גוטלוב פרגה

גוטלוב פרגה

פרידריך לודוויג גוטלוב פרגה (Gottlob Frege) (8 בנובמבר 1848 – 26 ביולי 1925) היה פילוסוף, לוגיקן ומתמטיקאי גרמני. הוא היה פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת ינה, ורבים רואים בו את אבי הפילוסופיה האנליטית, שהתמקדה בפילוסופיה של השפה, הלוגיקה והמתמטיקה. על אף שזכה להתעלמות רבה במהלך חייו, ג'וזפה פאנו (Giuseppe Peano, 1858–1932), ברטראנד ראסל (Bertrand Russell, 1872–1970) ומידה מסוימת לודוויג ויטגנשטיין (Ludwig Wittgenstein, 1889–1951) הציגו את עבודתו לדורות מאוחרים יותר של פילוסופים. פרגה נחשב באופן נרחב לאחד הלוגיקנים הגדולים ביותר מאז אריסטו, ולאחד הפילוסופים המעמיקים ביותר של המתמטיקה מאז ומעולם.

תרומותיו כוללות את פיתוח הלוגיקה המודרנית בכתב מושגים (Begriffsschrift) ועבודה ביסודות המתמטיקה. ספרו יסודות האריתמטיקה הוא הטקסט המכונן של הפרויקט הלוגיציסטי, ומצוטט על ידי מייקל דאמט (Michael Dummett) כמקום שבו ניתן להצביע על המפנה הלשוני. מאמריו הפילוסופיים "על מובן ועל הוראה" ו"המחשבה" מצוטטים גם הם באופן נרחב. המאמר הראשון טוען לשני סוגים שונים של משמעות ודסקרפטיביות. ב"יסודות" וב"המחשבה", פרגה טוען לטובת אפלטוניזם נגד פסיכולוגיזם או פורמליזם, בנוגע למספרים ולהיגדים בהתאמה.

חיים

### ילדות (1848–1869)

פרגה נולד ב-1848 בוויסמאר, מקלנבורג-שוורין (כיום חלק ממקלנבורג-מערב פומרניה שבצפון גרמניה). אביו, קרל (קארל) אלכסנדר פרגה (1809–1866), היה ממייסדי ומנהלי בית ספר תיכון לבנות עד מותו. לאחר מותו של קרל, בית הספר נוהל על ידי אמו של פרגה, אוגוסטה וילהלמינה סופי פרגה (לבית ביאולובלוצקי, 12 בינואר 1815 – 14 באוקטובר 1898); אמה הייתה אוגוסטה אמליה מריה בלהורן, צאצאית של פיליפ מלנכתון, ואביה היה יוהאן היינריך זיגפריד ביאולובלוצקי. פרגה היה לותרני.

בילדותו נחשף פרגה לפילוסופיות שינחו את הקריירה המדעית העתידית שלו. לדוגמה, אביו כתב ספר לימוד בשפה הגרמנית לילדים בגילאי 9–13, שכותרתו Hülfsbuch zum Unterrichte in der deutschen Sprache für Kinder von 9 bis 13 Jahren (מהדורה שנייה, ויסמאר 1850; מהדורה שלישית, ויסמאר ולודוויגסלוסט: הינסטורף, 1862) (ספר עזר להוראת גרמנית לילדים מגיל 9 עד 13), שחלקו הראשון עסק במבנה ובלוגיקה של השפה.

פרגה למד בגימנסיה העירונית Große Stadtschule Wismar וסיים את לימודיו בשנת 1869. מורה למתמטיקה ולמדעי הטבע גוסטב אדולף לאו זאקס (1843–1909), שהיה גם משורר, מילא תפקיד חשוב בקביעת הקריירה המדעית העתידית של פרגה, ועודד אותו להמשיך את לימודיו באלמה מאטר שלו, אוניברסיטת ינה.

