ג'ורג' בול
ג'ורג' בול (George Boole; 2 בנובמבר 1815 – 8 בדצמבר 1864) היה מתמטיקאי ופילוסוף אנגלי, המזוכה לעיתים קרובות במהפכה בלוגיקה על ידי הפיכתה ממחקר פילוסופי של שפה למערכת מתמטית של משוואות אלגבריות המשתמשות בערכים בינאריים ואופרטורים לוגיים.
בול היה בנו של סנדלר. הוא קיבל חינוך בבית ספר יסודי ולמד לטינית ושפות מודרניות באמצעים שונים. בגיל 16, החל ללמד כדי לפרנס את משפחתו. הוא הקים בית ספר משלו בגיל 19 וניהל מאוחר יותר פנימייה בלינקולן. בול היה חבר פעיל באגודות מקומיות ושיתף פעולה עם מתמטיקאים עמיתים. בשנת 1849, מונה לפרופסור הראשון למתמטיקה בקווינס קולג', קורק (כיום אוניברסיטת קורק) באירלנד, שם עבד בעיקר בתחומי המשוואות הדיפרנציאליות והלוגיקה האלגברית. הוא המשיך במעורבותו בנושאים חברתיים ושמר על קשרים עם לינקולן. בשנת 1864, בול מת עקב תפליט פלאורלי שנגרם מחום לאחר שחלה בדלקת ריאות.
בול פרסם כ-50 מאמרים וכמה פרסומים נפרדים במהלך חייו. כמה מעבודותיו המרכזיות כוללות מאמר על תורת האינווריאנטים המוקדמת ו"הניתוח המתמטי של הלוגיקה", שהציג לוגיקה סימבולית. בול כתב גם שני חיבורים שיטתיים: "חיבור על משוואות דיפרנציאליות" ו"חיבור על חשבון הפרשים סופיים". הוא תרם לתורת המשוואות הדיפרנציאליות הליניאריות ולחקר סכום השאריות של פונקציה רציונלית. בשנת 1847, בול פיתח את האלגברה הבוליאנית, מושג יסוד בלוגיקה בינארית, שהניח את היסודות למסורת אלגברת הלוגיקה ומהווה את הבסיס לתכנון מעגלים דיגיטליים ומדעי המחשב המודרניים. בול ניסה גם לגלות שיטה כללית בהסתברויות, תוך התמקדות בקביעת ההסתברות הנובעת של אירועים הקשורים לוגית להסתברויות נתונות. הוא ידוע בעיקר כמחבר הספר "חוקי המחשבה" (The Laws of Thought, 1854), המכיל את האלגברה הבוליאנית. הלוגיקה הבוליאנית, החיונית לתכנות מחשבים, מזוכה בסיוע להנחת היסודות לעידן המידע.
עבודתו של בול הורחבה על ידי חוקרים שונים, כגון צ'ארלס סנדרס פירס וויליאם סטנלי ג'בונס. הרעיונות של בול זכו מאוחר יותר ליישומים מעשיים כאשר קלוד שאנון וויקטור שסטקוב השתמשו באלגברה בוליאנית כדי לייעל את התכנון של מערכות ממסרים אלקטרומכניים, מה שהוביל לפיתוח מחשבים דיגיטליים אלקטרוניים מודרניים. תרומותיו למתמטיקה זיכו אותו בהוקרה שונים, כולל פרס הזהב הראשון של החברה המלכותית למתמטיקה, מדליית קית', ותארים של כבוד מאוניברסיטאות דבלין ואוקספורד. אוניברסיטת קורק חגגה את יום השנה ה-200 להולדתו של בול בשנת 2015, תוך הדגשת השפעתו המשמעותית על העידן הדיגיטלי.
