Ein Würfel in zwei andere Würfel, eine vierte Potenz oder allgemein eine beliebige Potenz in zwei Potenzen desselben Grades über dem zweiten zu teilen ist unmöglich, und ich habe wahrlich einen bewundernswerten Beweis dafür gefunden, aber der Rand ist zu schmal, um ihn zu enthalten.
Pierre de Fermat Französisch: ; zwischen 31. Oktober und 6. Dezember 1607 – 12. Januar 1665 war ein französischer Anwalt am Parlement von Toulouse, Frankreich, und ein Mathematiker, dem frühe Entwicklungen gutgeschrieben werden, die zur Infinitesimalrechnung führten, einschließlich seiner Adäquationstechnik. Insbesondere wird er für die Entdeckung einer ursprünglichen Methode zur Bestimmung der größten und kleinsten Ordinaten von gekrümmten Linien anerkannt, die analog zur damals unbekannten Differentialrechnung ist, sowie für seine Forschungen in der Zahlentheorie. Er leistete bedeutende Beiträge zur analytischen Geometrie, Wahrscheinlichkeit und Optik. Er ist am besten bekannt für sein Fermatsches Prinzip für die Lichtausbreitung und seinen Großen Satz von Fermat in der Zahlentheorie, den er in einer Notiz am Rand eines Exemplars von Diophantus' Arithmetica beschrieb.
Biografie
Fermat wurde 1607 in Beaumont-de-Lomagne, Frankreich, geboren – das Herrenhaus aus dem späten 15. Jahrhundert, in dem Fermat geboren wurde, ist heute ein Museum. Er stammte aus Gascogne, wo sein Vater, Dominique Fermat, ein wohlhabender Lederwarenhändler war und drei einjährige Amtszeiten als einer der vier Konsuln von Beaumont-de-Lomagne absolvierte. Seine Mutter war Claire de Long. Pierre hatte einen Bruder und zwei Schwestern und wurde fast sicher in der Stadt seiner Geburt aufgezogen. Es gibt wenig Hinweise auf seine Schulausbildung, aber sie war wahrscheinlich am Collège de Navarre in Montauban.
Er besuchte die Universität von Orléans ab 1623 und erhielt 1626 einen Bachelor in Zivilrecht, bevor er nach Bordeaux zog. In Bordeaux begann er seine ersten ernsthaften mathematischen Forschungen, und 1629 gab er eine Kopie seiner Rekonstruktion von Apollonius' De Locis Planis an einen der dort tätigen Mathematiker. Sicherlich war er in Bordeaux in Kontakt mit Beaugrand und produzierte während dieser Zeit wichtige Arbeiten zu Maxima und Minima, die er Étienne d'Espagnet gab, der offensichtlich mathematische Interessen mit Fermat teilte. Dort wurde er stark von den Arbeiten von François Viète beeinflusst.
1630 kaufte er das Amt eines Ratsmitglieds am Parlement de Toulouse, einen der Obersten Gerichtshöfe Frankreichs, und wurde im Mai 1631 von der Grand Chambre vereidigt. Er hielt dieses Amt für den Rest seines Lebens. Fermat war dadurch berechtigt, seinen Namen von Pierre Fermat in Pierre de Fermat zu ändern. Am 1. Juni 1631 heiratete Fermat Louise de Long, eine Cousine vierten Grades seiner Mutter Claire de Fermat née de Long. Die Fermats hatten acht Kinder, von denen fünf das Erwachsenenalter erreichten: Clément-Samuel, Jean, Claire, Catherine und Louise.
Fermat war fließend in sechs Sprachen – Französisch, Latein, Okzitanisch, Klassisches Griechisch, Italienisch und Spanisch – und wurde für seine verfassten Verse in mehreren Sprachen gelobt und seine Ratschläge wurden eifrig gesucht bezüglich der Verbesserung von griechischen Texten. Er kommunizierte den Großteil seiner Arbeit in Briefen an Freunde, oft mit wenig oder gar keinem Beweis seiner Theoreme. In einigen dieser Briefe an seine Freunde erforschte er viele der grundlegenden Ideen der Infinitesimalrechnung vor Newton oder Leibniz. Fermat war ein ausgebildeter Anwalt, der Mathematik mehr als Hobby denn als Beruf betrieb. Trotzdem leistete er wichtige Beiträge zur analytischen Geometrie, Wahrscheinlichkeit, Zahlentheorie und Infinitesimalrechnung. Geheimhaltung war zu dieser Zeit in europäischen mathematischen Kreisen üblich. Dies führte natürlich zu Prioritätskonflikten mit Zeitgenossen wie Descartes und Wallis.
