פייר-סימון לפלס
פייר-סימון, מרקיז דה לפלס (Pierre-Simon Laplace; באנגלית: /ləˈplɑːs/; בצרפתית: [pjɛʁ simɔ̃ laplas]; 23 במרץ 1749 – 5 במרץ 1827) היה איש אשכולות צרפתי, חוקר שעבודתו הייתה מרכזית בתחומי הפיזיקה, האסטרונומיה, המתמטיקה, ההנדסה, הסטטיסטיקה והפילוסופיה. הוא סיכם והרחיב את עבודתם של קודמיו בחיבורו בן חמשת הכרכים "מכאניקה שמימית" (Mécanique céleste) (1799–1825). עבודה זו תרגמה את המחקר הגיאומטרי של המכניקה הקלאסית לכזה המבוסס על חשבון אינפיניטסימלי, ופתחה טווח רחב יותר של בעיות. לפלס גם הפופולריז ואישר עוד יותר את עבודתו של סר אייזק ניוטון. בסטטיסטיקה, הפרשנות הבאייזית של ההסתברות פותחה בעיקר על ידי לפלס.
לפלס ניסח את משוואת לפלס, והיה חלוץ בטרנספורמציה של לפלס המופיעה בענפים רבים של פיזיקה מתמטית, תחום שבו לקח תפקיד מוביל ביצירתו. אופרטור הדפרנציאל הלבלאסיאני, הנמצא בשימוש נרחב במתמטיקה, נקרא גם הוא על שמו. הוא ניסח מחדש ופיתח את ההשпоте הנבולרית של מקור מערכת השמש והיה אחד המדענים הראשונים שהציעו רעיון הדומה לחור שחור, כאשר סטיבן הוקינג הצהיר כי "לפלס חזה בעיקרו את קיומם של חורים שחורים". הוא יצר את השד של לפלס, שהוא ישות היפותטית החזה הכל. הוא גם שכלל את חישוב מהירות הקול של ניוטון כדי להסיק מדידה מדויקת יותר.
לפלס נחשב לאחד המדענים הגדולים ביותר בכל הזמנים. לעיתים קרובות מכונה הניוטון הצרפתי או ניוטון של צרפת, הוא תואר כמי שמחזיק בפקולטה מתמטית טבעית פנומנלית העולה על זו של כמעט כל בני דורו. הוא היה הבוחן של נפוליאון כאשר נפוליאון סיים את לימודיו באקול מיליטר בפריז ב-1785. לפלס הפך לרוזן האימפריה ב-1806 ומונה למרקיז ב-1817, לאחר רסטורציית בורבון.
שנים מוקדמות
חלק מפרטי חייו של לפלס אינם ידועים, שכן התיעוד עליהם נשרף ב-1925 יחד עם טירת המשפחה בסן ז'וליין דה מאיול, ליד ליזייה, ביתו של נינו-רבא Comte de Colbert-Laplace. אחרים נהרסו מוקדם יותר, כאשר ביתו בארקיי ליד פריז נבזז ב-1871.
לפלס נולד בבמון-אוג, נורמנדי ב-23 במרץ 1749, כפר ארבעה מייל מערבית לפונט ל'אבֶּק. לדברי W. W. Rouse Ball, לפלס היה בנה של איכר עני או פועל חקלאי. נראה שמחניך הוא הפך לשמש בבית הספר בבמון; אולם, לאחר שהשיג מכתב המלצה לד'אלמבר, הוא נסע לפריז כדי לקדם את מזלו. עם זאת, מחקר היסטורי מאחר יותר קבע שאביו, פייר דה לפלס, למעשה החזיק ועבד באחוזתו הקטנה של מריסייה, ודודו-רבא, מאיטר אוליבייה דה לפלס, החזיק בתואר Chirurgien Royal. קארל פירסון מותח ביקורת קשה על אי-הדיוקים בתיאורו של רוז באל ומצהיר:
> אכן קאן הייתה כנראה בימיו של לפלס הפעילה ביותר מבחינה אינטלקטואלית מבין כל ערי נורמנדי. שם התחנך לפלס והיה פרופסור זמני. שם כתב את מאמרו הראשון שפורסם ב-Mélanges של החברה המלכותית של טורינו, כרך IV. 1766–1769, לפחות שנתיים לפני שנסע בגיל 22 או 23 לפריז ב-1771. כך שטרם מלאו לו 20 היה בקשר עם לגראנג' בטורינו. הוא לא הגיע לפריז כנער כפרי גולמי ואוטודידקט עם רקע איכרי בלבד! ב-1765 בגיל שש עזב לפלס את "בית הספר של דוכס אורליאן" בבמון ונסע לאוניברסיטת קאן, שם נראה שלמד במשך חמש שנים והיה חבר בספינקס. האקול מיליטר של במון לא החליפה את בית הספר הישן עד 1776.
הוריו, פייר לפלס ומארי-אן סושון, היו ממשפחות מבוססות. משפחת לפלס עבדה בחקלאות לפחות עד 1750, אך פייר לפלס האב היה גם סוחר סיידר וסינדיק של העיירה במון.
פייר סימון לפלס למד בבית ספר בכפר שנוהל במנזר בנדיקטיני, כאשר אביו התכוון שייוסמך לכנסייה הקתומית הרומית. בגיל שש עשרה, כדי לקדם את כוונת אביו, הוא נשלח לאוניברסיטת קאן כדי ללמוד תיאולוגיה.
באוניברסיטה הוא חונך על ידי שני מורים נלהבים למתמטיקה, כריסטוף גאדבלד ופייר לה קאנו, שעוררו את להטו לנושא. כאן זוהה במהירות גאונותו של לפלס כמתמטיקאי ובעודו בקאן כתב מזכר Sur le Calcul integral aux differences infinimet petites et aux differences finies. זה סיפק את ההתכתבות הראשונה בין לפלס ללגראנג'. לגראנג' היה מבוגר בשלוש עשרה שנים, ולאחרונה ייסד בעיר הולדתו טורינו כתב עת בשם Miscellanea Taurinensia, שבו הודפסו רבות מיצירותיו המוקדמות והיה בכרך הרביעי של סדרה זו שמאמרו של לפלס הופיע. בערך בזמן זה, כשהבין שאין לו ייעודיות לכהונה, החליט להפוך למתמטיקאי מקצועי. מקורות מסוימים מציינים שהוא ניתק אז עם הכנסייה והפך לאתאיסט. לפלס לא סיים תואר בתיאולוגיה אלא יצא לפריז עם מכתב המלצה מלה קאנו לז'אן לה רון ד'אלמבר שבאותו זמן היה עליון בחוגים המדעיים.
