ז'וזף-לואי לגראנז'

ז'וזף-לואי לגראנז'

ז'וזף-לואי לגראנז' (נולד כג'וזפה לואיג'י לגראנז'ה או ג'וזפה לודוביקו דה לה גראנז' טורנייה; 25 בינואר 1736 – 10 באפריל 1813), המדווח גם כג'וזפה לואיג'י לגראנז' או לגראנז'ה, היה מתמטיקאי, פיזיקאי ואסטרונום איטלקי שהתאזרח בצרפת. הוא תרם תרומות משמעותיות לתחומי האנליזה, תורת המספרים, והמכניקה הקלאסית והשמימית.

בשנת 1766, בהמלצתם של לאונרד אוילר וד'אלמבר, ירש לגראנז' את אוילר כמנהל המתמטיקה באקדמיה הפרוסית למדעים בברלין, פרוסיה, שם שהה למעלה מעשרים שנה, הפיק כרכים רבים של עבודה וזכה בפרסים רבים של האקדמיה הצרפתית למדעים. המסה של לגראנז' על מכניקה אנליטית (Mécanique analytique, מהדורה 4, 2 כרכים, פריז: Gauthier-Villars et fils, 1788–89), שנכתבה בברלין ופורסמה לראשונה ב-1788, הציעה את הטיפול המקיף ביותר במכניקה קלאסית מאז אייזק ניוטון והיוותה בסיס לפיתוח הפיזיקה המתמטית במאה התשע-עשרה.

בשנת 1787, בגיל 51, עבר מברלין לפריז והפך לחבר באקדמיה הצרפתית למדעים. הוא נשאר בצרפת עד סוף חייו. הוא היה דמות מרכזית בתהליך העשרוני בצרפת המהפכנית, הפך לפרופסור הראשון לאנליזה ב"אקול פוליטקניק" (École Polytechnique) עם פתיחתו ב-1794, היה חבר מייסד של ה"בירו דה לונגיטוד" (Bureau des Longitudes), והפך לסנאטור ב-1799.

תרומה מדעית

לגראנז' היה אחד מיוצרי חשבון הווריאציות, וגזר את משוואות אוילר-לגראנז' עבור קיצון של פונקציונלים. הוא הרחיב את השיטה לכלול אילוצים אפשריים, והגיע לשיטת כופלי לגראנז'. לגראנז' המציא את השיטה לפתרון משוואות דיפרנציאליות הידועה כווריאציית פרמטרים, יישם חשבון דיפרנציאלי לתורת ההסתברות ועבד על פתרונות למשוואות אלגבריות. הוא הוכיח שכל מספר טבעי הוא סכום של ארבעה ריבועים. המסה שלו "Théorie des fonctions analytiques" הניחה כמה מיסודות תורת החבורות, תוך הקדמת גלואה. בחשבון דיפרנציאלי, לגראנז' פיתח גישה חדשנית לאינטרפולציה ולמשפט טיילור. הוא חקר את בעיית שלושת הגופים עבור כדור הארץ, השמש והירח (1764) ואת תנועת ירחי צדק (1766), וב-1772 מצא את פתרונות המקרה המיוחד לבעיה זו שמניבים את מה שידוע כיום כנקודות לגראנז'. לגראנז' ידוע בעיקר בזכות הפיכת המכניקה הניוטונית לענף של אנליזה, המכניקה הלגראנז'ית. הוא הציג את ה"עקרונות" המכניים כתוצאות פשוטות של חשבון הווריאציות.

ביוגרפיה

### שנים מוקדמות

כבן הבכור מבין אחד-עשר ילדים בשם ג'וזפה לודוביקו לגראנז'ה, לגראנז' היה ממוצא איטלקי וצרפתי. סבא-רבא מצד אביו היה קפטן פרנסי בחיל הפרשים, שמשפחתו הגיעה מהאזור הצרפתי טור. לאחר ששירת תחת לואי ה-XIV, הוא נכנס לשירותו של קרל עמנואל ה-II, דוכס סבויה, ונישא לקונטי מהמשפחה האריסטוקרטית הרומית. אביו של לגראנז', ג'וזפה פרנצ'סקו לודוביקו, היה דוקטור למשפטים באוניברסיטת טורינו, בעוד אמו הייתה בת יחידה של רופא עשיר מקמביאנו, באזור הכפרי של טורינו. הוא גדל כקתולי (אך מאוחר יותר הפך לאגנוסטיקן).

אביו, שהיה אחראי על קופת הצבא של המלך והיה גזבר משרד העבודות הציבוריות והביצורים בטורינו, היה אמור לשמור על מעמד חברתי ועושר טובים, אך לפני שבנו גדל הוא איבד את רוב רכושו בספקולציות. קריירה כעורך דין תוכננה עבור לגראנז' על ידי אביו, ונדמה שלגראנז' קיבל זאת ברצון. הוא למד באוניברסיטת טורינו והנושא האהוב עליו היה לטינית קלאסית. בתחילה, לא הייתה לו התלהבות גדולה למתמטיקה, ומצא את הגיאומטריה היוונית משעממת למדי.

