היפרכוס

ביוגרפיה וסקירה כללית

לעולם אל תרמה חבר. היפרכוס מניקיאה (Hipparchus of Nicaea) היה אסטרונום, גיאוגרף ומתמטיקאי יווני. הוא נחשב למייסד הטריגונומטריה אך מפורסם בעיקר בזכות גילויו המקרי של נקיפת נקודות השוויון. היפרכוס נולד בניקיאה, ביתיניה, כיום איזניק שבטורקיה, וכנראה מת באי רודוס שביוון. ידוע כי היה אסטרונום פעיל לפחות בין השנים 162 ל-127 לפנה"ס. היפרכוס נחשב לצופה האסטרונומי העתיק הגדול ביותר, ויש המגדירים אותו כאסטרונום הגדול ביותר של העת העתיקה בכלל. הוא היה הראשון שמודלים כמותיים ומדויקים שלו לתנועת השמש והירח שרדו. לצורך כך הוא בוודאי נעזר בתצפיות ואולי אף בטכניקות מתמטיות שנצברו במשך מאות שנים על ידי הבבלים ועל ידי מֶטוֹן מאתונה (Meton of Athens) מהמאה ה-5 לפנה"ס, טימוכאריס (Timocharis), אריסטילוס (Aristyllus), אריסטרכוס מסאמוס (Aristarchus of Samos) וארטוסתנס (Eratosthenes) ואחרים.

הוא פיתח את הטריגונומטריה ובנה טבלאות טריגונומטריות, ופתר מספר בעיות בטריגונומטריה כדורית. יחד עם התיאוריות הסולאריות והירחיות שלו והטריגונומטריה שלו, הוא עשוי היה להיות הראשון שפיתח שיטה מהימנה לחיזוי ליקויי חמה. הישגיו המיוחסים האחרים כוללים את גילוי ומדידת הנקיפה של כדור הארץ, חיבור קטלוג הכוכבים המקיף הראשון של העולם המערבי, ואולי המצאת האצטרולב וכן גלגל השמיים (armillary sphere), שבהם השתמש במהלך יצירת חלק גדול מקטלוג הכוכבים. חיים ועבודה היפרכוס נולד בניקיאה (יוונית: Νίκαια), במחוז העתיק ביתיניה, כיום איזניק במחוז בורסה, במה שהיא כיום המדינה טורקיה.

חיים והקשר היסטורי

התאריכים המדויקים של חייו אינם ידועים, אך תלמי (Ptolemy) מייחס לו תצפיות אסטרונומיות בתקופה שבין 147–127 לפנה"ס, וחלקן מצוינות ככאלה שבוצעו ברודוס; תצפיות מוקדמות יותר מאז 162 לפנה"ס עשויות להיות גם הן שלו. תאריך לידתו, בערך 190 לפנה"ס, חושב על ידי דלאמבר (Delambre) בהתבסס על רמזים בעבודתו. היפרכוס ודאי חי זמן מה לאחר 127 לפנה"ס מכיוון שהוא ניתח ופרסם את תצפיותיו מאותה שנה. היפרכוס השיג מידע מאלכסנדריה וכן מבבל, אך לא ידוע מתי או אם ביקר במקומות אלה. הוא נחשב כמי שמת באי רודוס, שם נראה שבילה את רוב שנותיו האחרונות. לא ידוע מה היו אמצעיו הכלכליים של היפרכוס או כיצד תמך בפעילותו המדעית. מראהו אינו ידוע אף הוא: אין בנמצא דיוקנאות בני זמנו.

במאות ה-2 וה-3 הוטבעו מטבעות לכבודו בביתיניה הנושאים את שמו ומראים אותו עם גלובוס; דבר זה תומך במסורת שהוא נולד שם. תיאור משנת 1876 של היפרכוס צופה מאלכסנדריה, מקום שאינו ידוע כי הגיע אליו, עם טלסקופ, מכשיר שלא היה קיים אז. מעט מאוד מעבודתו הישירה של היפרכוס שרדה עד לעת המודרנית. אף שכתב לפחות ארבעה-עשר ספרים, רק פירושו על הפואמה האסטרונומית הפופולרית של אראטוס (Aratus) נשתמר על ידי מעתיקים מאוחרים יותר. רוב מה שידוע על היפרכוס מגיע מ"גיאוגרפיה" של סטראבון (Strabo) ו"תולדות הטבע" של פליניוס (Pliny) מהמאה ה-1; ה"אלמגסט" של תלמי מהמאה ה-2; והתייחסויות נוספות אליו במאה ה-4 על ידי פאפוס (Pappus) ותאון מאלכסנדריה (Theon of Alexandria) בפירושיהם ל"אלמגסט".

מתודולוגיה מדעית ותצפיות

היפרכוס היה בין הראשונים שחישבו מערכת הליוצנטרית, אך הוא נטש את עבודתו מכיוון שהחישובים הראו שהמסלולים אינם מעגליים בצורה מושלמת כפי שנחשב לחובה על ידי המדע של אותה תקופה. אף שבן זמנו של היפרכוס, סלאוקוס מסלאוקיה (Seleucus of Seleucia), נותר תומך במודל ההליוצנטרי, דחייתו של היפרכוס את ההליוצנטריות, הנתמכת ברעיונות של אריסטו, נותרה דומיננטית במשך כמעט 2000 שנה עד שההליוצנטריות הקופרניקאית שינתה את כיוון הוויכוח. עבודתו היחידה של היפרכוס ששרדה היא "פירוש על הפנומנה של אאודוקסוס ואראטוס". זהו פירוש ביקורתי מאוד בצורת שני ספרים על פואמה פופולרית של אראטוס המבוססת על עבודתו של אאודוקסוס. היפרכוס גם ערך רשימה של עבודותיו העיקריות, שככל הנראה ציינה כארבעה-עשר ספרים, אך היא ידועה רק מהתייחסויות של מחברים מאוחרים יותר.

קטלוג הכוכבים המפורסם שלו שולב בזה של תלמי, וניתן לשחזרו כמעט במדויק על ידי חיסור של שתי ושני שליש מעלות מהאורך של כוכבי תלמי. הטבלה הטריגונומטרית הראשונה חוברה כנראה על ידי היפרכוס, שבהתאם לכך ידוע כיום כ"אבי הטריגונומטריה". השערות מודרניות היפרכוס היה בחדשות הבינלאומיות בשנת 2005, כאשר הוצע שוב, כפי שהוצע ב-1898, שהנתונים על גלובוס השמיים של היפרכוס או בקטלוג הכוכבים שלו עשויים היו להישמר בגלובוס השמיים העתיק הגדול היחיד ששרד המתאר את קבוצות הכוכבים ברמת דיוק מתונה, הגלובוס שנושא אטלס פארנזה. ישנם מגוון טעויות במאמר השאפתני משנת 2005, ולפיכך אף מומחה בתחום אינו מקבל את השערתו המפורסמת.