לדברי נינו-רבא, ד'אלמבר קיבל אותו בצורה די גרועה, וכדי להיפטר ממנו נתנו לו ספר מתמטיקה עבה, ואמר לו לחזור כשקרא אותו. כאשר לפלס חזר כעלאה ימים לאחר מכן, ד'אלמבר היה אפילו פחות ידידותי ולא הסתיר את דעתו שזה בלתי אפשרי שלפלס קרא והבין את הספר. אך לאחר ששאל אותו, הבין שזה נכון, ומאותו זמן לקח את לפלס תחת חסותו.
תיאור נוסף הוא שלפלס פתר בין לילה בעיה שד'אלמבר הטיל עליו להגישה בשבוע הבא, ואז פתר בעיה קשה יותר בלילה הבא. ד'אלמבר התרשם והמליץ עליו למקום הוראה באקול מיליטר.
עם הכנסה בטוחה והוראה לא תובענית, לפלס השליך את עצמו כעת למחקר מקורי ובמשך שבע עשרה השנים הבאות, 1771–1787, הוא הפיק חלק ניכר מעבודתו המקורית באסטרונומיה.
מ-1780 עד 1784, לפלס והכימאי הצרפתי אנטואן לבואזיה שיתפו פעולה במספר חקירות ניסיוניות, ועיצבו ציוד משלהם למשימה. ב-1783 הם פרסמו את מאמרם המשותף, מזכר על חום, שבו דנו בתיאוריה הקינטית של תנועה מולקולרית. בניסויים שלהם הם מדדו את החום הספציפי של גופים שונים, ואת התפשטות המתכות עם טמפרטורה עולה. הם גם מדדו את נקודות הרתיחה של אתנול ואתר תחת לחץ.
לפלס הרשים עוד יותר את המרקיז דה קונדורסה, וכבר ב-1771 לפלס הרגיש זכאי לחברות באקדמיה הצרפתית למדעים. עם זאת, אותה שנה הקבלה הלכה לאלכסנדר-תאופיל ונדרמונד וב-1772 לז'אק אנטואן ז'וזף קוזן. לפלס היה מורמר, ובתחילת 1773 כתב ד'אלמבר ללגראנג' בברלין כדי לשאול אם ניתן למצוא משרה לפלס שם. עם זאת, קונדורסה הפך למזכיר קבוע של האקדמיה בפברואר ולפלס נבחר כחבר נלווה ב-31 במרץ, בגיל 24. ב-1773 קרא לפלס את מאמרו על אי-השתנות התנועה הפלנטרית מול האקדמיה למדעים. במרץ ההוא נבחר לאקדמיה, מקום שבו ביצע את רוב המדע שלו.
ב-15 במרץ 1788, בגיל שלושים ותשעה, לפלס התחתן עם מארי-שארלוט דה קורטי דה רומנג', נערה בת שמונה עשרה ממשפחה "טובה" בבזאנסון. החתונה חגגה בסן-סולפיס, פריז. לבני הזוג נולדו בן, שארל-אמיל (1789–1874), ובת, סופי-סוזן (1792–1813).
אנליזה, הסתברות ויציבות אסטרונומית
עבודתו המוקדמת של לפלס שפורסמה ב-1771 החלה במשוואות דיפרנציאליות והפרשים סופיים אך הוא כבר החל לחשוב על מושגים מתמטיים ופילוסופיים של הסתברות וסטטיסטיקה. עם זאת, לפני בחירתו לאקדמיה ב-1773, הוא כבר ניסח שני מאמרים שיבססו את המוניטין שלו. הראשון, Mémoire sur la probabilité des causes par les événements פורסם בסופו של דבר ב-1774 בעוד שהמאמר השני, שפורסם ב-1776, פירט עוד יותר את חשיבתו הסטטיסטית וגם החל את עבודתו השיטתית על מכניקה שמימית ויציבות מערכת השמש. שני הדיסציפלינות תמיד היו מקושרות זו לזו בראשו. "לפלס לקח את ההסתברות ככלי לתיקון פגמים בידע." עבודתו של לפלס על הסתברות וסטטיסטיקה נדונה להלן עם עבודתו הבוגרת על התאוריה האנליטית של ההסתברויות.
### יציבות מערכת השמש
סר אייזק ניוטון פרסם את Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica שלו ב-1687 שבו נתן גזירה של חוקי קפלר, המתארים את תנועת כוכבי הלכת, מחוקי התנועה שלו ומחוק הכבידה האוניברסלית שלו. עם זאת, למרות שניוטון פיתח באופן פרטי את שיטות החשבון האינפיניטסימלי, כל עבודתו שפורסמה השתמשה בהיגיון גיאומטרי מסורבל, שאינו מתאים להסביר את האפקטים העדינים יותר מסדר גבוה של אינטראקציות בין כוכבי הלכת. ניוטון עצמו פקפק באפשרות של פתרון מתמטי למכלול, ואפילו הגיע למסקנה שהתערבות אלוהית תקופתית הייתה הכרחית כדי להבטיח את יציבות מערכת השמש. היפטרות מהשערת ההתערבות האלוהית תהיה פעילות מרכזית בחייו המדעיים של לפלס. כיום נחשב בדרך כלל ששיטותיו של לפלס לבדן, אף על פי שהן חיוניות לפיתוח התאוריה, אינן מדויקות מספיק כדי להדגים את יציבות מערכת השמש; כיום מובן שמערכת השמש היא בדרך כלל כաոտית בסκאלות עדינות, למרות שכיום היא יציבה למדי בסקאלה גסה.