Anders Hald schreibt, dass „die Grundlage von Fermats Mathematik die klassischen griechischen Abhandlungen kombiniert mit Vietas neuen algebraischen Methoden waren."
Werk
Fermats Pionierarbeit in der analytischen Geometrie Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum wurde 1636 in Manuskriptform verbreitet, basierend auf Ergebnissen aus dem Jahr 1629, und liegt damit vor der Veröffentlichung von Descartes' berühmter La géométrie 1637, die die Arbeit ausnutzte. Dieses Manuskript wurde posthum 1679 in Varia opera mathematica als Ad Locos Planos et Solidos Isagoge Introduction to Plane and Solid Loci veröffentlicht.
In Methodus ad disquirendam maximam et minimam und in De tangentibus linearum curvarum entwickelte Fermat eine Methode der Adäquation zur Bestimmung von Maxima, Minima und Tangenten zu verschiedenen Kurven, die der Differentialrechnung gleichwertig war. In diesen Werken erlangte Fermat eine Technik zum Finden der Schwerpunkte verschiedener ebener und räumlicher Figuren, was zu seinen weiteren Arbeiten in der Quadratur führte.
Fermat war die erste bekannte Person, die das Integral allgemeiner Potenzfunktionen ausgewertet hat. Mit seiner Methode konnte er diese Auswertung auf die Summe einer geometrischen Reihe reduzieren. Die resultierende Formel war hilfreich für Newton und später für Leibniz, als sie unabhängig voneinander den Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung entwickelten.
In der Zahlentheorie studierte Fermat Pells Gleichung, vollkommene Zahlen, befreundete Zahlen und das, was später Fermasche Zahlen werden sollte. Während er perfekte Zahlen erforschte, entdeckte er Fermats kleinen Satz. Er erfand eine Faktorisierungsmethode – Fermats Faktorisierungsmethode – und popularisierte den Beweis durch unendlichen Abstieg, den er verwendete, um Fermats Satz über rechtwinklige Dreiecke zu beweisen, der als Korollar Fermats Großen Satz für den Fall n = 4 enthält. Fermat entwickelte den Zwei-Quadrate-Satz und den Polygonalzahlensatz, der besagt, dass jede Zahl eine Summe von drei Dreieckszahlen, vier Quadratzahlen, fünf Fünfeckszahlen und so weiter ist.
Obwohl Fermat behauptete, alle seine arithmetischen Theoreme bewiesen zu haben, sind nur wenige Aufzeichnungen seiner Beweise erhalten geblieben. Viele Mathematiker, einschließlich Gauss, zweifelten mehrere seiner Behauptungen an, besonders angesichts der Schwierigkeit einiger Probleme und der begrenzten mathematischen Methoden, die Fermat zur Verfügung standen. Sein berühmter Großer Satz wurde zunächst von seinem Sohn in dem Rand einer Kopie seines Vaters einer Ausgabe von Diophantus entdeckt und enthielt die Aussage, dass der Rand zu klein war, um den Beweis zu enthalten. Es scheint, dass er nicht an Marin Mersenne darüber geschrieben hatte. Er wurde erstmals 1994 von Sir Andrew Wiles bewiesen, unter Verwendung von Techniken, die Fermat nicht zur Verfügung standen.
Obwohl er Diophantus sorgfältig studierte und sich von ihm inspirieren ließ, begründete Fermat eine andere Tradition. Diophantus war zufrieden damit, eine einzige Lösung für seine Gleichungen zu finden, auch wenn es eine unerwünschte Bruchlösung war. Fermat war nur an Ganzzahllösungen seiner diophantischen Gleichungen interessiert, und er suchte nach allen möglichen allgemeinen Lösungen. Er bewies oft, dass bestimmte Gleichungen keine Lösung hatten, was seine Zeitgenossen normalerweise verwirrte.
Durch ihre Korrespondenz 1654 halfen Fermat und Blaise Pascal dabei, die Grundlagen für die Wahrscheinlichkeitstheorie zu legen. Aus dieser kurzen, aber produktiven Zusammenarbeit am Problem der Punkte werden sie nun als gemeinsame Gründer der Wahrscheinlichkeitstheorie angesehen. Fermat wird die Durchführung der ersten strengen Wahrscheinlichkeitsberechnung zugeschrieben. Darin wurde er von einem professionellen Spieler gefragt, warum, wenn er darauf wettete, in vier Würfeln mindestens eine Sechs zu werfen, er langfristig gewann, während die Wette auf das Werfen von mindestens einer Doppelsechs in 24 Würfen mit zwei Würfeln zu seinem Verlust führte. Fermat zeigte mathematisch, warum dies der Fall war.