לוצ'יו רוסו (Lucio Russo) טען כי פלוטרכוס (Plutarch), ביצירתו "על הפנים בירח", דיווח על כמה תיאוריות פיזיקליות שאנו מחשיבים כניוטוניות וכי אלו עשויות היו להגיע במקור מהיפרכוס; הוא ממשיך ואומר שניוטון עשוי היה להיות מושפע מהן. על פי ביקורת ספר אחת, שתי הטענות הללו נדחו על ידי חוקרים אחרים. שורה ב"שיחות שולחן" של פלוטרכוס קובעת שהיפרכוס מנה 103,049 טענות מורכבות שניתן ליצור מעשר טענות פשוטות. 103,049 הוא מספר שרדר-היפרכוס העשירי, הסופר את מספר הדרכים להוספת זוג סוגריים אחד או יותר סביב תת-סדרות רצופות של שני פריטים או יותר בכל סדרה של עשרה סמלים. זה הוביל להשערה שהיפרכוס ידע על קומבינטוריקה מנייתית, תחום מתמטי שהתפתח באופן עצמאי במתמטיקה המודרנית.

השפעה בבלית וניתוח נתונים

מקורות בבליים אסטרונומים ומתמטיקאים יוונים קודמים הושפעו במידה מסוימת מהאסטרונומיה הבבלית, למשל יחסי התקופה של מחזור מטון ומחזור סארוס עשויים היו להגיע ממקורות בבליים; ראו "יומנים אסטרונומיים בבליים". נראה שהיפרכוס היה הראשון לנצל את הידע והטכניקות האסטרונומיות הבבליות באופן שיטתי. מלבד טימוכאריס ואריסטילוס, הוא היה היווני הראשון הידוע שחילק את המעגל ל-360 מעלות של 60 דקות קשת (ארטוסתנס לפניו השתמש במערכת סקסגסימלית פשוטה יותר המחלקת מעגל ל-60 חלקים); הוא גם אימץ את יחידת האמה האסטרונומית הבבלית (באכדית: ammatu, ביוונית: πῆχυς pēchys) שהייתה שווה ל-2° או 2.5° 'אמה גדולה'. היפרכוס כנראה ערך רשימה של תצפיות אסטרונומיות בבליות; ג'. ג'.

טוּמר (Toomer), היסטוריון של האסטרונומיה, הציע שידיעתו של תלמי על רישומי ליקויים ותצפיות בבליות אחרות ב"אלמגסט" הגיעה מרשימה שערך היפרכוס. השימוש של היפרכוס במקורות בבליים תמיד היה ידוע באופן כללי, בשל הצהרותיו של תלמי. עם זאת, פרנץ קסוור קוגלר (Franz Xaver Kugler) הדגים שהתקופות הסינודיות והאנומליסטיות שתלמי מייחס להיפרכוס כבר היו בשימוש באפמרידים בבליים, ספציפית באוסף הטקסטים המכונה כיום "מערכת B", המיוחס לעיתים לקידינו (Kidinnu). התקופה הירחית הדרקונית הארוכה של היפרכוס (5,458 חודשים = 5,923 תקופות צומת ירחיות) מופיעה גם היא כמה פעמים ברישומים בבליים. אך הלוח היחיד שמתוארך במפורש הוא מהתקופה שלאחר היפרכוס, כך שכיוון ההעברה אינו מוכרע על ידי הלוחות.

לא ניתן לפתור את התנועה הירחית הדרקונית של היפרכוס על ידי טיעוני ארבעת הירחים שלעיתים מוצעים כדי להסביר את תנועתו האנומליסטית. פתרון שהפיק את היחס המדויק 5,458/5,923 נדחה על ידי רוב ההיסטוריונים, אף שהוא משתמש בשיטה היחידה המעידה על קביעת יחסים כאלה בעת העתיקה, והוא מספק אוטומטית את המונה והמכנה בעלי ארבע הספרות של היחס. היפרכוס השתמש בתחילה (אלמגסט 6.9) בליקוי שלו משנת 141 לפנה"ס עם ליקוי בבלי משנת 720 לפנה"ס כדי למצוא את היחס הפחות מדויק 7,160 חודשים סינודיים = 7,770 חודשים דרקוניים, שפושט על ידו ל-716 = 777 על ידי חילוק ב-10. הוא מצא באופן דומה מהמחזור של 345 שנים את היחס 4,267 חודשים סינודיים = 4,573 חודשים אנומליסטיים וחילק ב-17 כדי לקבל את היחס הסטנדרטי 251 חודשים סינודיים = 269 חודשים אנומליסטיים.

אם הוא חיפש בסיס זמן ארוך יותר לחקירה דרקונית זו, הוא יכול היה להשתמש באותו ליקוי משנת 141 לפנה"ס שלו עם ליקוי משנת 1245 לפנה"ס מזריחת הירח מבבל, מרווח של 13,645 חודשים סינודיים = 14,880 1/2 חודשים דרקוניים ≈ 14,623 1/2 חודשים אנומליסטיים. חילוק ב-5/2 מפיק 5,458 חודשים סינודיים = 5,923 במדויק. ההתנגדות העיקרית הברורה היא שהליקוי המוקדם אינו מתועד, אם כי זה לא מפתיע כשלעצמו, ואין קונצנזוס לגבי השאלה האם תצפיות בבליות נרשמו בטווח כה רחוק. למרות שהטבלאות של היפרכוס חזרו רשמית רק ל-747 לפנה"ס, 600 שנה לפני תקופתו, הטבלאות היו למעשה טובות עוד לפני הליקוי המדובר, שכן כפי שצוין רק לאחרונה, השימוש בהן לאחור אינו קשה יותר מאשר קדימה.

גיאומטריה וטריגונומטריה

גיאומטריה, טריגונומטריה וטכניקות מתמטיות אחרות היפרכוס הוכר כמתמטיקאי הראשון הידוע שהחזיק בטבלה טריגונומטרית, לה נזקק בעת חישוב האקסצנטריות של מסלולי הירח והשמש. הוא טבלא את הערכים לפונקציית המיתר, שעבור זווית מרכזית במעגל נותנת את אורך קטע הקו הישר בין הנקודות שבהן הזווית חוצה את המעגל. הוא חישב זאת עבור מעגל עם היקף של 21,600 יחידות ורדיוס מעוגל של 3438 יחידות; למעגל זה יש אורך יחידה של דקת קשת אחת לאורך היקפו. הוא טבלא את המיתרים עבור זוויות עם מרווחים של 7.5°.