רק כשהיה בן שבע-עשרה גילה טעם למתמטיקה – העניין שלו בנושא התעורר לראשונה על ידי מאמר של אדמונד האלי מ-1693 שנתקל בו במקרה. לבדו וללא עזרה הוא השליך את עצמו ללימודים מתמטיים; בתום שנה של עמל בלתי פוסק הוא כבר היה מתמטיקאי מיומן. קרל עמנואל ה-III מינה את לגראנז' לשרת כ"Sostituto del Maestro di Matematica" (פרופסור עוזר למתמטיקה) באקדמיה הצבאית המלכותית לתאוריה ופרקטיקה של ארטילריה ב-1755, שם לימד קורסים בחשבון דיפרנציאלי ומכניקה כדי לתמוך באימוץ המוקדם של צבא פיימונטה את תיאוריות הבליסטיקה של בנג'מין רובינס ולאונרד אוילר. בתפקיד זה, לגראנז' היה הראשון שלימד חשבון דיפרנציאלי בבית ספר להנדסה. על פי אלסנדרו פאפאצ'ינו ד'אנטוני, המפקד הצבאי של האקדמיה ותיאורטיקן ארטילריה מפורסם, לגראנז' התגלה למרבה הצער כפרופסור בעייתי עם סגנון ההוראה המוסח שלו, החשיבה המופשטת וחוסר הסבלנות ליישומי ארטילריה והנדסת ביצורים. באקדמיה זו אחד מתלמידיו היה פרנסואה דבייה.

חשבון וריאציות

לגראנז' הוא אחד ממייסדי חשבון הווריאציות. החל מ-1754, הוא עבד על בעיית הטאוטוכרון, וגילה שיטה למקסום ומזעור פונקציונלים בדרך הדומה למציאת קיצון של פונקציות. לגראנז' כתב מספר מכתבים ללאונרד אוילר בין 1754 ל-1756 המתארים את תוצאותיו. הוא תיאר את "אלגוריתם ה-δ" שלו, שהוביל למשוואות אוילר-לגראנז' של חשבון הווריאציות ופישט במידה ניכרת את האנליזה המוקדמת של אוילר. לגראנז' יישם גם את רעיונותיו על בעיות של מכניקה קלאסית, תוך הכללת התוצאות של אוילר ומופרטוי.

אוילר התרשם מאוד מהתוצאות של לגראנז'. נאמר כי "באדיבות אופיינית הוא עיכב מאמר שכתב בעבר, שכיסה חלק מאותו שטח, כדי שהאיטלקי הצעיר יוכל להספיק להשלים את עבודתו, ולתבוע את ההמצאה הבלתי מעורערת של החשבון החדש"; עם זאת, דעה אבירית זו הייתה שנויה במחלוקת. לגראנז' פרסם את שיטתו בשני זיכרונות של חברת טורינו ב-1762 וב-1773.

Miscellanea Taurinensia

בשנת 1757, יחד עם ג'וזפה אנג'לו סאלוצו (כימאי שהעמיד את ביתו לרשות הפגישות) והפיזיקאי ג'ובאני פרנצ'סקו צ'יניה, הקים לגראנז' חברה, ששולבה לאחר מכן כאקדמיה למדעים של טורינו. רוב כתביו המוקדמים נמצאים בחמשת הכרכים של עסקאות האקדמיה, הידועים בדרך כלל כ-"Miscellanea Taurinensia". רבים מאלה הם מאמרים משוכללים. הכרך הראשון מכיל מאמר על תורת התפשטות הקול; בו הוא מצביע על טעות שעשה ניוטון, משיג את המשוואה הדיפרנציאלית הכללית לתנועה, ומשלב אותה לתנועה בקו ישר. כרך זה מכיל גם את הפתרון המלא לבעיה של מיתר הרוטט לרוחב; במאמר זה, הוא מצביע על חוסר כלליות בפתרונות שניתנו בעבר על ידי ברוק טיילור, ד'אלמבר ואוילר, ומגיע למסקנה שצורת העקומה בכל זמן t נתונה על ידי המשוואה

y = a sin(mx) sin(nt)

{\displaystyle y=a\sin(mx)\sin(nt)\,}

. המאמר מסתיים בדיון מופתי על הדים, פעימות וצלילים מורכבים. מאמרים אחרים בכרך זה עוסקים בסדרות חוזרות, הסתברויות וחשבון וריאציות.