חיים מוקדמים
בול נולד ב-1815 בלינקולן, לינקולנשייר, אנגליה, בנו של ג'ון בול האב (1779–1848), סנדלר, ומרי אן ג'ויס. הוא קיבל חינוך בבית ספר יסודי, וקיבל שיעורים מאביו, אך בשל ירידה רצינית בעסקים, לא הייתה לו הוראה פורמלית ואקדמית נוספת. ויליאם ברוק, מוכר ספרים בלינקולן, עשוי היה לעזור לו בלטינית, אותה ייתכן שלמד גם בבית הספר של תומאס ביינברידג'. הוא היה אוטודידקט בשפות מודרניות. למעשה, כאשר עיתון מקומי הדפיס את תרגומו לשיר לטיני, חוקר האשים אותו בפלגיאט בטענה שהוא לא מסוגל להישגים כאלה. בגיל 16, בול הפך למפרנס של הוריו ושלושת אחיו הצעירים, ולקח משרת הוראה זוטרה בדונקסטר בבית הספר של הייהאם. הוא לימד זמן קצר בליברפול.
בול השתתף במכון המכניקה של לינקולן, בגרייפריירס, לינקולן, שנוסד ב-1833. אדוארד ברומהד, שהכיר את ג'ון בול דרך המוסד, עזר לג'ורג' בול עם ספרי מתמטיקה והוא קיבל את טקסט החשבון של סילבסטר פרנסואה לקרואה מהכומר ג'ורג' סטיבנס דיקסון מסנט סוויטין, לינקולן. ללא מורה, לקח לו שנים רבות לשלוט בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי.
בגיל 19, בול הקים בהצלחה בית ספר משלו בלינקולן: Free School Lane. ארבע שנים לאחר מכן, הוא השתלט על האקדמיה של הול בודינגטון, מחוץ ללינקולן, בעקבות מותו של רוברט הול. בשנת 1840, הוא חזר ללינקולן, שם ניהל פנימייה. בול היה מעורב מיד באגודה הטופוגרפית של לינקולן, כיהן כחבר בוועדה, והציג מאמר שכותרתו "על המקור, ההתקדמות והנטיות של הפוליתאיזם, במיוחד בקרב המצרים והפרסים הקדמונים, ובהודו המודרנית".
בול הפך לדמות מקומית בולטת, מעריץ של ג'ון קיי, הבישוף. הוא לקח חלק בקמפיין המקומי לסגירה מוקדמת. עם אדמונד לרקן ואחרים הוא הקים אגודה לבנייה ב-1847. הוא התרועע גם עם הצ'רטיסט תומאס קופר, שאשתו הייתה קרובת משפחה.
משנת 1838 ואילך, בול יצר קשרים עם מתמטיקאים אקדמיים בריטים סימפטיים וקרא בצורה רחבה יותר. הוא למד אלגברה בצורה של שיטות סימבוליות, ככל שאלה הובנו באותה עת, והחל לפרסם מאמרי מחקר.
פרופסורה
מעמדו של בול כמתמטיקאי הוכר במינויו בשנת 1849 לפרופסור הראשון למתמטיקה בקווינס קולג', קורק (כיום אוניברסיטת קורק (UCC)) באירלנד. הוא פגש את אשתו לעתיד, מרי אוורסט, שם ב-1850 בזמן שביקרה את דודה ג'ון ריאל שהיה פרופסור ליוונית. הם התחתנו ב-1855. הוא שמר על קשריו עם לינקולן, ועבד שם עם א. ר. לרקן בקמפיין לצמצום הזנות.
בשנת 1861, בול היה מעורב בפסק דין בבית המשפט של המלכה באירלנד נגד ג'ון יואיט ויטלי מקרייג האוס, סלייגו על סך 400 ליש"ט, לפיו האחוזה והאינטרס של ויטלי באדמות מאגהאן/מהון, מחוז קורק עברו לבעלות בול.
