マーストン・コンダー (Marston Conder): 対称性を数えた男

世界中のどこであれ、最大1万個の頂点を持つすべての3価対称グラフを知る必要がある数学者は、自分で導き出すようなことはしません。彼らはマーストン・コンダーのリストをダウンロードします。同じことは、幅広い種数にわたる曲面上の正則写像およびカイラル写像、コンパクトなリーマン面の自己同型群、そして正則多胞体およびカイラル多胞体についても言えます。オークランドでの40年間にわたる活動の中で、コンダーは「この種の最も対称性の高いオブジェクトは何か」という抽象的な問いを、誰もが参照できるものへと変えました。そしてその過程で、彼は静かに、その世代で最も頻繁に利用される数学者の一人となりました。

マタマタからオックスフォードへ

彼は1955年9月にニュージーランドのハミルトンで生まれ、マタマタ・カレッジで教育を受けました。これは、純粋数学の中心地からは最も離れた場所と言える小さな町での始まりでした。彼の最初の高等学位は数学ではなく、1977年にワイカト大学で取得した社会科学の修士号でした。その3年後、彼はオックスフォード大学で博士号を取得しました。

オックスフォードでの指導教官は、20世紀の群論におけるそびえ立つ人物の一人であり、この主題に対する現代の組み合わせ論的アプローチの創始者であるグラハム・ヒグマン (Graham Higman) でした。コンダーの1980年の論文「置換群のための最小生成対 (Minimal generating pairs for permutation groups)」は、そのタイトルから彼の生涯の関心事を明らかにしています。その問いは一見単純です。ある群が与えられたとき、わずか2つの要素からその群全体を生成できるか。もしできるなら、最も経済的な方法で選ばれたその2つの要素とは何か。2要素による生成は、対称性理論の膨大な量を回転させる蝶番です。なぜなら、幾何学や組み合わせ論において最も対称性の高いオブジェクトとは、まさにその対称群が非常に少ない数の非常に単純な動きによって生成されるものだからです。

最大の対称性を持つオブジェクト

コンダーが40年間維持してきたプログラムは、一言で言えば「与えられた制約下で最大の対称性を持つ離散構造を研究する」というものです。制約（グラフは3価でなければならない、写像は種数5の曲面に存在しなければならない、多胞体は与えられたランクを持たなければならない等）を固定し、それを満たすオブジェクトのうち、可能な限り対称性の高いものはどれかを問います。答えが明白であることは稀で、数もほとんどありません。だからこそカタログ化する価値があるのです。

ツールは、有限表示群とその像を扱うための技術を含む、組み合わせ論的および計算論的な群論から得られました。これは代数学の一分野であり、群は要素を列挙するのではなく、一握りの生成元と関係によって指定されます。中心的な困難は、そのような表示が、無限群であれ自明な群であれ、ほとんどすべてを隠してしまう可能性があり、それを簡単に見分ける方法がないことです。コンダーの専門は、計算と理論が適切に結びついて初めて実現可能になった規模で、そのような表示から難解かつ網羅的で証明可能な完全な答えを抽出することでした。

写像、カイラリティ、多胞体

最も豊かな鉱脈は写像でした。つまり、曲面へのグラフの埋め込みです。興味深いケースは、対称群が構造が許す限り推移的に作用する正則なものです。その傍らには、すべての回転対称性は許容するが反射対称性は許容しないカイラルなオブジェクトがあります。これは左手の数学的な類似物であり、自分自身の鏡像とは重なり合うことができません。ニュージーランド王立協会 (Royal Society of New Zealand) の2018年のジョーンズ・メダル (Jones Medal) は、まさにこの点、つまり「離散構造における対称性とカイラリティ」に関する彼の研究を評価しました。

彼は同じアプローチを外側に拡張しました。彼にオイラー・メダル (Euler Medal) を授与した組み合わせ論およびその応用研究所 (Institute of Combinatorics and its Applications) は、グラフの対称性と埋め込み、正則およびカイラル写像、正則およびカイラル多胞体、グラフのエッジ分割、高次元のエキスパンダーグラフ、バイナリ・グレイコードをリストアップしました。これは古典的な曲面のトポロジーから、コーディング理論やネットワーク理論に直接応用できるオブジェクトまで及ぶ範囲です。これによって170本以上の論文と15人の博士号取得者が輩出されました。