הכרך השני מכיל מאמר ארוך המגלם את התוצאות של מספר מאמרים בכרך הראשון על התאוריה והסימון של חשבון הווריאציות, והוא ממחיש את השימוש בו על ידי גזירת עקרון הפעולה המינימלית, ועל ידי פתרונות לבעיות שונות בדינמיקה.

הכרך השלישי כולל את הפתרון של מספר בעיות דינמיות באמצעות חשבון הווריאציות; כמה מאמרים על חשבון אינטגרלי; פתרון לבעיה של פרמה: בהינתן מספר שלם n שאינו ריבוע מושלם, למצוא מספר x כך ש-nx + 1 הוא ריבוע מושלם; והמשוואות הדיפרנציאליות הכלליות של תנועה עבור שלושה גופים הנעים תחת משיכותיהם ההדדיות.

העבודה הבאה שהפיק הייתה ב-1764 על ליברציית הירח, והסבר מדוע אותו פנים תמיד מופנה לכדור הארץ, בעיה שטיפל בה בעזרת עבודה וירטואלית. הפתרון שלו מעניין במיוחד כשהוא מכיל את נבט הרעיון של משוואות תנועה מוכללות, משוואות שהוכיח לראשונה באופן רשמי ב-1780.

### ברלין

כבר ב-1756, אוילר ומופרטוי, שראו את הכישרון המתמטי של לגראנז', ניסו לשכנע את לגראנז' לבוא לברלין, אך הוא סירב בביישנות להצעה. ב-1765, ד'אלמבר התערב בשמו של לגראנז' אצל פרידריך מפרוסיה ובמכתב, ביקש ממנו לעזוב את טורינו למשרה יוקרתית בהרבה בברלין. הוא שוב דחה את ההצעה, והשיב כי

נראה לי שברלין לא תתאים לי כלל כל עוד מר אוילר נמצא שם.

בשנת 1766, לאחר שאוילר עזב את ברלין לסנט פטרסבורג, פרידריך עצמו כתב ללגראנז' והביע את משאלתו של "המלך הגדול ביותר באירופה" שיהיה לו "המתמטיקאי הגדול ביותר באירופה" תושב בחצרו. לגראנז' שוכנע לבסוף. הוא בילה את עשרים השנים הבאות בפרוסיה, שם הפיק סדרה ארוכה של מאמרים שפורסמו בעסקאות ברלין וטורינו, והלחין את עבודתו המונומנטלית, ה-"Mécanique analytique". ב-1767 נישא לבת דודתו ויטוריה קונטי.

לגראנז' היה חביבו של המלך, שלעיתים קרובות הרצה לו על היתרונות של סדירות מושלמת בחיים. השיעור התקבל, ולגראנז' חקר את מוחו וגופו כאילו היו מכונות, והתנסה כדי למצוא את כמות העבודה המדויקת שיכול היה לעשות לפני תשישות. בכל לילה הוא הציב לעצמו משימה מוגדרת ליום המחרת, ועם השלמת כל ענף של נושא הוא כתב אנליזה קצרה כדי לראות אילו נקודות בהדגמות או בנושא היו ניתנות לשיפור. הוא תכנן בקפידה את מאמריו לפני כתיבתם, בדרך כלל ללא מחיקה או תיקון בודד.

עם זאת, במהלך שנותיו בברלין, בריאותו של לגראנז' הייתה ירודה למדי, וזו של אשתו ויטוריה הייתה גרועה עוד יותר. היא מתה ב-1783 לאחר שנים של מחלה ולגראנז' היה מדוכא מאוד. ב-1786 מת פרידריך ה-II, והאקלים של ברלין הפך לקשה עבור לגראנז'.

### פריז

בשנת 1786, בעקבות מותו של פרידריך, קיבל לגראנז' הזמנות דומות ממדינות כולל ספרד ונאפולי, והוא קיבל את הצעתו של לואי ה-XVI לעבור לפריז. בצרפת הוא התקבל בכל סימן של הבחנה ודירות מיוחדות בלובר הוכנו לקבלתו, והוא הפך לחבר באקדמיה הצרפתית למדעים, שהפכה מאוחר יותר לחלק מהמכון של צרפת (1795). בתחילת מגוריו בפריז, הוא נתקף בהתקף של מלנכוליה, ואפילו העותק המודפס של ה-"Mécanique" שלו שעליו עבד במשך רבע מאה שכב יותר משנתיים סגור על שולחנו. סקרנות לגבי תוצאות המהפכה הצרפתית עוררה אותו לראשונה מהתרדמת שלו, סקרנות שהפכה עד מהרה לאזעקה ככל שהמהפכה התפתחה.

