Isaac Barrow

Isaac Barrow war ein englischer christlicher Theologe und Mathematiker, dem allgemein die frühe Rolle in der Entwicklung der Infinitesimalrechnung zugeschrieben wird; insbesondere für den Beweis des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung.

 Seine Arbeit konzentrierte sich auf die Eigenschaften der Tangente; Barrow war der erste, der die Tangenten der Kappa-Kurve berechnete. Er ist auch bemerkenswert dafür, dass er der erste Inhaber der prestigeträchtigen Lucasian Professorship of Mathematics war, ein Posten, den später sein Schüler Isaac Newton innehatte.

Leben

Frühen Jahren und Ausbildung

Barrow wurde in London geboren. Er war der Sohn von Thomas Barrow, einem Leinenweber von Beruf. 1624 heiratete Thomas Ann, die Tochter von William Buggin aus North Cray, Kent, und ihr Sohn Isaac wurde 1630 geboren. Es scheint, dass Barrow das einzige Kind dieser Ehe war – sicherlich das einzige Kind, das das Säuglingsalter überlebte. Ann starb um 1634, und der verwitwete Vater schickte den Jungen zu seinem Großvater Isaac, dem Cambridgeshire J.P., der in Spinney Abbey wohnte. Innerhalb von zwei Jahren heiratete Thomas jedoch erneut; die neue Frau war Katherine Oxinden, Schwester von Henry Oxinden aus Maydekin, Kent. Aus dieser Ehe hatte er mindestens eine Tochter, Elizabeth, geboren 1641, und einen Sohn, Thomas, der bei Edward Miller, Kürschner, in die Lehre ging und 1647 seine Entlassung erreichte und 1680 nach Barbados auswanderte.

Frühe Karriere

Isaac ging zunächst zur Charterhouse School, wo er so wild und streitsüchtig war, dass sein Vater gehört wurde zu beten, dass wenn es Gott gefiele, eines seiner Kinder zu nehmen, könnte er Isaac am besten entbehren, und anschließend zur Felsted School, wo er sich niederließ und unter dem brillanten puritanischen Rektor Martin Holbeach lernte, der zehn Jahre zuvor John Wallis unterrichtet hatte. Nachdem er Griechisch, Hebräisch, Latein und Logik in Felsted gelernt hatte, in Vorbereitung auf das Universitätsstudium, setzte er seine Ausbildung am Trinity College, Cambridge fort; er schrieb sich dort ein wegen eines Unterstützungsangebots eines nicht näher bezeichneten Mitglieds der Familie Walpole, „ein Angebot, das vielleicht durch die Sympathie der Walpoles für Barrows Anhänglichkeit an die Royalist-Sache veranlasst wurde." Sein Onkel und Namensvetter Isaac Barrow, später Bischof von St Asaph, war Fellow von Peterhouse. Er widmete sich dem intensiven Studium und zeichnete sich in Klassiker und Mathematik aus; nach seinem Abschluss 1648 wurde er 1649 zum Fellow gewählt. Barrow erhielt 1652 einen MA von Cambridge als Student von James Duport; er wohnte dann einige Jahre im College und wurde Kandidat für die Greek Professorship in Cambridge, aber 1655, nachdem er sich weigerte, das Engagement zum Schutz des Commonwealth zu unterzeichnen, erhielt er Reisestipendien um ins Ausland zu gehen.

