Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel war ein norwegischer Mathematiker, der bahnbrechende Beiträge in einer Vielzahl von Bereichen leistete. Sein berühmtestes Einzelergebnis ist der erste vollständige Beweis, der die Unmöglichkeit der Lösung der allgemeinen quintischen Gleichung durch Radikale demonstriert. 

Diese Frage war eines der herausragenden ungelösten Probleme seiner Zeit und war über 250 Jahre lang ungeklärt geblieben. Er war auch ein Innovator im Bereich der elliptischen Funktionen und Entdecker der abelschen Funktionen. Er machte seine Entdeckungen, während er in Armut lebte, und starb im Alter von 26 Jahren an Tuberkulose.

Der Großteil seiner Arbeit wurde in sechs oder sieben Jahren seines Arbeitslebens geleistet. Bezüglich Abel sagte der französische Mathematiker Charles Hermite: „Abel hat Mathematikern genug hinterlassen, um sie fünfhundert Jahre lang beschäftigt zu halten." Ein anderer französischer Mathematiker, Adrien-Marie Legendre, sagte: „quelle tête celle du jeune Norvégien!" „Was für ein Kopf dieser junge Norweger hat!".

Der Abel-Preis in Mathematik, ursprünglich 1899 vorgeschlagen, um die Nobelpreise zu ergänzen, ist nach ihm benannt.

Leben

Frühes Leben

Niels Henrik Abel wurde in Nedstrand, Norwegen, als zweites Kind des Pastors Søren Georg Abel und Anne Marie Simonsen geboren. Als Niels Henrik Abel geboren wurde, lebte die Familie in einem Pfarrhaus auf Finnøy. Vieles deutet darauf hin, dass Niels Henrik in der benachbarten Gemeinde geboren wurde, da seine Eltern im Juli/August seines Geburtsjahres Gäste des Vogts in Nedstrand waren.

Niels Henrik Abels Vater, Søren Georg Abel, hatte einen Abschluss in Theologie und Philosophie und war Pastor auf Finnøy. Søren's Vater, Niels' Großvater, Hans Mathias Abel, war auch Pastor, an der Gjerstad-Kirche in der Nähe der Stadt Risør. Søren hatte seine Kindheit in Gjerstad verbracht und auch als Kaplan dort gedient; und nach dem Tod seines Vaters im Jahr 1804 wurde Søren zum Pastor in Gjerstad ernannt und die Familie zog dorthin. Die Abel-Familie stammte aus Schleswig und kam im 17. Jahrhundert nach Norwegen.

Anne Marie Simonsen war aus Risør; ihr Vater, Niels Henrik Saxild Simonsen, war ein Kaufmann und Handelsschiffseigner und galt als die reichste Person in Risør. Anne Marie war in relativ luxuriösen Verhältnissen mit zwei Stiefmüttern aufgewachsen. Im Pfarrhaus von Gjerstad genoss sie es, Bälle und Gesellschaften zu veranstalten. Vieles deutet darauf hin, dass sie früh Alkoholikerin war und sich wenig um die Erziehung der Kinder kümmerte. Niels Henrik und seine Brüder erhielten ihre Schulausbildung von ihrem Vater, mit handgeschriebenen Büchern zum Lesen. Eine Additionstabelle in einem Mathematikbuch lautet: 1+0=0.

Kathedralschule und Königliche Friedrich-Universität

Mit der norwegischen Unabhängigkeit und der ersten Wahl in Norwegen im Jahr 1814 wurde Søren Abel als Vertreter zum Storting gewählt. Die Versammlungen des Storting fanden bis 1866 in der Haupthalle der Kathedralschule in Christiania, heute bekannt als Oslo, statt. Sehr wahrscheinlich kam er auf diese Weise mit der Schule in Kontakt und beschloss, dass sein ältester Sohn, Hans Mathias, im folgenden Jahr dort beginnen sollte. Als jedoch die Zeit für seine Abreise näher rückte, war Hans so betrübt und niedergeschlagen, dass er das Haus verlassen musste, dass sein Vater es nicht wagte, ihn wegzuschicken. Er beschloss, stattdessen Niels zu schicken.