במונחים מודרניים, המיתר הנשען על זווית מרכזית במעגל בעל רדיוס נתון שווה לרדיוס כפול פעמיים סינוס חצי הזווית, כלומר: היצירה שאבדה שבה נאמר שהיפרכוס פיתח את טבלת המיתרים שלו, נקראת Tōn en kuklōi eutheiōn ("על קווים בתוך מעגל") בפירושו של תאון מאלכסנדריה מהמאה ה-4 על סעיף I.10 של האלמגסט. יש הטוענים שהטבלה של היפרכוס אולי שרדה בחיבורים אסטרונומיים בהודו, כמו ה"סוריה סידהאנטה" (Surya Siddhanta). טריגונומטריה הייתה חידוש משמעותי, כיוון שהיא אפשרה לאסטרונומים יוונים לפתור כל משולש, ואיפשרה ליצור מודלים ותחזיות אסטרונומיות כמותיות באמצעות הטכניקות הגיאומטריות המועדפות עליהם. היפרכוס ודאי השתמש בקירוב טוב יותר עבור פאי (π) מזה של ארכימדס שהיה בין 3 10/71 (3.14085) ל-3 1/7 (3.14286).

אולי היה לו את זה ששימש מאוחר יותר את תלמי: 3;8,30 (סקסגסימלי: 3.1417) באלמגסט VI.7, אך לא ידוע אם הוא חישב ערך משופר בעצמו. ישנם חוקרים שאינם מאמינים שלטבלת הסינוסים של אריאבהטה (Āryabhaṭa) יש קשר לטבלת המיתרים של היפרכוס. אחרים אינם מסכימים שאפילו היפרכוס בנה טבלת מיתרים. בו סי. קלינטברג (Bo C. Klintberg) מצהיר: "בעזרת שחזורים מתמטיים וטיעונים פילוסופיים אני מראה שהמאמר של טומר משנת 1973 מעולם לא הכיל ראיות חותכות לטענותיו כי להיפרכוס הייתה טבלת מיתרים מבוססת 3438', וכי ההודים השתמשו בטבלה זו כדי לחשב את טבלאות הסינוסים שלהם. חישוב מחדש של השחזורים של טומר עם רדיוס של 3600' – כלומר הרדיוס של טבלת המיתרים ב'אלמגסט' של תלמי, מבוטא ב'דקות' במקום ב'מעלות' – מייצר יחסים דמויי היפרכוס דומים לאלה המיוצרים על ידי רדיוס של 3438'."

לכן ייתכן שהרדיוס של טבלת המיתרים של היפרכוס היה 3600', ושההודים בנו באופן עצמאי את טבלת הסינוסים שלהם מבוססת 3438'. היפרכוס יכול היה לבנות את טבלת המיתרים שלו באמצעות משפט פיתגורס ומשפט שהיה ידוע לארכימדס. הוא גם עשוי היה לפתח ולהשתמש במשפט הנקרא משפט תלמי; זה הוכח על ידי תלמי ב"אלמגסט" I.10 שלו ומאוחר יותר הורחב על ידי קרנו (Carnot). היפרכוס היה הראשון להראות שהטלה סטריאוגרפית היא קונפורמית, ושהיא הופכת מעגלים על הספירה שאינם עוברים דרך מרכז ההטלה למעגלים על המישור. זה היה הבסיס לאצטרולב. מלבד גיאומטריה, היפרכוס השתמש גם בטכניקות אריתמטיות שפותחו על ידי הכשדים. הוא היה אחד המתמטיקאים היוונים הראשונים שעשו זאת, ובדרך זו הרחיב את הטכניקות העומדות לרשות אסטרונומים וגיאוגרפים.

ישנן מספר אינדיקציות לכך שהיפרכוס ידע טריגונומטריה כדורית, אך הטקסט הראשון ששרד הדן בה הוא של מנלאוס מאלכסנדריה (Menelaus of Alexandria) מהמאה ה-1, שעל בסיס זה נהוג כיום לייחס לו את גילויה. לפני מציאת ההוכחות של מנלאוס לפני מאה שנה, תלמי יוחס להמצאת הטריגונומטריה הכדורית. תלמי השתמש מאוחר יותר בטריגונומטריה כדורית כדי לחשב דברים כמו נקודות הזריחה והשקיעה של המלקה, או כדי לקחת בחשבון את הפרלקסה הירחית. אם לא השתמש בטריגונומטריה כדורית, היפרכוס עשוי היה להשתמש בגלובוס למשימות אלה, לקרוא ערכים מרשתות קואורדינטות מצוירות עליו, או שהוא עשוי היה לבצע קירובים מגיאומטריה מישורית, או אולי להשתמש בקירובים אריתמטיים שפותחו על ידי הכשדים.

תיאוריה ירחית וסולארית

אוברי דילר (Aubrey Diller) הראה שחישובי ה-clima שסטראבון שימר מהיפרכוס היו יכולים להתבצע על ידי טריגונומטריה כדורית תוך שימוש בשיפוע המדויק היחיד שידוע כי היה בשימוש על ידי אסטרונומים עתיקים, 23°40′. כל שלוש-עשרה דמויות ה-clima מסכימות עם הצעתו של דילר. אישור נוסף לטענתו הוא הממצא שהטעויות הגדולות באורך של רגולוס (Regulus) ובשני אורכי הספייקה (Spica) של היפרכוס מסכימות לדקות ספורות בכל שלושת המקרים עם תיאוריה שהוא לקח את הסימן הלא נכון עבור התיקון שלו לפרלקסה בעת שימוש בליקויים לקביעת מיקומי כוכבים. תיאוריה ירחית וסולארית תנועת הירח היפרכוס למד גם את תנועת הירח ואישר את הערכים המדויקים לשתי תקופות של תנועתו שאסטרונומים כשדים מיוחסים באופן נרחב כי היו ברשותם לפניו, לא משנה מה מקורם הסופי.

הערך המסורתי ממערכת ב' הבבלית לחודש סינודי ממוצע הוא 29 ימים; 31,50,8,20 סקסגסימלי = 29.5305941... ימים. מבוטא כ-29 ימים + 12 שעות + 793/1080 שעות, ערך זה שימש מאוחר יותר בלוח השנה העברי. הכשדים ידעו גם ש-251 חודשים סינודיים ≈ 269 חודשים אנומליסטיים. היפרכוס השתמש בכפולה של תקופה זו בפקטור של 17, מכיוון שמרווח זה הוא גם תקופת ליקוי, והוא גם קרוב למספר שלם של שנים (4,267 ירחים : 4,573 תקופות אנומליסטיות : 4,630.53 תקופות צומת : 4,611.98 מסלולי ירח : 344.996 שנים : 344.982 מסלולי שמש : 126,007.003 ימים : 126,351.985 סיבובים).

