Zhu Shijie : L'algétricien errant de la Chine

Pendant plus de vingt ans, un mathématicien originaire de Yan-shan, près de l'actuelle Pékin, a arpenté les routes d'une Chine récemment unifiée sous Kublai Khan, enseignant l'algèbre à quiconque voulait l'apprendre. Lorsqu'il a enfin consigné ses méthodes sur le papier, il a produit un livre tellement en avance sur les besoins des mathématiciens chinois que, selon l'estimation de l'historien George Sarton, cela l'a marqué comme l'un des plus grands mathématiciens « de sa race, de son époque et, en vérité, de tous les temps ». Ensuite, le livre a failli disparaître, et la Chine elle-même n'allait pas pleinement en retrouver le contenu avant cinq cents ans.

Un enseignant sur la route

Les sources situent la vie de Zhu Shijie quelque part entre 1249 et 1320, la période la plus communément admise étant d'environ 1260 à 1320 ; même ses dates exactes témoignent du peu de registres directs qui subsistent de lui en dehors de ses propres livres. Il portait le prénom social Hanqing et le pseudonyme littéraire Songting. Il appartient à un groupe que le domaine qualifie de derniers grands mathématiciens chinois du XIIIe siècle, aux côtés de Qin Jiushao, Yang Hui et Li Zhi — les hommes qui ont porté l'algèbre des dynasties Song et Jin à son apogée avant que la tradition ne stagne pendant des siècles. Ce qui distinguait Zhu de ce groupe, c'était la mobilité : la unifications mongole de la Chine a ouvert des routes qui avaient été fermées par la guerre entre le nord et le sud, et Zhu les a empruntées, voyageant pendant deux décennies comme enseignant itinérant et transportant des techniques mathématiques développées dans le nord vers le sud de la Chine, où elles n'avaient pas circulé auparavant.

Introduction aux études computationnelles

Son premier livre, le Suanxue qimeng (Introduction aux études computationnelles), a paru en 1299. C'est un texte délibérément élémentaire — trois volumes, vingt chapitres, 259 problèmes — qui guide l'étudiant à travers les fractions, les décimales, les aires, les volumes et l'ancienne règle de la fausse position double. Il a fait son travail trop bien pour survivre dans son pays natal : une fois que des textes plus avancés l'ont supplanté en Chine, le livre y a complètement disparu. Il a plutôt survécu à l'étranger, imprimé en Corée en 1433 et au Japon en 1658, et il a façonné l'éducation mathématique dans les deux pays pendant des générations avant qu'un érudit de la dynastie Qing, Luo Shilin, ne récupère un exemplaire et ne le réimprime en Chine au XIXe siècle — un manuel qui a dû quitter le pays pour pouvoir y revenir.

Le Miroir de jade des quatre inconnues

Le chef-d'œuvre de Zhu, le Siyuan yujian (Le Miroir de jade des quatre inconnues), a suivi en 1303. Il contient 288 problèmes résolus, et sa réalisation centrale est une méthode permettant de traiter non pas une quantité inconnue, mais quatre à la fois, affublées des noms poétiques de Ciel, Terre, Homme et Matière. Là où les algétriciens chinois précédents avaient développé la « méthode de l'inconnue céleste » — essentiellement une forme d'algèbre symbolique pour une seule variable, exprimée au moyen de dispositions de réguettes à compter —, Zhu l'a étendue en un véritable système permettant de poser et de résoudre des équations polynomiales simultanées, puis de réduire le système résultant à une seule équation à une inconnue, parfois de degré quatorze, qu'il résolvait ensuite numériquement. La technique qu'il a utilisée pour cette solution numérique est essentiellement la méthode que les Européens nommeront plus tard d'après William Horner, découverte de manière indépendante et appliquée en Chine plus de cinq siècles avant que Horner ne la publie. Le livre présente également, dans un diagramme sous-titré « la table de l'ancienne méthode des puissances jusqu'à la huitième », le tableau des coefficients binomiaux que l'Europe allait connaître sous le nom de triangle de Pascal, ainsi que des formules dérivées pour sommer des séries de nombres naturels et figurés — la somme des n premiers entiers, la somme des nombres triangulaires et des séquences plus élaborées traitées par une méthode systématique de différences successives. Il est à noter que Zhu n'a pas toujours cherché le chemin le plus simple vers une réponse ; plusieurs problèmes semblent avoir été construits délibérément avec une grande complexité, apparemment pour soumettre sa méthode à toutes ses potentialités pour les étudiants plutôt que de modéliser une question du monde réel de manière économique.