1815 betrat Niels Abel mit 13 Jahren die Kathedralschule. Sein älterer Bruder Hans schloss sich ihm ein Jahr später an. Sie teilten sich Zimmer und hatten Unterricht zusammen. Hans bekam bessere Noten als Niels; jedoch wurde 1818 ein neuer Mathematiklehrer, Bernt Michael Holmboe, eingestellt. Er gab den Schülern mathematische Aufgaben für zu Hause auf. Er erkannte Niels Henrik's Talent für Mathematik und ermutigte ihn, das Fach auf fortgeschrittenem Niveau zu studieren. Er gab Niels sogar private Lektionen nach der Schule.

1818 hatte Søren Abel einen öffentlichen theologischen Streit mit dem Theologen Stener Johannes Stenersen über seinen Katechismus von 1806. Der Streit wurde in der Presse gut dokumentiert. Søren erhielt den Spitznamen „Abel Treating" auf Norwegisch: „Abel Spandabel". Niels' Reaktion auf den Streit war angeblich „übermäßige Fröhlichkeit". Gleichzeitig stand Søren auch fast vor Amtsenthebung, nachdem er Carsten Anker beleidigt hatte, den Gastgeber der norwegischen Verfassungsversammlung; und im September 1818 kehrte er nach Gjerstad zurück, mit seiner politischen Karriere in Trümmern. Er begann stark zu trinken und starb nur zwei Jahre später, 1820, im Alter von 48 Jahren.

Bernt Michael Holmboe unterstützte Niels Henrik Abel mit einem Stipendium, um an der Schule zu bleiben, und sammelte Geld von seinen Freunden, um ihm ein Studium an der Königlichen Friedrich-Universität zu ermöglichen.

Als Abel 1821 die Universität betrat, war er bereits der sachkundigste Mathematiker in Norwegen. Holmboe hatte ihm nichts mehr beizubringen und Abel hatte die gesamte neueste mathematische Literatur in der Universitätsbibliothek studiert. Während dieser Zeit begann Abel, an der quintischen Gleichung in Radikalen zu arbeiten. Mathematiker waren über 250 Jahre lang auf der Suche nach einer Lösung für dieses Problem. 1821 dachte Abel, er habe die Lösung gefunden. Die beiden Mathematikprofessoren in Christiania, Søren Rasmussen und Christopher Hansteen, fanden keine Fehler in Abels Formeln und schickten die Arbeit an den führenden Mathematiker der nordischen Länder, Carl Ferdinand Degen in Kopenhagen. Auch er fand keine Fehler, bezweifelte aber dennoch, dass die Lösung, die so viele hervorragende Mathematiker so lange gesucht hatten, wirklich von einem unbekannten Studenten im fernen Christiania gefunden worden sein könnte. Degen bemerkte jedoch Abels ungewöhnlich scharfsinnigen Verstand und glaubte, dass ein so talentierter junger Mann seine Fähigkeiten nicht auf so ein „steriles Objekt" wie die Gleichung fünften Grades verschwenden sollte, sondern eher auf elliptische Funktionen und Transzendenz; denn dann, schrieb Degen, würde er „magellianische Durchfahrten zu großen Teilen eines riesigen analytischen Ozeans entdecken". Degen bat Abel, ein numerisches Beispiel seiner Methode zu geben. Bei dem Versuch, ein Beispiel zu liefern, fand Abel einen Fehler in seinem Papier. Dies führte 1823 zu der Entdeckung, dass eine Lösung einer Gleichung fünften oder höheren Grades unmöglich war.

Abel graduierte 1822. Seine Leistung war in Mathematik außergewöhnlich hoch und in anderen Fächern durchschnittlich.

Karriere

Nach seinem Abschluss unterstützten Professoren der Universität Abel finanziell, und Professor Christopher Hansteen ließ ihn in einem Zimmer auf dem Dachboden seines Hauses leben. Abel betrachtete Frau Hansteen später als seine zweite Mutter. Während er hier lebte, half Abel seinem jüngeren Bruder Peder Abel, das examen artium zu bestehen. Er half auch seiner Schwester Elisabeth, eine Arbeit in der Stadt zu finden.