באותו זמן, 1792, העצב הבלתי מוסבר של חייו וביישנותו הניעו את חמלתה של רנה-פרנסואז-אדלייד לה מונייה בת ה-24, בתו של חברו, האסטרונום פייר שארל לה מונייה. היא התעקשה להינשא לו והוכיחה את עצמה כאישה מסורה שאליה נקשר בחום.

בספטמבר 1793 החל שלטון הטרור. תחת התערבותו של אנטואן לבואזיה, שבעצמו כבר גורש מהאקדמיה יחד עם חוקרים רבים אחרים, לגראנז' הוחרג במפורש בשמו בצו מאוקטובר 1793 שהורה לכל הזרים לעזוב את צרפת. ב-4 במאי 1794, לבואזיה ו-27 חוכרי מס אחרים נעצרו ונידונו למוות והוצאו להורג בגיליוטינה אחר הצהריים שלאחר המשפט. לגראנז' אמר על מותו של לבואזיה:

נדרש רק רגע כדי לגרום לראש הזה ליפול ומאה שנים לא יספיקו כדי לייצר את דומתו.

אף שלגראנז' התכונן לברוח מצרפת בעוד היה זמן, הוא מעולם לא היה בסכנה; ממשלות מהפכניות שונות (ומאוחר יותר, נפוליאון) העניקו לו כבוד והבחנות. מזל או בטיחות אלו עשויים במידה מסוימת לנבוע מגישת החיים שלו שהביע שנים רבות קודם לכן: "אני מאמין ש, באופן כללי, אחד העקרונות הראשונים של כל אדם חכם הוא לציית בקפדנות לחוקי המדינה שבה הוא חי, גם כשהם בלתי סבירים". עדות בולטת לכבוד שבו הוחזק הוצגה ב-1796 כאשר הנציב הצרפתי באיטליה נצטווה להשתתף במלוא ההדר אצל אביו של לגראנז' ולהעביר את ברכות הרפובליקה על הישגי בנו, ש"עשה כבוד לכל האנושות בגאונותו, ואשר תפארתה המיוחדת של פיימונטה הייתה להפיקו". ניתן להוסיף שנפוליאון, כאשר הגיע לשלטון, עודד בחום לימודים מדעיים בצרפת, והיה נדבן ליברלי שלהם. מונה לסנאטור ב-1799, הוא היה החותם הראשון על ה-"Sénatus-consulte" שב-1802 סיפח את מולדתו פיימונטה לצרפת. הוא רכש אזרחות צרפתית כתוצאה מכך. הצרפתים טענו שהוא מתמטיקאי צרפתי, אך האיטלקים המשיכו לטעון שהוא איטלקי.

יחידות מידה

לגראנז' היה מעורב בפיתוח המערכת המטרית של מדידה בשנות ה-90 של המאה ה-18. הוצעה לו נשיאות הוועדה לרפורמה של משקולות ומידות (la Commission des Poids et Mesures) כשהתכונן לברוח. לאחר מותו של לבואזיה ב-1794, היה זה במידה רבה לגראנז' שהשפיע על בחירת יחידות המטר והקילוגרם עם חלוקה עשרונית, על ידי הוועדה של 1799. לגראנז' היה גם אחד החברים המייסדים של ה"בירו דה לונגיטוד" ב-1795.

אקול נורמל

בשנת 1795, מונה לגראנז' לקתדרה מתמטית ב"אקול נורמל" (École Normale) שהוקם לאחרונה, שנהנה מקיום קצר של ארבעה חודשים בלבד. הרצאותיו שם היו אלמנטריות; הן אינן מכילות דבר בעל חשיבות מתמטית, אם כי הן מספקות תובנה היסטורית קצרה על הסיבה שלו להצעת עשרוני או בסיס 11 כבסיס המספר למערכת הרפורמה של משקולות ומידות. ההרצאות פורסמו מכיוון שהפרופסורים נאלצו "להתחייב בפני נציגי העם וזה בפני זה לא לקרוא ולא לחזור מהזיכרון" ["Les professeurs aux Écoles Normales ont pris, avec les Représentants du Peuple, et entr'eux l'engagement de ne point lire ou débiter de mémoire des discours écrits"]. הנאומים הוזמנו ונרשמו בסטנוגרפיה כדי לאפשר לצירים לראות כיצד הפרופסורים מילאו את תפקידם. חשבו גם שההרצאות שפורסמו יעניינו חלק משמעותי מהאזרחים ["Quoique des feuilles sténographiques soient essentiellement destinées aux élèves de l'École Normale, on doit prévoir quיelles seront lues par une grande partie de la Nation"].