Reisen

Die nächsten vier Jahre verbrachte er mit Reisen durch Frankreich, Italien, Smyrna und Konstantinopel, und nach vielen Abenteuern kehrte er 1659 nach England zurück. Er war für seinen Mut bekannt. Besonders bemerkenswert ist der Anlass, bei dem er das Schiff, auf dem er sich befand, durch seine eigene Tapferkeit vor der Gefangennahme durch Piraten rettete. Er wird als „niedrig von Wuchs, mager und von bleicher Gesichtsfarbe" beschrieben, schlampig in seiner Kleidung gekleidet und mit einer beständigen und langjährigen Gewohnheit des Tabakkonsums ein unverbesserlicher Raucher. In Bezug auf seine höfischen Aktivitäten verdankte er seine Begabung für Witz die Gunst von Charles II und die Achtung seiner Hofgenossen. In seinen Schriften könnte man dementsprechend eine anhaltende und etwas stattliche Beredsamkeit finden. Er war eine alles in allem beeindruckende Persönlichkeit seiner Zeit, der ein untadeliges Leben führte, in dem er sein Verhalten mit angemessener Sorgfalt und Gewissenhaftigkeit ausübte.

Spätere Karriere

Arbeit

Bei der Restauration 1660 wurde er ordiniert und zum Regius Professor für Griechisch an der Cambridge ernannt. 1662 wurde er Professor für Geometrie am Gresham College und 1663 wurde er als erster Inhaber des Lucasian Chair in Cambridge ausgewählt. Während seiner Amtszeit in diesem Lehrstuhl veröffentlichte er zwei mathematische Werke von großem Gelehrsamkeit und Eleganz, das erste über Geometrie und das zweite über Optik. 1669 trat er seinen Lehrstuhl zugunsten von Isaac Newton zurück. Um diese Zeit verfasste Barrow seine Auslegungen des Glaubensbekenntnisses, des Vaterunsers, der Zehn Gebote und der Sakramente. Für den Rest seines Lebens widmete er sich dem Studium der Theologie. Er wurde 1670 durch königliches Mandat zum Doktor der Theologie ernannt, und zwei Jahre später Master of Trinity College 1672, wo er die Bibliothek gründete und den Posten bis zu seinem Tod innehatte.

Sein frühestes Werk war eine vollständige Ausgabe der Elemente des Euklid, die er 1655 auf Latein und 1660 auf Englisch veröffentlichte; 1657 veröffentlichte er eine Ausgabe der Daten. Seine Vorlesungen, die 1664, 1665 und 1666 gehalten wurden, wurden 1683 unter dem Titel Lectiones Mathematicae veröffentlicht; diese behandeln hauptsächlich die metaphysische Grundlage für mathematische Wahrheiten. Seine Vorlesungen von 1667 wurden im selben Jahr veröffentlicht und deuten auf die Analyse hin, durch die Archimedes zu seinen Hauptergebnissen geführt wurde. 1669 veröffentlichte er seine Lectiones Opticae et Geometricae. Im Vorwort heißt es, dass Newton diese Vorlesungen überarbeitete und korrigierte und Material von sich selbst hinzufügte, aber es scheint aus Newtons Bemerkungen in der Fluxional-Kontroverse wahrscheinlich, dass die Ergänzungen auf die Teile beschränkt waren, die sich mit Optik befassten. Dieses, sein wichtigstes Werk in der Mathematik, wurde 1674 mit geringfügigen Änderungen neu veröffentlicht. 1675 veröffentlichte er eine Ausgabe mit zahlreichen Kommentaren der ersten vier Bücher der Kegelschnitte des Apollonius von Perga und der erhaltenen Werke des Archimedes und Theodosius von Bithynien.

In den optischen Vorlesungen werden viele Probleme im Zusammenhang mit der Reflexion und Brechung von Licht mit Scharfsinn behandelt. Der geometrische Fokus eines durch Reflexion oder Brechung gesehenen Punktes wird definiert; und es wird erklärt, dass das Bild eines Objekts der Ort der geometrischen Brennpunkte jedes Punktes auf ihm ist. Barrow arbeitete auch einige der einfacheren Eigenschaften dünner Linsen aus und vereinfachte die kartesianische Erklärung des Regenbogens erheblich.

Barrow war der erste, der das Integral der Sekantenfunktion in geschlossener Form fand und damit eine zu seiner Zeit wohlbekannte Vermutung bewies.