Anfang 1823 veröffentlichte Niels Abel seinen ersten Artikel in „Magazin for Naturvidenskaberne", Norwegens erstem wissenschaftlichen Journal, das von Professor Hansteen mitbegründet worden war. Abel veröffentlichte mehrere Artikel, aber die Zeitschrift erkannte bald, dass dies nicht Material für den gewöhnlichen Leser war. 1823 schrieb Abel auch einen Artikel auf Französisch. Es war „a general representation of the possibility to integrate all differential formulas" auf Norwegisch: en alminnelig Fremstilling af Muligheten at integrere alle mulige Differential-Formler. Er beantragte Mittel bei der Universität, um es zu veröffentlichen. Jedoch ging die Arbeit während der Überprüfung verloren und wurde nie wieder gefunden.

Mitte 1823 schenkte Professor Rasmussen Abel 100 Speciedaler, damit er nach Kopenhagen reisen und Ferdinand Degen und andere Mathematiker dort besuchen konnte. Während er in Kopenhagen war, arbeitete Abel an Fermats letztem Satz. Abels Onkel, Peder Mandrup Tuxen, lebte auf dem Marinestützpunkt in Christianshavn, Kopenhagen, und auf einem Ball dort traf Niels Abel Christine Kemp, seine zukünftige Verlobte. 1824 zog Christine nach Son, Norwegen, um als Gouvernante zu arbeiten, und das Paar verlobte sich über Weihnachten.

Nach seiner Rückkehr aus Kopenhagen beantragte Abel ein staatliches Stipendium, um führende Mathematiker in Deutschland und Frankreich zu besuchen, erhielt aber stattdessen 200 Speciedaler pro Jahr für zwei Jahre, um in Christiania zu bleiben und Deutsch und Französisch zu studieren. In den nächsten zwei Jahren wurde ihm ein Stipendium von 600 Speciedaler pro Jahr versprochen und er durfte dann ins Ausland reisen. Während er diese Sprachen studierte, veröffentlichte Abel 1824 sein erstes beachtenswertes Werk, Mémoire sur les équations algébriques où on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré Abhandlung über algebraische Gleichungen, in der die Unmöglichkeit der Lösung der allgemeinen Gleichung fünften Grades nachgewiesen wird. Bis 1823 hatte Abel endlich die Unmöglichkeit der Lösung der quintischen Gleichung in Radikalen bewiesen, die heute als Abel-Ruffini-Theorem bezeichnet wird. Dieses Papier war jedoch in einer kryptischen und schwierigen Form, zum Teil weil er sich selbst auf nur sechs Seiten beschränkt hatte, um Druckkosten zu sparen. Ein detaillierterer Beweis wurde 1826 im ersten Band von Crelle's Journal veröffentlicht.

1825 schrieb Abel einen persönlichen Brief an König Carl Johan von Norwegen/Schweden und forderte die Erlaubnis, ins Ausland zu reisen. Ihm wurde diese Erlaubnis erteilt, und im September 1825 verließ er Christiania zusammen mit vier Freunden von der Universität Christian P.B Boeck, Balthazar M. Keilhau, Nicolay B. Møller und Otto Tank. Diese vier Freunde Abels reisten nach Berlin und in die Alpen, um Geologie zu studieren. Abel wollte ihnen nach Kopenhagen folgen und von dort aus seinen Weg nach Göttingen machen. Die Bedingungen für sein Stipendium sahen vor, dass er Gauss in Göttingen besuchen und dann nach Paris weitergehen sollte. Doch als er in Kopenhagen ankam, änderte er seine Pläne. Er wollte seinen Freunden stattdessen nach Berlin folgen und beabsichtigte, später Göttingen und Paris zu besuchen.

Unterwegs besuchte er den Astronomen Heinrich Christian Schumacher in Altona, heute ein Stadtteil von Hamburg. Dann verbrachte er vier Monate in Berlin, wo er sich gut mit August Leopold Crelle anfreundete, der gerade dabei war, seine mathematische Zeitschrift, Journal für die reine und angewandte Mathematik, zu veröffentlichen. Dieses Projekt wurde von Abel begeistert unterstützt, der viel zum Erfolg des Unternehmens beitrug. Abel trug in seinem ersten Jahr sieben Artikel dazu bei.

Von Berlin aus folgte Abel seinen Freunden auch in die Alpen. Er ging nach Leipzig und Freiberg, um Georg Amadeus Carl Friedrich Naumann und seinen Bruder den Mathematiker August Naumann zu besuchen. In Freiberg forschte Abel in der Theorie der Funktionen, besonders in elliptischen, hyperelliptischen und einer neuen Klasse, die heute als abelsche Funktionen bekannt ist.