### לימודים באוניברסיטה (1869–1874)

פרגה נרשם לאוניברסיטת ינה באביב 1869 כאזרח הקונפדרציה הצפון-גרמנית. בארבעת הסמסטרים של לימודיו השתתף בכ-20 קורסי הרצאות, רובם במתמטיקה ובפיזיקה. המורה החשוב ביותר שלו היה ארנסט קרל אבה (Ernst Karl Abbe, 1840–1905; פיזיקאי, מתמטיקאי וממציא). אבה נתן הרצאות על תורת הכבידה, גלווניזם ואלקטרודינמיקה, תורת הפונקציות של משתנה מרוכב באנליזה מרוכבת, יישומי פיזיקה, חטיבות נבחרות במכניקה ומכניקה של מוצקים. אבה היה יותר ממורה עבור פרגה: הוא היה חבר קרוב, ובתור מנהל יצרנית האופטיקה קארל צייס (Carl Zeiss AG), הוא היה בעמדה לקדם את הקריירה של פרגה. לאחר סיום לימודיו של פרגה, הם ניהלו התכתבות ענפה.

מוריו האוניברסיטאיים הבולטים האחרים היו כריסטיאן פיליפ קרל סנל (1806–1886; נושאים: שימוש באנליזה אינפיניטסימלית בגיאומטריה, גיאומטריה אנליטית של מישורים, מכניקה אנליטית, אופטיקה, יסודות פיזיקליים של מכניקה); הרמן שפר (1824–1900; גיאומטריה אנליטית, פיזיקה יישומית, אנליזה אלגברית, על הטלגרף ומכונות אלקטרוניות אחרות); והפילוסוף קונו פישר (1824–1907; פילוסופיה קאנטיאנית וביקורתית).

החל מ-1871 המשיך פרגה את לימודיו בגטינגן, האוניברסיטה המובילה במתמטיקה בשטחים דוברי הגרמנית, שם השתתף בהרצאות של אלפרד קלבש (1833–1872; גיאומטריה אנליטית), ארנסט כריסטיאן יוליוס שרינג (1824–1897; תורת הפונקציות), וילהלם אדוארד ובר (1804–1891; מחקרים פיזיקליים, פיזיקה יישומית), אדוארד ריקה (1845–1915; תורת החשמל) והרמן לוצה (1817–1881; פילוסופיה של הדת). לרבות מהדוקטרינות הפילוסופיות של פרגה הבוגר יש מקבילות אצל לוצה. השאלה האם לפילוסופיה של לוצה הייתה השפעה ישירה על השקפותיו של פרגה עמדה במרכזו של דיון אקדמי.

בשנת 1873 קיבל פרגה את הדוקטורט שלו תחת הנחייתו של שרינג.

פרגה נשא לאישה את מרגרטה (קתרינה סופיה אנה) ליסברג (15 בפברואר 1856 – 25 ביוני 1904) ב-14 במרץ 1887. לזוג היו לפחות שני ילדים, שמתו בצעירותם. שנים לאחר מכן, הם אימצו בן בשם אלפרד. עם זאת, מעט מאוד ידוע על חיי המשפחה של פרגה.

עבודה כלוגיקן

אף שחינוכו ועבודתו המתמטית המוקדמת התמקדו בעיקר בגיאומטריה, עבודתו של פרגה פנתה עד מהרה ללוגיקה. ספרו משנת 1879 "כתב מושגים, שפת נוסחאות של חשיבה טהורה המדמה את זו של האריתמטיקה" (Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens) סימן נקודת מפנה בהיסטוריה של הלוגיקה. ה"כתב מושגים" פרץ דרך חדשה, כולל טיפול קפדני ברעיונות של פונקציות ומשתנים. מטרתו של פרגה הייתה להראות שהמתמטיקה צומחת מתוך הלוגיקה, ובתוך כך הוא פיתח טכניקות שהפרידו אותו מהסילוגיסטיקה האריסטוטלית אך קירבו אותו ללוגיקה הפסוקית הסטואית.

למעשה, פרגה המציא את לוגיקת הפרדיקטים האקסיומטית, במידה רבה הודות להמצאת המשתנים הכמותיים, שהפכו בסופו של דבר לנפוצים במתמטיקה ובלוגיקה, ואשר פתרו את בעיית הכלליות המרובה. לוגיקה קודמת עסקה בקבועים לוגיים כמו "ו-", "או-", "אם... אז...", "לא-", ו"ישנם" ו"כל", אך חזרות על פעולות אלה, במיוחד "ישנם" ו"כל", היו מובנות מעט: אפילו ההבחנה בין משפט כמו "כל נער אוהב נערה כלשהי" לבין "נערה כלשהי אהובה על ידי כל נער" יכולה הייתה להיות מיוצגת רק באופן מלאכותי מאוד, בעוד שהפורמליזם של פרגה לא התקשה לבטא את הקריאות השונות של "כל נער אוהב נערה כלשהי שאוהבת נער כלשהו שאוהב נערה כלשהי" ומשפטים דומים, במקביל מוחלט לטיפול שלו, למשל, ב"כל נער הוא טיפש".