במרץ 1863, בול שכר את ליצ'פילד קוטג', קורק, הבית שבו יגור עם אשתו מרי עד מותו בדצמבר של השנה שלאחר מכן. המקום תואר בשטרות כ"כל אותם ואותם בית מגורים הנקרא ליצ'פילד קוטג' עם המבנים והנספחים השייכים לו והגן והשדה המוקף חומה מאחוריו". צוואתו של בול הורישה את כל 'האחוזה, התקופה והאינטרס' שלו בחכירת ליצ'פילד קוטג' לאשתו. באוגוסט 1865, כ-8 חודשים לאחר מותו, מרי (שחיה אז ברחוב הארלי 68, לונדון) העבירה את הבית לפרנסיס הרד מבלנטימפל, קורק, אסקווייר, קפטן ברגימנט ה-87 של דרום קורק של הוד מלכותה.
בשנת 1844, מאמרו של בול "על שיטה כללית בניתוח" זכה בפרס הזהב הראשון למתמטיקה שהוענק על ידי החברה המלכותית. הוא זכה במדליית קית' על ידי החברה המלכותית של אדינבורו ב-1855 ונבחר לעמית החברה המלכותית (FRS) ב-1857. הוא קיבל תארים של כבוד LL.D. מאוניברסיטת דבלין ומאוניברסיטת אוקספורד.
חיים אישיים
בשנת 1855, בול התחתן עם מרי אוורסט (אחייניתו של ג'ורג' אוורסט), שכתבה מאוחר יותר כמה עבודות חינוכיות על עקרונות בעלה.
### ילדים
לזוג בול היו חמש בנות:
מרי אלן (1856–1908) שנישאה למתמטיקאי והסופר צ'ארלס הווארד הינטון והיו לה ארבעה ילדים. לאחר מותו הפתאומי של בעלה באפריל 1907, מרי אלן התאבדה בוושינגטון די.סי., במאי 1908. ג'ורג' הינטון (1882–1943), מהנדס מכרות ובוטנאי ה. א. הינטון (1912–1977), אנטומולוג ג'פרי הינטון (נולד ב-1947), פסיכולוג קוגניטיבי ומדען מחשב, פרס נובל לפיזיקה 2024, ידוע בעבודתו על רשתות עצביות מלאכותיות.
- סבסטיאן הינטון (1887–1923), עורך דין, ממציא הג'ונגל ג'ים ג'ין הינטון (שם נישואין רוזנר) (1917–2002), פעילת שלום.
- ויליאם ה. הינטון (1919–2004) ביקר בסין בשנות ה-30 וה-40 וכתב תיאור משפיע של רפורמת הקרקעות הקומוניסטית.
- ג'ואן הינטון (1921–2010) עבדה עבור פרויקט מנהטן וחיה בסין מ-1948 ועד מותה ב-8 ביוני 2010; היא הייתה נשואה לסיד אנגסט.
- מרגרט (1858–1935), נישאה לאדוארד אינגרם טיילור, אמן. בנם הבכור ג'פרי אינגרם טיילור הפך למתמטיקאי ועמית החברה המלכותית.
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →- בנם הצעיר ג'וליאן טיילור היה פרופסור לכירורגיה.
- אלישיה (1860–1940), שתרמה תרומות חשובות לגיאומטריה ארבע-ממדית. בנה לאונרד סטוט, רופא וחלוץ שחפת, המציא מכונת רנטגן ניידת, מכשיר פנאומוטורקס ומערכת ניווט המבוססת על קואורדינטות כדוריות.
- לוסי אוורסט (1862–1904), שהייתה הפרופסורית הראשונה לכימיה באנגליה.
- אתל ליליאן (1864–1960), שנישאה למדען והמהפכן הפולני וילפריד מייקל ווייניץ' והייתה מחברת הרומן "היתוש" (The Gadfly).