מה שהיה כל כך יוצא דופן ושימושי לגבי המחזור היה שכל זוגות הליקויים במרווח של 345 שנים מתרחשים מעט מעל 126,007 ימים בנפרד בטווח צר של רק כ-± 1/2 שעה, מה שמבטיח לאחר חילוק ב-4,267 הערכה של החודש הסינודי הנכונה לחלק אחד בסדר גודל של 10 מיליון. המחזוריות של 345 שנים היא הסיבה שהקדמונים יכלו להגות חודש ממוצע ולכמת אותו בצורה כל כך מדויקת שהוא נכון אפילו כיום עד לשבריר של שנייה בזמן. בנייה גיאומטרית ששימשה את היפרכוס בקביעת המרחקים לשמש ולירח. היפרכוס יכול היה לאשר את חישוביו על ידי השוואת ליקויים מזמנו (ככל הנראה 27 בינואר 141 לפנה"ס ו-26 בנובמבר 139 לפנה"ס לפי ), עם ליקויים מרישומים בבליים 345 שנים קודם לכן (אלמגסט IV.2;).

כבר אל-בירוני (al-Biruni) ב"קאנון" VII.2.II וקופרניקוס ב"דה רבולוציוניבוס" IV.4 ציינו שהתקופה של 4,267 ירחים היא למעשה ארוכה בכ-5 דקות מהערך לתקופת הליקוי שתלמי מייחס להיפרכוס. עם זאת, לשיטות התזמון של הבבלים הייתה טעות של לא פחות מ-8 דקות. חוקרים מודרניים מסכימים שהיפרכוס עיגל את תקופת הליקוי לשעה הקרובה ביותר, והשתמש בה כדי לאשר את תקפותם של הערכים המסורתיים, במקום לנסות להפיק ערך משופר מתצפיותיו שלו. מאפמרידים מודרניים ותוך התחשבות בשינוי באורך היום (ראו ΔT) אנו מעריכים שהטעות באורך המונח של החודש הסינודי הייתה פחות מ-0.2 שניות במאה ה-4 לפנה"ס ופחות מ-0.1 שניות בזמנו של היפרכוס. מסלול הירח זה היה ידוע זמן רב שתנועת הירח אינה אחידה: מהירותה משתנה.

זה נקרא האנומליה שלו, והיא חוזרת על עצמה עם התקופה שלה; החודש האנומליסטי. הכשדים לקחו זאת בחשבון מבחינה אריתמטית, והשתמשו בטבלה המציגה את התנועה היומית של הירח לפי התאריך בתוך תקופה ארוכה. היוונים לעומת זאת העדיפו לחשוב במודלים גיאומטריים של השמיים. אפולוניוס מפרגה (Apollonius of Perga) הציע בסוף המאה ה-3 לפנה"ס שני מודלים לתנועה ירחית ופלנטרית: בראשון, הירח היה נע באופן אחיד לאורך מעגל, אך כדור הארץ היה אקסצנטרי, כלומר במרחק מה מהמרכז של המעגל. כך המהירות הזוויתית הנראית של הירח ומרחקו היו משתנים.

הירח עצמו היה נע באופן אחיד עם תנועה ממוצעת כלשהי באנומליה על מסלול מעגלי משני, הנקרא אפיציקל, שבעצמו היה נע באופן אחיד עם תנועה ממוצעת כלשהי באורך מעל המסלול המעגלי הראשי סביב כדור הארץ, הנקרא דפרנט; ראו דפרנט ואפיציקל. אפולוניוס הדגים ששני המודלים הללו היו למעשה שווי ערך מבחינה מתמטית. עם זאת, כל זה היה תיאוריה ולא יושם בפועל. היפרכוס היה האסטרונום הראשון שאנו יודעים שניסה לקבוע את הפרופורציות היחסיות והגדלים בפועל של מסלולים אלה. היפרכוס תכנן שיטה גיאומטרית למצוא את הפרמטרים משלושה מיקומים של הירח, בשלבים מסוימים של האנומליה שלו. למעשה, הוא עשה זאת בנפרד עבור האקסצנטר ועבור מודל האפיציקל. תלמי מתאר את הפרטים ב"אלמגסט" IV.11.

היפרכוס השתמש בשתי קבוצות של שלוש תצפיות ליקוי ירח, שאותן בחר בקפידה כדי לעמוד בדרישות. את מודל האקסצנטר הוא התאים לליקויים אלה מרשימת ליקויי הירח הבבליים שלו: 22/23 בדצמבר 383 לפנה"ס, 18/19 ביוני 382 לפנה"ס, ו-12/13 בדצמבר 382 לפנה"ס. את מודל האפיציקל הוא התאים לתצפיות ליקוי ירח שבוצעו באלכסנדריה ב-22 בספטמבר 201 לפנה"ס, 19 במרץ 200 לפנה"ס, ו-11 בספטמבר 200 לפנה"ס. עבור מודל האקסצנטר, היפרכוס מצא את היחס בין רדיוס האקסצנטר למרחק בין מרכז האקסצנטר למרכז המלקה (כלומר, הצופה על כדור הארץ): 3144 : 327 2/3; ועבור מודל האפיציקל, היחס בין רדיוס הדפרנט לאפיציקל: 3122 1/2 : 247 1/2.

המספרים המוזרים במקצת נובעים מהיחידה המסורבלת שבה השתמש בטבלת המיתרים שלו על פי קבוצת היסטוריונים אחת, שמסבירה את אי-יכולתו של השחזור שלהם להסכים עם ארבעת המספרים הללו כנובעת חלקית מעיגול מרושל ומטעויות חישוב של היפרכוס, שעליהן ביקר אותו תלמי (הוא עצמו עשה טעויות עיגול גם כן). שחזור חלופי פשוט יותר מסכים עם כל ארבעת המספרים. בכל אופן, היפרכוס מצא תוצאות לא עקביות; מאוחר יותר הוא השתמש ביחס של מודל האפיציקל 3122 1/2 : 247 1/2, שהוא קטן מדי (60 : 4;45 סקסגסימלי). תלמי קבע יחס של 60 : 5 1/4. הסטייה הזוויתית המקסימלית שניתן לייצר על ידי גיאומטריה זו היא ה-arcsin של 5 1/4 חלקי 60, או כ-5° 1', נתון שלעיתים מצוטט לכן כשווה ערך למשוואת המרכז של הירח במודל ההיפרכוס.

