Niels Henrik Abel era un matematico norvegese che ha dato contributi pionieristici in una varietà di campi. Il suo risultato singolo più famoso è la prima dimostrazione completa che dimostra l'impossibilità di risolvere l'equazione quintica generale in radicali.
Questa questione era uno dei problemi aperti più notevoli dell'epoca, ed era rimasta irrisolta per oltre 250 anni. È stato anche un innovatore nel campo delle funzioni ellittiche, scopritore delle funzioni abeliane. Ha fatto le sue scoperte mentre viveva in povertà ed è morto all'età di 26 anni a causa della tubercolosi.
La maggior parte del suo lavoro è stato svolto in sei o sette anni della sua vita lavorativa. Riguardo ad Abel, il matematico francese Charles Hermite ha detto: "Abel ha lasciato ai matematici abbastanza per tenerli occupati per cinquecento anni." Un altro matematico francese, Adrien-Marie Legendre, ha detto: "quelle tête celle du jeune Norvégien!" "che testa ha il giovane norvegese!".
Il Premio Abel in matematica, originariamente proposto nel 1899 per complementare i Premi Nobel, è intitolato in suo onore.
Vita
Primi anni
Niels Henrik Abel è nato a Nedstrand, Norvegia, come secondo figlio del pastore Søren Georg Abel e Anne Marie Simonsen. Quando Niels Henrik Abel è nato, la famiglia viveva in un rettore a Finnøy. Molto suggerisce che Niels Henrik sia nato nella parrocchia vicina, poiché i suoi genitori erano ospiti del balivo a Nedstrand in luglio/agosto dell'anno della sua nascita.
Il padre di Niels Henrik Abel, Søren Georg Abel, aveva una laurea in teologia e filosofia e serviva come pastore a Finnøy. Il padre di Søren, nonno di Niels, Hans Mathias Abel, era anche un pastore, presso la Chiesa di Gjerstad vicino alla città di Risør. Søren aveva passato l'infanzia a Gjerstad e aveva anche servito come cappellano lì; e dopo la morte di suo padre nel 1804, Søren fu nominato pastore a Gjerstad e la famiglia si trasferì lì. La famiglia Abel originaria della Schleswig è arrivata in Norvegia nel XVII secolo.
Anne Marie Simonsen era da Risør; suo padre, Niels Henrik Saxild Simonsen, era un commerciante e armatore di navi mercantili, e si diceva fosse la persona più ricca di Risør. Anne Marie era cresciuta con due matrigne, in circostanze relativamente lussuose. Nel rettore di Gjerstad, godeva di organizzare balli e riunioni sociali. Molto suggerisce che fosse presto un'alcolista e prestava poca attenzione all'educazione dei bambini. Niels Henrik e i suoi fratelli hanno ricevuto la loro istruzione da loro padre, con libri scritti a mano da leggere. Una tabella di addizione in un libro di matematica recita: 1+0=0.
Scuola Cattedrale e Università Reale Frederick
Con l'indipendenza norvegese e la prima elezione tenutasi in Norvegia nel 1814, Søren Abel è stato eletto come rappresentante dello Storting. Le riunioni dello Storting si sono tenute fino al 1866 nella sala principale della Scuola Cattedrale a Christiania ora conosciuta come Oslo. Quasi certamente, è così che è entrato in contatto con la scuola, e decise che suo figlio maggiore, Hans Mathias, dovrebbe iniziare lì l'anno successivo. Tuttavia, quando il momento della sua partenza si avvicinò, Hans era così addolorato e depresso per il fatto di dover lasciare casa che suo padre non osò mandarlo via. Decise di mandare invece Niels.