דוגמה שמצוינת לעיתים קרובות היא שהלוגיקה של אריסטו אינה מסוגלת לייצג טענות מתמטיות כמו משפט אוקלידס, טענה יסודית בתורת המספרים שיש אינסוף מספרים ראשוניים. ה"סימון המושגי" של פרגה, לעומת זאת, יכול לייצג היסקים כאלה. הניתוח של מושגים לוגיים והמנגנון של פורמליזציה שחיוניים ל"פרינקיפיה מתמטיקה" (3 כרכים, 1910–1913, מאת ברטראנד ראסל ואלפרד נורת' וייטהד, 1861–1947), לתורת התיאורים של ראסל, למשפטי אי-השלמות של קורט גדל (1906–1978), ולתורת האמת של אלפרד טרסקי (1901–1983), מיוחסים בסופו של דבר לפרגה.

אחת ממטרותיו המוצהרות של פרגה הייתה לבודד עקרונות היסק לוגיים גרידא, כך שבייצוג הנכון של הוכחה מתמטית, לא יפנה איש בשום שלב ל"אינטואיציה". אם היה אלמנט אינטואיטיבי, היה עליו להיות מבודד ומיוצג בנפרד כאקסיומה: מכאן ואילך, ההוכחה הייתה צריכה להיות לוגית טהורה וללא פערים. לאחר שהציג אפשרות זו, מטרתו הגדולה יותר של פרגה הייתה להגן על ההשקפה שהאריתמטיקה היא ענף של הלוגיקה, השקפה הידועה כלוגיציזם: בניגוד לגיאומטריה, האריתמטיקה הייתה אמורה להיות מופגנת כבעלת בסיס שאינו ב"אינטואיציה", וללא צורך באקסיומות לא-לוגיות. כבר ב"כתב מושגים" מ-1879 נגזרו משפטים מקדמיים חשובים, למשל, צורה מוכללת של חוק השלישי הנמנע, בתוך מה שפרגה הבין כלוגיקה טהורה.

רעיון זה נוסח במונחים לא-סמליים בספרו "יסודות האריתמטיקה" (Die Grundlagen der Arithmetik, 1884). מאוחר יותר, ב"חוקי האריתמטיקה הבסיסיים" שלו (Grundgesetze der Arithmetik, כרך 1, 1893; כרך 2, 1903; כרך 2 פורסם על חשבונו), ניסה פרגה לגזור, באמצעות הסימבוליקה שלו, את כל חוקי האריתמטיקה מאקסיומות שקבע כלוגיות. רוב האקסיומות הללו הועברו מ"כתב מושגים", אם כי לא ללא כמה שינויים משמעותיים. העיקרון החדש באמת היה זה שהוא כינה "חוק בסיסי V": ה"ערך-טווח" של הפונקציה f(x) זהה ל"ערך-טווח" של הפונקציה g(x) אם ורק אם ∀x[f(x) = g(x)].

המקרה המכריע של החוק יכול להיות מנוסח בסימון מודרני כדלקמן. יהי {x|Fx} מסמן את ההרחבה של הפרדיקט Fx, כלומר, את הקבוצה של כל ה-Fs, ובדומה עבור Gx. אזי החוק הבסיסי V אומר שלפרדיקטים Fx ו-Gx יש את אותה הרחבה אם ורק אם ∀x[Fx ↔ Gx]. הקבוצה של Fs זהה לקבוצה של Gs אם כל F הוא G וכל G הוא F. (המקרה מיוחד מכיוון שמה שמכונה כאן ההרחבה של פרדיקט, או קבוצה, הוא רק סוג אחד של "ערך-טווח" של פונקציה.)

