Endre Szemerédi: Em todo caos há uma ordem

Seis meses após o início da faculdade de medicina, Endre Szemerédi decidiu que não confiava em si mesmo com um bisturi — ele duvidava da sua capacidade, disse mais tarde, de "fazer um trabalho que comportasse tal responsabilidade" — e desistiu. Ele andou à deriva por um tempo, depois matriculou-se em matemática e foi designado, por um acidente burocrático, a um orientador de doutorado que ele nunca havia solicitado. Aquela papelada mal arquivada colocou-o em Moscou sob a tutela de Israel Gelfand, um dos grandes matemáticos do século XX, em vez de Alexander Gelfond, a quem Szemerédi desejava ter como orientador. É um dos melhores acidentes do campo.

De Budapeste a Moscou por engano

Szemerédi nasceu em 21 de agosto de 1940, em Budapeste. Após a sua breve e abandonada tentativa na medicina, ele obteve o seu diploma de graduação na Universidade Eötvös Loránd de Budapeste antes de seguir para a Universidade Estatal de Moscou para o seu mestrado e doutorado. Lá, sob a supervisão de Gelfand — o erro burocrático que o enviou ao supervisor errado —, ele iniciou a carreira em matemática discreta que eventualmente lhe renderia um reconhecimento próximo à Medalha Fields, raramente concedida à combinatória: o Prêmio Abel.

O teorema que leva o seu nome

A conquista determinante de Szemerédi, anunciada em 1975, resolveu uma conjectura que Paul Erdős e Pál Turán haviam proposto décadas antes e que havia resistido a todos os ataques desde então: que qualquer conjunto de números naturais com densidade superior positiva — a grosso modo, qualquer conjunto que não diminua até desaparecer em relação à reta numérica inteira — deve conter progressões aritméticas de qualquer comprimento, não importa o quão longo seja. É uma afirmação sobre uma ordem oculta: por mais irregular ou disperso que pareça um conjunto suficientemente substancial de inteiros, sequências padronizadas estão inevitavelmente enterradas dentro dele. O comité do Prêmio Abel resumiu mais tarde o espírito do seu trabalho numa única frase: "em todo o caos há uma ordem".

O lema da regularidade

A prova desse teorema produziu algo ainda mais consequente do que o próprio teorema. No caminho, Szemerédi introduziu o que hoje é chamado de lema de regularidade de Szemerédi, um resultado estrutural mostrando que todo grafo suficientemente grande pode ser particionado num número limitado de peças que se comportam, num sentido estatístico preciso, quase aleatoriamente umas em relação às outras. Soa como um lema técnico; tornou-se uma das ferramentas centrais da combinatória moderna, sustentando testes de propriedades, teoria de limites de grafos e uma grande parte da teoria extremal de grafos desenvolvida nas décadas seguintes. Medalhistas Fields, incluindo Timothy Gowers e László Lovász, dedicaram palestras inteiras a traçar as suas consequências — um caso raro de o subproduto de uma prova superar em influência o seu teorema original.

Um corpo de resultados nomeados

A carreira de Szemerédi produziu um grupo incomumente grande de resultados que hoje levam o seu nome ao lado de colaboradores: o teorema de Szemerédi-Trotter em geometria de incidência, delimitando quantas vezes pontos e linhas no plano podem encontrar-se; o teorema de Hajnal-Szemerédi em coloração de grafos; o teorema de Erdős-Szemerédi sobre somas e produtos em conjuntos finitos, um resultado fundamental naquilo que se tornou o campo da combinatória aritmética; e, com Miklós Ajtai, o teorema dos cantos (corners theorem). Com Ajtai e János Komlós, ele estabeleceu limites influentes nos números de Ramsey e construiu redes de ordenação de profundidade ótima — uma rara incursão da matemática pura na ciência da computação teórica que ajudou a justificar a sua eventual base acadêmica num departamento de ciência da computação. Com Ajtai, Václav Chvátal e Monroe Newborn, ele também provou a desigualdade do número de cruzamentos, um limite fundamental no desenho de grafos. Ao longo de mais de duzentos artigos publicados, o fio condutor é consistente: encontrar uma estrutura rígida e inevitável dentro de objetos — conjuntos de inteiros, grafos, configurações de pontos — que parecem desordenados na sua superfície.