תנועה נראית של השמש לפני היפרכוס, מֶטוֹן, אֶוּקטֶמוֹן, ותלמידיהם באתונה ביצעו תצפית נקודת היפוך (כלומר, תזמנו את רגע נקודת ההיפוך של הקיץ) ב-27 ביוני 432 לפנה"ס (לוח שנה יוליאני פרו-לפטי). נאמר כי אריסטרכוס מסאמוס עשה זאת ב-280 לפנה"ס, ולהיפרכוס הייתה גם תצפית של ארכימדס. כפי שהוצג במאמר מ-1991, ב-158 לפנה"ס חישב היפרכוס נקודת היפוך קיצית שגויה מאוד מלוח השנה של קאליפוס (Callippus). הוא צפה בנקודת ההיפוך של הקיץ ב-146 ו-135 לפנה"ס (שניהם מדויקים עד כדי שעות ספורות), אך תצפיות על רגע נקודת השוויון היו פשוטות יותר, והוא ביצע עשרים כאלה במהלך חייו. תלמי נותן דיון נרחב על עבודתו של היפרכוס על אורך השנה ב"אלמגסט" III.1, ומצטט תצפיות רבות שהיפרכוס ביצע או השתמש בהן, המשתרעות על פני 162–128 לפנה"ס.

ניתוח של שבע-עשרה תצפיות נקודת השוויון של היפרכוס שבוצעו ברודוס מראה שהטעות הממוצעת בנטייה היא שבע דקות קשת חיוביות, כמעט בהסכמה עם סכום השבירה על ידי אוויר והפרלקסה של סוורדלו (Swerdlow). הרעש האקראי הוא שתי דקות קשת או יותר (כמעט דקת קשת אחת אם לוקחים בחשבון עיגול) מה שמסכים בערך עם חדות העין. תלמי מצטט תזמון נקודת שוויון על ידי היפרכוס ב-24 במרץ 146 לפנה"ס עם עלות השחר השונה ב-5 שעות מהתצפית שבוצעה על טבעת המשוונית הציבורית הגדולה של אלכסנדריה באותו יום שעה אחת לפני הצהריים: היפרכוס אולי ביקר באלכסנדריה אך הוא לא ביצע את תצפיות נקודת השוויון שלו שם; כנראה שהוא היה ברודוס בקו אורך גיאוגרפי כמעט זהה.

הוא יכול היה להשתמש בטבעת המשוונית של גלגל השמיים שלו או בטבעת משוונית אחרת לתצפיות אלה, אך היפרכוס ותלמי ידעו שתצפיות עם מכשירים אלה רגישות ליישור מדויק עם קו המשווה, כך שאם הוא היה מוגבל לגלגל שמיים, היה הגיוני יותר להשתמש בטבעת המרידיאן שלו כמכשיר טרנזיט. הבעיה עם טבעת משוונית אם צופה תמים מספיק כדי לסמוך עליה קרוב מאוד לעלות השחר או דמדומים היא ששבירה אטמוספרית מרימה את השמש משמעותית מעל האופק: כך שעבור צופה בחצי הכדור הצפוני הנטייה הנראית שלה גבוהה מדי, מה שמשנה את הזמן הנצפה שבו השמש חוצה את קו המשווה. גרוע מכך, השבירה פוחתת ככל שהשמש עולה ועולה ככל שהיא שוקעת, כך שהיא עשויה להיראות כנעה בכיוון הלא נכון ביחס לקו המשווה במהלך היום – כפי שתלמי מציין.

תלמי והיפרכוס כנראה לא הבינו ששבירה היא הסיבה. עם זאת, לפרטים כאלה יש קשר מפוקפק לנתונים של שני האנשים, שכן אין בסיס טקסטואלי, מדעי או סטטיסטי להאמין שנקודות השוויון שלהם נלקחו על טבעת משוונית, שחסרת תועלת לנקודות היפוך בכל מקרה. אף אחד משתי מאות של חקירות מתמטיות על הטעויות הסולאריות שלהם לא טען שניתן לייחס אותן להשפעת השבירה על השימוש בטבעת משוונית. תלמי טוען שתצפיותיו הסולאריות היו על מכשיר טרנזיט שהוצב במרידיאן. תרגום וניתוח מומחים עדכניים על ידי אן טיון (Anne Tihon) של הפפירוס P. Fouad 267 A אישרו את הממצא משנת 1991 שצוין לעיל שהיפרכוס השיג נקודת היפוך קיצית בשנת 158 לפנה"ס. אך הפפירוס הופך את התאריך ל-26 ביוני, מעל יום מוקדם יותר ממסקנת המאמר מ-1991 ל-28 ביוני.

סעיף M במחקר המוקדם יותר מצא שהיפרכוס לא אימץ נקודות היפוך של 26 ביוני עד 146 לפנה"ס כאשר הוא ייסד את מסלול השמש שתלמי אימץ מאוחר יותר. שילוב הנתונים הללו מציע שהיפרכוס אקסטרפולציה לנקודת ההיפוך של 26 ביוני 158 לפנה"ס מנקודת ההיפוך שלו ב-145 שנים 12 שנים מאוחר יותר, הליך שיגרום רק לטעות מזערית. הפפירוס גם אישר שהיפרכוס השתמש בתנועה סולארית קאליפית ב-158 לפנה"ס, ממצא חדש ב-1991 אך לא מתועד ישירות עד P. Fouad 267 A. טבלה נוספת על הפפירוס היא אולי לתנועה סידרית וטבלה שלישית היא לתנועה טרופית מתונית, תוך שימוש בשנה לא ידועה בעבר של 365 1/4 – 1/309 ימים. זה כנראה נמצא על ידי חילוק 274 השנים מ-432 ל-158 לפנה"ס, לתוך המרווח המתאים של 100,077 ימים ו-14 3/4 שעות בין זריחת השמש של מֶטוֹן לשקיעת השמש של היפרכוס.

בסוף הקריירה שלו, כתב היפרכוס ספר בשם Peri eniausíou megéthous ("על אורך השנה") על תוצאותיו. הערך המבוסס לשנה הטרופית, שהוצג על ידי קאליפוס ב-330 לפנה"ס או לפני כן, היה 365 1/4 ימים. השערה על מקור בבלי לשנה הקאליפית קשה להגנה, שכן בבל לא צפתה בנקודות היפוך, לכן אורך השנה היחיד במערכת B שנותר התבסס על נקודות היפוך יווניות; ראו להלן. תצפיות נקודת השוויון של היפרכוס הניבו תוצאות משתנות, אך הוא עצמו מציין (מצוטט ב-אלמגסט III.1 H195) שטעויות התצפית שלו ושל קודמיו עשויות היו להיות גדולות כמו 1/4 יום. הוא השתמש בתצפיות נקודת היפוך ישנות, וקבע הבדל של כיום אחד בכ-300 שנה. אז הוא קבע את אורך השנה הטרופית ל-365 1/4 − 1/300 ימים = 365.24666...