בפרשה מפורסמת, ברטראנד ראסל כתב לפרגה, בדיוק כשכרך 2 של ה"גרונדגזטצה" עמד לרדת לדפוס ב-1903, והראה שניתן לגזור את הפרדוקס של ראסל מחוק בסיסי V של פרגה. קל להגדיר את יחס החברות בקבוצה או הרחבה במערכת של פרגה; ראסל הפנה לאחר מכן את תשומת הלב ל"קבוצת הדברים x שהם כאלה ש-x אינו חבר ב-x". המערכת של ה"גרונדגזטצה" גוררת שהקבוצה המאופיינת כך היא גם חברה בעצמה וגם אינה חברה בעצמה, ולפיכך היא אינה עקבית. פרגה כתב נספח חפוז ברגע האחרון לכרך 2, גזר את הסתירה והציע לחסל אותה על ידי שינוי החוק הבסיסי V. פרגה פתח את הנספח בהערה כנה במיוחד: "כמעט שום דבר מצער יותר לא יכול לקרות לסופר מדעי מאשר שאחד מיסודות הבניין שלו יתערער לאחר שהעבודה הסתיימה. זה היה המצב שבו הציב אותי מכתבו של מר ברטראנד ראסל, בדיוק כאשר הדפסת כרך זה התקרבה לסיומה." (מכתב זה ותשובתו של פרגה מתורגמים אצל ז'אן ואן היינורט, 1967.)

התרופה שהציע פרגה התגלתה לאחר מכן ככרוכה בכך שיש רק אובייקט אחד ביקום הדיון, ולפיכך היא חסרת ערך (אכן, זה היה מוביל לסתירה במערכת של פרגה אילו היה ממסד אקסיומטית את הרעיון, הבסיסי לדיון שלו, שהאמת והשקר הם אובייקטים נפרדים; ראו, למשל, דאמט 1973), אך עבודה עדכנית הראתה שניתן להציל חלק גדול מהתוכנית של ה"גרונדגזטצה" בדרכים אחרות:

ניתן להחליש את החוק הבסיסי V בדרכים אחרות. הדרך הידועה ביותר היא של הפילוסוף והלוגיקן המתמטי ג'ורג' בולוס (George Boolos, 1940–1996), שהיה מומחה לעבודתו של פרגה. "מושג" F הוא "קטן" אם לא ניתן להעמיד את האובייקטים הנופלים תחת F בהתאמה חד-חד-ערכית עם יקום הדיון, כלומר, אלא אם: ∃R[R הוא 1-ל-1 & ∀x∃y(xRy & Fy)]. כעת נחליש את V ל-V: ל"מושג" F ול"מושג" G יש את אותה "הרחבה" אם ורק אם לא F ולא G הם קטנים או ∀x(Fx ↔ Gx). V עקבי אם האריתמטיקה מסדר שני עקבית, ומספיק כדי להוכיח את האקסיומות של האריתמטיקה מסדר שני.

- ניתן פשוט להחליף את החוק הבסיסי V בעקרון יום, האומר שמספר ה-Fs זהה למספר ה-Gs אם ורק אם ניתן להעמיד את ה-Fs בהתאמה חד-חד-ערכית עם ה-Gs. עיקרון זה גם הוא עקבי אם האריתמטיקה מסדר שני עקבית, ומספיק כדי להוכיח את האקסיומות של האריתמטיקה מסדר שני. תוצאה זו מכונה משפט פרגה מכיוון שהובחן שבפיתוח האריתמטיקה, השימוש של פרגה בחוק הבסיסי V מוגבל להוכחה של עקרון יום; מכאן, בתורו, נגזרים עקרונות אריתמטיים. על עקרון יום ומשפט פרגה, ראו "הלוגיקה, המשפט והיסודות לאריתמטיקה של פרגה".

- ניתן להחליש את הלוגיקה של פרגה, הידועה כיום כלוגיקה מסדר שני, למה שנקרא לוגיקה מסדר שני פרדיקטיבית. לוגיקה מסדר שני פרדיקטיבית בתוספת החוק הבסיסי V הוכחה כעקבית בשיטות פניטיסטיות או קונסטרוקטיביות, אך היא יכולה לפרש רק שברים חלשים מאוד של האריתמטיקה.