Uma carreira americana construída sobre bases húngaras

Szemerédi juntou-se à Universidade Rutgers em 1986 como Professor de Ciência da Computação do Estado de Nova Jérsia, um cargo que ainda ocupa como emérito, mantendo-se permanentemente afiliado ao Instituto de Matemática Alfréd Rényi em Budapeste, a casa institucional da matemática húngara desde meados do século XX. Entretanto, ocupou cargos de professor visitante em Stanford, McGill, na Universidade da Carolina do Sul e na Universidade de Chicago, bem como um cargo de membro no Instituto de Estudos Avançados de Princeton — uma carreira que abrange a migração matemática da Guerra Fria da Hungria e da esfera soviética para universidades de pesquisa americanas.

Reconhecimento

As honrarias acumularam-se ao longo de cinco décadas: o Prêmio Alfréd Rényi em 1973 e o Prêmio George Pólya em 1975, nos anos logo após o seu teorema aparecer; o Prêmio Leroy P. Steele e o Prêmio Rolf Schock de Matemática, ambos em 2008; a eleição para a Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos em 2010; e, em 2012, o próprio Prêmio Abel, concedido "pelas suas contribuições fundamentais para a matemática discreta e a ciência da computação teórica, e em reconhecimento do impacto profundo e duradouro destas contribuições na teoria aditiva dos números e na teoria ergódica" — uma citação que credita explicitamente o seu trabalho com a remodelação de campos muito além da combinatória estritamente definida. A Hungria fê-lo recetor da Ordem de Santo Estêvão em 2020.

Por que Endre é chamado de gênio

O caso a favor do gênio de Szemerédi é tão limpo quanto a matemática oferece: uma única prova, de uma única conjectura de longa data, gerou uma ferramenta — o lema de regularidade — cuja influência a jusante numa disciplina inteira supera, sem dúvida, a do teorema para o qual foi construída. Esse tipo de impacto de segunda ordem, em que o método sobrevive e supera o seu propósito original, é um dos marcadores mais claros de uma mente que opera no nível estrutural mais profundo, em vez de apenas resolver o problema que tem à frente. A própria linguagem do comité do Prêmio Abel — localizar a ordem dentro do caos — não é um exagero; é uma paráfrase justa do que o lema de regularidade realmente faz, e o facto de Gowers e Lovász, eles próprios entre as figuras mais condecoradas da disciplina, terem construído grandes palestras em torno da explicação das suas consequências para outros matemáticos é uma forma de aclamação pelos pares que é difícil de fabricar ou inflar.

Se há uma ressalva, é de estreiteza em vez de exagero: a fama de Szemerédi baseia-se esmagadoramente em resultados em matemática discreta e combinatória, campos que durante grande parte do século XX foram considerados por partes do establishment matemático como menos prestigiosos do que a análise, a geometria ou a teoria dos números nas suas formas clássicas — o Prêmio Abel a um combinatorista foi lido na época como um argumento implícito de que o campo merecia um reconhecimento que tinha demorado a receber. Isso não diminui o trabalho; significa que o rótulo de "gênio" aqui segue uma forma específica e técnica de perceção estrutural, em vez do tipo de renome universal ligado a físicos ou matemáticos cujos resultados são famosos mesmo fora da sua área.

Legado

O lema de regularidade é agora ensinado como material padrão em cursos de pós-graduação em combinatória em todo o mundo e continua a ser um motor ativo de novas pesquisas, incluindo em áreas — ciência da computação teórica, combinatória aditiva, teoria de limites de grafos — que mal existiam quando Szemerédi o escreveu pela primeira vez em 1975. Ainda ativo como acadêmico emérito na casa dos oitenta anos, ele continua a ser um dos casos mais claros na matemática moderna de o método de uma única prova se tornar mais consequente do que o teorema que foi concebido para estabelecer.