Zhu Shijie: Chinas wandernder Algebraiker

Über zwanzig Jahre lang zog ein Mathematiker aus Yan-shan nahe dem heutigen Peking über die Straßen eines unter Kublai Khan frisch geeinten China und lehrte jedem Algebra, der sie lernen wollte. Als er seine Methoden schließlich zu Papier brachte, verfasste er ein Buch, das den Bedürfnissen der chinesischen Mathematiker so weit voraus war, dass es ihn nach Einschätzung des Historikers George Sarton zu einem der größten Mathematiker „seiner Rasse, seiner Zeit und wahrlich aller Zeiten“ machte. Danach verschwand das Buch fast, und China selbst sollte seinen Inhalt erst fünfhundert Jahre später wieder vollständig bergen.

Ein Lehrer auf der Straße

Quellen datieren Zhu Shijies Leben irgendwo zwischen 1249 und 1320, am häufigsten wird es mit etwa 1260 bis 1320 angegeben; selbst seine genauen Lebensdaten sind ein Opfer davon, wie wenige direkte Aufzeichnungen über ihn abseits seiner eigenen Bücher erhalten geblieben sind. Er trug den Ehrennamen Hanqing und das literarische Pseudonym Songting. Er gehört zu einer Gruppe, die das Fachgebiet als die letzten der großen chinesischen Mathematiker des 13. Jahrhunderts bezeichnet, neben Qin Jiushao, Yang Hui und Li Zhi – jenen Männern, die die Algebra der Song- und Jin-Dynastie zu ihrem Höhepunkt führten, bevor die Tradition jahrhundertelang stagnierte. Was Zhu von dieser Gruppe abhob, war seine Mobilität: Die mongolische Einigung Chinas öffnete Wege, die durch den Krieg zwischen Nord und Süden geschlossen worden waren, und Zhu nutzte sie, reiste zwei Jahrzehnte lang als reisender Lehrer und trug mathematische Techniken, die im Norden entwickelt worden waren, hinab nach Südchina, wo sie zuvor nicht kursiert waren.

Einführung in die Rechenstudien

Sein erstes Buch, das Suanxue qimeng (Einführung in die Rechenstudien), erschien 1299. Es ist ein bewusst elementares Lehrbuch – drei Bände, zwanzig Kapitel, 259 Aufgaben –, das einen Schüler durch Brüche, Dezimalzahlen, Flächen, Volumina und die alte Regel der doppelten falschen Position führt. Es erfüllte seine Aufgabe zu gut, um in der Heimat zu überleben: Sobald fortgeschrittenere Texte es in China ablösten, ging das Buch dort völlig verloren. Es überlebte stattdessen im Ausland, wurde 1433 in Korea und 1658 in Japan gedruckt, und es prägte die mathematische Bildung in beiden Ländern über Generationen hinweg, bevor ein Gelehrter der Qing-Dynastie, Luo Shilin, ein Exemplar wiederfand und es im 19. Jahrhundert in China nachdruckte – ein Lehrbuch, das das Land verlassen musste, um nach Hause zurückzukehren.

Der Jadespiegel der vier Unbekannten

Zhus Meisterwerk, das Siyuan yujian (Der Jadespiegel der vier Unbekannten), folgte im Jahr 1303. Es enthält 288 gelöste Probleme, und seine zentrale Leistung ist eine Methode zum Umgang nicht mit einer unbekannten Größe, sondern mit vieren gleichzeitig, die mit den poetischen Namen Himmel, Erde, Mensch und Materie versehen sind. Wo frühere chinesische Algebraiker die „Methode der himmlischen Unbekannten“ entwickelt hatten – im Wesentlichen eine Form der symbolischen Algebra für eine einzige Variable, ausgedrückt durch Rechenstab-Anordnungen –, dehnte Zhu sie zu einem echten System aus, um simultane Polynomgleichungen aufzustellen und zu lösen, und reduzierte das resultierende System dann auf eine einzige Gleichung mit einer Unbekannten, manchmal vom Grade vierzehn, die er dann numerisch löste. Die Technik, die er für diese numerische Lösung verwendete, ist im Wesentlichen die Methode, die Europäer später nach William Horner benennen sollten, unabhängig voneinander gefunden und in China mehr als fünf Jahrhunderte vor Horners Veröffentlichung angewendet. Das Buch zeigt zudem in einem Diagramm mit der Bildunterschrift „die Tabelle der alten Methode der Potenzen bis zur achten“ die Anordnung der Binomialkoeffizienten, die Europa als Pascalsches Dreieck kennenlernen sollte, neben abgeleiteten Formeln zur Summierung von Reihen natürlicher und figurierter Zahlen – der Summe der ersten n ganzen Zahlen, der Summe dreieckiger Zahlen und komplexerer Sequenzen, die durch eine systematische Methode sukzessiver Differenzen behandelt wurden. Bemerkenswerterweise suchte Zhu nicht immer den einfachsten Weg zu einer Antwort; mehrere Probleme scheinen absichtlich mit hoher Komplexität konstruiert worden zu sein, anscheinend um seine Methode für Schüler voll auszuschöpfen, anstatt eine Frage der realen Welt wirtschaftlich zu modellieren.