Nel 1815, Niels Abel entrò alla Scuola Cattedrale all'età di 13 anni. Suo fratello maggiore Hans si unì a lui lì un anno dopo. Condividevano stanze e avevano lezioni insieme. Hans ottenne voti migliori di Niels; tuttavia, un nuovo insegnante di matematica, Bernt Michael Holmboe, è stato nominato nel 1818. Ha dato ai suoi studenti compiti di matematica da fare a casa. Ha visto il talento di Niels Henrik nella matematica e lo ha incoraggiato a studiare la materia a livello avanzato. Gli ha persino dato lezioni private dopo la scuola.
Nel 1818, Søren Abel ebbe una disputa teologica pubblica con il teologo Stener Johannes Stenersen riguardante il suo catechismo dal 1806. La disputa fu ben coperta dalla stampa. Søren ricevette il soprannome "Abel Treating" norvegese: "Abel Spandabel". La reazione di Niels alla lite si dice fosse stata "letizia eccessiva". Allo stesso tempo, Søren affrontò quasi l'impeachment dopo aver insultato Carsten Anker, l'ospite dell'Assemblea costituzionale norvegese; e nel settembre 1818 tornò a Gjerstad con la sua carriera politica in rovina. Ha iniziato a bere pesantemente ed è morto solo due anni dopo, nel 1820, all'età di 48 anni.
Bernt Michael Holmboe ha supportato Niels Henrik Abel con una borsa di studio per rimanere a scuola e ha raccolto fondi dai suoi amici per permettergli di studiare presso l'Università Reale Frederick.
Quando Abel entrò all'università nel 1821, era già il matematico più colto della Norvegia. Holmboe non aveva più nulla da insegnargli e Abel aveva studiato tutta la letteratura matematica più recente nella biblioteca dell'università. Durante quel periodo, Abel ha iniziato a lavorare sull'equazione quintica in radicali. I matematici cercavano una soluzione a questo problema da oltre 250 anni. Nel 1821, Abel pensava di aver trovato la soluzione. I due professori di matematica a Christiania, Søren Rasmussen e Christopher Hansteen, non trovarono errori nelle formule di Abel e inviarono il lavoro al principale matematico nei paesi nordici, Carl Ferdinand Degen a Copenaghen. Anche lui non trovò difetti ma dubitava comunque che la soluzione, che così tanti matematici eccezionali avevano cercato per così tanto tempo, potesse davvero essere stata trovata da uno studente sconosciuto nella lontana Christiania. Degen notò, tuttavia, la mente insolitamente acuta di Abel, e credette che un giovane così talentuoso non dovrebbe sprecare le sue abilità su un "oggetto sterile" come l'equazione di quinto grado, ma piuttosto su funzioni ellittiche e trascendenza; perché allora, scrisse Degen, avrebbe "scoperto i passaggi magellanici verso grandi porzioni di un vasto oceano analitico". Degen ha chiesto ad Abel di fornire un esempio numerico del suo metodo. Mentre cercava di fornire un esempio, Abel ha trovato un errore nel suo articolo. Questo ha portato a una scoperta nel 1823 che una soluzione a un'equazione di quinto grado o superiore era impossibile.
Abel si è laureato nel 1822. Le sue prestazioni erano eccezionalmente alte in matematica e medie in altri aspetti.
Carriera
Dopo la laurea, i professori dell'università hanno supportato Abel finanziariamente, e il Professor Christopher Hansteen gli ha permesso di vivere in una stanza nella soffitta della sua casa. Abel in seguito considerò la signora Hansteen come sua seconda madre. Mentre viveva qui, Abel ha aiutato suo fratello minore, Peder Abel, attraverso l'esame artium. Ha anche aiutato sua sorella Elisabeth a trovare lavoro in città.
All'inizio del 1823, Niels Abel pubblicò il suo primo articolo in "Magazin for Naturvidenskaberne", il primo giornale scientifico della Norvegia, che era stato co-fondato dal Professor Hansteen. Abel pubblicò diversi articoli, ma presto il giornale si rese conto che non era materiale per il lettore comune. Nel 1823, Abel scrisse anche un articolo in francese. Era "una rappresentazione generale della possibilità di integrare tutte le formule differenziali" norvegese: en alminnelig Fremstilling af Muligheten at integrere alle mulige Differential-Formler. Ha richiesto fondi all'università per pubblicarlo. Tuttavia, il lavoro è andato perso mentre era in revisione, mai più trovato in seguito.