לעבודתו של פרגה בלוגיקה לא הייתה תשומת לב בינלאומית עד 1903, כאשר ראסל כתב נספח ל"עקרונות המתמטיקה" המציין את הבדליו עם פרגה. לסימון הדיאגרמטי שבו השתמש פרגה לא היו קודמים (ולא היו לו מחקים מאז). יתר על כן, עד שהופיעו ה"פרינקיפיה מתמטיקה" של ראסל ווייטהד (3 כרכים) בשנים 1910–1913, הגישה הדומיננטית ללוגיקה מתמטית הייתה עדיין זו של ג'ורג' בול (George Boole, 1815–1864) וצאצאיו האינטלקטואליים, במיוחד ארנסט שרדר (Ernst Schröder, 1841–1902). רעיונותיו הלוגיים של פרגה התפשטו אף על פי כן דרך כתביו של תלמידו רודולף קרנפ (Rudolf Carnap, 1891–1970) ומעריצים אחרים, במיוחד ברטראנד ראסל ולודוויג ויטגנשטיין.

פילוסוף

פרגה הוא אחד ממייסדי הפילוסופיה האנליטית, שעבודתו על הלוגיקה והשפה הולידה את המפנה הלשוני בפילוסופיה. תרומותיו לפילוסופיה של השפה כוללות:

- ניתוח פונקציה וטיעון של הטענה;

- הבחנה בין מושג לאובייקט (Begriff und Gegenstand);

- הבחנה בין מובן להוראה (Sinn und Bedeutung) של שמות וביטויים אחרים, שלעיתים נאמר כי היא כרוכה בתורת הוראה מתווכת.

כפילוסוף של המתמטיקה, פרגה תקף את הפנייה הפסיכולוגיסטית להסברים מנטליים של תוכן השיפוט של משמעות משפטים. מטרתו המקורית הייתה רחוקה מאוד ממענה על שאלות כלליות לגבי משמעות; במקום זאת, הוא הגה את הלוגיקה שלו כדי לחקור את יסודות האריתמטיקה, תוך שהוא מתחייב לענות על שאלות כמו "מהו מספר?" או "לאילו אובייקטים מתייחסות מילות-מספר ('אחד', 'שניים' וכו')?". אך בבואו לעסוק בעניינים אלה, מצא את עצמו בסופו של דבר מנתח ומסביר מהי משמעות, וכך הגיע למסקנות מספר שהתבררו כבעלות השלכות משמעותיות על המשך דרכה של הפילוסופיה האנליטית והפילוסופיה של השפה.

מובן והוראה

מאמרו של פרגה מ-1892, "על מובן ועל הוראה" ("Über Sinn und Bedeutung"), הציג את הבחנתו המשפיעה בין מובן ("Sinn") להוראה ("Bedeutung", שתורגם גם כ"משמעות", או "דנוטציה"). בעוד שתיאורים קונבנציונליים של משמעות התייחסו לביטויים כבעלי תכונה אחת בלבד (הוראה), פרגה הציג את ההשקפה שלביטויים יש שני היבטים שונים של משמעות: המובן שלהם וההוראה שלהם.

הוראה (או "Bedeutung") הוחלה על שמות פרטיים, שבהם ביטוי נתון (נניח הביטוי "תום") מתייחס בפשטות לישות הנושאת את השם (האדם ששמו תום). פרגה גם החזיק בדעה שלטענות יש יחס רפרנציאלי עם ערך האמת שלהן (במילים אחרות, משפט "מתייחס" לערך האמת שהוא מקבל). לעומת זאת, המובן (או "Sinn") המשויך למשפט שלם הוא המחשבה שהוא מבטא. המובן של ביטוי נאמר כ"אופן ההצגה" של הפריט שאליו מתייחסים, ויכולים להיות אופני ייצוג מרובים לאותה הוראה.

ניתן להמחיש את ההבחנה כך: בשימושיהם הרגילים, השם "צ'ארלס פיליפ ארתור ג'ורג' מאונטבאטן-ווינדזור", שמבחינה לוגית הוא שלם שאינו ניתן לניתוח, והביטוי הפונקציונלי "מלך הממלכה המאוחדת", המכיל את החלקים המשמעותיים "המלך של ξ" ו"הממלכה המאוחדת", הם בעלי אותה הוראה, כלומר, האדם הידוע ביותר כמלך צ'ארלס השלישי. אך המובן של המילה "הממלכה המאוחדת" הוא חלק מהמובן של הביטוי האחרון, אך לא חלק מהמובן של ה"שם המלא" של המלך צ'ארלס.

