מבוא
חוקי הטבע אינם אלא מחשבותיו המתמטיות של אלוהים. אוקלידס (Euclid) היה מתמטיקאי יווני, המכונה לעיתים קרובות "מייסד הגאומטריה" או "אבי הגאומטריה". הוא פעל באלכסנדריה בתקופת שלטונו של תלמי ה-I. ספרו "יסודות" (Elements) הוא אחת היצירות המשפיעות ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה, ושימש כספר הלימוד העיקרי להוראת מתמטיקה, ובמיוחד גאומטריה, מרגע פרסומו ועד סוף המאה ה-19 או תחילת המאה ה-20. ב"יסודות", אוקלידס גזר את המשפטים של מה שנקרא כיום גאומטריה אוקלידית מתוך קבוצה קטנה של אקסיומות. אוקלידס כתב גם עבודות על פרספקטיבה, חתכי חרוט, גאומטריה כדורית, תורת המספרים ודיוק מתמטי. השם האנגלי Euclid הוא הגרסה האנגליזית של השם היווני Εὐκλείδης, שפירושו "בעל שם, מפואר".
ביוגרפיה
לעיתים הוא מכונה אוקלידס מאלכסנדריה כדי להבדילו מאוקלידס ממגארה. ביוגרפיה: מעט מאוד מקורות מקוריים על אוקלידס שרדו, ולכן ידוע מעט מאוד על חייו. סביר להניח שהוא נולד בסביבות שנת 325 לפנה"ס, אם כי מקום ונסיבות לידתו ומותו אינם ידועים וניתן רק להעריכם בקירוב ביחס לאנשים אחרים המוזכרים עמו. הוא מוזכר בשמו, אם כי לעיתים רחוקות, על ידי מתמטיקאים יוונים אחרים החל מארכימדס (c. 287 לפנה"ס – c. 212 לפנה"ס) ואילך, ובדרך כלל מתייחסים אליו כ-"ὁ στοιχειώτης" ("מחבר היסודות"). ההתייחסויות ההיסטוריות המעטות לאוקלידס נכתבו על ידי פרוקלוס (Proclus) בסביבות שנת 450 לספירה, שמונה מאות שנים לאחר שחי אוקלידס. ביוגרפיה מפורטת של אוקלידס ניתנת על ידי מחברים ערבים, המציינים, למשל, את העיר צור כמקום הולדתו. ביוגרפיה זו נחשבת בדרך כלל לבדיונית.
הקשר היסטורי
אם הגיע מאלכסנדריה, סביר שהכיר את הסרפאום של אלכסנדריה ואת הספרייה של אלכסנדריה, וייתכן שעבד שם בתקופתו. הגעתו של אוקלידס לאלכסנדריה התרחשה כעשר שנים לאחר ייסודה על ידי אלכסנדר הגדול, מה שאומר שהוא הגיע בסביבות שנת 322 לפנה"ס. בספר Euclidis quae supersunt omnia (1704), פרוקלוס מציג את אוקלידס בקצרה בלבד בפירושו ל"יסודות". על פי פרוקלוס, אוקלידס השתייך כביכול ל"אסכולה" של אפלטון וחיבר את ה"יסודות", תוך שהוא מסתמך על עבודות קודמות של אאודוקסוס מקנידוס ושל כמה מתלמידי אפלטון, במיוחד תאיטטוס ופיליפוס מאופוס. פרוקלוס סבור שאוקלידס אינו צעיר בהרבה מהם, ושהוא חייב היה לחיות בתקופת תלמי ה-I (c. 367 לפנה"ס – 282 לפנה"ס) מכיוון שהוא הוזכר על ידי ארכימדס.
אזכורים היסטוריים ואנקדוטות
אף על פי שהציטוט לכאורה של אוקלידס על ידי ארכימדס נחשב לאינטרפולציה של עורכים מאוחרים יותר של כתביו, עדיין מאמינים שאוקלידס כתב את עבודותיו לפני שארכימדס כתב את שלו. פרוקלוס מספר מאוחר יותר סיפור שכאשר תלמי ה-I שאל אם יש דרך קצרה יותר ללמוד גאומטריה מאשר ה"יסודות" של אוקלידס, "אוקלידס השיב שאין דרך מלכותית לגאומטריה". אנקדוטה זו מוטלת בספק מכיוון שהיא דומה לסיפור המסופר על מנאיכמוס ואלכסנדר הגדול. אוקלידס מת בסביבות שנת 270 לפנה"ס, ככל הנראה באלכסנדריה. באזכור המרכזי היחיד הנוסף לאוקלידס, פאפוס מאלכסנדריה (c. 320 לספירה) ציין בקצרה שאפולוניוס "בילה זמן רב מאוד עם תלמידיו של אוקלידס באלכסנדריה, וכך רכש הרגל חשיבה מדעי שכזה" (c. 247–222 לפנה"ס).