A metà del 1823, il Professor Rasmussen regalò ad Abel 100 speciedaler in modo che potesse viaggiare a Copenaghen e visitare Ferdinand Degen e altri matematici lì. A Copenaghen, Abel fece un po' di lavoro sul Ultimo Teorema di Fermat. Lo zio di Abel, Peder Mandrup Tuxen, viveva nella base navale a Christianshavn, Copenaghen, e a un ballo lì Niels Abel conobbe Christine Kemp, sua futura fidanzata. Nel 1824, Christine si trasferì a Son, Norvegia per lavorare come governante e la coppia si fidanzò a Natale.
Dopo il ritorno da Copenaghen, Abel ha presentato domanda per una borsa di studio governativa per visitare i principali matematici in Germania e Francia, ma invece gli è stata concessa una borsa di 200 speciedaler all'anno per due anni, per rimanere a Christiania e studiare il tedesco e il francese. Nei due anni successivi, gli era stata promessa una borsa di studio di 600 speciedaler all'anno e gli sarebbe stato permesso di viaggiare all'estero. Mentre studiava queste lingue, Abel pubblicò il suo primo lavoro notevole nel 1824, Mémoire sur les équations algébriques où on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré Memoria su equazioni algebriche, in cui è provata l'impossibilità di risolvere l'equazione generale di quinto grado. Nel 1823, Abel aveva finalmente provato l'impossibilità di risolvere l'equazione quintica in radicali ora denominata teorema di Abel-Ruffini. Tuttavia, questo articolo era in una forma astrusa e difficile, in parte perché si era limitato a sole sei pagine per risparmiare denaro sulla stampa. Una prova più dettagliata è stata pubblicata nel 1826 nel primo volume del Journal di Crelle.
Nel 1825, Abel scrisse una lettera personale al Re Carl Johan di Norvegia/Svezia chiedendo il permesso di viaggiare all'estero. Gli è stato concesso questo permesso, e nel settembre 1825 ha lasciato Christiania insieme a quattro amici dell'università Christian P.B Boeck, Balthazar M. Keilhau, Nicolay B. Møller e Otto Tank. Questi quattro amici di Abel stavano viaggiando a Berlino e sulle Alpi per studiare geologia. Abel voleva seguirli a Copenaghen e da lì fare la sua strada verso Göttingen. I termini della sua borsa di studio stabilivano che doveva visitare Gauss a Göttingen e poi continuare a Parigi. Tuttavia, quando arrivò a Copenaghen, cambiò i suoi piani. Voleva invece seguire i suoi amici a Berlino, intendendo visitare Göttingen e Parigi in seguito.
Per il cammino, ha visitato l'astronomo Heinrich Christian Schumacher ad Altona, ora un quartiere di Amburgo. Ha quindi trascorso quattro mesi a Berlino, dove è diventato ben conosciuto da August Leopold Crelle, che stava allora per pubblicare il suo giornale matematico, Journal für die reine und angewandte Mathematik. Questo progetto è stato caldamente incoraggiato da Abel, che ha contribuito molto al successo dell'impresa. Abel ha contribuito con sette articoli ad esso nel suo primo anno.
Da Berlino Abel ha seguito anche i suoi amici sulle Alpi. Andò a Lipsia e Freiberg per visitare Georg Amadeus Carl Friedrich Naumann e suo fratello il matematico August Naumann. A Freiberg Abel ha condotto ricerche sulla teoria delle funzioni, in particolare, ellittiche, iperellittiche, e una nuova classe ora conosciuta come funzioni abeliane.