ימים = 365 ימים 5 שעות 55 דקות, מה ששונה מהערך בפועל (הערכה מודרנית, כולל תאוצת סיבוב כדור הארץ בתקופתו, של כ-365.2425 ימים), טעות של כ-6 דקות לשנה, שעה לעשור, 10 שעות למאה. בין תצפית נקודת ההיפוך של מֶטוֹן לשלו, היו 297 שנים המשתרעות על פני 108,478 ימים. ד. רולינס (D. Rawlins) ציין שזה מרמז על שנה טרופית של 365.24579... ימים = 365 ימים;14,44,51 סקסגסימלי; = 365 ימים + 14/60 + 44/60^2 + 51/60^3 ושאורך שנה מדויק זה נמצא על אחד מלוחות החימר הבבליים הבודדים המציינים במפורש את חודש מערכת B. זו אינדיקציה לכך שעבודתו של היפרכוס הייתה ידועה לכשדים. ערך אחר לשנה שמיוחס להיפרכוס על ידי האסטרולוג ואטיוס ואלנס (Vettius Valens) במאה ה-1 הוא 365 + 1/4 + 1/288 ימים = 365.25347...

ימים = 365 ימים 6 שעות 5 דקות, אך זה עשוי להיות שיבוש של ערך אחר המיוחס למקור בבלי: 365 + 1/4 + 1/144 ימים = 365.25694... ימים = 365 ימים 6 שעות 10 דקות. לא ברור אם זה יהיה ערך לשנה הסידרית (ערך בפועל בזמנו, הערכה מודרנית כ-365.2565 ימים), אך ההבדל עם הערך של היפרכוס לשנה הטרופית עקבי עם קצב הנקיפה שלו; ראו להלן. מסלול השמש לפני היפרכוס, אסטרונומים ידעו שאורכי העונות אינם שווים. היפרכוס ביצע תצפיות על נקודת השוויון ונקודת ההיפוך, ועל פי תלמי (אלמגסט III.4) קבע שהאביב מנקודת השוויון של האביב לנקודת ההיפוך של הקיץ נמשך 94 1/2 ימים, והקיץ מנקודת ההיפוך של הקיץ לנקודת השוויון של הסתיו 92 1/2 ימים. זה לא עקבי עם הנחת היסוד של השמש הנעה סביב כדור הארץ במעגל במהירות אחידה.

הפתרון של היפרכוס היה להציב את כדור הארץ לא במרכז התנועה של השמש, אלא במרחק מה מהמרכז. מודל זה תיאר את התנועה הנראית של השמש די טוב. ידוע כיום שהפלנטות, כולל כדור הארץ, נעות באליפסות משוערות סביב השמש, אך זה לא התגלה עד שיוהאנס קפלר פרסם את שני החוקים הראשונים שלו לתנועה פלנטרית ב-1609. הערך לאקסצנטריות המיוחס להיפרכוס על ידי תלמי הוא שההיסט הוא 1/24 מרדיוס המסלול, שהוא גדול קצת יותר מדי, וכיוון האפוגי יהיה באורך 65.5° מנקודת השוויון של האביב. היפרכוס עשוי היה להשתמש גם בקבוצות אחרות של תצפיות, מה שיוביל לערכים שונים.

אורכי האורך הסולארי של אחת משלישיות הליקויים שלו עקביים עם אימוצו הראשוני של אורכים לא מדויקים לאביב ולקיץ של 95 3/4 ו-91 1/4 ימים. שלישיית מיקומי השמש השנייה שלו עקבית עם 94 1/4 ו-92 1/2 ימים, שיפור על התוצאות 94 1/2 ו-92 1/2 ימים המיוחסות להיפרכוס על ידי תלמי, שחלק קטן מהחוקרים עדיין מפקפקים בייחוסן. תלמי לא ביצע שינוי שלושה מאות שנים מאוחר יותר, והביע אורכים לעונות הסתיו והחורף שכבר היו מובלעים כפי שהוצג, למשל, על ידי א. אבו (A. Aaboe). מרחק, פרלקסה, גודל הירח והשמש היפרכוס נטל על עצמו גם למצוא את המרחקים והגדלים של השמש והירח.

הוא פרסם את תוצאותיו בעבודה בת שני ספרים הנקראת Perí megethōn kaí apostēmátōn ("על גדלים ומרחקים") על ידי פאפוס בפירושו ל"אלמגסט" V.11; תאון מסמירנה (Theon of Smyrna) מהמאה ה-2 מזכיר את העבודה בתוספת "של השמש והירח". היפרכוס מדד את הקטרים הנראים של השמש והירח עם הדיופטר שלו. כמו אחרים לפניו ואחריו, הוא מצא שגודל הירח משתנה כשהוא נע במסלול האקסצנטרי שלו, אך הוא לא מצא שינוי מורגש בקוטר הנראה של השמש. הוא מצא שבמרחק הממוצע של הירח, לשמש ולירח יש את אותו קוטר נראה; במרחק זה, קוטר הירח נכנס 650 פעמים לתוך המעגל, כלומר, הקטרים הנראים הממוצעים הם 360/650 = 0°33′14″.

כמו אחרים לפניו ואחריו, הוא גם הבחין שלירח יש פרלקסה מורגשת, כלומר, שהוא נראה מוסט מהמיקום המחושב שלו בהשוואה לשמש או לכוכבים, וההבדל גדול יותר כשהוא קרוב יותר לאופק. הוא ידע שזה בגלל שבמודלים הנוכחיים של אז הירח מקיף את מרכז כדור הארץ, אך הצופה נמצא על פני השטח – הירח, כדור הארץ והצופה יוצרים משולש עם זווית חדה שמשתנה כל הזמן. מגודל פרלקסה זו, ניתן לקבוע את מרחק הירח כפי שנמדד ברדיוסי כדור הארץ. עבור השמש לעומת זאת, לא הייתה פרלקסה ניתנת לצפייה (אנו יודעים כיום שהיא כ-8.8", קטנה פי כמה מרזולוציית העין הבלתי מזוינת). תרשים ששימש בשחזור אחת משיטותיו של היפרכוס לקביעת המרחק לירח.