בעיה אחת מסוימת מאסטרונומיה תצפיתית הייתה חוסר היציבות לכאורה שבה מסלולו של צדק נראה מתכווץ בעוד שזה של שבתאי מתרחב. הבעיה טופלה על ידי לאונרד אוילר ב-1748, וז'וזף לואי לגראנג' ב-1763, אך ללא הצלחה. ב-1776, לפלס פרסם מזכר שבו חקר לראשונה את ההשפעות האפשריות של אתר לומינופרי לכאורה או של חוק כבידה שלא פעל באופן מיידי. בסופו של דבר הוא חזר להשקעה אינטלקטואלית בכבידה ניוטונית. אוילר ולגראנג' ביצעו קירוב מעשי על ידי התעלמות מאיברים קטנים במשוואות התנועה. לפלס ציין שאף על פי שהאיברים עצמם היו קטנים, כאשר שולבו לאורך זמן הם יכלו להפוך לחשובים. לפלס נשא את הנתוח שלו לתוך האיברים מסדר גבוה, עד וכולל המעוקב. באמצעות ניתוח מדויק יותר זה, לפלס הגיע למסקנה שכל שני כוכבי לכת והשמש חייבים להיות בשיווי משקל הדדי ובכך השיק את עבודתו על יציבות מערכת השמש. ג'רלד ג'יימס ויטרו תיאר את ההישג כ"ההתקדמות החשובה ביותר באסטרונומיה פיזיקלית מאז ניוטון".
לפלס היה בעל ידע רב בכל המדעים ושלט בכל הדיונים באקדמיה. לפלס נראה כמי שמתייחס לאנליזה אך ורק כאמצעי לתקיפת בעיות פיזיקליות, למרות שהיכולת שבה המציא את האנליזה הדרושה היא כמעט פנומנלית. כל עוד תוצאותיו היו נכונות הוא לא טרח אלא מעט להסביר את השלבים שבאמצעותם הגיע אליהם; הוא מעולם לא למד אלגנטיות או סימטריה בתהליכים שלו, והיה לו די אם יוכל בכל אמצעי לפתור את השئלה המסוימת שדן בה.
דינמיקת גאות ושפל
### תאוריה דינמית של גאות ושפל
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →בעוד שניוטון הסביר את הגאות והשפל על ידי תיאור הכוחות מייצרי הגאות וברנולי נתן תיאור של התגובה הסטטית של המים בכדור הארץ לפוטנציאל הגאות, התאוריה הדינמית של גאות ושפל, שפותחה על ידי לפלס ב-1775, מתארת את התגובה האמיתית של האוקיינוס לכוחות הגאות. תאוריית גאות האוקיינוס של לפלס לקחה בחשבון חיכוך, תהודה ותקופות טבעיות של אגני אוקיינוס. היא ניבאה את המערכות האמפידרומיות הגדולות באגני האוקיינוסים של העולם ומסבירה את גאות האוקיינוס שנצפות בפועל.
תאוריית שיווי המשקל, המבוססת על מפל הכבידה מהשמש והירח אך מתעלמת מסיבוב כדור הארץ, השפעות היבשות והשפעות חשובות אחרות, לא יכלה להסביר את גאות האוקיינוס האמיתית.
מאז שמדידות אישרו את התאוריה, דברים רבים קיבלו הסברים אפשריים כעת, כמו כיצד הגאות והשפל מקיימים אינטראקציה עם רכסי ים עמוקים ושרשרות של הרים תת-ימיים מולידים מערבולות עמוקות המעבירות חומרים מזינים מהעומק אל פני השטח. תאוריית גאות שיווי המשקל מחשבת את גובה גל הגאות בפחות מחצי מטר, בעוד שהתאוריה הדינמית מסבירה מדוע הגאות והשפל מגיעים עד ל-15 מטרים. תצפיות לוויין מאשרות את דיוק התאוריה הדינמית, והגאות והשפל ברחבי העולם נמדדים כעת בדיוק של כמה סנטימטרים ספורים. מדידות מלוויין CHAMP תואמות היטב את המודלים המבוססים על נתוני TOPEX. מודלים מדויקים של גאות ושפל ברחבי העולם חיוניים למחקר שכן יש להסיר את השונויות עקב גאות ושפל ממדידות בעת חישוב כבידה ושינויים בגובה פני הים.
### משוואות הגאות והשפל של לפלס
ב-1776, לפלס ניסח סט יחיד של משוואות דיפרנציאליות חלקיות ליניאריות, לזרימת גאות ושפל המתוארת כזרימת יריעה דו-ממדית ברוטרופית. השפעות קוריוליס מובאות כמו גם הפעלת כוח צדדית על ידי כבידה. לפלס השיג משוואות אלו על ידי פשוט משוואות הדינמיקה של נוזלים. אך ניתן לגזור אותן גם מאינטגרלים של אנרגיה באמצעות משוואת לגראנג'.
עבור יריעת נוזל בעובי ממוצע D, ההגבהה האנכית של הגאות ζ, כמו גם רכיבי מהירות אופקיים u ו-v (בכיווני קו הרוחב φ וקו האורך λ, בהתאמה) ממלאים את משוואות הגאות והשפל של לפלס:
∂ ζ
∂ t
+
1
a cos ( φ )
[
∂
∂ λ
( u D ) +
∂
∂ φ
(
v D cos ( φ )
)
]
= 0 ,
∂ u
∂ t
− v
(
2 Ω sin ( φ )
)
+
1
a cos ( φ )
∂
∂ λ
(
g ζ + U
)
= 0
and
∂ v
∂ t
+ u
(
2 Ω sin ( φ )
)
+
1 a
∂
∂ φ
(
g ζ + U
)
= 0 ,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}&+{\frac {1}{a\cos(\varphi )}}\left[{\frac {\partial }{\partial \lambda }}(uD)+{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left(vD\cos(\varphi )\right)\right]=0,\\[2ex]{\frac {\partial u}{\partial t}}&-v\left(2\Omega \sin(\varphi )\right)+{\frac {1}{a\cos(\varphi )}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left(g\zeta +U\right)=0\qquad {\text{and}}\\[2ex]{\frac {\partial v}{\partial t}}&+u\left(2\Omega \sin(\varphi )\right)+{\frac {1}{a}}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left(g\zeta +U\right)=0,\end{aligned}}}
כאשר Ω היא התדירות הזוויתית של סיבוב כוכב הלכת, g היא תאוצת הכבידה של כוכב הלכת במשטח האוקיינוס הממוצע, a הוא רדיוס כוכב הלכת, ו-U הוא פוטנציאל כוח הגאות הכבידתי החיצוני.