Da Freiberg andarono a Dresda, Praga, Vienna, Trieste, Venezia, Verona, Bolzano, Innsbruck, Lucerna e Basilea. Dal luglio 1826 Abel viaggiò da solo da Basilea a Parigi. Abel aveva inviato la maggior parte del suo lavoro a Berlino per essere pubblicato nel Journal di Crelle, ma aveva conservato quello che considerava il suo lavoro più importante per l'Accademia francese delle scienze, un teorema sull'addizione di differenziali algebrici. Con l'aiuto di un pittore, Johan Gørbitz, ha trovato un appartamento a Parigi e ha continuato il suo lavoro sul teorema. Ha finito nell'ottobre 1826 e lo ha presentato all'accademia. Doveva essere revisionato da Augustin-Louis Cauchy. Il lavoro di Abel era scarsamente conosciuto a Parigi, e la sua modestia lo tratteneva dal proclamare la sua ricerca. Il teorema è stato messo da parte e dimenticato fino alla sua morte.
Le finanze limitate di Abel lo hanno finalmente costretto ad abbandonare il suo tour nel gennaio 1827. È tornato a Berlino, e gli è stata offerta una posizione come caporedattore del Journal di Crelle, ma ha deciso di non accettarla. Nel maggio 1827 era di nuovo in Norvegia. Il suo tour all'estero è stato considerato un fallimento. Non aveva visitato Gauss a Göttingen e non aveva pubblicato nulla a Parigi. La sua borsa di studio non è stata quindi rinnovata e ha dovuto fare un prestito privato presso la Norges Bank di 200 spesidaler. Non ha mai ripagato questo prestito. Ha anche iniziato a fare lezioni private. Ha continuato a inviare la maggior parte del suo lavoro al Journal di Crelle. Ma a metà 1828 pubblicò, in rivalità con Carl Jacobi, un importante lavoro sulle funzioni ellittiche in Astronomische Nachrichten ad Altona.
Morte
Mentre era a Parigi, Abel contrasse la tubercolosi. A Natale 1828, viaggiò in slitta a Froland, Norvegia, per visitare la sua fidanzata. Si ammalò gravemente durante il viaggio. Sebbene un miglioramento temporaneo permettesse alla coppia di godersi le vacanze insieme, morì relativamente poco dopo il 6 aprile 1829, solo due giorni prima che arrivasse una lettera da August Crelle. Crelle aveva cercato un nuovo lavoro per Abel a Berlino e aveva effettivamente gestito di farlo nominare come Professore all'Università di Berlino. Crelle ha scritto ad Abel per dirgli, ma la buona notizia è arrivata troppo tardi.
Contributi alla matematica
Abel ha dimostrato che non esiste una soluzione algebrica generale per le radici di un'equazione quintica, o qualsiasi equazione polinomiale generale di grado maggiore di quattro, in termini di operazioni algebriche esplicite. Per fare ciò, ha inventato indipendentemente da Galois un ramo della matematica noto come teoria dei gruppi, che è inestimabile non solo in molte aree della matematica, ma anche in gran parte della fisica. Abel ha inviato un articolo sull'irrisolvibilità dell'equazione quintica a Carl Friedrich Gauss, che ha proceduto a scartare senza uno sguardo ciò che credeva fosse il lavoro inutile di un pazzo.
Da sedicenne, Abel ha fornito una prova rigorosa del teorema binomiale valida per tutti i numeri, estendendo il risultato di Eulero che era valido solo per i razionali. Abel ha scritto un lavoro fondamentale sulla teoria degli integrali ellittici, contenente i fondamenti della teoria delle funzioni ellittiche. Mentre viaggiava verso Parigi ha pubblicato un articolo che rivela la doppia periodicità delle funzioni ellittiche, che Adrien-Marie Legendre ha successivamente descritto ad Augustin-Louis Cauchy come "un monumento più duraturo del bronzo" prendendo in prestito una famosa frase dal poeta romano Orazio. L'articolo era,