אקול פוליטקניק

בשנת 1794, מונה לגראנז' לפרופסור ב"אקול פוליטקניק"; והרצאותיו שם, שתוארו על ידי מתמטיקאים שהיה להם המזל להיות מסוגלים להשתתף בהן, היו כמעט מושלמות הן בצורה והן בתוכן. החל מהאלמנטים הפשוטים ביותר, הוא הוביל את שומעיו עד ש, כמעט ללא ידיעתם, הם עצמם הרחיבו את גבולות הנושא: מעל הכל הוא הדגיש בפני תלמידיו את היתרון של שימוש תמידי בשיטות כלליות המבוטאות בסימון סימטרי.

עם זאת, לגראנז' לא נראה כמורה מצליח. פורייה, שהשתתף בהרצאותיו ב-1795, כתב:

קולו חלש מאוד, לפחות בכך שהוא לא מתחמם; יש לו מבטא איטלקי בולט מאוד והוא הוגה את ה-s כמו z [...] הסטודנטים, שרובם אינם מסוגלים להעריך אותו, מקבלים אותו מעט, אך הפרופסורים מפצים על כך.

### שנים מאוחרות

בשנת 1810, החל לגראנז' בתיקון יסודי של ה-"Mécanique analytique", אך הוא הצליח להשלים רק כשני שלישים ממנו לפני מותו בפריז ב-1813, ב-128 rue du Faubourg Saint-Honoré. נפוליאון כיבד אותו ב"גראנד קרואה" (Grand Croix) של ה"אורדר אימפריאל דה לה רייניון" (Ordre Impérial de la Réunion) רק יומיים לפני שמת. הוא נקבר באותה שנה בפנתאון בפריז. הכתובת על קברו קוראת בתרגום:

> ז'וזף לואי לגראנז'. סנאטור. רוזן האימפריה. קצין גדול של לגיון הכבוד. צלב גדול של המסדר הקיסרי של האיחוד. חבר המכון והלשכה לאורך. נולד בטורינו ב-25 בינואר 1736. מת בפריז ב-10 באפריל 1813.

עבודה בברלין

לגראנז' היה פעיל מאוד מבחינה מדעית במהלך עשרים השנים שבילה בברלין. לא רק שהוא הפיק את ה-"Mécanique analytique" שלו, אלא שהוא תרם בין מאה למאתיים מאמרים לאקדמיה של טורינו, לאקדמיה של ברלין ולאקדמיה הצרפתית. חלקם הם באמת מסות, וכולם ללא יוצא מן הכלל הם מדרגה גבוהה של מצוינות. למעט זמן קצר שבו היה חולה, הוא הפיק בממוצע כמאמר אחד בחודש. מתוכם, שימו לב לבאים כבין החשובים ביותר.

ראשית, תרומותיו לכרכים הרביעי והחמישי, 1766–1773, של ה-"Miscellanea Taurinensia"; שהחשוב שבהם היה ב-1771, שבו דן כיצד יש לשלב תצפיות אסטרונומיות רבות כדי לתת את התוצאה הסבירה ביותר. ומאוחר יותר, תרומותיו לשני הכרכים הראשונים, 1784–1785, של עסקאות האקדמיה של טורינו; לראשון שבהם תרם מאמר על הלחץ המופעל על ידי נוזלים בתנועה, ולשני מאמר על אינטגרציה על ידי סדרות אינסופיות, וסוג הבעיות שעבורן הוא מתאים.

רוב המאמרים שנשלחו לפריז עסקו בשאלות אסטרונומיות, וביניהם, כולל מאמרו על מערכת צדק ב-1766, החיבור שלו על בעיית שלושת הגופים ב-1772, עבודתו על המשוואה החילונית של הירח ב-1773, והמסה שלו על הפרעות שביטים ב-1778. כולם נכתבו על נושאים שהוצעו על ידי האקדמיה הצרפתית, ובכל מקרה, הפרס הוענק לו.

### מכניקה לגראנז'ית

בין 1772 ל-1788, ניסח לגראנז' מחדש את המכניקה הקלאסית/ניוטונית כדי לפשט נוסחאות ולהקל על חישובים. מכניקה זו נקראת מכניקה לגראנז'ית.

### אלגברה

מספר גדול יותר של מאמריו בתקופה זו, לעומת זאת, נתרמו לאקדמיה הפרוסית למדעים. כמה מהם עוסקים בשאלות באלגברה.

הדיון שלו על ייצוגים של מספרים שלמים על ידי תבניות ריבועיות (1769) ועל ידי תבניות אלגבריות כלליות יותר (1770).

- החיבור שלו על תורת האלימינציה, 1770.

- המשפט של לגראנז' שסדר של תת-חבורה H של חבורה G חייב לחלק את הסדר של G.