### השקפות דתיות
השקפותיו של בול ניתנו בארבעה נאומים שפורסמו: "הגאונות של סר אייזק ניוטון"; "השימוש הנכון בפנאי"; "תביעות המדע"; ו"ההיבט החברתי של התרבות האינטלקטואלית". הראשון שבהם היה מ-1835 כאשר צ'ארלס אנדרסון-פלהאם, הרוזן הראשון מיארבורו, העניק פסל של ניוטון למכון המכניקה בלינקולן. השני הצדיק וחגג ב-1847 את תוצאות הקמפיין המוצלח לסגירה מוקדמת בלינקולן, בראשות אלכסנדר לסלי-מלוויל, מברנסטון הול. "תביעות המדע" ניתנו ב-1851 בקווינס קולג', קורק. "ההיבט החברתי של התרבות האינטלקטואלית" ניתן גם הוא בקורק, ב-1855 לאגודה הקובייריאנית.
אף על פי שהביוגרף שלו דס מק'הייל מתאר את בול כ"אגנוסטיקן דאיסט", בול קרא מגוון רחב של תאולוגיה נוצרית. בשילוב תחומי העניין שלו במתמטיקה ותאולוגיה, הוא השווה את השילוש הנוצרי של האב, הבן ורוח הקודש לשלושת ממדי המרחב, ונמשך לתפיסה העברית של אלוהים כאחדות מוחלטת. בול שקל להתגייר אך בסופו של דבר נאמר שבחר באוניטריאניזם. בול החל לדבר נגד מה שראה כספקנות "גאוותנית", ובמקום זאת העדיף את האמונה ב"סיבה אינטליגנטית עליונה". הוא גם הצהיר "אני מאמין בתוקף, להגשמת מטרה של המוח האלוהי." בנוסף, הוא הצהיר "להסיק את קיומה של סיבה אינטליגנטית מהראיות השופעות של תכנון סובב, לעלות לתפיסה של מושל מוסרי של העולם, מתוך לימוד החוקה וההוראות המוסריות של הטבע שלנו עצמנו;--אלה, אף על פי שהם רק הצעדים החלשים של הבנה מוגבלת בפקולטות שלה ובחומרי הידע שלה, הם מועילים יותר מהניסיון השאפתני להגיע לוודאות שאינה ניתנת להשגה על בסיס דת טבעית. וכפי שאלה היו העתיקים ביותר, כך הם עדיין היסודות המוצקים ביותר, כשההתגלות מופרדת, לאמונה שמהלך העולם הזה אינו ננטש למקרה ולגורל בלתי נמנע."
שתי השפעות על בול נטענו מאוחר יותר על ידי אשתו, מרי אוורסט בול: מיסטיקה אוניברסלית מרוככת על ידי מחשבה יהודית, ולוגיקה הודית. מרי בול הצהירה שחוויה מיסטית בגיל ההתבגרות סיפקה את הבסיס לעבודת חייו:
> בעלי אמר לי שכשהיה נער בן שבע-עשרה מחשבה הכתה בו פתאום, שהפכה לבסיס לכל תגליותיו העתידיות. זה היה הבזק של תובנה פסיכולוגית לגבי התנאים שבהם מוח צובר ידע בקלות הרבה ביותר... במשך כמה שנים הוא הניח שהוא משוכנע באמת של "התנ"ך" בכללותו, ואף התכוון לקבל הסמכה ככומר של הכנסייה האנגלית. אך בעזרת יהודי מלומד בלינקולן הוא גילה את הטבע האמיתי של התגלית שעלתה בדעתו. זה היה שהמוח האנושי פועל באמצעות מנגנון כלשהו ש"מתפקד בדרך כלל לקראת מוניזם."
בפרק 13 של "חוקי המחשבה" בול השתמש בדוגמאות של טענות מברוך שפינוזה וסמואל קלארק. העבודה מכילה כמה הערות על הקשר של לוגיקה לדת, אך הן קלות וחידתיות. בול היה כנראה נבוך מקבלת הספר בדיוק כערכת כלים מתמטית:
> ג'ורג' למד לאחר מכן, לשמחתו הרבה, שאותה תפיסה של בסיס הלוגיקה הוחזקה על ידי לייבניץ, בן זמנו של ניוטון. דה מורגן, כמובן, הבין את הנוסחה במובנה האמיתי; הוא היה משתף הפעולה של בול לאורך כל הדרך. הרברט ספנסר, ג'ואט ורוברט לסלי אליס הבינו, אני בטוחה; ועוד כמה אחרים, אך כמעט כל הלוגיקנים והמתמטיקאים התעלמו מההצהרה שהספר נועד לשפוך אור על טבע המוח האנושי; והתייחסו לנוסחה כולה כאל שיטה חדשה ונפלאה לצמצום לסדר לוגי של מסות של ראיות על עובדות חיצוניות.
