Endre Szemerédi: In jedem Chaos gibt es eine Ordnung

Sechs Monate nach Beginn seines Medizinstudiums entschied Endre Szemerédi, dass er sich selbst kein Skalpell anvertrauen wollte – er bezweifelte später seine Fähigkeit, „eine Arbeit mit einer solchen Verantwortung zu leisten“ – und brach das Studium ab. Er driftete eine Zeit lang umher, schrieb sich dann für ein Mathematikstudium ein und wurde durch einen bürokratischen Zufall einem Doktorvater zugewiesen, um den er nie gebeten hatte. Dieser falsch abgelegte Papierkram brachte ihn in Moskau unter die Leitung von Israel Gelfand, einem der bedeutendsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts, statt unter Alexander Gelfond, den Szemerédi eigentlich gewollt hatte. Es ist einer der glücklicheren Zufälle auf diesem Gebiet.

Irrtümlich von Budapest nach Moskau

Szemerédi wurde am 21. August 1940 in Budapest geboren. Nach seinem kurzen und abgebrochenen Versuch in der Medizin erwarb er seinen Bachelor-Abschluss an der Eötvös-Loránd-Universität in Budapest, bevor er für seine Master- und Doktorarbeit an die Staatliche Universität Moskau ging. Dort, unter Gelfand – dem bürokratischen Fehler, der ihn zum falschen Betreuer schickte –, begann er die Karriere in diskreter Mathematik, die ihm schließlich eine Anerkennung einbringen sollte, die der Fields-Medaille nahekommt und in der Kombinatorik selten vergeben wird: den Abel-Preis.

Der Satz, der seinen Namen trägt

Szemerédi's entscheidender Erfolg, der 1975 bekannt gegeben wurde, löste eine Vermutung, die Paul Erdős und Pál Turán Jahrzehnte zuvor aufgestellt hatten und die seitdem jedem Angriff widerstanden hatte: Dass jede Menge natürlicher Zahlen mit positiver oberer Dichte – grob gesagt, jede Menge, die nicht im Verhältnis zum gesamten Zahlenstrahl ins Nichts ausdünnt – arithmetische Folgen jeder Länge enthalten muss, egal wie lang. Es ist eine Aussage über verborgene Ordnung: Wie unregelmäßig oder spärlich eine ausreichend substantielle Menge ganzer Zahlen auch aussieht, es sind unweigerlich gemusterte Sequenzen darin vergraben. Das Komitee des Abel-Preises fasste den Geist seiner Arbeit später in einem einzigen Satz zusammen: „In jedem Chaos gibt es eine Ordnung“.

Das Regularitätslemma

Der Beweis dieses Satzes brachte etwas hervor, das noch bedeutender war als der Satz selbst. Auf dem Weg dorthin führte Szemerédi das ein, was heute als Szemerédi-Regularitätslemma bezeichnet wird, ein strukturelles Ergebnis, das zeigt, dass jeder hinreichend große Graph in eine begrenzte Anzahl von Teilen zerlegt werden kann, die sich im präzisen statistischen Sinne fast zufällig zueinander verhalten. Es klingt wie ein technisches Lemma; es wurde zu einem der zentralen Werkzeuge der modernen Kombinatorik und untermauerte Eigenschaftstests, Graphengrenzwerttheorie und einen großen Teil der extremalen Graphentheorie, die in den folgenden Jahrzehnten entwickelt wurde. Fields-Medaillen-Gewinner wie Timothy Gowers und László Lovász haben ganze Vorlesungen der Nachverfolgung seiner Konsequenzen gewidmet – ein seltener Fall, in dem das Nebenprodukt eines Beweises in seinem Einfluss den ursprünglichen Satz übertrifft.

Eine Reihe benannter Ergebnisse

Szemerédi's Karriere brachte eine ungewöhnlich große Ansammlung von Ergebnissen hervor, die heute zusammen mit seinen Mitarbeitern seinen Namen tragen: das Szemerédi-Trotter-Theorem in der Inzidenzgeometrie, das begrenzt, wie oft sich Punkte und Geraden in der Ebene treffen können; das Hajnal-Szemerédi-Theorem zur Graphenfärbung; das Erdős-Szemerédi-Theorem über Summen und Produkte in endlichen Mengen, ein grundlegendes Ergebnis in dem, was zum Bereich der arithmetischen Kombinatorik wurde; und zusammen mit Miklós Ajtai das Ecken-Theorem (corners theorem). Mit Ajtai und János Komlós stellte er einflussreiche Schranken für Ramsey-Zahlen auf und baute Sortiernetzwerke mit optimaler Tiefe – ein seltener Ausflug aus der reinen Mathematik in die theoretische Informatik, der dazu beitrug, seine spätere akademische Heimat in einem Informatikfachbereich zu rechtfertigen. Mit Ajtai, Václav Chvátal und Monroe Newborn bewies er außerdem die Kreuzungszahl-Ungleichung, eine grundlegende Schranke beim Graphenzeichnen. In mehr als zweihundert veröffentlichten Arbeiten ist der rote Faden konsistent: starre, unvermeidliche Strukturen in Objekten zu finden – Mengen von Ganzzahlen, Graphen, Punktkonfigurationen –, die oberflächlich betrachtet ungeordnet wirken.