- מאמריו מ-1770 ו-1771 על התהליך הכללי לפתרון משוואה אלגברית מכל דרגה באמצעות פותרני לגראנז'. שיטה זו נכשלת במתן נוסחה כללית לפתרונות של משוואה מדרגה חמישית ומעלה מכיוון שלמשוואה העזר המעורבת יש דרגה גבוהה יותר מהמקורית. המשמעות של שיטה זו היא שהיא מציגה את הנוסחאות הידועות כבר לפתרון משוואות מדרגות שנייה, שלישית ורביעית כביטויים של עיקרון יחיד, והייתה יסודית בתורת גלואה. הפתרון המלא של משוואה בינומית (כלומר משוואה מהצורה

a

x

n

{\displaystyle ax^{n}}

±

b = 0

{\displaystyle b=0}

) מטופל גם במאמרים אלה.

- בשנת 1773, שקל לגראנז' דטרמיננטה פונקציונלית מסדר 3, מקרה מיוחד של יעקוביאן. הוא גם הוכיח את הביטוי לנפח של טטראדרון עם אחד הקודקודים בראשית כשישית מהערך המוחלט של הדטרמיננטה שנוצרה על ידי הקואורדינטות של שלושת הקודקודים האחרים.

### תורת המספרים

כמה ממאמריו המוקדמים עוסקים גם בשאלות של תורת המספרים.

- לגראנז' (1766–1769) היה האירופי הראשון שהוכיח שלמשוואת פל x − ny = 1 יש פתרון לא טריוויאלי במספרים שלמים עבור כל מספר טבעי n שאינו ריבוע.

- הוא הוכיח את המשפט, שהוצהר על ידי באשה ללא הצדקה, שכל מספר שלם חיובי הוא סכום של ארבעה ריבועים, 1770.

- הוא הוכיח את משפט וילסון ש (עבור כל מספר שלם n > 1): n הוא ראשוני אם ורק אם (n − 1)! + 1 הוא כפולה של n, 1771.

- מאמריו מ-1773, 1775 ו-1777 נתנו הדגמות של כמה תוצאות שהוצהרו על ידי פרמה, ולא הוכחו בעבר.

- ה-"Recherches d'Arithmétique" שלו מ-1775 פיתח תורה כללית של תבניות ריבועיות בינאריות כדי לטפל בבעיה הכללית של מתי מספר שלם ניתן לייצוג על ידי התבנית ax + by + cxy.

- הוא תרם תרומות לתורת השברים המשולבים.

### עבודה מתמטית אחרת

ישנם גם מאמרים רבים על נקודות שונות של גיאומטריה אנליטית. בשניים מהם, שנכתבו מאוחר יותר, ב-1792 וב-1793, הוא צמצם את משוואות הקוואדריקות (או קוניקואידים) לצורותיהן הקנוניות.

במהלך השנים מ-1772 עד 1785, הוא תרם סדרה ארוכה של מאמרים שיצרו את המדע של משוואות דיפרנציאליות חלקיות. חלק גדול מתוצאות אלו נאסף במהדורה השנייה של החשבון האינטגרלי של אוילר שפורסמה ב-1794.

### אסטרונומיה

לבסוף, ישנם מאמרים רבים על בעיות באסטרונומיה. מתוכם החשובים ביותר הם הבאים:

- ניסיון לפתור את בעיית שלושת הגופים הכללית, עם הגילוי העוקב של שני פתרונות הדפוס הקבוע, קוליניארי ושווה צלעות, 1772. פתרונות אלו נראו מאוחר יותר כמסבירים את מה שידוע כיום כנקודות לגראנז'.

- על המשיכה של אליפסואידים, 1773: זה מבוסס על עבודתו של מקלורן.

- על המשוואה החילונית של הירח, 1773; בולט גם עבור ההקדמה המוקדמת ביותר של רעיון הפוטנציאל. הפוטנציאל של גוף בכל נקודה הוא סכום המסה של כל אלמנט של הגוף כאשר הוא מחולק במרחקו מהנקודה. לגראנז' הראה שאם הפוטנציאל של גוף בנקודה חיצונית היה ידוע, ניתן היה למצוא מיד את המשיכה בכל כיוון. תורת הפוטנציאל פותחה במאמר שנשלח לברלין ב-1777.

- על תנועת הצמתים של מסלול כוכב לכת, 1774.

- על היציבות של מסלולי כוכבי הלכת, 1776.

- שני מאמרים שבהם השיטה לקביעת מסלול של שביט משלוש תצפיות מפותחת במלואה, 1778 ו-1783: זה אכן לא הוכח כזמין באופן מעשי, אך מערכת חישוב ההפרעות שלו באמצעות קוואדרטורות מכניות היוותה את הבסיס לרוב המחקרים הבאים בנושא.

- קביעתו את הווריאציות החילוניות והתקופתיות של האלמנטים של כוכבי הלכת, 1781–1784: הגבולות העליונים שהוקצו עבור אלה תואמים מקרוב את אלו שהושגו מאוחר יותר על ידי לה ורייה, ולגראנז' התקדם ככל שהידע שהיה אז על מסות כוכבי הלכת אפשר.