Von Freiberg aus gingen sie weiter nach Dresden, Prag, Wien, Triest, Venedig, Verona, Bolzano, Innsbruck, Luzern und Basel. Von Juli 1826 reiste Abel allein von Basel nach Paris. Abel hatte den Großteil seiner Arbeit nach Berlin geschickt, um in Crelle's Journal veröffentlicht zu werden, aber er hatte das gespeichert, das er für sein wichtigstes Werk hielt, für die Französische Akademie der Wissenschaften, ein Theorem über die Addition algebraischer Differentiale. Mit Hilfe eines Malers, Johan Gørbitz, fand er eine Wohnung in Paris und setzte seine Arbeit an dem Theorem fort. Er beendete es im Oktober 1826 und reichte es bei der Akademie ein. Es sollte von Augustin-Louis Cauchy überprüft werden. Abels Arbeit war in Paris kaum bekannt, und seine Bescheidenheit hielt ihn davon ab, seine Forschungen zu proklamieren. Das Theorem wurde beiseite gelegt und bis zu seinem Tod vergessen.

Abels begrenzte finanzielle Mittel zwangen ihn schließlich, seine Reise im Januar 1827 abzubrechen. Er kehrte nach Berlin zurück und wurde ihm eine Position als Herausgeber von Crelle's Journal angeboten, lehnte aber ab. Im Mai 1827 war er zurück in Norwegen. Seine Auslandsreise wurde als Fehlschlag angesehen. Er hatte Gauss in Göttingen nicht besucht und nichts in Paris veröffentlicht. Sein Stipendium wurde daher nicht erneuert und er musste einen privaten Kredit bei der Norges Bank von 200 Spesidaler aufnehmen. Dieser Kredit wurde von ihm nie zurückgezahlt. Er begann auch Nachhilfe zu geben. Er setzte sein Senden der meisten seiner Arbeiten an Crelle's Journal fort. Aber in der Mitte von 1828 veröffentlichte er, in Konkurrenz mit Carl Jacobi, ein wichtiges Werk über elliptische Funktionen in Astronomische Nachrichten in Altona.

Tod

Während er in Paris war, infizierte sich Abel mit Tuberkulose. An Weihnachten 1828 reiste er mit dem Schlitten nach Froland, Norwegen, um seine Verlobte zu besuchen. Auf der Reise wurde er ernsthaft krank. Obwohl eine vorübergehende Verbesserung dem Paar ermöglichte, die Feiertage zusammen zu genießen, starb er relativ bald darauf am 6. April 1829, nur zwei Tage bevor ein Brief von August Crelle ankam. Crelle hatte nach einem neuen Job für Abel in Berlin gesucht und hatte es tatsächlich geschafft, ihn als Professor an der Universität Berlin einzustellen. Crelle schrieb an Abel, um es ihm zu sagen, aber die gute Nachricht kam zu spät.

Beiträge zur Mathematik

Abel zeigte, dass es keine allgemeine algebraische Lösung für die Wurzeln einer quintischen Gleichung oder einer allgemeinen Polynomgleichung vom Grad größer als vier gibt, in Bezug auf explizite algebraische Operationen. Dazu erfand er unabhängig von Galois einen Zweig der Mathematik, der als Gruppentheorie bekannt ist und nicht nur in vielen Bereichen der Mathematik von unschätzbarem Wert ist, sondern auch für einen Großteil der Physik. Abel schickte ein Papier über die Unlösbarkeit der quintischen Gleichung an Carl Friedrich Gauss, der daraufhin ohne einen Blick das wegwarf, das er für die wertlose Arbeit eines Verrückten hielt.

Mit 16 Jahren gab Abel einen rigorosen Beweis des Binomialsatzes, der für alle Zahlen gültig ist, und erweiterte damit Eulers Ergebnis, das nur für rationale Zahlen gültig war. Abel schrieb ein grundlegendes Werk zur Theorie der elliptischen Integrale, das die Grundlagen der Theorie der elliptischen Funktionen enthält. Auf dem Weg nach Paris veröffentlichte er ein Papier, das die doppelte Periodizität elliptischer Funktionen offenbarte, die Adrien-Marie Legendre später gegenüber Augustin-Louis Cauchy als „ein Monument, das dauerhafter ist als Bronze" beschrieb und dabei einen berühmten Satz des römischen Dichters Horatius borgte. Das Papier war,