ג'ו שיג'יה (Zhu Shijie): האלגבראי הנודד של סין
במשך יותר מעשרים שנה, מתמטיקאי מיאנשאן שליד בייג'ינג של ימינו צעד בדרכי סין שאוחדה זה מכבר תחת קובלאי חאן, כשהוא מלמד אלגברה לכל מי שחפץ ללמוד. כאשר העלה לבסוף את שיטותיו על הכתב, הוא הפיק ספר שהקדים את זמנו בהרבה ביחס לצרכיהם של מתמטיקאי סין, עד שעל פי הערכתו של ההיסטוריון ג'ורג' סרטון, הוא הציב אותו כאחד מגדולי המתמטיקאים "של גזעו, של תקופתו, ואכן של כל הזמנים". לאחר מכן הספר כמעט נעלם, וסין עצמה לא שחזרה את תוכנו במלואו במשך חמש מאות שנה.
מורה בדרכים
מקורות מציבים את חייו של ג'ו שיג'יה בין השנים 1249 ל-1320, לרוב מצוין טווח של כ-1260 עד 1320; אפילו תאריכיו המדויקים הם קורבן של מיעוט התיעוד הישיר שנותר אחריו מעבר לספריו שלו. הוא נשא את שם הנימוס האנצ'ינג (Hanqing) ואת שם העט הספרותי סונגטינג (Songting). הוא שייך לקבוצה שהתחום מכנה אחרוני המתמטיקאים הסינים הדגולים של המאה ה-13, לצד צ'ין ג'יושאו (Qin Jiushao), יאנג הוי (Yang Hui) ולי ג'י (Li Zhi) — האנשים שהביאו את האלגברה של שושלות סונג וג'ין לשיאה לפני שהמסורת קפאה על שמריה במשך מאות שנים. מה שהבדיל את ג'ו מקבוצה זו היה ניידות: איחוד סין בידי המונגולים פתח דרכים שהיו סגורות בשל המלחמה בין הצפון לדרום, וג'ו השתמש בהן, כשהוא נוסע במשך שני עשורים כמורה נודד ונושא עמו טכניקות מתמטיות שפותחו בצפון אל דרום סין, שם הן לא היו מוכרות קודם לכן.
מבוא ללימודים חישוביים
ספרו הראשון, סואנשואה צ'ימנג (Suanxue qimeng, מבוא ללימודים חישוביים), הופיע ב-1299. זהו טקסט יסודי במכוון — שלושה כרכים, עשרים פרקים, 259 בעיות — המלווה את התלמיד דרך שברים, מספרים עשרוניים, שטחים, נפחים וכלל ההנחה הכוזבת הכפולה. הוא עשה את עבודתו היטב מכדי לשרוד בבית: ברגע שטקסטים מתקדמים יותר החליפו אותו בסין, הספר אבד שם כליל. הוא שרד דווקא בחוץ לארץ, נדפס בקוריאה ב-1433 וביפן ב-1658, והוא עיצב את החינוך המתמטי בשתי המדינות במשך דורות לפני שמלומד משושלת צ'ינג, לואו שילין (Luo Shilin), מצא עותק והדפיס אותו מחדש בסין במאה ה-19 — ספר לימוד שנאלץ לעזוב את המדינה כדי לשוב הביתה.
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →מראת הירקן של ארבעת הנעלמים
יצירת המופת של ג'ו, הסיוואן יוז'יאן (Siyuan yujian, מראת הירקן של ארבעת הנעלמים), הופיעה ב-1303. היא מכילה 288 בעיות פתורות, והישגה המרכזי הוא שיטה לטיפול לא בנעלם אחד אלא בארבעה בעת ובעונה אחת, אשר קיבלו את השמות הפיוטיים שמים, ארץ, אדם וחומר. היכן שאלגבראים סינים קדומים פיתחו את "שיטת הנעלם השמימי" — למעשה צורה של אלגברה סימבולית למשתנה יחיד, המבוטאת באמצעות מערכי מוטות ספירה — ג'ו הרחיב זאת למערכת ממשית להצבה ופתרון של מערכות משוואות פולינומיות בו-זמניות, ולאחר מכן צמצום המערכת המתקבלת למשוואה יחידה בנעלם אחד, לעתים ממעלה גבוהה עד ארבע-עשרה, אותה פתר נומרית. הטכניקה שבה השתמש לפתרון נומרי זה היא למעשה השיטה שאירופאים יקראו לה מאוחר יותר על שם ויליאם הורנר (William Horner), אליה הגיע באופן עצמאי ושיושמה בסין יותר מחמש מאות שנה לפני שהורנר פרסם אותה. הספר מציג גם, בתרשים שכותרתו "לוח השיטה העתיקה של חזקות עד השמינית", את מערך המקדמים הבינומיים שאירופה תכיר כמשולש פסקל, לצד נוסחאות נגזרות לסיכום סדרות של מספרים טבעיים ומספרים מצולעים — סכום n המספרים הראשונים, סכום המספרים המשולשיים, וסדרות מורכבות יותר המטופלות בשיטה שיטתית של הפרשים עוקבים. ראוי לציין שג'ו לא חיפש תמיד את הדרך הפשוטה ביותר לתשובה; כמה בעיות נבנו ככל הנראה בכוונה ברמת מורכבות גבוהה, כדי להעמיד את שיטתו במבחן מלא עבור התלמידים במקום למדל שאלה מהעולם האמיתי באופן חסכוני.
