주세걸: 중국의 방랑하는 대수학자

20년이 넘는 세월 동안, 오늘날의 베이징 근처인 연산(Yan-shan) 출신의 한 수학자가 쿠빌라이 칸(Kublai Khan) 아래에서 새로 통일된 중국의 길을 걸으며 배우고자 하는 이에게 대수학을 가르쳤습니다. 그가 마침내 자신의 방법을 종이에 기록했을 때, 그는 중국 수학자들이 필요로 했던 것보다 훨씬 앞선 책을 냈습니다. 역사가 조지 사턴(George Sarton)의 평가에 따르면, 이 책은 그를 "그의 인종, 그의 시대, 그리고 실제로 모든 시대"에서 가장 위대한 수학자 중 한 명으로 만들었습니다. 그러나 그 책은 거의 사라졌고, 중국 자체도 500년 동안 그 내용을 온전히 복구하지 못했습니다.

길 위의 교사

출처들은 주세걸의 생애를 대략 1249년에서 1320년 사이로 보며, 가장 흔하게는 대략 1260년부터 1320년까지로 봅니다. 그의 정확한 날짜조차도 자신의 저서 외에는 직접적인 기록이 거의 남아 있지 않다는 점의 희생양입니다. 그의 자(字)는 한청(Hanqing)이며, 호(號)는 송정(Songting)입니다. 그는 진 구소(Qin Jiushao), 양휘(Yang Hui), 이지(Li Zhi)와 함께 13세기 후반의 위대한 중국 수학자들 중 마지막 무리에 속합니다. 이들은 송·금 시대의 대수학을 수세기 동안 전통이 정체되기 전의 최고점으로 이끌었습니다. 주세걸을 그 그룹과 구별지은 것은 이동성이었습니다. 몽골의 중국 통일은 남북 전쟁으로 폐쇄되었던 길을 열어주었고, 주세걸은 이를 활용하여 20년 동안 유랑 교사로 여행하며 북부에서 발전한 수학적 기법을 이전에는 유통되지 않았던 중국 남부로 가져갔습니다.

산학启蒙

그의 첫 번째 저서인 《산학기몽(Suanxue qimeng, Introduction to Computational Studies)》은 1299년에 출간되었습니다. 그것은 의도적으로 초보적인 텍스트였습니다 — 3권, 20장, 259개의 문제로 구성되어 학생들에게 분수, 소수, 넓이, 부피, 그리고 오래된 쌍위치법(rule of false double position)을 안내했습니다. 그것은 너무나 성공적으로 역할을 수행하여 고국에서 살아남지 못했습니다. 중국에서 더 발전된 텍스트들이 그것을 대체하자 그 책은 국내에서 완전히 사라졌습니다. 대신 그것은 해외에서 살아남아 1433년 한국에서, 1658년 일본에서 인쇄되었으며, 청나라 학자 나사린(Luo Shilin)이 사본을 복원하여 19세기 중국에서 다시 인쇄하기 전까지 양국의 수학 교육을 수세대 동안 형성했습니다. 즉, 고국으로 돌아오기 위해 조국을 떠나야했던 교과서였습니다.

사원옥감

주세걸의 걸작인 《사원옥감(Siyuan yujian, Jade Mirror of the Four Unknowns)》은 1303년에 뒤를 이었습니다. 그것은 288개의 풀이된 문제를 담고 있으며, 그 핵심 업적은 하나의 미지수가 아니라 네 개의 미지수를 동시에 다루는 방법으로, 각각 하늘(Heaven), 땅(Earth), 사람(Man), 그리고 물질(Matter)이라는 시적인 이름을 부여받았습니다. 이전의 중국 대수학자들이 "천원술(method of the celestial unknown)" — 기본적으로 산목(counting-rod) 배열을 통해 표현되는 단일 변수에 대한 기호 대수학의 형태 — 을 발전시켰던 것에 반해, 주세걸은 이를 연립 다항식 방정식을 세우고 풀기 위한 진정한 시스템으로 확장했습니다. 그런 다음 결과 시스템을 하나의 미지수를 가진 단일 방정식(때로는 차수가 14에 달하기도 함)으로 축소한 뒤 수치적으로 풀었습니다. 그 수치 해법을 위해 그가 사용한 기법은 본질적으로 유럽인들이 나중에 윌리엄 호너(William Horner)의 이름을 딴 방법으로, 호너가 그것을 출판하기 5세기 이상 전에 중국에서 독자적으로 도달하여 적용되었습니다. 이 책은 또한 "8차까지의 거듭제곱의 고대 방법 표"라는 캡션이 달린 다이어그램에서, 유럽이 파스칼의 삼각형(Pascal's triangle)으로 알게 될 이항계수 배열을 보여주며, 자연수와 도형수(figurative numbers)의 수열 합을 위한 유도 공식 — 처음 n개의 정수의 합, 삼각수의 합, 그리고 체계적인 연속 차분법으로 다루어지는 더 복잡한 수열들 — 과 함께 제시합니다. 주목할 만한 것은, 주세걸이 항상 해답으로 가는 가장 간단한 길을 추구한 것은 아니라는 점입니다. 몇몇 문제는 실제 세계의 질문을 경제적으로 모델링하기 위함이 아니라, 학생들에게 자신의 방법을 완전히 숙달시키기 위해 고의적으로 높은 복잡성으로 구성된 것처럼 보입니다.