בספר הראשון, היפרכוס מניח שהפרלקסה של השמש היא 0, כאילו היא במרחק אינסופי. לאחר מכן הוא ניתח ליקוי חמה, שטומר (בניגוד לדעתם של מעל מאה שנים של אסטרונומים) מניח שהוא הליקוי של 14 במרץ 190 לפנה"ס. הוא היה מלא באזור ההלספונט ובמקום הולדתו, ניקיאה; בזמן שטומר מציע, הרומאים התכוננו למלחמה עם אנטיוכוס ה-3 באזור, והליקוי מוזכר על ידי ליוויוס (Livy) ב"אב אורבה קונדיטה ליברי" VIII.2 שלו. הוא נצפה גם באלכסנדריה, שם דווח שהשמש הוסתרה ב-4/5 על ידי הירח. אלכסנדריה וניקיאה נמצאות על אותו מרידיאן. אלכסנדריה נמצאת בכ-31° צפון, ואזור ההלספונט בכ-40° צפון. נטען שמחברים כמו סטראבון ותלמי היו בעלי ערכים הגונים למדי למיקומים גיאוגרפיים אלה, כך שהיפרכוס ודאי ידע אותם גם כן.

עם זאת, קווי הרוחב של היפרכוס התלויים בסטראבון עבור אזור זה גבוהים ב-1° לפחות, ותלמי נראה כמקפיד להעתיק אותם, ומציב את ביזנטיון גבוה ב-2° בקו הרוחב. היפרכוס יכול היה לצייר משולש שנוצר על ידי שני המקומות והירח, ומגיאומטריה פשוטה היה מסוגל לקבוע מרחק של הירח, מבוטא ברדיוסי כדור הארץ. מכיוון שהליקוי התרחש בבוקר, הירח לא היה במרידיאן, והוצע שכתוצאה מכך המרחק שמצא היפרכוס היה גבול תחתון. בכל מקרה, על פי פאפוס, היפרכוס מצא שהמרחק הקטן ביותר הוא 71 מליקוי זה, והגדול ביותר 81 רדיוסי כדור הארץ. בספר השני, היפרכוס מתחיל מהנחת הקיצון ההפוכה: הוא מקצה מרחק מינימלי לשמש של 490 רדיוסי כדור הארץ.

זה יתאים לפרלקסה של 7′, שהיא ככל הנראה הפרלקסה הגדולה ביותר שהיפרכוס חשב שלא יבחינו בה להשוואה: הרזולוציה הטיפוסית של העין האנושית היא כ-2′; טיכו ברהה (Tycho Brahe) ביצע תצפית בעין בלתי מזוינת עם דיוק עד ל-1′. במקרה זה, הצל של כדור הארץ הוא חרוט ולא גליל כפי שהיה תחת ההנחה הראשונה. היפרכוס צפה בליקויי ירח שבמרחק הממוצע של הירח, קוטר חרוט הצל הוא 2 1/2 קוטרי ירח. הקוטר הנראה הזה הוא, כפי שצפה, 360/650 מעלות. עם ערכים אלה וגיאומטריה פשוטה, היפרכוס יכול היה לקבוע את המרחק הממוצע; מכיוון שהוא חושב עבור מרחק מינימלי של השמש, זהו המרחק הממוצע המקסימלי האפשרי לירח. עם הערך שלו לאקסצנטריות של המסלול, הוא יכול היה לחשב גם את המרחקים הקטנים והגדולים ביותר של הירח.

על פי פאפוס, הוא מצא מרחק מינימלי של 62, ממוצע של 67 1/3, וכתוצאה מכך מרחק מקסימלי של 72 2/3 רדיוסי כדור הארץ. בשיטה זו, ככל שהפרלקסה של השמש פוחתת (כלומר, המרחק שלה גדל), גבול המינימום למרחק הממוצע הוא 59 רדיוסי כדור הארץ – בדיוק המרחק הממוצע שתלמי גזר מאוחר יותר. לפיכך היה להיפרכוס את התוצאה הבעייתית שהמרחק המינימלי שלו מספר 1 היה גדול מהמרחק הממוצע המקסימלי שלו מספר 2. הוא היה כן אינטלקטואלית לגבי אי-התאמה זו, וכנראה הבין שבעיקר השיטה הראשונה רגישה מאוד לדיוק של התצפיות והפרמטרים.

למעשה, חישובים מודרניים מראים שגודל ליקוי החמה של 189 לפנה"ס באלכסנדריה היה חייב להיות קרוב יותר ל-9/10 ולא ל-4/5 המדווחים, שבר שמתאים יותר לדרגת המלאות באלכסנדריה של ליקויים שהתרחשו ב-310 ו-129 לפנה"ס שהיו גם הם כמעט מלאים בהלספונט ונחשבים על ידי רבים כאפשרויות סבירות יותר לליקוי שבו השתמש היפרכוס לחישוביו. תלמי מדד מאוחר יותר את הפרלקסה הירחית ישירות (אלמגסט V.13), והשתמש בשיטה השנייה של היפרכוס עם ליקויי ירח כדי לחשב את מרחק השמש (אלמגסט V.15). הוא מבקר את היפרכוס על כך שביצע הנחות סותרות, והשיג תוצאות מנוגדות (אלמגסט V.11): אך ככל הנראה הוא לא הצליח להבין את האסטרטגיה של היפרכוס לקבוע גבולות עקביים עם התצפיות, במקום ערך יחיד עבור המרחק.

תוצאותיו היו הטובות ביותר עד כה: המרחק הממוצע בפועל של הירח הוא 60.3 רדיוסי כדור הארץ, בתוך הגבולות שלו מהספר השני של היפרכוס. תאון מסמירנה כתב שעל פי היפרכוס, השמש גדולה פי 1,880 מכדור הארץ, וכדור הארץ גדול פי עשרים ושבע מהירח; ככל הנראה זה מתייחס לנפחים, לא לקטרים. מהגיאומטריה של ספר 2 נובע שהשמש נמצאת ב-2,550 רדיוסי כדור הארץ, והמרחק הממוצע של הירח הוא 60 1/2 רדיוסים. באופן דומה, קליאומדס (Cleomedes) מצטט את היפרכוס לגבי הגדלים של השמש וכדור הארץ כ-1050:1; זה מוביל למרחק ירחי ממוצע של 61 רדיוסים. ככל הנראה היפרכוס עידן מאוחר יותר את חישוביו, וגזר ערכים בודדים מדויקים שיכל להשתמש בהם לתחזיות של ליקויי חמה. ראו לדיון מפורט יותר.

חיזוי ליקויים ומכשירים אסטרונומיים

ליקויים פליניוס ב"נטוראליס היסטוריה" II.X מספר לנו שהיפרכוס הדגים שליקויי ירח יכולים להתרחש בהפרש של חמישה חודשים, וליקויי חמה בהפרש של שבעה חודשים במקום ששת החודשים הרגילים; וניתן להסתיר את השמש פעמיים בתוך שלושים ימים, אך כפי שנראה על ידי עמים שונים. תלמי דן בכך מאה שנים מאוחר יותר באריכות ב"אלמגסט" VI.6. הגיאומטריה, והגבולות של מיקומי השמש והירח כאשר ליקוי חמה או ירח אפשרי, מוסברים ב"אלמגסט" VI.5. היפרכוס ככל הנראה ביצע חישובים דומים. התוצאה ששני ליקויי חמה יכולים להתרחש בהפרש של חודש חשובה, כי זה לא יכול להתבסס על תצפיות: אחד נראה בחצי הכדור הצפוני והשני בחצי הכדור הדרומי – כפי שפליניוס מציין – והאחרון היה נגיש ליווני.

