשטיין על כללים ושפה פרטית" האם ויטגנשטיין היה מאשר את הפרשנות שלו ל"חקירות פילוסופיות". הוא אומר שאין לקרוא את העבודה כניסיון לתת הצגה מדויקת של דעותיו של ויטגנשטיין, אלא כתיאור של הטיעון של ויטגנשטיין "כפי שהוא הכה את קריפקי, כפי שהוא הציג בעיה עבורו".
הלחם המילים "קריפקינשטיין" נטבע עבור הפרשנות של קריפקי ל"חקירות פילוסופיות". המשמעות העיקרית של קריפקינשטיין הייתה הצגה ברורה של סוג חדש של ספקנות, המכונה "ספקנות משמעות": הרעיון שעבור יחידים מבודדים אין עובדה שמכוחה הם מתכוונים לדבר אחד ולא לאחר על ידי השימוש במילה. ה"פתרון הספקני" של קריפקי לספקנות משמעות הוא לבסס את המשמעות בהתנהגות של קהילה.
ספרו של קריפקי יצר ספרות משנית גדולה, המחולקת בין אלו שמוצאים את הבעיה הספקנית שלו מעניינת ומלאת תובנות, לבין אחרים, כגון גורדון בייקר, פיטר האקר וקולין מקגין, הטוענים שספקנות המשמעות שלו היא בעיית דמה הנובעת מקריאה מבולבלת וסלקטיבית של ויטגנשטיין. עמדתו של קריפקי הוגנה נגד אלו והתקפות אחרות על ידי הפילוסוף מקיימברידג' מרטין קוש, וחוקר ויטגנשטיין דייוויד ג. שטרן רואה בספרו של קריפקי את העבודה "המשפיעה והנדונה ביותר" על ויטגנשטיין מאז שנות ה-80.
### אמת
במאמרו מ-1975 "קווי מתאר לתורת האמת", הראה קריפקי ששפה יכולה להכיל באופן עקבי פרדיקט אמת משל עצמה, דבר שנחשב לבלתי אפשרי על ידי אלפרד טרסקי, חלוץ בתורות פורמליות של אמת. הגישה כרוכה בכך שהאמת תהיה תכונה מוגדרת חלקית מעל קבוצת המשפטים בנויים היטב דקדוקית בשפה. קריפקי הראה כיצד לעשות זאת באופן רקורסיבי על ידי התחלה מקבוצת הביטויים בשפה שאינם מכילים את פרדיקט האמת, והגדרת פרדיקט אמת מעל רק אותו מקטע: פעולה זו מוסיפה משפטים חדשים לשפה, והאמת מוגדרת בתורה עבור כולם. בניגוד לגישה של טרסקי, עם זאת, זו של קריפקי מאפשרת ל"אמת" להיות האיחוד של כל שלבי ההגדרה הללו; לאחר אינסוף מנייה של צעדים השפה מגיעה ל"נקודת שבת" כך ששימוש בשיטה של קריפקי להרחבת פרדיקט האמת לא משנה את השפה עוד יותר. נקודת שבת כזו יכולה אז להילקח כצורה הבסיסית של שפה טבעית המכילה פרדיקט אמת משל עצמה. אך פרדיקט זה אינו מוגדר עבור אף משפטים שלא, כביכול, "מגיעים לקרקעית" במשפטים פשוטים יותר שאינם מכילים פרדיקט אמת. כלומר, " 'שלג הוא לבן' הוא אמת" הוא מוגדר היטב, וכך גם " ' 'שלג הוא לבן' הוא אמת' הוא אמת," וכן הלאה, אך לא "משפט זה הוא אמת" ולא "משפט זה אינו אמת" מקבלים תנאי אמת; הם, במונחים של קריפקי, "לא מבוססים" (ungrounded).
משפט האי-שלמות הראשון של גדל מדגים שלא ניתן להימנע מהתייחסות עצמית באופן נאיבי, שכן תכנים על אובייקטים שנראים לא קשורים (כגון מספרים שלמים) יכולים להיות בעלי משמעות התייחסותית עצמית לא פורמלית, ורעיון זה – המתבטא על ידי למה אלכסונית – הוא הבסיס למשפט של טרסקי שלא ניתן להגדיר אמת באופן עקבי. אך פרדיקט האמת של קריפקי לא נותן ערך אמת (אמת/שקר) לתכנים כגון זה שנבנה בהוכחה של טרסקי, שכן ניתן להוכיח על ידי אינדוקציה שהוא אינו מוגדר בשלב
n
{\displaystyle n}
לכל n סופי
n
{\displaystyle n}
.