Perdu et retrouvé

Le Miroir de jade n'a pas non plus survécu intact. Au XVIIIe siècle, il avait pratiquement disparu de la circulation en Chine, et il doit son existence moderne à l'érudit Ruan Yuan, qui a retrouvé un unique exemplaire survivant dans la province du Zhejiang — un texte qu'il a lui-même décrit comme gravement corrompu et « grouillant d'erreurs ». Des érudits ultérieurs de la dynastie Qing ont ajouté sept préfaces et de longs commentaires pour tenter de reconstituer et de clarifier les arguments originaux de Zhu, un travail si vaste que les historiens d'aujourd'hui ont du mal à séparer la pensée propre de Zhu des couches d'annotations du XIXe siècle construites par-dessus. Ce qui émerge du dessous est toujours considéré comme le sommet technique de l'algèbre chinoise médiévale : les historiens contemporains des mathématiques écrivent que les mathématiques chinoises n'ont pas progressé de manière significative au-delà de ce que Zhu avait accompli pendant très longtemps par la suite.

Pourquoi Zhu est qualifié de génie

Le cas du génie de Zhu repose sur l'abstraction avec des outils primitifs. Travaillant avec des réguettes à compter sur un plateau plutôt qu'avec une notation symbolique écrite, il a construit une méthode cohérente pour représenter et résoudre des systèmes d'équations polynomiales comportant jusqu'à quatre inconnues — un niveau de généralité algébrique que les mathématiques chinoises n'avaient pas atteint avant lui et que l'Europe n'atteindrait sous une forme comparable qu'au début de l'époque moderne. Sa technique numérique pour extraire les racines de polynômes de haut degré a anticipé la méthode de Horner de plus de cinq cents ans, et son tableau triangulaire de coefficients binomiaux a anticipé celui de Pascal de plus de trois siècles, obtenu grâce à une tradition mathématique totalement distincte sans aucun contact entre les deux. Ce type de découverte convergente — la même structure profonde trouvée deux fois, à des siècles et des civilisations d'intervalle — est l'une des signatures classiques que les historiens des mathématiques soulignent comme preuve d'une véritable perspicacité plutôt que d'un raffinement incrémental d'outils existants.

La réserve honnête est que la réputation de Zhu repose presque entièrement sur deux livres dont le texte survivant est lui-même incertain : le Miroir de jade est parvenu au monde moderne à travers un seul exemplaire corrompu filtré à travers des siècles de commentaires ultérieurs, de sorte que les spécialistes ne peuvent pas toujours être sûrs des passages qui sont les propres mots de Zhu et de ceux qui relèvent de la reconstruction ou de l'élaboration de la dynastie Qing. Sa biographie est tout aussi mince — même ses années de naissance et de mort varient de plus d'une décennie selon les sources —, laissant un génie attesté presque entièrement par les mathématiques elles-mêmes plutôt que par des témoignages contemporains sur l'homme.

Héritage

Les méthodes de Zhu pour éliminer les variables des systèmes d'équations polynomiales sont reconnues par les mathématiciens modernes comme un ancêtre direct de la « méthode des ensembles caractéristiques » de Wu Wenjun au XXe siècle, une technique encore utilisée aujourd'hui en algèbre computationnelle — un cas rare où une technique algébrique chinoise médiévale alimente directement les mathématiques computationnelles contemporaines au lieu de rester une curiosité historique.