אובדן ומציאה
גם המראה לא שרדה בשלמותה. עד המאה ה-18 היא נעלמה למעשה מהתפוצה בסין, והיא חבה את קיומה המודרני למלומד רואן יואן (Ruan Yuan), שאיתר עותק בודד ששרד במחוז ג'ג'יאנג — טקסט שהוא עצמו תיאר כמשובש מאוד ו"מלא בשגיאות". מלומדים מאוחרים יותר משושלת צ'ינג הוסיפו שבע הקדמות ופרשנות נרחבת בניסיון לשחזר ולהבהיר את טיעוניו המקוריים של ג'ו, עבודה כה נרחבת שהיסטוריונים כיום מתקשים להפריד את מחשבתו של ג'ו עצמו משכבות הפרשנות של המאה ה-19 שנבנו על גביה. מה שעולה מתחת לכל אלה עדיין נחשב לשיא הטכני של האלגברה הסינית של ימי הביניים: היסטוריונים בני זמננו של המתמטיקה כותבים כי המתמטיקה הסינית לא התקדמה באופן משמעותי מעבר למה שג'ו השיג במשך זמן רב לאחר מכן.
מדוע ג'ו מכונה גאון
המקרה של גאונותו של ג'ו הוא מקרה של הפשטה תחת כלים פרימיטיביים. בעבודה עם מוטות ספירה על לוח במקום סימון סימבולי כתוב, הוא בנה שיטה קוהרנטית לייצוג ופתרון מערכות של משוואות פולינומיות עם עד ארבעה נעלמים — רמה של כלליות אלגברית שמתמטיקה סינית לא הגיעה אליה לפניו ושאירופה לא תגיע אליה בצורה דומה עד לתקופה המודרנית המוקדמת. הטכניקה הנומרית שלו לחילוץ שורשים של פולינומים ממעלה גבוהה הקדימה את שיטת הורנר ביותר מחמש מאות שנה, והמערך המשולש של המקדמים הבינומיים שלו הקדים את זה של פסקל ביותר משלוש מאות שנה, אליהם הגיע דרך מסורת מתמטית נפרדת לחלוטין ללא מגע בין השתיים. סוג כזה של גילוי מתכנס — אותו מבנה עמוק שנמצא פעמיים, במרחק מאות שנים ותרבויות — הוא אחד הסימנים הקלאסיים שהיסטוריונים של המתמטיקה מצביעים עליהם כעדות לתובנה אמיתית ולא לשיפור הדרגתי של כלים קיימים.
ההסתייגות הכנה היא שהמוניטין של ג'ו נשען כמעט כולו על שני ספרים שהטקסט ששרד מהם עצמו אינו ודאי: המראה הגיעה לעולם המודרני דרך עותק משובש יחיד שסונן דרך מאות שנים של פרשנות מאוחרת, כך שמומחים לא תמיד יכולים להיות בטוחים אילו קטעים הם דבריו של ג'ו ואילו הם שחזור או הרחבה של שושלת צ'ינג. הביוגרפיה שלו דלה באותה מידה — אפילו שנות לידתו ומותו משתנות ביותר מעשור בין מקורות — מה שמשאיר גאון שמעידים עליו כמעט אך ורק המתמטיקה עצמה ולא עדות בת זמנו על האיש.
מורשת
שיטותיו של ג'ו לביטול משתנים ממערכות של משוואות פולינומיות מוכרות על ידי מתמטיקאים מודרניים כאב קדמון ישיר של "שיטת הקבוצות האופייניות" של וו ונג'ון (Wu Wenjun) מהמאה ה-20, טכניקה שעדיין משמשת באלגברה ממוחשבת כיום — מקרה נדיר של טכניקה אלגברית סינית מימי הביניים המוזנת ישירות למתמטיקה חישובית בת זמננו במקום להישאר סקרנות היסטורית.