ויליאם תומסון (לורד קלווין) כתב מחדש את איברי התנע של לפלס תוך שימוש ברוטור (curl) כדי למצוא משוואה לסירקולציה (vorticity). תחת תנאים מסוימים ניתן לכתוב זאת מחדש כשימור סירקולציה.
על צורת כדור הארץ
במהלך השנים 1784–1787 הוא פרסם כמה מאמרים בעלי עוצמה יוצאת דופן. בולט ביניהם אחד שנקרא ב-1783, הודפס מחדש כחלק II של Théorie du Mouvement et de la figure elliptique des planètes ב-1784, ובכרך השלישי של Mécanique céleste. בעבודה זו, לפלס קבע לחלוטין את המשיכה של ספרואיד על חלקיקים מחוצה לו. זה זכור להכנסת הרמוניות כדוריות או מקדמי לפלס לאנליזה, וגם לפיתוח השימוש במה שהיינו מכנים כיום פוטנציאל כבידתי במכניקה שמימית.
### הרמוניות כדוריות
ב-1783, במאמר שנשלח לאקדמיה, אדריאן-מארי לגראנג' הציג את מה שידוע כיום כפונקציות לגראנג' משוייכות. אם לשתי נקודות במישור יש קואורדינטות קוטביות (r, θ) ו-(r ', θ'), כאשר r ' ≥ r, אזי על ידי מניפולציה אלמנטרית, ההופכי של המרחק בין הנקודות, d, יכול להיכתב כ:
1 d
=
1
r ′
[
1 − 2 cos (
θ ′
− θ )
r
r ′
+
(
r
r ′
)
2
]
−
1 2
.
{\displaystyle {\frac {1}{d}}={\frac {1}{r'}}\left[1-2\cos(\theta '-\theta ){\frac {r}{r'}}+\left({\frac {r}{r'}}\right)^{2}\right]^{-{\tfrac {1}{2}}}.}band
ניתן לפתח ביטוי זה בחזקות של r/r ' באמצעות משפט הבינום הכללי של ניוטון כדי לתת:
1 d
=
1
r ′
∑
k = 0
∞
P
k
0
( cos (
θ ′
− θ ) )
(
r
r ′
)
k
.
{\displaystyle {\frac {1}{d}}={\frac {1}{r'}}\sum _{k=0}^{\infty }P_{k}^{0}(\cos(\theta '-\theta ))\left({\frac {r}{r'}}\right)^{k}.}band
סדרת הפונקציות Pk(cos φ) היא קבוצת מה שמכונה "פונקציות לגראנג' משוייכות" והשימושיות שלהן נובעת מהעובדה שכל פונקציה של הנקודות במעגל ניתנת לפיתוח כטור שלהן.
לפלס, תוך התעלמות מועטה מקרדיט ללגראנג', ביצע את ההרחבה שאינה טריוויאלית של התוצאה לשלושה מימדים כדי להפיק סט כללי יותר של פונקציות, הרמוניות כדוריות או מקדמי לפלס. המונח האחרון אינו בשימוש נפוץ כיום.
### תאוריית הפוטנציאל
מאמר זה בולט גם בפיתוח רעיון הפוטנציאל הסקלרי. כוח הכבידה הפועל על גוף הוא, בשפה מודרנית, וקטור, בעל גודל וכיוון. פונקציית פוטנציאל היא פונקציה סקלרית המגדירה כיצד הוקטורים יתנהגו. פונקציה סקלרית קלה יותר לטיפול חישובית ותפיסתית מאשר פונקציה וקטורית.
אלקסי קלרו הציע לראשונה את הרעיון ב-1743 תוך כדי עבודה על בעיה דומה למרות שהשתמש בהיגיון גיאומטרי מסוג ניוטוניאני. לפלס תיאר את עבודתו של קלרו כ"במעמד של היצירות המתמטיות היפות ביותר". עם זאת, רוז באל טוען שהרעיון "נלקח מג'וזף לואי לגראנג', שהשתמש בו במזכרים שלו משנים 1773, 1777 ו-1780". המונח "פוטנציאל" עצמו היה הודות לדניאל ברנולי, שהציג אותו במזכר שלו Hydrodynamica משנת 1738. עם זאת, לדברי רוז באל, המונח "פונקציית פוטנציאל" לא שימש בפועל (כדי להתייחס לפונקציה V של הקואורדינטות של המרחב במובן של לפלס) עד An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism של ג'ורג' גרין מ-1828.
לפלס יישם את שפת החשבון האינפיניטסימלי על פונקציית הפוטנציאל והראה שהיא תמיד מקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית:
∇
2
V =
∂
2
V
∂
x
2
+
∂
2
V
∂
y
2
+
∂
2
V
∂
z
2
= 0.
{\displaystyle \nabla ^{2}V={\partial ^{2}V \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}V \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}V \over \partial z^{2}}=0.}band
תוצאה אנלוגית לפוטנציאל המהירות של נוזל הושגה מספר שנים קודם לכן על ידי לאונרד אוילר.
עבודתו העוקבת של לפלס על משיכה כבידתית הייתה מבוססת על תוצאה זו. הכמות ∇Vכונתה ריכוז של V וערכה בכל נקודה מציין את ה"עודף" של ערך V שם מעל ערכו הממוצע בסביבת הנקודה. משוואת לפלס, מקרה פרטי של משוואת פואסון, מופיעה בכל מקום בפיזיקה מתמטית. מושג הפוטנציאל מופיע בדינמיקה של נוזלים, אלקטרומגנטיות ובתחומים אחרים. רוז באל שיער שניתן לראות זאת כ"סימן החיצוני" של אחת הצורות האפריורי בתאוריית התפיסה של קאנט.
