חיים מוקדמים ורקע
ברצון הייתי נשרף למוות כמו פאיתון, לו היה זה המחיר להגעה אל השמש ולמידת צורתה, גודלה ומהותה. אאודוקסוס מקנידוס (Eudoxus of Cnidus) היה אסטרונום, מתמטיקאי וחוקר יווני עתיק, ותלמידם של ארכיטס (Archytas) ואפלטון (Plato). כל כתביו אבדו, אם כי כמה קטעים נשתמרו בפירושו של היפרכוס (Hipparchus) לפואמה של אראטוס (Aratus) על אסטרונומיה. החיבור "ספֵירות" מאת תאודוסיוס מביתיניה (Theodosius of Bithynia) עשוי להתבסס על עבודה של אאודוקסוס. חיים: אאודוקסוס נולד ומת בקנידוס (Cnidus), שנקראה גם קנידוס (Knidos), עיר בחוף הדרום-מערבי של טורקיה המודרנית. שנות לידתו ומותו אינן ידועות במלואן, אך הטווח עשוי להיות בערך 408 לפנה"ס – בערך 355 לפנה"ס, או בערך 390 לפנה"ס – בערך 337 לפנה"ס. שמו אאודוקסוס פירושו "מכובד" או "בעל מוניטין טוב" (εὔδοξος), מ-eu "טוב" ו-doxa "דעה, אמונה, תהילה". הדבר מקביל לשם הלטיני בנדיקטוס (Benedictus).
השכלה ומסעות
אביו של אאודוקסוס, אייסקינס מקנידוס (Aeschines of Cnidus), אהב לצפות בכוכבים בלילות. אאודוקסוס נסע תחילה לטרנטום (Tarentum) כדי ללמוד אצל ארכיטס, ממנו למד מתמטיקה. בעת שהותו באיטליה, ביקר אאודוקסוס בסיציליה, שם למד רפואה אצל פיליסטון (Philiston). בגיל 23 נסע עם הרופא תאומדון (Theomedon) – שעל פי דיוגנס לארטיוס (Diogenes Laërtius) היו שסברו שהיה מאהבו – לאתונה כדי ללמוד אצל תלמידי סוקרטס. לבסוף השתתף בהרצאותיו של אפלטון ופילוסופים אחרים במשך מספר חודשים, אך בשל חילוקי דעות הם הסתכסכו. אאודוקסוס היה עני למדי ויכול היה להרשות לעצמו רק דירה בפיראוס (Piraeus). כדי להגיע להרצאותיו של אפלטון, הוא צעד 7 מיילים (11 ק"מ) לכל כיוון מדי יום. בשל עוניו, חבריו גייסו כספים מספיקים כדי לשולחו להליופוליס (Heliopolis), מצרים, להמשיך בלימודי האסטרונומיה והמתמטיקה שלו. הוא חי שם במשך 16 חודשים.
קריירה וחיים מאוחרים
ממצרים נסע צפונה לקיזיקוס (Cyzicus), הממוקמת בחוף הדרומי של ים מרמרה, הפרופונטיס (Propontis). הוא נסע דרומה לחצרו של מאוסולוס (Mausolus). במהלך מסעותיו אסף תלמידים רבים משלו. סביב שנת 368 לפנה"ס, חזר אאודוקסוס לאתונה עם תלמידיו. על פי כמה מקורות, בסביבות 367 קיבל על עצמו את ראשות האקדמיה בתקופת שהותו של אפלטון בסירקוזה, ולימד את אריסטו. לבסוף חזר לקנידוס מולדתו, שם שירת באספת העיר. בעודו בקנידוס, בנה מצפה כוכבים והמשיך לכתוב ולהרצות על תיאולוגיה, אסטרונומיה ומטאורולוגיה. נולד לו בן אחד, אריסטגורס, ושלוש בנות, אקטיס, פילטיס ודלפיס. באסטרונומיה מתמטית, תהילתו נובעת מהצגת הספירות הקונצנטריות, ותרומותיו המוקדמות להבנת תנועת כוכבי הלכת.
