Endre Szemerédi: In ogni caos c'è un ordine

Sei mesi dopo l'inizio degli studi di medicina, Endre Szemerédi decise che non si fidava di sé stesso con un bisturi — dubitava della sua capacità, disse in seguito, di "svolgere un lavoro che comportasse tale responsabilità" — e abbandonò. Per un po' di tempo vagò, poi si iscrisse a matematica e, per un errore burocratico, fu assegnato a un relatore di tesi di dottorato che non aveva mai chiesto. Quel documento archiviato erroneamente lo portò a Mosca sotto Israel Gelfand, uno dei grandi matematici del XX secolo, invece che sotto Alexander Gelfond, che Szemerédi avrebbe voluto. È uno dei migliori incidenti del settore.

Da Budapest a Mosca per errore

Szemerédi è nato il 21 agosto 1940 a Budapest. Dopo il breve e abbandonato tentativo in medicina, ha conseguito la laurea presso l'Università Eötvös Loránd di Budapest prima di passare all'Università Statale di Mosca per i suoi studi di master e dottorato. Lì, sotto Gelfand — l'errore clericale che lo mandò dal supervisore sbagliato — iniziò la carriera nella matematica discreta che alla fine gli avrebbe fatto guadagnare un riconoscimento vicino alla medaglia Fields, raramente dato alla combinatoria: il premio Abel.

Il teorema che porta il suo nome

Il risultato determinante di Szemerédi, annunciato nel 1975, ha risolto una congettura che Paul Erdős e Pál Turán avevano formulato decenni prima e che aveva resistito a ogni attacco: che qualsiasi insieme di numeri naturali con densità superiore positiva — a grandi linee, qualsiasi insieme che non si assottiglia fino a nulla rispetto all'intera retta numerica — deve contenere progressioni aritmetiche di ogni lunghezza, non importa quanto lunghe. È un'affermazione sull'ordine nascosto: per quanto irregolare o apparentemente sparso sia un insieme sufficientemente sostanzioso di numeri interi, sequenze strutturate vi sono inevitabilmente sepolte. Il comitato del premio Abel ha riassunto in seguito lo spirito del suo lavoro in una sola frase: "in ogni caos c'è un ordine".

Il lemma di regolarità

La dimostrazione di quel teorema ha prodotto qualcosa di ancora più importante del teorema stesso. Lungo il percorso, Szemerédi ha introdotto quello che oggi viene chiamato lemma di regolarità di Szemerédi, un risultato strutturale che mostra che ogni grafo sufficientemente grande può essere partizionato in un numero limitato di pezzi che si comportano, in un senso statistico preciso, in modo quasi casuale l'uno rispetto all'altro. Sembra un lemma tecnico; è diventato uno degli strumenti centrali della combinatoria moderna, a sostegno del test delle proprietà, della teoria dei limiti di grafi e di gran parte della teoria dei grafi estremale sviluppata nei decenni successivi. Vincitori della medaglia Fields, tra cui Timothy Gowers e László Lovász, hanno dedicato intere lezioni a tracciarne le conseguenze — un caso raro in cui il sottoprodotto di una prova supera in influenza il teorema originale.

Un corpo di risultati nominati

La carriera di Szemerédi ha prodotto un gruppo insolitamente ampio di risultati che oggi portano il suo nome insieme ai collaboratori: il teorema di Szemerédi-Trotter nella geometria di incidenza, che delimita quante volte punti e linee nel piano possono incontrarsi; il teorema di Hajnal-Szemerédi nella colorazione dei grafi; il teorema di Erdős-Szemerédi sulle somme e i prodotti in insiemi finiti, un risultato fondamentale in quello che divenne il campo della combinatoria aritmetica; e, con Miklós Ajtai, il teorema degli angoli (corners theorem). Con Ajtai e János Komlós ha stabilito limiti influenti sui numeri di Ramsey e costruito reti di smistamento a profondità ottimale — una rara escursione dalla matematica pura all'informatica teorica che ha aiutato a giustificare la sua futura collocazione accademica in un dipartimento di informatica. Con Ajtai, Václav Chvátal e Monroe Newborn ha anche dimostrato la disuguaglianza del numero di incroci, un limite fondamentale nel disegno di grafi. In oltre duecento articoli pubblicati, il filo conduttore è coerente: trovare una struttura rigida e inevitabile all'interno di oggetti — insiemi di interi, grafi, configurazioni di punti — che sembrano disordinati in superficie.