הרמוניות כדוריות מתגלות כקריטיות לפתרונות מעשיים של משוואת לפלס. משוואת לפלס בקואורדינטות כדוריות, כגון אלו המשמשות למיפוי השמים, ניתנת לפשט, תוך שימוש בשיטת הפרדת משתנים לחלק רדיאלי, תלוי אך ורק במרחק מנקודת המרכז, וחלק זוויתי או כדורי. הפתרון לחלק הכדורי של המשוואה יכול להיות מבוטא כטור של הרמוניות כדוריות של לפלס, מה שמפשט חישוב מעשי.
אי-שוויון פלנטרי וירחי
### אי-השוויון הגדול של צדק-שבתאי
לפלס הציג מזכר על אי-שוויונים פלנטריים בשלושה חלקים, ב-1784, 1785 ו-1786. זה עסק בעיקר בזיהוי והסבר של ההפרעות הידועות כיום כ"אי-השוויון הגדול של צדק-שבתאי". לפלס פתר בעיה ישנה בחקר ותחזית תנועות כוכבי לכת אלו. הוא הראה משיקולים כלליים, ראשית, שהפעולה ההדדית של שני כוכבי לכת לעולם אינה יכולה לגרום לשינויים גדולים באקסצנטריות ובנטייה של מסלוליהם; אך אז, אפילו חשוב מכך, שמוזרויות התעוררו במערכת צדק-שבתאי בגלל ההתקרבות לקומנזורביליות של התנועות הממוצעות של צדק ושבתאי.
בהקשר זה קומנזורביליות פירושה שיחס התנועות הממוצעות של שני כוכבי הלכת שווה מאוד ליחס בין זוג מספרים שלמים קטנים. שתי תקופות של מסלול שבתאי סביב השמש כמעט שוות לחמש של צדק. ההפרש המתאים בין כפולות של התנועות הממוצעות, (2nJ − 5nS), תואם לתקופה של כמעט 900 שנה, והוא מופיע כמחלק קטן באינטגרציה של כוח מפרע קטן מאוד עם אותה תקופה. כתוצאה מכך, ההפרעות המשולבות עם תקופה זו גדולות באופן בלתי פרופורציונלי, בערך 0.8 מעלות קשת באורך מסלולי עבור שבתאי וכ-0.3 עבור צדק.
התפתחויות נוספות של משפטים אלו על תנועה פלנטרית ניתנו בשני המזכרים שלו משנת 1788 ו-1789, אך בעזרת גילוייו של לפלס, לוחות תנועות צדק ושבתאי יכלו סוף סוף להיות מדויקים הרבה יותר. על בסיס תאוריית לפלס חישב דלאמבר את לוחותיו האסטרונומיים.
### ספרים
לפלס הטיל על עצמו כעת את המשימה לכתוב עבודה שתציע "פתרון מלא של הבעיה המכנית הגדולה המוצגת על ידי מערכת השמש, ותביא את התאוריה לעלות בקנה מידה כל כך קרוב עם התצפית כך שמשוואות אמפיריות לא ימצאו עוד מקום בלוחות אסטרונומיים." התוצאה מגולמת ב-Exposition du système du monde וב-Mécanique céleste.
הראשון פורסם ב-1796, ונותן הסבר כללי על התופעות, אך משמיט את כל הפרטים. הוא מכיל סיכום של ההיסטוריה של האסטרונומיה. סיכום זה הקנה למחברו את כבוד הקבלה לארבעים של האקדמיה הצרפתית והוא נחשב בדרך כלל לאחת מיצירות המופת של הספרות הצרפתית, למרות שהוא לא אמין לחלוטין לגבי התקופות המאוחרות יותר שהוא עוסק בהן.
לפלס פיתח את ההשערה הנבולרית של היווצרות מערכת השמש, שהוצעה לראשונה על ידי עמנואל סוודנבורג והורחבה על ידי עמנואל קאנט. השערה זו נותרה המודל המקובל ביותר בחקר מקורות מערכת כוכבי לכת. לפי תיאור ההשערה של לפלס, מערכת השמש התפתחה ממסה כדורית של גז בוהק המסתובב סביב ציר דרך מרכז המסה שלה. כאשר היא התקררה, מסה זו התכווצה, טבעות עוקבות התנתקו מהקצה החיצוני שלה. טבעות אלו בתורן התקררו, ובסופו של דבר התעבו לכוכבי הלכת, בעוד שהשמש ייצגה את הגלעין המרכזי שעדיין נותר. מנקודת מבט זו, לפלס חזה שכוכבי הלכת המרוחקים יותר יהיו מבוגרים יותר מאלה הקרובים יותר לשמש.
כאמור, רעיון ההשערה הנבולרית תוּאַר בקווים כלליים על ידי עמנואל קאנט ב-1755, שהציע גם "אגרגטים מטאוריים" וחיכוך גאות כגורמים המשפיעים על היווצרות מערכת השמש. לפלס כנראה היה מודע לכך, אך כמו סופרים רבים בזמנו, הוא בדרך כלל לא הפנה לעבודתם של אחרים.
הדיון האנליטי של לפלס על מערכת השמש ניתן ב-Mécanique céleste שלו שפורסם בחמישה כרכים. שני הכרכים הראשונים, שפורסמו ב-1799, מכילים שיטות לחישוב תנועות כוכבי הלכת, קביעת צורותיהם ופתרון בעיות גאות ושפל. הכרכים השלישי והרביעי, שפורסמו ב-1802 ו-1805, מכילים יישומים של שיטות אלו, ומספר לוחות אסטרונומיים. הכרך החמישי, שפורסם ב-1825, הוא בעיקר היסטורי, אך הוא נותן כנספחים את תוצאות המחקרים האחרונים של לפלס. Mécanique céleste מכיל מחקרים רבים של לפלס עצמו אך תוצאות רבות נלקחות מסופרים אחרים עם מעט או ללא אזכור. מסקנות הכרך, המתוארות על ידי היסטורינים כתוצאה מאורגנת של מאה של עבודה על ידי סופרים אחרים כמו גם לפלס, מוצגות על ידי לפלס כאילו היו הגילויים שלו לבד.