- שלושה מאמרים על שיטת האינטרפולציה, 1783, 1792 ו-1793: החלק של הפרשים סופיים העוסק בכך נמצא כעת באותו שלב שבו השאיר אותו לגראנז'.

### מסה יסודית

מעבר למאמרים שונים אלה הוא הלחין את המסה היסודית שלו, ה-"Mécanique analytique".

בספר זה, הוא מניח את חוק העבודה הווירטואלית, ומתוך עיקרון יסודי אחד זה, בעזרת חשבון הווריאציות, גוזר את כל המכניקה, הן של מוצקים והן של נוזלים.

מטרת הספר היא להראות שהנושא כלול במשתמע בעיקרון יחיד, ולתת נוסחאות כלליות שמהן ניתן להשיג כל תוצאה מסוימת. שיטת הקואורדינטות המוכללות שבאמצעותה השיג תוצאה זו היא אולי התוצאה המבריקה ביותר של האנליזה שלו. במקום לעקוב אחר התנועה של כל חלק בודד של מערכת חומרית, כפי שעשו ד'אלמבר ואוילר, הוא הראה שאם נגדיר את התצורה שלה על ידי מספר מספיק של משתנים x, הנקראים קואורדינטות מוכללות, שמספרם זהה לזה של דרגות החופש שיש למערכת, אז האנרגיות הקינטיות והפוטנציאליות של המערכת יכולות להתבטא במונחים של משתנים אלה, והמשוואות הדיפרנציאליות של התנועה נגזרות משם על ידי גזירה פשוטה. לדוגמה, בדינמיקה של מערכת קשיחה הוא מחליף את ההתחשבות בבעיה המסוימת במשוואה הכללית, שבדרך כלל נכתבת כיום בצורה

d

d t

∂ T

∂

x ˙

−

∂ T

∂ x

+

∂ V

∂ x

= 0 ,

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial T}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial x}}=0,}

כאשר T מייצג את האנרגיה הקינטית ו-V מייצג את האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת. הוא הציג אז את מה שאנו מכירים כיום כשיטת כופלי לגראנז' – אם כי זו לא הפעם הראשונה ששיטה זו פורסמה – כאמצעי לפתרון משוואה זו. בין משפטים משניים אחרים הניתנים כאן, די להזכיר את הטענה שהאנרגיה הקינטית המועברת על ידי הדחפים הנתונים למערכת חומרית תחת אילוצים נתונים היא מקסימלית, ואת עקרון הפעולה המינימלית. כל האנליזה כה אלגנטית עד שסר ויליאם רואן המילטון אמר שניתן לתאר את העבודה רק כשיר מדעי. לגראנז' העיר שמכניקה היא באמת ענף של מתמטיקה טהורה הדומה לגיאומטריה של ארבעה ממדים, כלומר, הזמן ושלוש הקואורדינטות של הנקודה במרחב; ונאמר שהוא התגאה בכך שמההתחלה ועד הסוף של העבודה לא היה דיאגרמה אחת. בתחילה לא ניתן היה למצוא מדפיס שיפרסם את הספר; אך לז'נדר שכנע לבסוף פירמה בפריז לקחת זאת על עצמה, והוא הופץ בפיקוחם של לפלס, קוזן, לז'נדר (עורך) וקונדורסה ב-1788.

עבודה בצרפת

### חשבון דיפרנציאלי וחשבון וריאציות

הרצאותיו של לגראנז' על החשבון הדיפרנציאלי ב"אקול פוליטקניק" מהוות את הבסיס למסה שלו "Théorie des fonctions analytiques", שפורסמה ב-1797. עבודה זו היא הרחבה של רעיון הכלול במאמר ששלח לעיתוני ברלין ב-1772, ומטרתה להחליף את החשבון הדיפרנציאלי בקבוצת משפטים המבוססים על פיתוח פונקציות אלגבריות בסדרות, תוך הסתמכות בפרט על עקרון הכלליות של האלגברה.

שיטה דומה במקצת שימשה בעבר על ידי ג'ון לנדן ב-"Residual Analysis", שפורסמה בלונדון ב-1758. לגראנז' האמין שהוא יכול בכך להיפטר מאותן קשיים, הקשורים לשימוש בכמויות אינסופיות גדולות ואינסופיות קטנות, שאליהן התנגדו פילוסופים בטיפול הרגיל בחשבון הדיפרנציאלי. הספר מחולק לשלושה חלקים: מתוכם, הראשון עוסק בתורה הכללית של פונקציות, ונותן הוכחה אלגברית למשפט טיילור, שתקפותו, עם זאת, פתוחה לשאלה; השני עוסק ביישומים לגיאומטריה; והשלישי ביישומים למכניקה.

