Mark Kac: É possível ouvir a forma de um tambor?

Em 1966, um probabilista polaco-americano publicou um artigo construído em torno de uma pergunta que uma criança poderia fazer: se ouvir um tambor, consegue dizer que forma ele tem? A resposta, verificou-se, é não — ressoadores diferentes podem partilhar frequências próprias idênticas. A questão fundou uma área. Kac ganhou um Prémio Chauvenet pelo artigo dois anos depois, o seu segundo, e deixou uma das poucas questões matemáticas que se tornaram uma frase que as pessoas citam sem saber de quem era.

Kremenets, e uma fronteira que se moveu

Kac nasceu a 3 de agosto de 1914 em Kremenets — Krzemieniec em polaco — então no Império Russo, numa família judaica polaca. A cidade mudou de mãos enquanto ele era criança, passando do que se tornara a Ucrânia soviética para a Polónia sob a Paz de Riga. Ele não se moveu; a fronteira sim. É uma origem apropriada para um matemático que passou a sua carreira a estudar o comportamento de sistemas que mudam debaixo de si.

Lwów, Steinhaus, e a saída

Tirou o seu doutoramento na Universidade de Lwów em 1937 sob a orientação de Hugo Steinhaus, e pertenceu à Escola de Matemática de Lwów — a concentração mais consequente de talento matemático na Polónia do entreguerras, e que a década seguinte aniquilaria.

Em 1938, uma bolsa da Fundação Parnas tornou possível a sua partida para os Estados Unidos. Chegou a Nova Iorque em novembro de 1938. O momento foi, no sentido mais literal, a diferença entre uma vida e uma estatística: atravessou o Atlântico na última janela antes de ela se fechar.

Cornell, e a guerra

Juntou-se à Universidade de Cornell em 1939, subindo de instrutor a professor assistente em 1943 e a professor catedrático em 1947. Foi naturalizado como cidadão dos EUA em 1943. De 1943 a 1945, trabalhou com George Uhlenbeck no Laboratório de Radiação do MIT, o esforço do radar — um daqueles cargos de guerra onde matemáticos puros descobriram que as suas abstrações tinham dentes físicos imediatos. A colaboração com Uhlenbeck sobreviveu à guerra; os dois, com P. C. Hemmer, calcularam mais tarde a matemática do gás de van der Waals.

Agosto de 1942

Os seus pais e o seu irmão ficaram em Kremenets. Foram assassinados pelos nazis nas execuções em massa de agosto de 1942.

O facto permanece na sua biografia sem comentários, como tais factos geralmente fazem, e não deve ser suavizado numa narrativa. Kac estava na América, a ensinar em Cornell, no meio de uma carreira académica em ascensão, quando a sua família foi morta na cidade onde a fronteira se tinha movido à sua volta enquanto rapaz. Quaisquer que fossem as consequências interiores, o registo externo mostra um homem que trabalhou, e trabalhou produtivamente, durante mais quarenta anos, e que na sua vida posterior copresidiu o Comité de Cientistas Preocupados, divulgando os casos de cientistas perseguidos, incluindo Vladimir Samuilovich Kislik e Yosif Begun. Ele tinha aprendido cedo o que custa quando ninguém faz barulho.

Física Estatística: O Anel e o Modelo de Ising

A década de 1950 foi a sua década na física. Em 1952, com Theodore H. Berlin, introduziu o modelo esférico de um ferromagneto; com J. C. Ward, produziu uma solução exata do modelo de Ising — raro e precioso, porque modelos exatamente solúveis são os pontos fixos a partir dos quais um campo inteiro navega.

Em 1956, surgiu o anel de Kac, e pode ser a sua construção única mais elegante. O quebra-cabeça que aborda é antigo e genuinamente perturbador: como pode a irreversibilidade macroscópica — o facto de as coisas se deteriorarem e nunca espontaneamente voltarem ao estado anterior — surgir de leis microscópicas que são perfeitamente simétricas no tempo? O paradoxo de Loschmidt. Kac construiu um modelo simples o suficiente para analisar completamente e rico o suficiente para exibir o fenómeno, e assim produziu uma explicação em vez de um argumento. Essa é a forma mais elevada de um certo tipo de física matemática: substituir uma disputa filosófica por um exemplo calculável.

O Tambor

O seu artigo de 1966 perguntava se a forma geométrica de um tambor é determinada unicamente pelo seu som. A resposta provou-se negativa em geral — formas distintas podem produzir o mesmo espectro — embora para certas formas, incluindo tambores circulares, a geometria possa, de facto, ser inferida a partir do espectro do Laplaciano. Disso resultou a geometria espectral, o estudo sistemático do que o espectro de um operador diz sobre o espaço em que vive.

O poder da pergunta reside na sua forma. É declarada em linguagem comum, é imediatamente inteligível para um não matemático, e verifica-se que requer uma maquinaria séria para responder. Muito poucos investigadores formulam um problema com essas três propriedades.

Por que Mark é chamado de génio

A faculdade distintiva é a seleção da pergunta. O trabalho técnico de Kac — a solução de Ising, o modelo esférico, a matemática de van der Waals — é de primeira linha, mas muito trabalho técnico de primeira linha desaparece na literatura. O que o separa é que ele encontrou repetidamente a formulação que tornou uma área obscura subitamente tratável. O anel de Kac fez isso para o paradoxo de Loschmidt: um modelo reduzido ao essencial que, no entanto, exibe aquilo sobre o qual todos discutiam. A pergunta do tambor fez isso pela geometria espectral: uma frase em inglês que abriu uma disciplina matemática. Este é um talento específico e incomum — não resolver problemas difíceis, mas localizar o problema difícil que vale a pena resolver e declará-lo tão claramente que outros possam começar a trabalhar.

O seu dom expositivo é o mesmo instinto apontado para fora, e foi reconhecido: dois Prémios Chauvenet, em 1950 por um artigo de 1947 e em 1968 pelo artigo do tambor, mais o Prémio Lester R. Ford em 1967. Os apoios institucionais seguiram-se — a Academia Americana de Artes e Ciências em 1959, a Academia Nacional de Ciências em 1965, a Sociedade Filosófica Americana em 1969, conferencista Solvay em Bruxelas em 1971, conferencista Fermi na Scuola Normale em Pisa em 1980.

O contra-argumento: ninguém no registo aplica realmente a palavra a ele, os seus prémios são pela exposição em vez de pela descoberta, e a pergunta do tambor é famosa em parte porque é encantadora — a resposta foi fornecida por outros. Uma leitura hostil chamar-lhe-ia um comunicador soberbo e um muito bom matemático em vez de um grande. A leitura justa é que o enquadramento é em si uma forma de descoberta, e Kac fê-lo mais do que uma vez.

Legado

Kac deixou Cornell em 1961 para a Universidade Rockefeller, onde passou cerca de duas décadas até 1981, terminando na Universidade do Sul da Califórnia. Morreu a 26 de outubro de 1984. Os seus livros — Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory (1959), Probability and Related Topics in the Physical Sciences (1959), Mathematics and Logic com Stanislaw Ulam (1968) — ensinaram uma geração, e a sua autobiografia, Enigmas of Chance, apareceu postumamente em 1985. O título foi bem escolhido por um homem cuja família morreu devido ao acidente de uma fronteira e que sobreviveu devido ao acidente de uma bolsa.