הבחנות אלו היו שנויות במחלוקת מצד ברטראנד ראסל, במיוחד במאמרו "על הציון"; המחלוקת נמשכה עד ימינו, מונעת במיוחד על ידי ההרצאות המפורסמות של שאול קריפקי (Saul Kripke) "שמות והכרח".

השקפות פוליטיות וחברתיות

בשנת 1954, דאמט למד את התעתיקים של העיזבון (Nachlass) של פרגה ששרדו את מלחמת העולם השנייה, כולל קטעים מיומן מ-1924. דאמט, פעיל אנטי-גזענות וגם חוקר פרגה, סיפר מאוחר יותר כיצד הוא הזדעזע עמוקות לגלות מכך שהאדם ש"העריץ" כ"אדם רציונלי לחלוטין" היה בסוף חייו, על פי דאמט, 'אנטישמי ארסי' בעל "דעות ימניות קיצוניות".

קטעי היומן פורסמו לבסוף ב-1994, עם תרגום לאנגלית שהופיע ב-1996. הוא נכתב בשנה האחרונה לחייו, בגיל 76, ומכיל התנגדות לשיטה הפרלמנטרית, לזכות בחירה אוניברסלית, לדמוקרטים, לסוציאליזם ולליברלים, ועוינות כלפי קתולים וצרפתים, כמו גם יהודים. פרגה חשב שיש לשלול מיהודים לפחות זכויות פוליטיות מסוימות. ואף שקיים יחסים ידידותיים עם יהודים בחיים האמיתיים (בין תלמידיו היה גרשום שלום שהעריך מאוד את הוראתו), פרגה כתב שיהיה זה הטוב ביותר אם יהודים "ילכו לאיבוד, או מוטב שייעלמו מגרמניה".

פרגה הודה "שפעם חשב את עצמו לליברל והיה מעריץ של ביסמרק", אך לאחר מכן אהד את הגנרל לודנדורף. ברשומה מתאריך 5 במאי 1924 ביטא פרגה הסכמה מסוימת עם מאמר שפורסם ב-Deutschlands Erneuerung של יוסטון סטיוארט צ'מברליין, ששיבח את אדולף היטלר. פרשנויות מסוימות נכתבו על אותה תקופה.

אישיות

פרגה תואר על ידי תלמידיו כאדם מופנם מאוד, שלעיתים רחוקות מנהל דיאלוגים עם אחרים ופונה לרוב ללוח בזמן ההרצאה. הוא היה ידוע, עם זאת, בהפגנת שנינות ואפילו סרקזם מר במהלך שיעוריו.

תאריכים חשובים

נולד ב-8 בנובמבר 1848 בוויסמאר, מקלנבורג-שוורין.

- 1869 – לומד באוניברסיטת ינה.

- 1871 – לומד באוניברסיטת גטינגן.

- 1873 – דוקטורט, דוקטור למתמטיקה (גיאומטריה), הושג בגטינגן.

- 1874 – הabilitation בינה; מורה פרטי.

- 1879 – פרופסור שלא מן המניין (Ausserordentlicher Professor) בינה.

- 1896 – פרופסור כבוד מן המניין בינה.

- נפטר ב-26 ביולי 1925 בבאד קליינן (כיום חלק ממקלנבורג-מערב פומרניה).

עבודות חשובות

### לוגיקה, יסודות האריתמטיקה

Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (1879), האלה (זאלה): Verlag von Louis Nebert (גרסה מקוונת).

- באנגלית: Begriffsschrift, a Formula Language, Modeled Upon That of Arithmetic, for Pure Thought, בתוך: J. van Heijenoort (עורך), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, הרווארד, מסצ'וסטס: הוצאת אוניברסיטת הרווארד, 1967, עמ' 5–82.

- באנגלית (קטעים נבחרים מתוקנים בסימון פורמלי מודרני): R. L. Mendelsohn, The Philosophy of Gottlob Frege, קיימברידג': הוצאת אוניברסיטת קיימברידג', 2005: "Appendix A. Begriffsschrift in Modern Notation: (1) to (51)" ו-"Appendix B. Begriffsschrift in Modern Notation: (52) to (68)."