ז'אן-בטיסט ביאו, שעזר לפלס בתיקונו לדפוס, אומר שלפלס עצמו היה לעיתים קרובות בלתי מסוגל לשחזר את הפרטים בשרשרת ההיגיון, ואם היה מרוצה מכך שהמסקנות נכונות, הוא הסתפק בהוספת הביטוי, "Il est aisé à voir que..." ("קל לראות ש..."). Mécanique céleste אינו רק התרגום של Principia Mathematica של ניוטון לשפת החשבון האינפיניטסימלי, אלא הוא משלים חלקים שניוטון לא הצליח למלא בהם את הפרטים. העבודה קודמה בצורה מעודנת יותר ב-Traité de mécanique céleste של פליקס טיסראן (1889–1896), אך מסתו של לפלס נותרה רשות סטנדרטית. בשנים 1784–1787, לפלס הפיק כמה מזכרים בעלי עוצמה יוצאת דופן. המשמעותי מביניהם היה אחד שהוצא ב-1784, והודפס מחדש בכרך השלישי של Mécanique céleste. בעבודה זו הוא קבע לחלוטין את המשיכה של ספרואיד על חלקיק מחוצה לו. זה ידוע בהכנסת הפוטנציאל לאנליזה, מושג מתמטי שימושי בעל ישומיות רחבה למדעים הפיזיקליים.
אופטיקה
לפלס היה תומך בתאוריית החלקיקים (קורפוסקולרית) של האור של ניוטון. במהדורה הרביעית של Mécanique Céleste, לפלס הניח שכוחות מולקולריים קצרי טווח אחראים לשבירת חלקיקי האור. לפלס ואטיין-לואי מאלוס הראו גם כי ניתן לשחזר את עקרון השבירה הכפולה של הויגנס מעקרון הפעולה המינימלית על חלקיקי אור.
עם זאת ב-1815, אוגוסטן-ז'אן פרנל הציג תאוריית גלים חדשה לעקיפה בפני ועדה של האקדמיה הצרפתית בעזרת פרנסואה אראגו. לפלס היה אחד מחברי הוועדה והם העניקו בסופו של דבר פרס לפרנל על גיישתו החדשה.
### השפעת הכבידה על האור
באמצעות תאוריה קורפוסקולרית, לפלס גם התקרב להגות את מושג החור השחור. הוא הציע שהכבידה עשויה להשפיע על אור ושיכולים להיות כוכבים מסיביים שהכבידה שלהם כל כך גדולה שאפילו אור לא יכול לברוח מפני השטח שלהם (ראו מהירות מנוסה). עם זאת, תובנה זו הייתה כל כך רחוקה לפני זמנה שהיא לא שיחקה תפקיד בהיסטוריה של ההתפתחות המדעית.
ארקיי
ב-1806, לפלס קנה בית בארקיי, אז כפר וטרם נבלע בקונוברציה של פריז. הכימאי קלود לואי ברטולה היה שכن – הגנים שלהם לא היו מופרדים – והשניים היוו את הגרעין של חוג מדעי בלתי פורמלי, שנודע מאוחר יותר כחברת ארקיי. בגלל קרבתם לנפוליאון, לפלס וברטולה שלטו ביעילות בקידום בממסד המדעי ובקבלה למשרות היוקרתיות יותר. החברה בנתה פירמידה מורכבת של חסות. ב-1806, לפלס נבחר גם כחבר זר באקדמיה המלכותית השוודית למדעים.
תאוריה אנליטית של הסתברויות
ב-1812, לפלס הוציא את Théorie analytique des probabilités שלו שבו קבע תוצאות יסודיות רבות בסטטיסטיקה. המחצית הראשונה של מסה זו עסקה בשיטות ובעיות הסתברות, המחצית השנייה בשיטות ויישומים סטטיסטיים. ההוכחות של לפלס אינן תמיד קפדניות לפי הסטנדרטים של תקופה מאחרת יותר, והפרספקטיבה שלו נעה הך ושוב בין ההשקפות הבאייזיות והלא-באייזיות בקלות שהופכת חלק ממחקריו לקשים למעקב, אך מסקנותיו נותרות נכונות בעיקרן אפילו באותם מצבים מעטים שבהם האנליזה שלו סטתה מדרך הישר. ב-1819, הוא פרסם תיאור פופולרי של עבודתו על הסתברות. ספר זה נושא את אותה יחס ל-Théorie des probabilités כמו ש-Système du monde עושה ל-Mécanique céleste. בדגש שלו על החשיבות האנליטית של בעיות הסתברותיות, במיוחד בהקשר של "קירוב פונקציות נוסחאות של מספרים גדולים", עבודתו של לפלס חורגת מעבר לתפיסה העכשווית שהתייחסה כמעט בלעדית להיבטים של ישומיות מעשית. Théorie analytique של לפלס נותר הספר המשפיע ביותר של תאוריית ההסתברות המתמטית עד סוף המאה ה-19. הרלוונטיות הכללית לסטטיסטיקה של תאוריית השגיאות הלפלסיאנית הוערכה רק עד סוף המאה ה-19. עם זאת, היא השפיעה על ההתפתחות הנוספת של תאוריית הסתברות מוכוונת אנליטית במידה רבה.
### הסתברות אינדוקטיבית
ב-Essai philosophique sur les probabilités (1814) שלו, לפלס קבע מערכת מתמטית של הסקת מסקנות אינדוקטיבית המבוססת על הסתברות, שאנו נזהה היום כבאייזית. הוא פותח את הטקסט בסדרה של עקרונות הסתברות, שבעת הראשונים הם:
הסתברות היא היחס של "האירועים המועדפים" לכלל האירועים האפשריים.
- העיקרון הראשון מניח הסתברויות שוות לכל האירועים. כאשר זה אינו נכון, עלינו לקבוע תחילה את ההסתברויות של כל אירוע. לאחר מכן, ההסתברות היא סכום ההסתברויות של כל האירועים המועדפים האפשריים.