מסה נוספת באותם קווים הייתה ה-"Leçons sur le calcul des fonctions" שלו, שיצאה ב-1804, עם מהדורה שנייה ב-1806. בספר זה ניסח לגראנז' את שיטת כופלי לגראנז' המפורסמת שלו, בהקשר של בעיות של חשבון וריאציות עם אילוצים אינטגרליים. עבודות אלו המוקדשות לחשבון דיפרנציאלי וחשבון וריאציות יכולות להיחשב כנקודת המוצא למחקריהם של קושי, יעקובי וויירשטראס.

### אינפיניטסימלים

בתקופה מאוחרת יותר אימץ לגראנז' במלואו את השימוש באינפיניטסימלים בהעדפה לביסוס החשבון הדיפרנציאלי על חקר תבניות אלגבריות; ובמבוא למהדורה השנייה של ה-"Mécanique Analytique", שיצאה ב-1811, הוא מצדיק את השימוש באינפיניטסימלים, ומסיים באומרו כי:

כאשר תפסנו את רוח השיטה האינפיניטסימלית, ואימתנו את דיוק תוצאותיה או על ידי השיטה הגיאומטרית של יחסים ראשוניים וסופיים, או על ידי השיטה האנליטית של פונקציות נגזרות, אנו עשויים להשתמש בכמויות קטנות אינסופית כאמצעי בטוח ובעל ערך לקיצור ופישוט ההוכחות שלנו.

### תורת המספרים

ה-"Résolution des équations numériques" שלו, שפורסם ב-1798, היה גם פרי הרצאותיו ב"אקול פוליטקניק". שם הוא נותן את השיטה לקירוב השורשים הממשיים של משוואה באמצעות שברים משולבים, ומצהיר על כמה משפטים אחרים. בהערה בסוף, הוא מראה כיצד המשפט הקטן של פרמה, כלומר

a

p − 1

− 1 ≡ 0

(mod

p)

{\displaystyle a^{p-1}-1\equiv 0{\pmod {p}}}

כאשר p הוא ראשוני ו-a הוא ראשוני ל-p, עשוי להיות מיושם כדי לתת את הפתרון האלגברי המלא של כל משוואה בינומית. הוא גם מסביר כאן כיצד המשוואה ששורשיה הם ריבועי ההפרשים של שורשי המשוואה המקורית עשויה לשמש כדי לתת מידע רב על המיקום והטבע של שורשים אלה.

### מכניקה שמימית

תורה של תנועות כוכבי הלכת היוותה את הנושא של כמה מהמאמרים המדהימים ביותר של לגראנז' בברלין. ב-1806 הנושא נפתח מחדש על ידי פואסון, שבמאמר שנקרא בפני האקדמיה הצרפתית, הראה שהנוסחאות של לגראנז' הובילו לגבולות מסוימים ליציבות המסלולים. לגראנז', שהיה נוכח, דן כעת בכל הנושא מחדש, ובמכתב שנמסר לאקדמיה ב-1808 הסביר כיצד, על ידי וריאציה של קבועים שרירותיים, ניתן לקבוע את אי-השוויון התקופתי והחילוני של כל מערכת של גופים המקיימים אינטראקציה הדדית.

פרסים והבחנות

אוילר הציע את לגראנז' לבחירה לאקדמיה של ברלין והוא נבחר ב-2 בספטמבר 1756. הוא נבחר לעמית של החברה המלכותית של אדינבורו ב-1790, לעמית של החברה המלכותית ולחבר זר של האקדמיה המלכותית השוודית למדעים ב-1806. ב-1808, נפוליאון הפך את לגראנז' לקצין גדול של לגיון הכבוד ולרוזן האימפריה. הוא זכה ב"גראנד קרואה" של ה"אורדר אימפריאל דה לה רייניון" ב-1813, שבוע לפני מותו בפריז, ונקבר בפנתאון, מאוזוליאום המוקדש לאנשים הצרפתים המכובדים ביותר.

לגראנז' זכה בפרס האקדמיה הצרפתית למדעים לשנת 1764 על זיכרונותיו על ליברציית הירח. ב-1766 הציעה האקדמיה בעיה של תנועת ירחי צדק, והפרס שוב הוענק ללגראנז'. הוא גם חלק או זכה בפרסים של 1772, 1774 ו-1778.

לגראנז' הוא אחד מ-72 מדענים צרפתים בולטים שהונצחו על לוחות בשלב הראשון של מגדל אייפל כשהוא נפתח לראשונה. רחוב לגראנז' ברובע ה-5 בפריז נקרא על שמו. בטורינו, הרחוב שבו עדיין עומד בית הולדתו נקרא "via Lagrange". מכתש הירח לגראנז' והאסטרואיד 1006 לגראנז'ה נושאים גם הם את שמו.