מהימנות היסטורית
מכיוון שהיעדר מידע ביוגרפי הוא חריג לתקופה – שכן ביוגרפיות מקיפות זמינות עבור רוב המתמטיקאים היוונים המשמעותיים כמה מאות שנים לפני ואחרי אוקלידס – חוקרים מסוימים הציעו שאוקלידס לא היה דמות היסטורית, ושיצירותיו נכתבו על ידי צוות מתמטיקאים שאימצו את השם אוקלידס מאוקלידס ממגארה, בדומה לקבוצת בורבאקי. עם זאת, השערה זו אינה מקובלת היטב על חוקרים ויש מעט מאוד ראיות התומכות בה. יסודות: אף שרבות מהתוצאות ב"יסודות" מקורן במתמטיקאים קודמים, אחד מהישגיו של אוקלידס היה להציג אותן במסגרת אחת, עקבית מבחינה לוגית, מה שהפך אותן לקלות לשימוש ולקלות להתייחסות, כולל מערכת של הוכחות מתמטיות קפדניות שנותרה בסיס המתמטיקה 23 מאות שנים לאחר מכן.
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →ה"יסודות"
אין אזכור לאוקלידס בעותקים המוקדמים ביותר שנותרו של ה"יסודות". רוב העותקים מציינים שהם "מהמהדורה של תאון" או "הרצאות של תאון", בעוד שהטקסט הנחשב לראשוני, המוחזק בוותיקן, אינו מזכיר מחבר. פרוקלוס מספק את האזכור היחיד המייחס את ה"יסודות" לאוקלידס. אחד השרידים העתיקים ביותר ששרדו של ה"יסודות" של אוקלידס, שנמצא באוקסירינכוס ומתוארך לסביבות שנת 100 לספירה (P. Oxy. 29). אף על פי שהוא ידוע בעיקר בזכות תוצאותיו הגאומטריות, ה"יסודות" כוללים גם תורת המספרים. הוא בוחן את הקשר בין מספרים משוכללים לבין מספרי מרסן הידוע כמשפט אוקלידס-אוילר, את אינסופיותם של המספרים הראשוניים, את הלמה של אוקלידס על פירוק לגורמים המובילה למשפט היסודי של האריתמטיקה על יחידות הפירוק לגורמים ראשוניים, ואת האלגוריתם של אוקלידס למציאת המחלק המשותף המקסימלי של שני מספרים.
גאומטריה אוקלידית ושרידים
המערכת הגאומטרית המתוארת ב"יסודות" הייתה ידועה זמן רב פשוט כגאומטריה, ונחשבה לגאומטריה היחידה האפשרית. כיום, לעומת זאת, מערכת זו מכונה לעיתים קרובות גאומטריה אוקלידית כדי להבדילה מגאומטריות אחרות שנקראות לא-אוקלידיות, שהתגלו במאה ה-19. שרידים: פפירוס אוקסירינכוס 29 (P. Oxy. 29) הוא שריד מהספר השני של ה"יסודות" של אוקלידס, שנחשף על ידי גרנפל והאנט ב-1897 באוקסירינכוס. מחקר עדכני יותר מציע תאריך של 75–125 לספירה. השריד מכיל את הניסוח של הטענה ה-5 של ספר 2, שבתרגומו של טי. אל. הית' (T. L. Heath) נכתב: אם קו ישר נחתך לקטעים שווים ולא שווים, המלבן המכיל את הקטעים הלא שווים של השלם יחד עם הריבוע על הקו הישר שבין נקודות החיתוך שווה לריבוע על החצי.
עבודות אחרות
עבודות אחרות: בנוסף ל"יסודות", לפחות חמש עבודות של אוקלידס שרדו עד ימינו. הן עוקבות אחר אותו מבנה לוגי כמו ה"יסודות", עם הגדרות וטענות מוכחות. בניית דודקהדרון משוכלל של אוקלידס. "נתונים" (Data) עוסק בטבע ובהשלכות של מידע "נתון" בבעיות גאומטריות; הנושא קשור קשר הדוק לארבעת הספרים הראשונים של ה"יסודות". "על חלוקת דמויות" (On Divisions of Figures), ששרד רק באופן חלקי בתרגום לערבית, עוסק בחלוקת דמויות גאומטריות לשני חלקים שווים או יותר, או לחלקים ביחסים נתונים. הוא דומה לעבודה מהמאה הראשונה לספירה של הרון מאלכסנדריה. "אופטיקה" (Catoptrics), העוסקת בתאוריה המתמטית של מראות, במיוחד התמונות הנוצרות במראות מישוריות וכדוריות קעורות.