Tod

Neben den oben erwähnten Werken schrieb er andere wichtige mathematische Abhandlungen, aber in der Literatur wird sein Platz hauptsächlich durch seine Predigten gestützt, die Meisterwerke der argumentativen Beredsamkeit sind, während seine Abhandlung über die Oberhoheit des Papstes als eines der vollkommensten Muster der Kontroverse angesehen wird. Barrows Charakter als Mensch war in jeder Hinsicht würdig für seine großen Talente, obwohl er eine starke Ader der Exzentrizität hatte. Er starb unverheiratet in London im frühen Alter von 46 Jahren und wurde in der Westminster Abbey begraben. John Aubrey schreibt in den Brief Lives seinen Tod einer während seines Aufenthalts in der Türkei erworbenen Opiumabhängigkeit zu.

Tangenten berechnen

Die geometrischen Vorlesungen enthalten einige neue Wege zur Bestimmung der Flächen und Tangenten von Kurven. Das berühmteste davon ist die gegebene Methode zur Bestimmung von Tangenten zu Kurven, und dies ist wichtig genug, um eine detaillierte Besprechung zu rechtfertigen, da es die Art und Weise veranschaulicht, in der Barrow, Hudde und Sluze auf den von Fermat vorgeschlagenen Linien an den Methoden der Differentialrechnung arbeiteten.

Fermat hatte beobachtet, dass die Tangente an einem Punkt P auf einer Kurve bestimmt wurde, wenn ein anderer Punkt neben P auf ihr bekannt wäre; wenn daher die Länge der Subtangente MT gefunden werden könnte, würde dies den Punkt T bestimmen, dann wäre die Linie TP die erforderliche Tangente. Nun bemerkte Barrow, dass, wenn die Abszisse und die Ordinate an einem Punkt Q neben P gezogen würden, ein kleines Dreieck PQR erhielt, das er das Differentialdreieck nannte, weil seine Seiten QR und RP die Unterschiede der Abszissen und Ordinaten von P und Q waren, so dass K

Um QR : RP zu finden, nahm er an, dass x, y die Koordinaten von P waren, und x − e, y − a die von Q waren. Barrow verwendete tatsächlich p für x und m für y, aber dieser Artikel verwendet die standard moderne Notation. Durch Einsetzen der Koordinaten von Q in die Gleichung der Kurve und Vernachlässigung der Quadrate und höheren Potenzen von e und a im Vergleich zu ihren ersten Potenzen erhielt er e : a. Das Verhältnis a/e wurde später gemäß einem von Sluze gemachten Vorschlag der Winkelkoeffizient der Tangente am Punkt genannt.

Barrow wendete diese Methode auf die Kurven an

1. x2 x2 + y2 = r2y2, die Kappa-Kurve;
2. x3 + y3 = r3;
3. x3 + y3 = rxy, genannt la galande;
4. y = r − x tan πx/2r, die Quadratrix; und
5. y = r tan πx/2r.

Es genügt hier, als Illustration den einfacheren Fall der Parabel y2 = px zu nehmen. Mit der oben angegebenen Notation haben wir für den Punkt P, y2 = px; und für den Punkt Q:

Durch Subtrahieren erhalten wir

Aber wenn a eine unendlich kleine Größe ist, muss a2 unendlich kleiner sein und kann daher vernachlässigt werden, wenn es mit den Größen 2ay und pe verglichen wird. Daher

Also,

Daher,

Dies ist genau das Verfahren der Differentialrechnung, außer dass wir dort eine Regel haben, mit der wir das Verhältnis a/e oder dy/dx direkt erhalten können, ohne die Mühe, für jeden einzelnen Fall eine ähnliche Berechnung durchzugehen.

Bibliographie

• Epitome Fidei et Religionis Turcicae 1658
• "De Religione Turcica anno 1658" poem
• Lectiones Opticae 1669
• Lectiones Geometricae 1670
• A Treatise on the Pope's Supremacy, To Which Is Added A Discourse Concerning The Unity Of The Church 1680
• Lectiones Mathematicae 1683