- עבור אירועים בלתי תלויים, ההסתברות להתרחשות כולם היא ההסתברות של כל אחד מוכפלת יחד.
- כאשר שני אירועים A ו-B תלויים זה בזה, ההסתברות של אירוע מורכב היא ההסתברות של A מוכפלת בהסתברות שבהינתן A, B יתרחש.
- ההסתברות ש-A יתרחש, בהינתן ש-B התרחש, היא ההסתברות ש-A ו-B יתרחשו מחולקת בהסתברות של B.
- שלושה מסקנות ניתנות לעיקרון השישי, המסתכמות לכלל באייס. כאשר אירוע Ai ∈ {A1, A2, ... An} ממצה את רשימת הגורמים האפשריים לאירוע B, Pr(B) = Pr(A1, A2, ..., An). אזי
Pr (
A
i
∣ B ) = Pr (
A
i
)
Pr ( B ∣
A
i
)
∑
j
Pr (
A
j
) Pr ( B ∣
A
j
)
.
{\displaystyle \Pr(A_{i}\mid B)=\Pr(A_{i}){\frac {\Pr(B\mid A_{i})}{\sum _{j}\Pr(A_{j})\Pr(B\mid A_{j})}}.}band
- ההסתברות של אירוע עתידי C היא סכום המכפלות של ההסתברות של כל גורם Bi שנלקח מהאירוע הנצפה A, בהסתברות שבהינתן קיום גורם זה, האירוע העתידי יתרחש. בצורה סמלית,
Pr ( C
|
A ) =
∑
i
Pr ( C
|
B
i
) Pr (
B
i
|
A ) .
{\displaystyle \Pr(C|A)=\sum _{i}\Pr(C|B_{i})\Pr(B_{i}|A).}band
נוסחה ידועה אחת הנובעת ממערכתו היא כלל הירושה, הניתן כעיקרון השביעי. נניח שלניסוי כלשהו יש רק שתי תוצאות אפשריות, המסומנות "הצלחה" ו-"כישלון". תחת ההנחה שמעט או כלום לא ידוע אפריורי על הסבירויות היחסיות של התוצאות, לפלס גזר נוסחה להסתברות שהניסוי הבא יהיה הצלחה.
Pr (
next outcome is success
) =
s + 1
n + 2
{\displaystyle \Pr({\text{next outcome is success}})={\frac {s+1}{n+2}}}band
כאשר s הוא מספר ההצלחות שנצפו בעבר ו-n הוא המספר הכולל של ניסויים שנצפו. הוא עדיין בשימוש כמערך הערכה להסתברות של אירוע אם אנו מכירים את מרחב האירועים, אך יש לנו רק מספר קטן של דגימות.
כלל הירושה היה נתון לביקורת רבה, בין היתר בגלל הדוגמה שלפלס בחר כדי להמחיש אותו. הוא חישב שההסתברות שהשמש תזרח מחר, בהינתן שהיא מעולם לא כשלה בעבר, הייתה
Pr (
sun will rise tomorrow
) =
d + 1
d + 2
{\displaystyle \Pr({\text{sun will rise tomorrow}})={\frac {d+1}{d+2}}}band
כאשר d הוא מספר הפעמים שהשמש זרחה בעבר. תוצאה זו לועגה כאבסורדית, וחלק מהמחברים הגיעו למסקנה שכל היישומים של כלל הירושה הם אבסורדיים בהרחבה. עם זאת, לפלס היה מודע היטב לאבסורדיות של התוצאה; מיד לאחר הדוגמה, הוא כתב, "אך מספר זה [כלומר, ההסתברות שהשמש תזרח מחר] גדול בהרבה עבור מי שרואה במכלול התופעות את העיקרון המווסת את הימים והעונות, מבין ששום דבר בזמן הנוכחי לא יכול לעצור את מהלכו."
### פונקציה יוצרת הסתברות
שיטת הערכת היחס בין מספר המקרים המועדפים לכלל מספר המקרים האפשריים צוינה קודם לכן על ידי לפלס במאמר שנכתב ב-1779. היא מורכבת מהתייחסות לערכים העוקבים של כל פונקציה כמקדמים בפיתוח של פונקציה אחרת, בהתייחס למשתנה שונה. האחרונה נקראת לפיכך פונקציה יוצרת הסתברות של הראשונה. לפלס מראה לאחר מכן כיצד, באמצעות אינטרפולציה, ניתן לקבוע מקדמים אלו מהפונקציה היוצרת. הבא הוא תוקף את הבעיה ההפוכה, ומהמקדמים הוא מוצא את הפונקציה היוצרת; הדבר מתבצע על ידי פתרון משוואת הפרשים סופיים.
### ריבועים פחותים ומשפט הגבול המרכזי
הפרק הרביעי של מסה זו כולל הצגה של שיטת הריבועים הפחותים, עדות מדהימה לשליטתו של לפלס בתהליכי האנליזה. ב-1805 לגראנג' פרסם את שיטת הריבועים הפחותים, מבלי לנסות לקשורה לתאוריית ההסתברות. ב-1809 גאוס גזר את התפלגות הנורמלית מהעיקרון שהממוצע החשבוני של תצפיות נותן את הערך הסביר ביותר לכמות הנמדדת; ואז, כשהוא מפנה טיעון זה חזרה על עצמו, הוא הראה שאם שגיאות התצפית מתפלגות נורמלית, אומדני הריבועים הפחותים נותנים את הערכים הסבירים ביותר למקדמים במצבי רגרסיה. שתי עבודות אלו נראות כמי שדרבנו את לפלס להשלים עבודה לקראת מסה על הסתברות שהוא תכנן כבר ב-1783.