מרי בול טענה שהייתה השפעה עמוקה – דרך דודה ג'ורג' אוורסט – של מחשבה הודית בכלל ולוגיקה הודית, בפרט, על ג'ורג' בול, כמו גם על אוגוסטוס דה מורגן וצ'ארלס בבג':
> תחשבו מה הייתה צריכה להיות ההשפעה של ההינדואיזציה האינטנסיבית של שלושה אנשים כמו בבג', דה מורגן וג'ורג' בול על האווירה המתמטית של 1830–65. איזה חלק היה לה ביצירת ניתוח וקטורים והמתמטיקה שבאמצעותה מתבצעים כיום מחקרים במדע פיזיקלי?
בול טען ש:
> לא ניתן לבסס שיטה כללית לפתרון שאלות בתורת ההסתברויות שאינה מכירה במפורש, לא רק בבסיסים המספריים המיוחדים של המדע, אלא גם בחוקי המחשבה האוניברסליים שהם הבסיס לכל הנמקה, ואשר, יהיו אשר יהיו מבחינת מהותם, הם לפחות מתמטיים מבחינת צורתם.
מוות
בסוף נובמבר 1864, בול הלך, בגשם כבד, מביתו בליצ'פילד קוטג' בבלנטימפל לאוניברסיטה, מרחק של שלושה מיילים, והרצה כשהוא לובש את בגדיו הרטובים. הוא חלה עד מהרה, ופיתח דלקת ריאות. מכיוון שאשתו האמינה שתרופות צריכות להידמות לסיבתן, היא עטפה אותו בשמיכות רטובות – הרטיבות גרמה למחלתו. מצבו של בול החמיר וב-8 בדצמבר 1864, הוא מת מתפליט פלאורלי שנגרם מחום.
הוא נקבר בבית הקברות של כנסיית אירלנד של סנט מייקל, צ'רץ' רואד, בלקרוק (פרבר של קורק). יש לוח הנצחה בתוך הכנסייה הסמוכה.
מורשת
בול הוא שמו של ענף האלגברה הידוע כאלגברה בוליאנית, וכן שמו של המכתש הירחי בול. מילת המפתח Bool מייצגת סוג נתונים בוליאני בשפות תכנות רבות, אם כי פסקל וג'אווה, בין היתר, משתמשות בשם המלא Boolean. הספרייה, מתחם אולם ההרצאות התת-קרקעי ומרכז בול למחקר באינפורמטיקה באוניברסיטת קורק נקראים על שמו. כביש בשם בול הייטס בברקנל, ברקשייר נקרא על שמו.
עבודתו של בול הורחבה ושופרה על ידי מספר כותבים, החל מוויליאם סטנלי ג'בונס, שגם כתב את המאמר על בול באנציקלופדיה בריטניקה. אוגוסטוס דה מורגן עבד על לוגיקת היחסים, וצ'ארלס סנדרס פירס שילב את עבודתו עם זו של בול במהלך שנות ה-70. דמויות משמעותיות אחרות היו פלטון סרגייביץ' פורצקי וויליאם ארנסט ג'ונסון. התפיסה של מבנה אלגברה בוליאנית על טענות שקולות של תחשיב פסוקים מזוכה ליו מקול (1877), בעבודה שנסקרה 15 שנים מאוחר יותר על ידי ג'ונסון. סקירות של התפתחויות אלה פורסמו על ידי ארנסט שרדר, לואי קוטורה וקלרנס אירווינג לואיס.