調査員

コンダーを他の強力な代数学者と区別するのは、彼が結果をどう扱ったかです。定理を発表して次に進むのではなく、彼はリポジトリを構築・公開しました。それは一度正しく計算され、無償で提供される、オブジェクトのクラスの完全なセンサスです。3価対称グラフのカタログは1万頂点に及びます。写像と多胞体のセンサスは、それまで誰も到達できなかった範囲をカバーしています。これらは国際的に参照されており、群論に興味のない研究者であっても、特定の性質を持つオブジェクトが存在するかどうかを知る必要がある場合や、1年を無駄にする前に既知のすべてのケースに対して推測をテストしたい場合に利用されています。

知識を個人的な所有物ではなくインフラとして扱うというその習慣は、彼の引用記録の中に明確に記されています。ICAは、知識を自由に共有することや、誰もが利用できる研究リポジトリに対する彼の評判を特筆しました。

公共の数学者

コンダーは1993年にオークランド大学の正教授となり、2012年にディスティングイッシュト・プロフェッサー (Distinguished Professor) となりました。彼は1993年から1995年までニュージーランド数学会 (New Zealand Mathematical Society) の会長、ニュージーランド数学およびその応用研究所の共同所長、そして2006年から2008年までニュージーランド王立協会の会長を務めました。これは、純粋数学者が務めるという、どこにおいても一般的ではない、その国の最高位の科学職です。

業績には栄誉が続きました。2011年のジェームズ・クック研究フェローシップ (James Cook Research Fellowship)、2012年のアメリカ数学会 (American Mathematical Society) フェロー、2014年のヘクター・メダル (Hector Medal)、2018年のジョーンズ・メダル、そして2020年には、組み合わせ論研究への生涯にわたる卓越した貢献に対する組み合わせ論およびその応用研究所のオイラー・メダルと、ニュージーランド・メリット勲章 (New Zealand Order of Merit) のオフィサーへの任命の両方を受けました。

なぜマーストンは天才と呼ばれるのか

その具体的な資質は、代数的深さと計算論的規律が結婚した稀なハイブリッドです。多くの数学者が対称構造に関する定理を証明できます。他の多くの数学者が例を列挙するコードを書くことができます。コンダーの典型的な業績は網羅的な分類です。つまり、計算されたリストが単に長いだけでなく完全であり、何も見落とされていないという証明です。これには探索空間を制限するための理論、それを掃引するための計算、そしてほとんどの理論家が自分たちには及ばないと考え、ほとんどのプログラマーが自分たちには不可能だと考えるエラーチェックへの忍耐が必要です。彼のセンサスは持ちこたえました。それがすべてのテストです。

オイラー・メダルの引用は、グラフの対称性、カイラルな写像と多胞体、エキスパンダー、グレイコードにわたる40年間の卓越した貢献を挙げており、ジョーンズ・メダルは特に対称性とカイラリティを挙げています。これらは最もシニアな手段を用いる専門機関であり、組み合わせ論において「天才」という言葉を使うことに最も近いものです。

反論をはっきりと述べる価値はあります。コンダーは有名な未解決問題を解決したわけではなく、自分の名前を冠した理論を導入したわけでもありません。コンダー予想もコンダー不変量も存在しません。彼の天才性は、新しい国を開拓する類のものではなく、地図作成のようなもの、つまり他者が境界線を引いた領域の網羅的で信頼できるマッピングです。容赦のない評価者は、彼がその分野で数学が生み出した最高の調査員であり、不可欠であることは革命的であることと同じではないと言うでしょう。それに対する答えは、未検証の主張に溺れている分野において、完全で正しい答えは賢い答えよりも稀であり、より長く続くということです。

遺産

コンダーの最も永続的な遺産は、純粋数学者としては奇妙なものです。それは一連の表です。彼のリポジトリは、エンジニアが物理定数の表を参照するように、彼の証明を読んだこともなく、彼の名前を知らないかもしれない人々によって参照されるでしょう。その背後には、より困難な遺産があります。つまり、その分野でほとんど臨界質量を持たない小さな国が世界をリードする研究を生み出せること、そして数学者が現役の研究者であることをやめずに国の学術機関を運営できるという実証です。15人の博士号取得者と170本の論文を経て、ニュージーランドの組み合わせ論は前哨基地ではなく、認識された国際的なノードとなりました。その多くは、数え続けたオークランドのひとりの男に遡ることができます。