Eine amerikanische Karriere auf ungarischem Fundament

Szemerédi kam 1986 als Professor für Informatik an die Rutgers University, eine Position, die er bis heute als Emeritus innehat, während er weiterhin permanent mit dem Alfréd-Rényi-Institut für Mathematik in Budapest verbunden blieb, der institutionellen Heimat der ungarischen Mathematik seit der Mitte des 20. Jahrhunderts. Dazwischen hielt er Gastprofessuren in Stanford, McGill, an der University of South Carolina und der University of Chicago sowie eine Mitgliedschaft am Institute for Advanced Study in Princeton – eine Karriere, die die mathematische Migration des Kalten Krieges von Ungarn und dem sowjetischen Einflussbereich an amerikanische Forschungsuniversitäten umspannt.

Anerkennung

Die Ehrungen häuften sich über fünf Jahrzehnte: der Alfréd-Rényi-Preis 1973 und der George-Pólya-Preis 1975, in den Jahren direkt nach Erscheinen seines Theorems; der Leroy P. Steele-Preis und der Rolf-Schock-Preis in Mathematik, beide im Jahr 2008; die Wahl in die United States National Academy of Sciences im Jahr 2010; und im Jahr 2012 der Abel-Preis selbst, verliehen „für seine grundlegenden Beiträge zur diskreten Mathematik und theoretischen Informatik sowie in Anerkennung des tiefgreifenden und nachhaltigen Einflusses dieser Beiträge auf die additive Zahlentheorie und Ergodentheorie“ – eine Würdigung, die seine Arbeit explizit für die Umgestaltung von Fachgebieten weit über die eng definierte Kombinatorik hinaus würdigt. Ungarn verlieh ihm 2020 den St.-Stephans-Orden.

Warum Endre als Genie bezeichnet wird

Das Argument für Szemerédi's Genie ist so sauber, wie es die Mathematik nur bieten kann: Ein einziger Beweis einer einzigen langjährigen Vermutung erzeugte ein Werkzeug – das Regularitätslemma –, dessen nachgelagerter Einfluss auf eine ganze Disziplin wohl den des Satzes übersteigt, für den es gebaut wurde. Diese Art von Einfluss zweiter Ordnung, bei dem die Methode ihren ursprünglichen Zweck überlebt und übertrifft, ist eines der klarsten Merkmale eines Geistes, der auf der tiefsten strukturellen Ebene operiert, anstatt nur das Problem vor sich zu lösen. Die Sprache des Abel-Preis-Komitees selbst – das Auffinden von Ordnung im Chaos – ist keine Übertreibung; es ist eine faire Umschreibung dessen, was das Regularitätslemma tatsächlich leistet, und die Tatsache, dass Gowers und Lovász, selbst unter den höchstdekorierten Persönlichkeiten der Disziplin, große Vorlesungen darauf aufbauten, anderen Mathematikern seine Konsequenzen zu erklären, ist eine Form der Anerkennung durch Fachkollegen, die schwer zu erfinden oder aufzublähen ist.

Wenn es ein Vorbehalt gibt, dann ist es eher eine Frage der Engführung als der Übertreibung: Szemerédi's Ruhm beruht überwiegend auf Ergebnissen der diskreten Mathematik und Kombinatorik, Feldern, die während eines Großteils des 20. Jahrhunderts von Teilen des mathematischen Establishments als weniger prestigeträchtig angesehen wurden als Analysis, Geometrie oder Zahlentheorie in ihren klassischen Formen – der Abel-Preis für einen Kombinatoriker wurde damals als implizites Argument dafür gelesen, dass das Feld Anerkennung verdient, die es nur langsam erhalten hatte. Das schmälert die Arbeit nicht; es bedeutet, dass das Etikett „Genie“ hier eine spezifische, technische Form der strukturellen Einsicht verfolgt und nicht die Art von universellem Ruhm, der Physikern oder Mathematikern anhaftet, deren Ergebnisse auch außerhalb ihres Fachgebiets berühmt sind.

Vermächtnis

Das Regularitätslemma wird heute weltweit als Standardstoff in Graduiertenkursen der Kombinatorik unterrichtet und bleibt ein aktiver Motor neuer Forschung, auch in Bereichen – theoretische Informatik, additive Kombinatorik, Graphengrenzwerttheorie –, die kaum existierten, als Szemerédi es 1975 erstmals aufschrieb. Als emeritierter Wissenschaftler Mitte achtzig ist er immer noch aktiv und bleibt eines der klarsten Beispiele in der modernen Mathematik dafür, dass die Methode eines einzigen Beweises folgenreichere Auswirkungen hat als der Satz, für den sie ursprünglich entworfen wurde.