### יישומים במאה ה-20
בשנת 1921, הכלכלן ג'ון מיינארד קיינס פרסם ספר על תורת ההסתברות, "חיבור על הסתברות". קיינס האמין שבול עשה טעות יסודית בהגדרתו לאי-תלות שפגמה בחלק גדול מהניתוח שלו. בספרו "בעיית האתגר האחרונה", דייוויד מילר מספק שיטה כללית בהתאם למערכת של בול ומנסה לפתור את הבעיות שהוכרו קודם לכן על ידי קיינס ואחרים. תיאודור היילפרין הראה הרבה קודם לכן שבול השתמש בהגדרה המתמטית הנכונה לאי-תלות בבעיות שפתר.
עבודתו של בול ושל לוגיקנים מאוחרים יותר נראתה בתחילה כחסרת שימושים הנדסיים. קלוד שאנון השתתף בשיעור פילוסופיה באוניברסיטת מישיגן שהציג לו את מחקריו של בול. שאנון זיהה שעבודתו של בול יכולה להוות בסיס למנגנונים ותהליכים בעולם האמיתי ושהיא לכן רלוונטית מאוד. בשנת 1937 שאנון המשיך לכתוב תזה לתואר שני, במכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס, שבה הראה כיצד אלגברה בוליאנית יכולה לייעל את התכנון של מערכות ממסרים אלקטרומכניים ששימשו אז במתגי ניתוב טלפוניים. הוא גם הוכיח שמעגלים עם ממסרים יכולים לפתור בעיות אלגברה בוליאנית. שימוש בתכונות של מתגים חשמליים לעיבוד לוגיקה הוא המושג הבסיסי העומד בבסיס כל המחשבים הדיגיטליים האלקטרוניים המודרניים. ויקטור שסטקוב באוניברסיטת מוסקבה (1907–1987) הציע תאוריה של מתגים חשמליים המבוססת על לוגיקה בוליאנית אפילו מוקדם יותר מקלוד שאנון ב-1935 על פי עדותם של הלוגיקנים והמתמטיקאים הסובייטים סופיה ינובסקיה, גאזה-רפופורט, רולנד דוברושין, לופנוב, מדבדב ואוספנסקי. אך הפרסום הראשון של תוצאתו של שסטקוב התרחש רק ב-1941 (ברוסית). מכאן, אלגברה בוליאנית הפכה לבסיס לתכנון מעגלים דיגיטליים מעשיים; ובול, דרך שאנון ושסטקוב, סיפק את הבסיס התאורטי לעידן המידע.
### יום השנה ה-200
שנת 2015 הייתה יום השנה ה-200 להולדתו של בול. כדי לציין את שנת המאתיים, אוניברסיטת קורק הצטרפה למעריצי בול ברחבי העולם כדי לחגוג את חייו ומורשתו.
פרויקט "ג'ורג' בול 200" של UCC, כלל אירועים, פעילויות הסברה לסטודנטים וכנסים אקדמיים על מורשתו של בול בעידן הדיגיטלי, כולל מהדורה חדשה של הביוגרפיה של דזמונד מק'הייל משנת 1985 "חייו ועבודתו של ג'ורג' בול: הקדמה לעידן הדיגיטלי", 2014.
מנוע החיפוש גוגל ציין את יום השנה ה-200 להולדתו ב-2 בנובמבר 2015 עם דמיון אלגברי מחדש של ה-Google Doodle שלו.
בספטמבר 2022, פסל של ג'ורג' בול בתפקידו כמורה נחשף בתחנת הרכבת המרכזית של לינקולן, בעיר הולדתו של בול, לינקולן.
עבודות מתמטיות
מאמרו הראשון של בול שפורסם היה "מחקרים בתורת הטרנספורמציות האנליטיות, עם יישום מיוחד להפחתת המשוואה הכללית מסדר שני", שהודפס ב-Cambridge Mathematical Journal בפברואר 1840 (כרך 2, מס' 8, עמ' 64–73), והוא הוביל לידידותו עם דאנקן פרקוהרסון גרגורי, עורך המגזין. עבודותיו נמצאות בכ-50 מאמרים וכמה פרסומים נפרדים.