חיזוי של ליקוי חמה, כלומר מתי ובאיזה מקום בדיוק הוא יהיה גלוי, דורש תיאוריה ירחית מוצקה וטיפול נאות בפרלקסה הירחית. היפרכוס ודאי היה הראשון שהיה מסוגל לעשות זאת. טיפול קפדני דורש טריגונומטריה כדורית, ולכן אלה שנותרים בטוחים שללא היפרכוס היה חסר אותה, חייבים להשער שהיה מסתפק בקירובים מישוריים. הוא עשוי היה לדון בדברים אלה ב-Perí tēs katá plátos mēniaías tēs selēnēs kinēseōs ("על התנועה החודשית של הירח בקו רוחב"), עבודה שהוזכרה ב"סודא". פליניוס גם מציין ש"הוא גם גילה איזו סיבה מדויקת, אף על פי שהצל הגורם לליקוי חייב מזריחת השמש ואילך להיות מתחת לארץ, קרה פעם אחת בעבר שהירח לקה במערב בזמן ששני המאורות היו גלויים מעל הארץ" (תרגום ה. רקהאם 1938, Loeb Classical Library 330 עמ' 207).

טוּמר (1980) טען שזה חייב להתייחס לליקוי הירח המלא הגדול של 26 בנובמבר 139 לפנה"ס, כאשר מעל אופק ים נקי כפי שנראה מרודוס, הירח לקה בצפון-מערב מיד לאחר שהשמש זרחה בדרום-מזרח. זה היה הליקוי השני של מרווח 345 השנים שבו השתמש היפרכוס כדי לאמת את התקופות הבבליות המסורתיות: זה מציב תאריך מאוחר להתפתחות התיאוריה הירחית של היפרכוס. אנו לא יודעים איזו "סיבה מדויקת" מצא היפרכוס לכך שראו את הירח לוקה בזמן שלכאורה הוא לא היה בניגוד מדויק לשמש. פרלקסה מורידה את הגובה של המאורות; שבירה מעלה אותם, ומנקודת מבט גבוהה האופק מונמך.

מכשירים אסטרונומיים ואסטרומטריה היפרכוס וקודמיו השתמשו במכשירים שונים לחישובים ותצפיות אסטרונומיות, כגון הגנומון, האצטרולב וגלגל השמיים. היפרכוס מיוחס להמצאה או לשיפור של מספר מכשירים אסטרונומיים, ששימשו זמן רב לתצפיות בעין בלתי מזוינת. על פי סינזיוס מפתולמאיס (Synesius of Ptolemais) מהמאה ה-4 הוא יצר את האצטרולבון הראשון: זה עשוי היה להיות גלגל שמיים שתלמי אומר שהוא בנה, ב"אלמגסט" V.1; או קודמו של המכשיר המישורי הנקרא אצטרולב שמוזכר גם על ידי תאון מאלכסנדריה. עם אצטרולב היפרכוס היה הראשון שהיה מסוגל למדוד את קו הרוחב הגיאוגרפי ואת הזמן על ידי תצפית בכוכבי שבת.

לפני כן זה נעשה בשעות היום על ידי מדידת הצל שהוטל על ידי גנומון, על ידי רישום אורך היום הארוך ביותר בשנה או עם המכשיר הנייד הידוע בשם סקפה (scaphe). תלמי מציין ב"אלמגסט" V.14 שהוא השתמש במכשיר דומה להיפרכוס, הנקרא דיופטרה, כדי למדוד את הקוטר הנראה של השמש והירח. פאפוס מאלכסנדריה תיאר זאת בפירושו ל"אלמגסט" של אותו פרק, וכך גם פרוקלוס (Proclus) ב"היפוטיפוזיס" IV. זה היה מוט באורך 4 רגל עם סקאלה, חור צפייה בקצה אחד, וטריז שניתן היה להזיז לאורך המוט כדי להסתיר בדיוק את דיסקת השמש או הירח.

היפרכוס גם צפה בנקודות שוויון סולאריות, שניתן לבצע עם טבעת משוונית: הצל שלה נופל על עצמו כשהשמש נמצאת על קו המשווה, כלומר באחת מנקודות השוויון על המלקה, אך הצל נופל מעל או מתחת לצד הנגדי של הטבעת כשהשמש דרומית או צפונית לקו המשווה. תלמי מצטט ב"אלמגסט" III.1 H195 תיאור על ידי היפרכוס של טבעת משוונית באלכסנדריה; מעט רחוק יותר הוא מתאר שני מכשירים כאלה הקיימים באלכסנדריה בתקופתו שלו. היפרכוס יישם את ידיעותיו על זוויות כדוריות לבעיית ציון המיקומים על פני כדור הארץ. לפניו מערכת רשת הייתה בשימוש על ידי דיקארכוס ממסאנה (Dicaearchus of Messana), אך היפרכוס היה הראשון ליישם קפדנות מתמטית לקביעת קו הרוחב וקו האורך של מקומות על כדור הארץ.

גיאוגרפיה וקרטוגרפיה

היפרכוס כתב ביקורת בשלושה ספרים על עבודתו של הגיאוגרף ארטוסתנס מקירנה (Eratosthenes of Cyrene) מהמאה ה-3 לפנה"ס, בשם Pròs tèn Eratosthénous geographían ("נגד הגיאוגרפיה של ארטוסתנס"). היא ידועה לנו מסטראבון מאמסיה (Strabo of Amaseia), שבתורו ביקר את היפרכוס ב"גיאוגרפיה" שלו. היפרכוס ככל הנראה ביצע תיקונים מפורטים רבים למיקומים ולמרחקים שהוזכרו על ידי ארטוסתנס. נראה שהוא לא הציג שיפורים רבים בשיטות, אך הוא הציע אמצעי לקבוע את קווי האורך הגיאוגרפיים של ערים שונות בליקויי ירח (סטראבון, גיאוגרפיה, 1 בינואר 2012). ליקוי ירח גלוי בו-זמנית על מחצית מכדור הארץ, וניתן לחשב את ההבדל בקו האורך בין מקומות מההבדל בזמן המקומי שבו נצפה הליקוי.

הגישה שלו הייתה נותנת תוצאות מדויקות אם היא הייתה מבוצעת נכון, אך המגבלות של דיוק שמירת הזמן