תרומות מתמטיות
עבודתו על פרופורציות מראה תובנה לגבי מספרים ממשיים; היא מאפשרת טיפול קפדני בכמויות רציפות ולא רק במספרים שלמים או אפילו מספרים רציונליים. כאשר היא התחדשה על ידי טארטאליה (Tartaglia) ואחרים במאה ה-16, היא הפכה לבסיס לעבודה כמותית במדע במשך מאה, עד שהוחלפה על ידי ריכרד דדקינד (Richard Dedekind). מכתשים על מאדים והירח קרויים על שמו. עקומה אלגברית, הקמפילה של אאודוקסוס (Kampyle of Eudoxus), קרויה גם היא על שמו. מתמטיקה: אאודוקסוס נחשב בעיני חלק מהחוקרים לגדול שבין המתמטיקאים היוונים הקלאסיים, ובכל העת העתיקה שני רק לארכימדס. אאודוקסוס היה ככל הנראה המקור לרוב ספר ה' של ה"יסודות" לאוקלידס (Euclid). הוא פיתח בקפדנות את "שיטת המיצוי" של אנטיפון (Antiphon), מבשר לחשבון האינטגרלי ששימש גם את ארכימדס בצורה מופתית במאה שלאחר מכן.
ביישום השיטה, אאודוקסוס הוכיח טענות מתמטיות כגון: שטחיהם של מעגלים הם זה לזה כיחס ריבועי רדיוסיהם, נפחיהם של כדורים הם זה לזה כיחס מעוקבי רדיוסיהם, נפח של פירמידה הוא שליש מנפחה של מנסרה בעלת אותו בסיס וגובה, ונפח של חרוט הוא שליש מזה של גליל תואם. אאודוקסוס הציג את הרעיון של גודל מתמטי לא-כמותי כדי לתאר ולעבוד עם ישויות גיאומטריות רציפות כגון קווים, זוויות, שטחים ונפחים, ובכך נמנע מהשימוש במספרים אי-רציונליים. בכך, הוא הפך את הדגש הפיתגוראי על מספר ואריתמטיקה, והתמקד במקום זאת במושגים גיאומטריים כבסיס למתמטיקה קפדנית. כמה פיתגוראים, כגון מורו של אאודוקסוס ארכיטס, האמינו שרק אריתמטיקה יכולה לספק בסיס להוכחות.
שיטת הפרופורציות והכמויות הבלתי-מדידות
מתוך הצורך להבין ולפעול עם כמויות בלתי-מדידות (incommensurable), אאודוקסוס ביסס את מה שעשוי היה להיות הארגון הדדוקטיבי הראשון של המתמטיקה על בסיס אקסיומות מפורשות. השינוי במוקד על ידי אאודוקסוס עורר פיצול במתמטיקה שנמשך אלפיים שנה. בשילוב עם גישה אינטלקטואלית יוונית שלא דאגה לבעיות מעשיות, באה נסיגה משמעותית מפיתוח טכניקות באריתמטיקה ובאלגברה. הפיתגוראים גילו שהאלכסון של ריבוע אינו בעל יחידת מידה משותפת עם צלעות הריבוע; זוהי התגלית המפורסמת שלא ניתן לבטא את השורש הריבועי של 2 כיחס בין שני מספרים שלמים.
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →תגלית זו בישרה על קיומן של כמויות בלתי-מדידות מעבר למספרים השלמים ולשברים הרציונליים, אך בו בזמן היא העמידה בסימן שאלה את הרעיון של מדידה וחישובים בגיאומטריה בכללותה. לדוגמה, אוקלידס מספק הוכחה משוכללת למשפט פיתגורס (יסודות I.47), על ידי שימוש בחיבור שטחים ורק זמן רב לאחר מכן (יסודות VI.31) הוכחה פשוטה יותר ממשולשים דומים, הנשענת על יחסים בין קטעי קווים. מתמטיקאים יוונים עתיקים לא חישבו עם כמויות ומשוואות כפי שאנו עושים כיום, אלא השתמשו בפרופורציונליות כדי לבטא את הקשר בין כמויות. לפיכך, היחס בין שתי כמויות דומות לא היה רק ערך מספרי, כפי שאנו חושבים עליו היום; היחס בין שתי כמויות דומות היה קשר ראשוני ביניהן.
תיאוריית הפרופורציונליות
אאודוקסוס הצליח להשיב את האמון בשימוש בפרופורציונליות על ידי מתן הגדרה מדהימה למשמעות השוויון בין שני יחסים. הגדרה זו של פרופורציה מהווה את הנושא של ספר ה' של אוקלידס. בהגדרה 5 של ספר ה' של אוקלידס אנו קוראים: "גדלים נאמרים להיות באותו יחס, הראשון לשני והשלישי לרביעי כאשר, אם ניקח כפולות שוות כלשהן של הראשון והשלישי, וכפולות שוות כלשהן של השני והרביעי, הכפולות הקודמות עולות כאחד, שוות כאחד, או נופלות כאחד מן הכפולות האחרונות שנלקחו בהתאמה בסדר מתאים". על ידי שימוש בסימון מודרני, זה מתבהר כדלקמן: אם ניקח ארבע כמויות: a, b, c, ו-d, אזי לראשון ולשני יש יחס a / b.