בשנת 1841, בול פרסם מאמר משפיע על תורת האינווריאנטים המוקדמת. הוא קיבל מדליה מהחברה המלכותית על זיכרונותיו מ-1844, "על שיטה כללית בניתוח". זו הייתה תרומה לתורת המשוואות הדיפרנציאליות הליניאריות, שעברה ממקרה של מקדמים קבועים עליהם כבר פרסם, למקדמים משתנים. החידוש בשיטות תפעוליות הוא להודות שפעולות עשויות שלא להתחלף. בשנת 1847, בול פרסם את "הניתוח המתמטי של הלוגיקה", הראשון מעבודותיו על לוגיקה סימבולית.
### משוואות דיפרנציאליות
בול השלים שני חיבורים שיטתיים על נושאים מתמטיים במהלך חייו. "חיבור על משוואות דיפרנציאליות" הופיע ב-1859, ואחריו, בשנה שלאחר מכן, "חיבור על חשבון הפרשים סופיים", המשך לעבודה הקודמת. זמן קצר לאחר מותו, טודהאנטר פרסם מחדש את החיבור של בול עם כמה מהתיקונים של בול, יחד עם תוספת שהייתה מיועדת במקור להתמזג ביצירת המהדורה השנייה.
### ניתוח
בשנת 1857, בול פרסם את החיבור "על השוואת טרנסצנדנטים, עם יישומים מסוימים לתורת האינטגרלים המוגדרים", שבו חקר את סכום השאריות של פונקציה רציונלית. בין תוצאות אחרות, הוא הוכיח את מה שנקרא כיום זהות בול:
m e s
{
x ∈
R
∣
ℜ
1 π
∑
a
k
x −
b
k
≥ t
}
=
∑
a
k
π t
{\displaystyle \mathrm {mes} \left\{x\in \mathbb {R} \,\mid \,\Re {\frac {1}{\pi }}\sum {\frac {a_{k}}{x-b_{k}}}\geq t\right\}={\frac {\sum a_{k}}{\pi t}}}
עבור כל מספרים ממשיים ak > 0, bk, ו-t > 0. הכללות של זהות זו משחקות תפקיד חשוב בתורת התמרת הילברט.
### לוגיקה בינארית
בשנת 1847, בול פרסם את החוברת "ניתוח מתמטי של הלוגיקה". הוא התייחס אליה מאוחר יותר כאל תיאור פגום של המערכת הלוגית שלו ורצה ש"חקירה של חוקי המחשבה שעליהם מבוססות התאוריות המתמטיות של לוגיקה והסתברויות" תיראה כהצהרה הבוגרת של השקפותיו. בניגוד לאמונה הרווחת, בול מעולם לא התכוון לבקר או לא להסכים עם העקרונות העיקריים של הלוגיקה של אריסטו. במקום זאת, הוא התכוון לסדר אותה, לספק לה בסיס, ולהרחיב את טווח היישום שלה. מעורבותו הראשונית של בול בלוגיקה עוררה על ידי ויכוח נוכחי על כימות, בין סר ויליאם המילטון שתמך בתורת "כימות הפרדיקט", לבין תומכו של בול אוגוסטוס דה מורגן שקידם גרסה של דואליות דה מורגן, כפי שהיא נקראת כיום. הגישה של בול הייתה בסופו של דבר מרחיקת לכת הרבה יותר משני הצדדים במחלוקת. היא ייסדה את מה שהיה ידוע לראשונה כמסורת "אלגברת הלוגיקה".
בין חידושיו הרבים נמצא עקרון ההתייחסות ההוליסטית שלו, שאומץ מאוחר יותר, וכנראה באופן עצמאי, על ידי גוטלוב פרגה ועל ידי לוגיקנים המנויים על לוגיקה מסדר ראשון סטנדרטית. מאמר משנת 2003 מספק השוואה שיטתית והערכה ביקורתית של הלוגיקה האריסטוטלית והלוגיקה הבוליאנית; הוא גם חושף את מרכזיותה של ההתייחסות ההוליסטית בפילוסופיה של הלוגיקה של בול.
