Чжу Шицзе: странствующий алгебраист Китая

Более двадцати лет математик из Яньшаня (Yanshan), что недалеко от современного Пекина, ходил по дорогам Китая, вновь объединенного при Хубилай-хане (Kublai Khan), обучая алгебре всех, кто хотел учиться. Когда он наконец изложил свои методы на бумаге, он создал книгу, настолько опередившую потребности китайских математиков того времени, что, по оценке историка Джорджа Сартона (George Sarton), она поставила его в ряд величайших математиков «своей расы, своего времени и воистину всех времен». Затем книга почти исчезла, и сам Китай не мог полностью восстановить ее содержание в течение пятисот лет.

Учитель в дороге

Источники относят жизнь Чжу Шицзе (Zhu Shijie) примерно к периоду между 1249 и 1320 годами, чаще всего указывая рамки с 1260 по 1320 год; даже его точные даты жизни стали жертвой того, как мало прямых записей сохранилось о нем помимо его собственных книг. Он носил второе имя Ханьцин (Hanqing) и литературный псевдоним Сунтин (Songting). Он принадлежит к группе, которую специалисты называют последними великими китайскими математиками XIII века, наряду с Цинь Цзюшао (Qin Jiushao), Ян Хуэй (Yang Hui) и Ли Чжи (Li Zhi) — людьми, которые вывели алгебру эпох Сун и Цзинь на ее высшую точку до того, как эта традиция на столетия зашла в тупик. Что отличало Чжу от этой группы, так это мобильность: монгольское объединение Китая открыло дороги, закрытые из-за войны между севером и югом, и Чжу воспользовался ими, путешествуя в течение двух десятилетий в качестве бродячего учителя и перенося математические методы, разработанные на севере, в южный Китай, где они ранее не были распространены.

Введение в вычислительные науки

Его первая книга, Суаньсюэ цимэн (Suanxue qimeng, Введение в вычислительные науки), появилась в 1299 году. Это был намеренно элементарный текст — три тома, двадцать глав, 259 задач, — проводящий студента через дроби, десятичные дроби, площади, объемы и старое правило ложного двойного положения. Книга выполнила свою задачу слишком хорошо, чтобы сохраниться на родине: как только в Китае ее вытеснили более продвинутые тексты, она была полностью утрачена там. Вместо этого она сохранилась за рубежом, будучи напечатанной в Корее в 1433 году и в Японии в 1658 году, и формировала математическое образование в обеих странах на протяжении поколений, пока ученый эпохи Цин Луо Шилинь (Luo Shilin) не нашел копию и не переиздал ее в Китае в XIX веке — учебник, которому пришлось покинуть страну, чтобы вернуться домой.

Нефритовое зеркало четырех неизвестных

Главный труд Чжу, Сиюань юйцзянь (Siyuan yujian, Нефритовое зеркало четырех неизвестных), вышел в свет в 1303 году. Он содержит 288 решенных задач, и его главным достижением является метод работы не с одной неизвестной величиной, а сразу с четырьмя, которым были присвоены поэтические имена Небо, Земля, Человек и Материя. В то время как ранние китайские алгебраисты разработали «метод небесного неизвестного» — по сути, форму символической алгебры для одной переменной, выражаемую через массивы счетных палочек, — Чжу расширил его в подлинную систему составления и решения систем полиномиальных уравнений, а затем сведения полученной системы к одному уравнению с одной неизвестной, иногда степени до четырнадцатой, которое он затем решал численно. Техника, которую он использовал для этого численного решения, по сути является методом, который европейцы позже назовут в честь Уильяма Горнера (William Horner), к которому пришли независимо и который применялся в Китае более чем за пять веков до того, как Горнер опубликовал его. В книге также представлена в диаграмме с подписью «таблица древнего метода степеней до восьмой» таблица биномиальных коэффициентов, которую Европа узнает как треугольник Паскаля (Pascal's triangle), наряду с выведенными формулами для суммирования рядов натуральных и фигурных чисел — суммы первых n целых чисел, суммы треугольных чисел и более сложных последовательностей, обрабатываемых систематическим методом конечных разностей. Примечательно, что Чжу не всегда искал простейший путь к ответу; несколько задач, по-видимому, были намеренно составлены со сложностью, по-видимому, для того, чтобы заставить учеников полностью опробовать его метод, а не для того, чтобы экономно смоделировать реальную задачу.

Потерянное и найденное

Нефритовое зеркало также не сохранилось целиком. К XVIII веку оно фактически исчезло из обращения в Китае, и своим современным существованием оно обязано ученому Жуань Юаню (Ruan Yuan), который разыскал единственную сохранившуюся копию в провинции Чжэцзян (Zhejiang) — текст, который он сам описал как сильно испорченный и «кишащий ошибками». Поздние цинские ученые добавили семь предисловий и обширные комментарии, пытаясь реконструировать и прояснить первоначальные аргументы Чжу, — работа настолько масштабная, что историкам сегодня трудно отделить собственные мысли Чжу от наслоений комментариев XIX века, построенных поверх них. То, что обнаруживается под ними, до сих пор считается технической вершиной средневековой китайской алгебры: современные историки математики пишут, что китайская математика долгое время после этого существенно не продвигалась дальше того, чего достиг Чжу.

Почему Чжу называют гением

Аргумент в пользу гениальности Чжу — это аргумент об абстракции примитивными инструментами. Работая со счетными палочками на доске, а не с письменной символической нотацией, он создал последовательную методику представления и решения систем полиномиальных уравнений с количеством неизвестных до четырех — уровень алгебраической общности, которого китайская математика до него не достигала и которого Европа не достигала в сопоставимой форме вплоть до раннего Нового времени. Его численная техника извлечения корней из полиномов высокой степени опередила метод Горнера более чем на пятьсот лет, а его треугольный массив биномиальных коэффициентов опередил треугольник Паскаля более чем на три столетия, будучи достигнутым благодаря совершенно отдельной математической традиции при полном отсутствии контактов между ними. Такой род конвергентного открытия — когда одна и та же глубокая структура находится дважды, разделенная веками и цивилизациями, — является одним из классических признаков, на которые указывают историки математики как на свидетельство подлинного озарения, а не инкрементального усовершенствования существующих инструментов.

Честная оговорка заключается в том, что репутация Чжу основывается почти исключительно на двух книгах, чей сохранившийся текст сам по себе не до конца верен: Нефритовое зеркало дошло до современного мира через единственную испорченную копию, отфильтрованную через века последующих комментариев, поэтому специалисты не всегда могут быть уверены, какие пассажы принадлежат самому Чжу, а какие являются реконструкцией или детализацией эпохи Цин. Его биография столь же скудна — даже годы его рождения и смерти различаются в источниках более чем на десятилетие, — оставляя нам гения, подтвержденного почти исключительно самой математикой, а не современными свидетельствами о человеке.

Наследие

Методы Чжу по исключению переменных из систем полиномиальных уравнений признаны современными математиками прямым предшественником «метода характеристических множеств» У Вэньцзюня (Wu Wenjun) XX века, техники, которая до сих пор используется в компьютерной алгебре — редкий случай, когда средневековая китайская алгебраическая техника напрямую питает современную вычислительную математику, а не остается историческим курьезом.