ההצעה של קריפקי בעייתית במובן שבעוד שהשפה מכילה פרדיקט "אמת" של עצמה (לפחות חלקי), חלק מהמשפטים שלה – כגון משפט השקרן ("משפט זה הוא שקר") – הם בעלי ערך אמת לא מוגדר, אך השפה לא מכילה פרדיקט "לא מוגדר" משל עצמה. למעשה היא לא יכולה, שכן זה היה יוצר גרסה חדשה של פרדוקס השקרן, פרדוקס השקרן המחוזק ("משפט זה הוא שקר או לא מוגדר"). כך בעוד שמשפט השקרן אינו מוגדר בשפה, השפה לא יכולה לבטא שהוא אינו מוגדר.
מורשת
### מרכז שאול קריפקי
המשימה של מרכז שאול קריפקי במרכז הבוגרים של אוניברסיטת העיר ניו יורק היא לשמר ולקדם את עבודתו של קריפקי. המנהל שלו הוא ייל וייס. מרכז שאול קריפקי מקיים אירועים הקשורים לעבודתו של קריפקי ויוצר ארכיון דיגיטלי של הקלטות שלא פורסמו בעבר של הרצאותיו, רשימות הרצאות ותכתובות משנות ה-50. בסקירתו של "צרות פילוסופיות" של קריפקי, כתב הפילוסוף מארק קרימינס: "זה שארבעה מהמאמרים הנערצים והנדונים ביותר בפילוסופיה של שנות ה-70 נמצאים כאן מספיק כדי להפוך את הכרך הראשון הזה של המאמרים המקובצים של שאול קריפקי לחובה... תענוג הקורא יגדל ככל שייזרקו רמזים שיש עוד הרבה לבוא בסדרה זו המוכנת על ידי קריפקי וצוות אסים של פילוסופים-עורכים במרכז שאול קריפקי במרכז הבוגרים של אוניברסיטת העיר ניו יורק."
חיים אישיים
### נישואין
קריפקי נישא לפילוסופית מרגרט גילברט ב-1976. הם התגרשו בשנת 2000.
### רקע משפחתי
אביו של קריפקי היה מנהיג בית הכנסת בית-אל, הקהילה הקונסרבטיבית היחידה באומהה; אמו כתבה ספרי חינוך יהודי לילדים.
פרסים והוקרה
מלגת פולברייט (1962–1963)
- אגודת החברים, אוניברסיטת הרווארד (1963–1966).
- דוקטור לשם כבוד למדעי הרוח, אוניברסיטת נברסקה באומהה, 1977.
- עמית, האקדמיה האמריקאית לאמנויות ולמדעים (1978–).
- עמית מקביל, האקדמיה הבריטית (1985–).
- פרס הווארד בהרמן, אוניברסיטת פרינסטון, 1988.
- עמית, האקדמיה האירופית למדעים ולאמנויות (1993–).
- דוקטור לשם כבוד למדעי הרוח, אוניברסיטת ג'ונס הופקינס, 1997.
- דוקטור לשם כבוד למדעי הרוח, אוניברסיטת חיפה, ישראל, 1998.
- עמית, האקדמיה הנורווגית למדעים (2000–).
- פרס שוק בלוגיקה ובפילוסופיה, האקדמיה השוודית למדעים, 2001.
- דוקטור לשם כבוד למדעי הרוח, אוניברסיטת פנסילבניה, 2005.
- עמית, החברה הפילוסופית האמריקאית (2005–).
### תארים לשם כבוד
קריפקי קיבל תארים לשם כבוד מאוניברסיטת נברסקה באומהה (1977), אוניברסיטת ג'ונס הופקינס (1997), אוניברסיטת חיפה, ישראל (1998), ואוניברסיטת פנסילבניה (2005). הוא היה חבר בחברה הפילוסופית האמריקאית ועמית נבחר של האקדמיה האמריקאית לאמנויות ולמדעים, וב-1985 היה עמית מקביל של האקדמיה הבריטית. הוא זכה בפרס שוק בלוגיקה ובפילוסופיה ב-2001.
עבודות
- שמות והכרח. קיימברידג', מסצ'וסטס: הוצאת אוניברסיטת הרווארד, 1972. ISBN 0-674-59845-8
- ויטגנשטיין על כללים ושפה פרטית: הסבר אלמנטרי. קיימברידג', מסצ'וסטס: הוצאת אוניברסיטת הרווארד, 1982. ISBN 0-674-95401-7.
- צרות פילוסופיות. מאמרים מקובצים כרך 1. ניו יורק: הוצאת אוניברסיטת אוקספורד, 2011. ISBN 9780199730155
- ייחוס וקיום – הרצאות ג'ון לוק. ניו יורק: הוצאת אוניברסיטת אוקספורד, 2013. ISBN 9780199928385