Carl Gustav Jacob Jacobiはドイツの数学者で、楕円関数、力学、微分方程式、行列式、数論に根本的な貢献をした。
Jacobiはドイツの大学で教授に任命された最初のユダヤ人数学者である。
略歴
Jacobiはアシュケナージ系ユダヤ人の家系にポツダムで1804年12月10日に生まれた。彼は銀行家Simon Jacobiの4人の子供の次男であった。彼の兄Moritz von Jacobiは後に工学者および物理学者として知られるようになった。彼は最初、叔父Lehmanに家庭教師として教えてもらい、古典言語と数学の基礎を学んだ。1816年、12歳のJacobiはポツダム・ジムナジウムに入学し、古典言語、歴史、文献学、数学、科学など、すべての標準的な科目が教えられた。叔父から受けた良い教育と自身の優れた才能のおかげで、6か月もたたないうちに、年齢が若いにもかかわらずJacobiは上級学年に進級した。しかし、大学は16歳以下の学生を受け入れなかったため、彼は1821年まで上級学年に留まらなければならなかった。彼はこの時間を使って知識を深め、ラテン語、ギリシャ語、文献学、歴史、数学など、すべての科目に関心を示した。この期間中、彼は初めての研究に着手し、根号を用いた5次方程式を解こうとした。
1821年、JacobiはBerlin大学に進学し、最初は文献学と数学への情熱の間で関心を分けていた。文献学ではBöckhのセミナーに参加し、教授の注目を集めた。当時Berlin大学の数学レベルが低かったため、Jacobiは大学の数学の授業を多くは受けなかった。しかし、彼はEuler、Lagrange、Laplaceのより高度な著作を私的に研究し続けた。1823年までに、彼は自分の相反する興味の間で決断を下す必要があることを理解し、数学にすべての注意を注ぐことに決めた。同じ年、彼は中等学校で教える資格を得てBerlinのJoachimsthal Gymnasiumのポストを提供された。しかしJacobiは大学職を目指して仕事を続けることを決めた。1825年、彼はEnno Dirksenが委員長の委員会の前で有理分数の部分分数展開に関する論文を提出して哲学博士号を取得した。彼はすぐにHabilitationを行い、同時にキリスト教に改宗した。これで大学の講義を教える資格が得られ、21歳のJacobiは1825/26年にBerlin大学で曲線と曲面の理論について講義した。
1827年、Jacobiはプロフェッサーになり、1829年にKönigsberg大学の数学の終身教授職を務め、1842年までその職にあった。1843年、過労で体調を崩した。その後、彼は健康を回復するためにイタリアを数か月間訪問した。帰国後、彼はベルリンに移り、死ぬまで王立年金生活者として暮らした。1848年の革命中、Jacobiは政治的に関わり、自由主義クラブの代表として国会議員立候補に失敗した。革命の鎮圧後、これが王立補助金を打ち切られることになったが、彼の名声と評判はすぐにそれが再開されるほどであった。1836年、彼はスウェーデン王立科学アカデミーの外国人会員に選出されていた。
Jacobiは1851年に天然痘感染で死亡した。彼の墓はBerlinのKreuzberg地区にある墓地、Friedhof I der Dreifaltigkeits-Kirchengemeinde 61 Baruther Streetに保存されている。彼の墓は天文学者Johann Enckeの墓の近くにある。月のクレータJacobiは彼にちなんで名づけられた。
科学的貢献
Jacobiの最大の業績の一つは、楕円関数とそれと楕円シータ関数との関係に関する理論であった。これは彼の偉大な論文Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum 1829と、その後のCrelle's Journalの論文で発展させられた。シータ関数は周期的および準周期的流の逆問題における役割のため、数理物理学において極めて重要である。運動方程式は、振り子、Euler top、重力場における対称Lagrange top、およびKepler問題（中心重力場における惑星運動）の周知のケースにおいて、Jacobiの楕円関数の観点から積分可能である。
彼はまた微分方程式の研究と古典力学に、特にHamilton–Jacobi理論において根本的な貢献をした。
代数的発展においてJacobiの特定の力が主に存在し、彼は1826年以降のCrelle's Journalおよび他の場所での長い論文リストで示されるように、数学の多くの領域でこの種の重要な貢献をした。彼は学生に、研究課題を探すときは「常に反転すること」「man muss immer umkehren」と言ったと言われており、既知の結果を反転させることで研究の新しい分野が開かれる可能性があるという彼の信念を反映しており、例えば楕円積分を反転し、楕円関数およびシータ関数の性質に焦点を当てることがそうである。
1835年の論文で、Jacobiは周期関数（楕円関数を含む）を分類する以下の基本的な結果を証明した：1変数の単一値関数が複数周期を持つ場合、そのような関数は2つ以上の周期を持つことはできず、周期の比は実数ではない。彼は関数方程式とJacobi三重積公式を含むシータ関数の基本的な性質の多くを発見し、またq級数と超幾何級数についての他の多くの結果を発見した。
1854年にWeierstrassによるhyperelliptic Abel mapに対するJacobi反転問題の解は、hyperelliptic シータ関数の導入と、その後の任意の種数の代数曲線に対する一般的なRiemann シータ関数へのWeierstrassとRiemannによる拡張を必要とした。種数gに周期の格子によって関連付けられた複素トーラスはJacobian varietyと呼ばれる。このような反転方法およびその後のWeierstrassとRiemannによる任意の代数曲線への拡張は、楕円積分とJacobiまたはWeierstrass楕円関数との関係の高種数般化と見なすことができる。
Jacobiは楕円関数を数論に適用する最初の人物であり、例えばFermatの二平方定理とLagrangeの四平方定理および6と8平方についての同様の結果を証明した。数論における彼の他の仕事はC. F. Gaussの仕事を続けており、二次相互法則の新しい証明、Jacobi記号の導入、高い相互法則への貢献、連分数の調査およびJacobi和の発明を含む。
彼はまた行列式理論の初期の創設者の一人であった。特に、彼はn個の独立変数の与えられたn個の関数のn2個の偏導関数から形成されたJacobian行列式を発明した。これは多重積分における変数の変更に重要な役割を果たし、多くの解析的調査で重要である。1841年、彼はLegendreの偏導関数∂記号を再導入し、これは標準になることになった。
彼は現在Schur多項式として知られている対称多項式を導入および研究する最初の人物の一人であり、これらの所謂二項式公式を与え、これはWeyl文字公式の特殊な場合であり、Jacobi–Trudi恒等式を導出した。彼はまたDesnanaot–Jacobi公式を発見し、これはGrassmannianに対するPlucker関係の基礎をなす。
ベクトル場、Lie理論、Hamiltonian力学演算子代数の学生は、しばしばJacobi恒等式に遭遇する。これはLie括弧演算に対する結合律の類似物である。
惑星理論およびその他の特定の力学問題は同様に時々彼の注目を占めた。天体力学に貢献しながら、彼は恒星座標系に対するJacobi積分（1836）を導入した。彼の最後の乗数理論はAlfred Clebschによって編集されたVorlesungen über Dynamik（1866）で扱われている。
Carl Gustavは多くの写本を残し、その一部がCrelle's Journalに間隔を置いて発表されている。彼の他の著作にはCommentatio de transformatione integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem 1832、Canon arithmeticus 1839、およびOpuscula mathematica 1846–1857が含まれる。彼のGesammelte Werke 1881–1891はBerlin Academyによって出版された。
豆知識
Carl Gustavの名前は彼のラテン語の本ではCarolus Gustavus Iacobus Iacobiと時折綴られ、彼の名前はKarlとして時々与えられる。
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