Das erste Variationsprinzip in der Physik wurde von Euklid in seiner Catoptrica artikuliert. Es besagt, dass für den Weg des Lichts, das von einem Spiegel reflektiert wird, der Einfallswinkel gleich dem Reflexionswinkel ist. Hero von Alexandria zeigte später, dass dieser Weg die kürzeste Länge und die kürzeste Zeit ergab. Fermat verfeinerte und verallgemeinerte dies zu „Licht bewegt sich zwischen zwei gegebenen Punkten entlang des Weges der kürzesten Zeit", jetzt bekannt als Prinzip der kürzesten Zeit. Dafür wird Fermat als Schlüsselfigur in der historischen Entwicklung des fundamentalen Prinzips der kleinsten Wirkung in der Physik anerkannt. Die Begriffe Fermatsches Prinzip und Fermatsche Funktional wurden zur Anerkennung dieser Rolle benannt.
Tod
Pierre de Fermat starb am 12. Januar 1665 in Castres, im heutigen Département Tarn. Das älteste und renommierteste Gymnasium in Toulouse trägt seinen Namen: das Lycée Pierre-de-Fermat . Der französische Bildhauer Théophile Barrau schuf eine Marmorstatue mit dem Namen Hommage à Pierre Fermat als Tribut an Fermat, die sich jetzt im Capitole de Toulouse befindet.
- Begräbnisstätte von Pierre de Fermat in Place Jean Jaurés, Castres. Übersetzung der Plakette: An diesem Ort wurde am 13. Januar 1665 Pierre de Fermat, Ratsmitglied der Chambre de l'Édit, ein durch das Edikt von Nantes gegründeter Gerichtshof, und Mathematiker großen Ruhmes, berühmt für seinen Satz, ein + bn ≠ cn für n>2, beerdigt
- Monument für Fermat in Beaumont-de-Lomagne
- Büste in der Salle Henri-Martin im Capitole de Toulouse
- Holographisches Testament, handgeschrieben von Fermat am 4. März 1660 – aufbewahrt in den Departementalen Archiven der Haute-Garonne, in Toulouse
Bewertung seiner Arbeiten
Zusammen mit René Descartes war Fermat einer der beiden führenden Mathematiker der ersten Hälfte des 17. Jahrhunderts. Nach Peter L. Bernstein war Fermat „ein Mathematiker von seltener Kraft. Er war ein unabhängiger Erfinder der analytischen Geometrie, er trug zur frühen Entwicklung der Infinitesimalrechnung bei, er führte Forschungen über das Gewicht der Erde durch und arbeitete an Lichtbrechung und Optik. Im Laufe einer ausgedehnten Korrespondenz mit Blaise Pascal leistete er einen bedeutenden Beitrag zur Wahrscheinlichkeitstheorie. Aber Fermats größte Errungenschaft lag in der Zahlentheorie."
Bezüglich Fermats Arbeiten in der Analysis schrieb Isaac Newton, dass seine eigenen frühen Ideen zur Infinitesimalrechnung direkt aus „Fermats Art, Tangenten zu zeichnen" stammten.
Zur zahlentheoretischen Arbeit von Fermat schrieb der Mathematiker des 20. Jahrhunderts André Weil: „Das, was wir von seinen Methoden zum Umgang mit Kurven der Gattung 1 besitzen, ist bemerkenswert kohärent; es ist immer noch die Grundlage für die moderne Theorie solcher Kurven. Es fällt natürlicherweise in zwei Teile; der erste kann zweckmäßigerweise als Aufstiegsmethode bezeichnet werden, im Gegensatz zum Abstieg, der zu Recht als Fermats eigene Methode gilt." Bezüglich Fermats Verwendung des Aufstiegs fuhr Weil fort: „Die Neuheit bestand in der weitgehend erweiterten Verwendung, die Fermat davon machte, was ihm zumindest einen Teilersatz dessen gab, das wir durch die systematische Verwendung der gruppentheoretischen Eigenschaften der rationalen Punkte auf einer Standard-Kubikfläche erhalten würden." Mit seinem Talent für Zahlenbeziehungen und seiner Fähigkeit, Beweise für viele seiner Theoreme zu finden, schuf Fermat im Wesentlichen die moderne Zahlentheorie.