Die Grundlagen der Arithmetik: Eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl (1884), ברסלאו: Verlag von Wilhelm Koebner (גרסה מקוונת).

- באנגלית: The Foundations of Arithmetic: A Logico-Mathematical Enquiry into the Concept of Number, תורגם על ידי J. L. Austin, אוקספורד: Basil Blackwell, 1950.

Grundgesetze der Arithmetik, כרך I (1893); כרך II (1903), ינה: Verlag Hermann Pohle (גרסה מקוונת).

- באנגלית (תרגום של קטעים נבחרים), "Translation of Part of Frege's Grundgesetze der Arithmetik," תורגם ונערך על ידי פיטר גיץ' ומקס בלאק ב-Translations from the Philosophical Writings of Gottlob Frege, ניו יורק, ניו יורק: Philosophical Library, 1952, עמ' 137–158.

- בגרמנית (מתוקן בסימון פורמלי מודרני): Grundgesetze der Arithmetik, קורפורה (פורטל של אוניברסיטת דיסבורג-אסן), 2006: Band I בארכיון 21 באוקטובר 2016 ב-Wayback Machine ו-Band II בארכיון 29 באוגוסט 2017 ב-Wayback Machine.

- בגרמנית (מתוקן בסימון פורמלי מודרני): Grundgesetze der Arithmetik – Begriffsschriftlich abgeleitet. Band I und II: In moderne Formelnotation transkribiert und mit einem ausführlichen Sachregister versehen, בעריכת T. Müller, B. Schröder, ו-R. Stuhlmann-Laeisz, פאדרבורן: mentis, 2009.

- באנגלית: Basic Laws of Arithmetic, תורגם ונערך עם מבוא על ידי פיליפ א' אברט ומרקוס רוסברג. אוקספורד: הוצאת אוניברסיטת אוקספורד, 2013. ISBN 978-0-19-928174-9.

### מחקרים פילוסופיים

"פונקציה ומושג" (1891)

- מקור: "Funktion und Begriff", נאום בפני Jenaische Gesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft, ינה, 9 בינואר 1891.

"על מובן ועל הוראה" (1892)

- מקור: "Über Sinn und Bedeutung", ב-Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik C (1892): 25–50.

- באנגלית: "On Sense and Reference", מתורגם לסירוגין (במהדורה מאוחרת יותר) כ-"On Sense and Meaning".

"מושג ואובייקט" (1892)

- מקור: "Ueber Begriff und Gegenstand", ב-Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie XVI (1892): 192–205.

"מהי פונקציה?" (1904)

- מקור: "Was ist eine Funktion?", ב-Festschrift Ludwig Boltzmann gewidmet zum sechzigsten Geburtstage, 20 בפברואר 1904, S. Meyer (עורך), לייפציג, 1904, עמ' 656–666.

חקירות לוגיות (1918–1923). פרגה התכוון ששלושת המאמרים הבאים יפורסמו יחד בספר שכותרתו Logische Untersuchungen (חקירות לוגיות). למרות שהספר בגרמנית מעולם לא הופיע, המאמרים פורסמו יחד ב-Logische Untersuchungen, בעריכת G. Patzig, Vandenhoeck & Ruprecht, 1966, ותרגומים לאנגלית הופיעו יחד ב-Logical Investigations, בעריכת פיטר גיץ', Blackwell, 1975.

- 1918–19. "Der Gedanke: Eine logische Untersuchung" ("המחשבה: חקירה לוגית"), ב-Beiträge zur Philosophie des Deutschen Idealismus I: 58–77.

- 1918–19. "Die Verneinung" ("שלילה") ב-Beiträge zur Philosophie des Deutschen Idealismus I: 143–157.

- 1923. "Gedankengefüge" ("מחשבה מורכבת"), ב-Beiträge zur Philosophie des Deutschen Idealismus III: 36–51.

### מאמרים על גיאומטריה

- 1903: "Über die Grundlagen der Geometrie". II. Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung XII (1903), 368–375. באנגלית: "On the Foundations of Geometry".

- 1967: Kleine Schriften. (I. Angelelli, עורך). דרמשטאדט: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1967 והילדסהיים, G. Olms, 1967. "כתבים קטנים", אוסף של רוב כתביו (למשל, הקודם), שפורסם לאחר מותו.