בשני מאמרים חשובים ב-1810 ו-1811, לפלס פיתח לראשונה את הפונקציה האופיינית ככלי לתאוריית מדגם גדול והוכיח את משפט הגבול המרכזי הכללי הראשון. לאחר מכן בתוספת למאמרו משנת 1810 שנכתב לאחר שראה את עבודתו של גאוס, הוא הראה שמשפט הגבול המרכזי סיפק הצדקה באייזית לריבועים הפחותים: אם משלבים תצפיות, שכל אחת מהן הייתה בעצמה הממוצע של מספר רב של תצפיות בלתי תלויות, אזי אומדני הריבועים הפחותים לא רק ימקסמו את פונקציית הנראות, הנחשבת כהתפלגות פוסטריורית, אלא גם ימזערו את השגיאה הפוסטריורית הצפויה, כל זאת ללא כל הנחה באשר להתפלגות השגיאה או פנייה מעגלית לעקרון הממוצע החשבוני. ב-1811 לפלס לקח כיוון לא-באייזى אחר. בהתחשב בבעיית רגרסיה ליניארית, הוא הגביל את תשומת ליבו לאומדנים ליניאריים בלתי-מוטים של המקדמים הליניאריים. לאחר שהראה שחברים בקבוצה זו מתפלגים בקירוב נורמלית אם מספר התצפיות גדול, הוא טען שריבועים פחותים סיפקו את האומדנים הליניאריים "הטובים ביותר". כאן זה "הטוב ביותר" במובן זה שהוא ממזער את השונות האסימפטוטית ובכך ממזער גם את הערך המוחלט הצפוי של השגיאה, וממקסם את ההסתברות שהאומדן יחול בכל מרווח סימטרי סביב המקדם הלא-ידוע, ללא קשר להתפלגות השגיאה. הגזירה שלו כללה את התפלגות הגבול המשותפת של אומדני הריבועים הפחותים של שני פרמטרים.
השד של לפלס
ב-1814, לפלס פרסם את מה שהיה אולי הניסוח המדעי הראשון של דטרמיניזם סיבתי:
> אנו יכולים לראות את מצבו הנוכחי של היקום כתוצאה של עברו וגורם של עתידו. ישות אשר ברגע מסוים תדע את כל הכוחות המניעים את הטבע, ואת כל המיקומים של כל הפריטים מהם מורכב הטבע, אם ישות זו הייתה גם רחבה מספיק כדי לכופף נתונים אלו לאנליזה, היא תאמץ בנוסחה אחת את תנועות הגופים הגדולים ביותר של היקום ואלו של האטום הזעיר ביותר; עבור ישות כזו דבר לא יהיה לא בטוח והעתיד בדיוק כמו העבר יהיה נוכח ללנגד עיניה.
— פייר סימון לפלס, מסה פילוסופית על הסתברויות
ישות זו מכונה לעיתים קרובות השד של לפלס (באותו קו כמו השד של מקסוול) ולעיתים סופרמן של לפלס (בעקבות הנס רייכנבאך). לפלס עצמו לא השתמש במילה "שד", שהייתה קישוט מאוחר יותר. כפי שתורגם לאנגלית לעיל, הוא פשוט התייחס ל: "Une intelligence ... Rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir comme le passé, serait présent à ses yeux."
אף על פי שלפלס זוכה בדרך כלל בקרדיט על ניסוח ראשון של מושג הדטרמיניזם הסיבתי, בהקשר פילוסופי הרעיון היה למעשה נפוץ באותה עת, וניתן למצוא אותו כבר ב-1756 ב-'Sur la Divination' של מופרטואי. כמו כן, המדען הישועי בושקוביץ הציע לראשונה גרסה של דטרמיניזם מדעי הדומה מאוד לזו של לפלס בספרו משנת 1758 Theoria philosophiae naturalis.
טרנספורמציות לפלס
כבר ב-1744, אוילר, ואחריו לגראנג', החלו לחפש פתרונות בצורה:
z = ∫ X ( x )
e
a x
d x
and
z = ∫ X ( x )
x
a
d x .
{\displaystyle z=\int X(x)e^{ax}\,dx{\text{ and }}z=\int X(x)x^{a}\,dx.}band
עבור משוואות דיפרנציאליות מסוימות. לפלס הרחיב טכניקה זו של טרנספורמציות אינטגרליות עם מחקרו הנרחב שלו. עם זאת פיתוח ויישום נרחב של טרנספורמציית לפלס המודרנית שיש לה את הצורה:
F ( s ) =
∫
0
∞
f ( t )
e
− s t
d t
{\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}band
מתוארך מעבודתו של גוסטב דואטש בשנות ה-1920.
גילויים והישגים אחרים
### מתמטיקה
בין הגילויים האחרים של לפלס במתמטיקה טהורה ויישומית הם:
דיון, בו-זמנית עם אלכסנדר-תאופיל ונדרמונד, על התאוריה הכללית של דטרמיננטות, (1772);
- הוכחה שכל משוואה ממעלה אי-זוגית חייבת להכיל לפחות גורם ריבועי ממשי אחד;
- שיטת לפלס לקירוב אינטגרלים
- פתרון משוואה דיפרנציאלית חלקית ליניארית מסדר שני;
- הוא היה הראשון ששקל את הבעיות הקשות המעורבות במשוואות הפרשים מעורבים, והוכיח שניתן לקבל תמיד את הפתרון של משוואה בהפרשים סופיים ממדרגה ראשונה ומדרגה שניה בצורה של שבר משולב;
- בתאוריית ההסתברויות שלו: משפט דה מואבר-לפלס המקרב התפלגות בינומית עם התפלגות נורמלית
- הערכה של מספר אינטגרלים מסוימים נפוצים;
- הוכחה כללית של משפט ההיפוך של לגראנג'.
### מתח פנים
לפלס התבסס על עבודתו האיכותנית של איש האשכולות האנגלי תומאס יאנג כדי לפתח את תאוריית הפעולה הנימית ואת משוואת יאנג-לפלס.
### מהירות הקול
לפלס היה ב-1816 הראשונים שהצביעו על כך שמהירות הקול באוויר תלויה ביחס קיבול החום. התאוריה המקורית של ניוטון נתנה ערך נמוך מדי, משום שאינה לוקחת בחשבון את הדחיסה האדיאבטית של האוויר הגורמת לעלייה מקומית בטמפרטורה ובלחץ. מחקריו של לפלס בפיזיקה מעשית הוגבלו לאלה שבוצעו על ידו במשותף עם לבואזיה בשנים 1782 עד 1784 על החום הספציפי של גופים שונים.