Verloren und wiedergefunden

Auch der Jadespiegel überlebte nicht unversehrt. Bis zum 18. Jahrhundert war er in China praktisch aus dem Umlauf verschwunden, und er verdankt seine moderne Existenz dem Gelehrten Ruan Yuan, der ein einziges überlebendes Exemplar in der Provinz Zhejiang aufspürte – einen Text, den er selbst als stark verderbt und „wimmelnd von Fehlern“ beschrieb. Spätere Gelehrte der Qing-Dynastie fügten sieben Vorworte und umfangreiche Kommentare hinzu, um Zhus ursprüngliche Argumente zu rekonstruieren und zu klären, eine so umfangreiche Arbeit, dass Historiker heute Schwierigkeiten haben, Zhus eigenes Denken von den Schichten der Kommentierung des 19. Jahrhunderts zu trennen, die darüber errichtet wurden. Was darunter zum Vorschein kommt, wird nach wie vor als technischer Höhepunkt der mittelalterlichen chinesischen Algebra angesehen: Zeitgenössische Mathematikhistoriker schreiben, dass die chinesische Mathematik über sehr lange Zeit danach nicht nennenswert über das hinausging, was Zhu erreicht hatte.

Warum Zhu ein Genie genannt wird

Das Argument für Zhus Genie ist ein Argument über Abstraktion mit primitiven Werkzeugen. Mit Rechenstäben auf einem Brett statt geschriebener symbolischer Notation baute er eine kohärente Methode zur Darstellung und Lösung von Systemen polynomieller Gleichungen mit bis zu vier Unbekannten auf – ein Grad algebraischer Allgemeingültigkeit, den die chinesische Mathematik vor ihm nicht erreicht hatte und den Europa in vergleichbarer Form erst weit in der frühen Neuzeit erreichen sollte. Seine numerische Technik zur Wurzelziehung von Polynomen hohen Grades nahm Horners Methode um über fünfhundert Jahre vorweg, und seine dreieckige Anordnung von Binomialkoeffizienten nahm die von Pascal um mehr als drei Jahrhunderte vorweg, erreicht durch eine völlig eigenständige mathematische Tradition ohne jeglichen Kontakt zwischen den beiden. Diese Art konvergenter Entdeckung – dieselbe tiefe Struktur, die zweimal, Jahrhunderte und Zivilisationen voneinander entfernt, gefunden wurde – ist eines der klassischen Merkmale, auf die Mathematikhistoriker als Beweis für echte Einsicht statt für schrittweise Verfeinerung bestehender Werkzeuge verweisen.

Die ehrliche Einschränkung ist, dass Zhus Ruf fast ausschließlich auf zwei Büchern beruht, deren überlieferter Text selbst unsicher ist: Der Jadespiegel gelangte durch ein einziges beschädigtes Exemplar, gefiltert durch Jahrhunderte späterer Kommentare, in die moderne Welt, sodass Spezialisten sich nicht immer sicher sein können, welche Passagen Zhus eigene Worte und welche Rekonstruktionen oder Ausarbeitungen der Qing-Dynastie sind. Seine Biografie ist ähnlich dünn – selbst seine Geburts- und Sterbejahre weichen in den Quellen um mehr als ein Jahrzehnt voneinander ab –, was ein Genie hinterlässt, das fast ausschließlich durch die Mathematik selbst und nicht durch zeitgenössische Zeugnisse über den Mann bezeugt wird.

Vermächtnis

Zhus Methoden zur Eliminierung von Variablen aus Systemen polynomieller Gleichungen werden von modernen Mathematikern als direkter Vorläufer von Wu Wenjuns „Methode der charakteristischen Mengen“ aus dem 20. Jahrhundert anerkannt, einer Technik, die noch heute in der Computeralgebra verwendet wird – ein seltener Fall, in dem eine mittelalterliche chinesische algebraische Technik direkt in die zeitgenössische Computermathematik einfließt, anstatt eine historische Kuriosität zu bleiben.