כעת, כדי לומר ש-a / b = c / d אנו עושים את הדבר הבא: עבור כל שני מספרים שלמים שרירותיים, m ו-n, צור את הכפולות m·a ו-m·c של הראשון והשלישי; באופן דומה צור את הכפולות n·b ו-n·d של השני והרביעי. אם קורה ש-m·a > n·b, אז חייב להיות גם m·c > n·d. אם קורה ש-m·a = n·b, אז חייב להיות גם m·c = n·d. לבסוף, אם קורה ש-m·a < n·b, אז חייב להיות גם m·c < n·d. שים לב שההגדרה תלויה בהשוואת הכמויות הדומות m·a ו-n·b, והכמויות הדומות m·c ו-n·d, ואינה תלויה בקיומה של יחידת מידה משותפת למדידת כמויות אלו. המורכבות של ההגדרה משקפת את החדשנות המושגית והמתודולוגית העמוקה הכרוכה בכך.
עבודה אסטרונומית ומודלים פלנטריים
זה מעלה על הדעת את האקסיומה החמישית המפורסמת של אוקלידס הנוגעת למקבילים, שהיא נרחבת ומסובכת יותר בניסוחה מאשר האקסיומות האחרות. ההגדרה האאודוקסית לפרופורציונליות משתמשת בכמת, "לכל..." כדי לרתום את האינסופי והאינפיניטסימלי, בדיוק כפי שעושות הגדרות האפסילון-דלתא המודרניות של גבול ורציפות. בנוסף, התכונה הארכימדית המצוינת כהגדרה 4 של ספר ה' של אוקלידס אינה שייכת במקור לארכימדס אלא לאאודוקסוס. אסטרונומיה: ביוון העתיקה, אסטרונומיה הייתה ענף של מתמטיקה; אסטרונומים ביקשו ליצור מודלים גיאומטריים שיכולים לחקות את המראות של תנועות השמים. זיהוי העבודה האסטרונומית של אאודוקסוס כקטגוריה נפרדת הוא אפוא נוחות מודרנית.
חלק מהטקסטים האסטרונומיים של אאודוקסוס ששמותיהם שרדו כוללים: "היעלמויות השמש", ייתכן על ליקויים; "אוקטאטריס" (Oktaeteris, Ὀκταετηρίς), על מחזור לוניסולארי-ונוס בן שמונה שנים של לוח השנה; "פאינומנה" (Phaenomena, Φαινόμενα) ו"אנטרופון" (Entropon, Ἔντροπον), על אסטרונומיה ספֵרית, המבוססים ככל הנראה על תצפיות שערך אאודוקסוס במצרים ובקנידוס; ו"על מהירויות", על תנועות פלנטריות. אנו מיודעים למדי על תוכנם של "פאינומנה", שכן הטקסט בפרוזה של אאודוקסוס היה הבסיס לפואמה באותו שם מאת אראטוס. היפרכוס ציטט מהטקסט של אאודוקסוס בפירושו לאראטוס. מודלים פלנטריים אאודוקסיים: רעיון כללי על תוכן "על מהירויות" ניתן לדלות מ"מטאפיזיקה" XII, 8 של אריסטו, ומפירוש מאת סימפליקיוס מקיליקיה (Simplicius of Cilicia) מהמאה ה-6 לספירה על "על השמים" (De caelo), יצירה נוספת של אריסטו.
המערכת הפלנטרית האאודוקסית
על פי סיפור שדווח על ידי סימפליקיוס, אפלטון הציג שאלה לאסטרונומים יוונים: "בהנחה של אילו תנועות אחידות ומסודרות ניתן להסביר את התנועות הנראות של כוכבי הלכת?" (מצוטט ב-Lloyd 1970, עמ' 84). אפלטון הציע שניתן להסביר את תנועות השיטוט הכאוטיות כביכול של כוכבי הלכת על ידי שילובים של תנועות מעגליות אחידות הממורכזות על כדור הארץ ספֵרי, רעיון שהיה כנראה חדשני במאה ה-4 לפנה"ס. המודל של אאודוקסוס לתנועה פלנטרית: ברוב השחזורים המודרניים של המודל האאודוקסי, לירח מוקצות שלוש ספֵירות: החיצונית ביותר מסתובבת מערבה פעם ב-24 שעות, ומסבירה זריחה ושקיעה. השנייה מסתובבת מזרחה פעם בחודש, ומסבירה את התנועה החודשית של הירח דרך גלגל המזלות.