אופטיקה ועבודות אבודות
הייחוס נחשב לאנכרוניסטי על ידי ג'יי ג'יי או'קונור ואי. אף. רוברטסון, המציינים את תאון מאלכסנדריה כמחבר סביר יותר. "פנומנה" (Phaenomena), מסה על אסטרונומיה כדורית, שרדה ביוונית; היא דומה למדי ל"על הכדור הנע" מאת אוטוליקוס מפיטאנה, שפעל בסביבות שנת 310 לפנה"ס. "אופטיקה" היא המסה היוונית המוקדמת ביותר ששרדה על פרספקטיבה. בהגדרותיו, אוקלידס עוקב אחר המסורת האפלטונית לפיה הראייה נגרמת על ידי קרניים בדידות הבוקעות מהעין. הגדרה חשובה אחת היא הרביעית: "דברים הנראים תחת זווית גדולה יותר נראים גדולים יותר, ואלו תחת זווית קטנה יותר נראים קטנים יותר, בעוד שאלו תחת זוויות שוות נראים שווים". ב-36 הטענות הבאות, אוקלידס מקשר את הגודל הנראה של עצם למרחקו מהעין וחוקר את הצורות הנראות של גלילים וחרוטים כאשר הם נצפים מזוויות שונות.
מורשת
טענה 45 מעניינת, שכן היא מוכיחה שעבור כל שני גדלים לא שווים, קיימת נקודה שממנה השניים נראים שווים. פאפוס האמין שתוצאות אלו חשובות באסטרונומיה וכלל את ה"אופטיקה" של אוקלידס, יחד עם ה"פנומנה" שלו, ב"אסטרונומיה הקטנה", קובץ של עבודות קטנות יותר ללימוד לפני ה"סינטקסיס אלמגסט" של קלאודיוס תלמי. עבודות אבודות: עבודות אחרות מיוחסות באופן מהימן לאוקלידס, אך אבדו. "חתכי חרוט" (Conics) הייתה עבודה על חתכי חרוט שהורחבה מאוחר יותר על ידי אפולוניוס מפרגה לעבודתו המפורסמת בנושא. סביר להניח שארבעת הספרים הראשונים של עבודתו של אפולוניוס מגיעים ישירות מאוקלידס.
לדברי פאפוס, "אפולוניוס, לאחר שהשלים את ארבעת ספרי חתכי החרוט של אוקלידס והוסיף ארבעה אחרים, הוריש שמונה כרכים של חתכי חרוט". ה"חתכי חרוט" של אפולוניוס החליפו במהירות את העבודה הקודמת, ובתקופתו של פאפוס, עבודתו של אוקלידס כבר אבדה. "פוריזמות" (Porisms) עשויות היו להיות תוצר לוואי של עבודתו של אוקלידס עם חתכי חרוט, אך המשמעות המדויקת של הכותרת שנויה במחלוקת. "פסאודריה" (Pseudaria), או "ספר הכשלים", היה טקסט יסודי על שגיאות בהסקה. "מקומי משטח" (Surface Loci) עסק או במקומות גאומטריים – קבוצות של נקודות על משטחים – או במקומות שהיו בעצמם משטחים; תחת הפרשנות האחרונה, הועלתה השערה שהעבודה עשויה הייתה לעסוק במשטחים ריבועיים. מספר עבודות על מכניקה מיוחסות לאוקלידס על ידי מקורות ערביים.
הספר "על הכבד והקל" (On the Heavy and the Light) מכיל, בתשע הגדרות וחמש טענות, מושגים אריסטוטליים של גופים נעים ומושג המשקל הסגולי. "על המאזניים" (On the Balance) מטפל בתורת המנוף באופן אוקלידי דומה, ומכיל הגדרה אחת, שתי אקסיומות וארבע טענות. שריד שלישי, על המעגלים המתוארים על ידי קצותיו של מנוף נע, מכיל ארבע טענות. שלוש עבודות אלו משלימות זו את זו באופן שהוצע כי הן שרידים של מסה אחת על מכניקה שנכתבה על ידי אוקלידס. מורשת: החללית אוקלידס (Euclid) של סוכנות החלל האירופית נקראה על שמו.