הגדרת יקום השיח משנת 1854
> בכל שיח, בין אם של המוח המשוחח עם מחשבותיו שלו, או של הפרט בהתרועעותו עם אחרים, יש גבול מונח או מפורש שבתוכו מוגבלים נושאי פעולתו. השיח הבלתי מוגבל ביותר הוא זה שבו המילים שבהן אנו משתמשים מובנות ביישום הרחב ביותר האפשרי, ועבורן, גבולות השיח הם בעלי היקף זהה לאלה של היקום עצמו. אך בדרך כלל אנו מגבילים את עצמנו לתחום פחות מרווח. לעיתים, בשיחה על גברים אנו מרמזים (מבלי לבטא את ההגבלה) שעל גברים רק בנסיבות ותנאים מסוימים אנו מדברים, כמו על גברים מתורבתים, או על גברים במלוא כוחם, או על גברים תחת תנאי או יחס אחר כלשהו. כעת, תהיה אשר תהיה מידת התחום שבתוכו נמצאים כל נושאי השיח שלנו, תחום זה עשוי להיקרא כראוי יקום השיח. יתרה מכך, יקום שיח זה הוא במובן המחמיר ביותר הנושא האולטימטיבי של השיח.
טיפול בחיבור בלוגיקה
בול תפס "סמלים בחירתיים" מסוגו כמבנה אלגברי. אך מושג כללי זה לא היה זמין לו: לא הייתה לו ההפרדה הסטנדרטית באלגברה מופשטת של תכונות פוסטולטיות (אקסיומטיות) של פעולות, ותכונות מוסקות. עבודתו הייתה התחלה לאלגברה של קבוצות, שוב לא מושג שהיה זמין לבול כמודל מוכר. מאמציו החלוציים נתקלו בקשיים ספציפיים, והטיפול בחיבור היה קושי ברור בימים הראשונים.
בול החליף את פעולת הכפל במילה "ו-" ואת החיבור במילה "או". אך במערכת המקורית של בול, + הייתה פעולה חלקית: בשפת תורת הקבוצות היא הייתה תואמת רק לאיחוד של תת-קבוצות זרות. כותבים מאוחרים יותר שינו את הפרשנות, וקראו אותה בדרך כלל כ-או בלעדי, או במונחים של תורת הקבוצות כהפרש סימטרי; צעד זה אומר שהחיבור מוגדר תמיד.
למעשה, קיימת האפשרות האחרת להכללת הפעולה החלקית המקורית של בול, ש-+ צריכה להיקרא כ-או לא בלעדי. הטיפול בעמימות זו היה בעיה מוקדמת של התאוריה, המשקפת את השימוש המודרני גם בטבעות בוליאניות וגם באלגברות בוליאניות (שהן פשוט היבטים שונים של סוג אחד של מבנה). בול וג'בונס נאבקו בדיוק על סוגיה זו ב-1863, בצורה של הערכה נכונה של x + x. ג'בונס טען לתוצאה x, שהיא נכונה עבור + כדיסיונקציה. בול שמר על התוצאה כמשהו לא מוגדר. הוא טען נגד התוצאה 0, שהיא נכונה עבור או בלעדי, מכיוון שראה במשוואה x + x = 0 כמרמזת על x = 0, אנלוגיה שגויה לאלגברה רגילה.
### תורת ההסתברות
החלק השני של "חוקי המחשבה" הכיל ניסיון מקביל לגלות שיטה כללית בהסתברויות. כאן המטרה הייתה אלגוריתמית: מההסתברויות הנתונות של כל מערכת אירועים, לקבוע את ההסתברות הנובעת של כל אירוע אחר הקשור לוגית לאירועים אלה.