Una carriera americana costruita su fondamenta ungheresi

Szemerédi è entrato alla Rutgers University nel 1986 come professore di informatica dello Stato del New Jersey, posizione che ricopre ancora come emerito, pur rimanendo permanentemente affiliato all'Istituto di Matematica Alfréd Rényi di Budapest, sede istituzionale della matematica ungherese dalla metà del XX secolo. Nel frattempo ha ricoperto incarichi di visiting professor a Stanford, McGill, all'Università della Carolina del Sud e all'Università di Chicago, oltre a essere membro dell'Institute for Advanced Study di Princeton — una carriera che attraversa la migrazione matematica della Guerra Fredda dall'Ungheria e dalla sfera sovietica verso le università di ricerca americane.

Riconoscimento

I riconoscimenti si sono accumulati nel corso di cinque decenni: il premio Alfréd Rényi nel 1973 e il premio George Pólya nel 1975, negli anni immediatamente successivi alla pubblicazione del suo teorema; il premio Leroy P. Steele e il premio Rolf Schock per la matematica, entrambi nel 2008; l'elezione alla United States National Academy of Sciences nel 2010; e, nel 2012, il premio Abel stesso, assegnato "per i suoi contributi fondamentali alla matematica discreta e all'informatica teorica, e in riconoscimento del profondo e duraturo impatto di questi contributi sulla teoria additiva dei numeri e sulla teoria ergodica" — una citazione che attribuisce esplicitamente al suo lavoro il merito di aver rimodellato campi ben oltre la combinatoria strettamente definita. L'Ungheria lo ha reso insignito dell'Ordine di Santo Stefano nel 2020.

Perché Endre è chiamato un genio

La tesi a favore del genio di Szemerédi è tanto netta quanto la matematica può offrire: una singola dimostrazione, di una singola congettura di lunga data, ha generato uno strumento — il lemma di regolarità — la cui influenza a valle su un'intera disciplina supera probabilmente quella del teorema per cui è stato costruito. Quel tipo di impatto di secondo ordine, in cui il metodo sopravvive e supera il suo scopo originale, è uno dei segnali più chiari di una mente che opera al livello strutturale più profondo invece di limitarsi a risolvere il problema che ha davanti. Il linguaggio stesso del comitato del premio Abel — localizzare l'ordine all'interno del caos — non è iperbolico; è una giusta parafrasi di ciò che il lemma di regolarità fa effettivamente, e il fatto che Gowers e Lovász, tra le figure più decorate della disciplina, abbiano costruito importanti lezioni attorno alla spiegazione delle sue conseguenze ad altri matematici è una forma di acclamazione tra pari difficile da costruire o gonfiare.

Se c'è un'avvertenza, è di ristrettezza piuttosto che di esagerazione: la fama di Szemerédi poggia in modo schiacciante su risultati in matematica discreta e combinatoria, campi che per gran parte del ventesimo secolo sono stati considerati da parti dell'establishment matematico meno prestigiosi dell'analisi, della geometria o della teoria dei numeri nelle loro forme classiche — il premio Abel a un combinatorista è stato letto all'epoca come un argomento implicito che il campo meritava un riconoscimento che aveva tardato ad arrivare. Ciò non sminuisce il lavoro; significa che l'etichetta di "genio" qui traccia una forma specifica e tecnica di intuizione strutturale piuttosto che il tipo di fama universale legata a fisici o matematici i cui risultati sono famosi anche al di fuori del loro campo.

Eredità

Il lemma di regolarità viene ora insegnato come materiale standard nei corsi di combinatoria per laureati in tutto il mondo e rimane un motore attivo di nuove ricerche, anche in aree — informatica teorica, combinatoria additiva, teoria dei limiti di grafi — che esistevano a malapena quando Szemerédi lo ha scritto per la prima volta nel 1975. Ancora attivo come studioso emerito a metà dei suoi ottant'anni, rimane uno dei casi più chiari nella matematica moderna di un metodo di una singola prova che diventa più consequenziale del teorema che è stato progettato per stabilire.