השלישית גם משלימה את הקפתה בחודש, אך צירה נטוי בזווית מעט שונה, מה שמסביר תנועה בקו רוחב (סטייה מהמישור המילולי) ואת תנועת צמתי הירח. גם לשמש מוקצות שלוש ספֵירות. השנייה משלימה את תנועתה בשנה במקום בחודש. הכללת ספֵירה שלישית מרמזת שאאודוקסוס האמין בטעות שלשמש הייתה תנועה בקו רוחב. לחמשת כוכבי הלכת הנראים – ונוס, כוכב חמה, מאדים, צדק ושבתאי – מוקצות ארבע ספֵירות לכל אחד: החיצונית ביותר מסבירה את התנועה היומית. השנייה מסבירה את תנועת כוכב הלכת דרך גלגל המזלות. השלישית והרביעית מסבירות יחדיו רטרוגרדציה (נסיגה), כאשר כוכב לכת נראה מאט, ואז הופך בקצרה את תנועתו דרך גלגל המזלות.
על ידי הטיית הצירים של שתי הספֵירות אחת ביחס לשנייה, וסיבובן בכיוונים מנוגדים אך בתקופות שוות, יכול היה אאודוקסוס לגרום לנקודה על הספֵירה הפנימית לשרטט צורת שמונה, או היפופדה (hippopede). חשיבות המערכת האאודוקסית: קאליפוס (Callippus), אסטרונום יווני מהמאה ה-4, הוסיף שבע ספֵירות ל-27 המקוריות של אאודוקסוס (בנוסף לספֵירות הפלנטריות, אאודוקסוס כלל ספֵירה לכוכבים הקבועים). אריסטו תיאר את שתי המערכות, אך התעקש להוסיף ספֵירות "פורמות" (unrolling) בין כל קבוצת ספֵירות כדי לבטל את התנועות של הקבוצה החיצונית. אריסטו היה מודאג מהטבע הפיזי של המערכת; ללא "פורמות", התנועות החיצוניות יועברו לכוכבי הלכת הפנימיים. פגם מרכזי במערכת האאודוקסית הוא חוסר יכולתה להסביר שינויים בבהירות כוכבי הלכת כפי שהם נראים מכדור הארץ.
מורשת ואתיקה
מכיוון שהספֵירות הן קונצנטריות, כוכבי הלכת תמיד יישארו באותו מרחק מכדור הארץ. בעיה זו צוינה בעת העתיקה על ידי אאוטוליקוס מפיטנה (Autolycus of Pitane). אסטרונומים הגיבו על ידי הצגת הדיפרנט והאפיציקל, שגרמו לכוכב לכת לשנות את מרחקו. עם זאת, חשיבותו של אאודוקסוס לאסטרונומיה היוונית היא ניכרת, שכן הוא היה הראשון לנסות הסבר מתמטי לכוכבי הלכת. אתיקה: אריסטו, ב"אתיקה ניקומאכית", מייחס לאאודוקסוס טיעון בעד הדוניזם – כלומר, שההנאה היא הטוב האולטימטיבי שפעילות שואפת אליו. על פי אריסטו, אאודוקסוס הציג את הטיעונים הבאים לעמדה זו: כל הדברים, רציונליים ולא רציונליים, שואפים להנאה; דברים שואפים למה שהם מאמינים שהוא טוב; אינדיקציה טובה למהו הטוב העליון תהיה הדבר שרוב הדברים שואפים אליו.
באופן דומה, ההפך מהנאה – כאב – נמנע באופן אוניברסלי, מה שמספק תמיכה נוספת לרעיון שהנאה נחשבת באופן אוניברסלי לטובה. אנשים אינם מחפשים הנאה כאמצעי למשהו אחר, אלא כמטרה כשלעצמה. כל טוב אחר שניתן לחשוב עליו יהיה טוב יותר אם תתווסף אליו הנאה, ורק על ידי טוב ניתן להגדיל את הטוב. מכל הדברים שהם טובים, אושר הוא ייחודי בכך שאינו זוכה לשבחים, מה שעשוי להראות שהוא הטוב העליון.