잃어버리고 찾다

《사원옥감(Jade Mirror)》 역시 온전하게 살아남지 못했습니다. 18세기 무렵에는 중국 내에서 유통에서 사실상 사라졌고, 그가 현대에 존재하게 된 것은 저장성(Zhejiang)에서 유일하게 살아남은 사본을 추적해낸 학자 완위안(Ruan Yuan) 덕분이었습니다. 그는 그 텍스트를 심각하게 손상되었고 "오류가 들끓는" 것으로 묘사했습니다. 후대의 청나라 학자들은 주세걸의 원래 주장을 재구성하고 명확히 하려는 7개의 서문과 광범위한 주석을 추가했습니다. 그 작업이 너무 방대하여 오늘날의 역사학자들은 주세걸 자신의 사상을 그 위에 쌓인 19세기 주석의 층위와 분리하는 데 어려움을 겪습니다. 그 밑에서 드러나는 것은 여전히 중세 중국 대수학의 기술적 정점으로 간주됩니다. 현대 수학 사가들은 중국 수학이 그후 오랜 기간 동안 주세걸이 달성한 것을 넘어서는 의미 있는 진전을 이루지 못했다고 썼습니다.

주세걸이 천재로 불리는 이유

주세걸이 천재라는 주장은 원시적인 도구 하에서의 추상화에 관한 주장입니다. 판자 위에서 글자 기호 표기 대신 산목(counting rods)을 가지고 작업하면서, 그는 최대 4개의 미지수를 가진 다항식 방정식 시스템을 표현하고 풀기 위한 일관된 방법을 구축했습니다. 이는 그 이전의 중국 수학이 도달하지 못했고, 유럽에서는 근대 초기까지도 비교 가능한 형태로 도달하지 못한 수준의 대수적 일반성이었습니다. 고차 다항식의 근을 추출하기 위한 그의 수치 기법은 호너의 방법을 5백년 이상 앞섰고, 이항계수의 삼각형 배열은 파스칼의 방법을 3세기 이상 앞질렀습니다. 이는 두 전통 간의 접촉이 전혀 없는, 완전히 분리된 수학적 전통을 통해 도달한 결과였습니다. 그러한 수렴적 발견 — 수세기와 문명이 떨어져 있음에도 불구하고 동일한 심층 구조가 두 번 발견되는 것 — 은 수학 사가들이 기존 도구의 점진적인 개선이 아니라 진정한 통찰력의 증거로 지적하는 고유한 특징 중 하나입니다.

정직한 단서는 주세걸의 명성이 살아남은 텍스트 자체가 불확실한 두 권의 책에 거의 전적으로 의존한다는 점입니다. 《사원옥감(Jade Mirror)》은 수세기의 후대 주석을 거쳐 필터링된 단 하나의 손상된 사본을 통해 현대 세계에 도달했기 때문에, 전문가들은 어떤 구절이 주세걸 자신의 말이고 어떤 구절이 청나라 시대의 재구성 또는 정교화인지 항상 확신할 수 없습니다. 그의 전기 역시 마찬가지로 빈약합니다. 심지어 그의 출생 연도와 사망 연도조차 출처마다 10년 이상 차이가 납니다. 이로 인해 이 천재성은 그 사람에 대한 현대의 증언보다는 수학 그 자체에 의해 거의 전적으로 증명되고 있습니다.

유산

다항식 방정식 시스템에서 변수를 소거하는 주세걸의 방법은 현대 수학자들에 의해 우원쥔(Wu Wenjun)의 20세기 "특성 집합 방법(method of characteristic sets)"의 직접적인 조상으로 인정받고 있습니다. 이 기법은 오늘날에도 컴퓨터 대수학에서 여전히 사용되고 있습니다. 이는 중세 중국의 대수적 기법이 단순히 역사적 호기심으로 남지 않고 현대 계산 수학으로 직접 유입된 드문 사례입니다.