Il problema di Monty Hall: L'enigma delle tre porte che ha attirato 10.000 lettere

Le regole che rendono corretto cambiare

L'enigma è breve. Un'auto si trova dietro una delle tre porte e delle capre dietro le altre due. Tu scegli una porta. Il presentatore, che sa dove si trova l'auto, apre una delle porte che non hai scelto e mostra una capra. Poi ti offre la possibilità di passare all'ultima porta chiusa. Dovresti farlo?

La risposta dipende da tre regole, e la versione standard le fissa tutte:

• L'auto è stata posizionata a caso, quindi ogni porta inizia con una probabilità di 1 su 3.
• Il presentatore apre sempre una porta che non hai scelto, e nasconde sempre una capra.
• Il presentatore offre sempre il cambio, indipendentemente da ciò che hai scelto.

Con queste regole, cambiare raddoppia le tue probabilità, da un terzo a due terzi. Cambia una qualsiasi regola e la risposta può cambiare con essa, motivo per cui il problema continua a riempire le riviste più di 30 anni dopo aver raggiunto il grande pubblico.

La rubrica che ha attirato 10.000 lettere

La domanda è arrivata Marilyn vos Savant da un lettore, Craig F. Whitaker, ed è apparsa nella sua rubrica "Chiedi a Marilyn" su Parade il 9 settembre 1990. Lei ha risposto che il concorrente dovrebbe cambiare. I lettori si sono ribellati.

Secondo la sua stima, la rivista ha ricevuto circa 10.000 lettere, e quasi 1.000 di esse recavano firme con dottorati, secondo il rapporto in prima pagina di John Tierney su The New York Times il 21 luglio 1991. La maggior parte insisteva che avesse torto. "Sei totalmente in errore", scrisse E. Ray Bobo, professore di matematica alla Georgetown University. La cifra di quasi 1.000 dottorati è sua, non un conteggio verificato, e dovrebbe essere citata in quel modo.

Tierney ha sottoposto il problema a Monty Hall, il presentatore di Let's Make a Deal. Al suo tavolo da pranzo, Hall ha giocato dieci turni in cui il concorrente non ha mai cambiato: quattro auto, sei capre. Poi dieci turni con il cambio: otto auto, due capre. "Quindi la sua risposta è giusta: dovresti cambiare", ha detto Hall.

L'enigma non era nuovo. Steve Selvin, uno statistico, lo propose in una lettera del 1975 a The American Statistician e gli diede il nome di Hall. Martin Gardner aveva pubblicato un indovinello equivalente, il problema dei tre prigionieri, su Scientific American nel 1959. Paul Erdős, uno dei matematici più prolifici del XX secolo, sarebbe rimasto scettico finché un collega non gli ha mostrato una simulazione al computer.

La matematica, caso per caso

Diciamo che scegli la porta 1. È ugualmente probabile che l'auto si trovi dietro una qualsiasi delle tre porte. Elenca i casi e la risposta verrà fuori.

La parola chiave è "forzato". In due casi su tre, il conduttore non ha scelta: una delle sue porte nasconde l'auto, quindi deve aprire l'altra. La sua azione ti dice dove si trova l'auto due volte su tre. Rimanere ignora questa informazione. Cambiare la utilizza.

La regola di Bayes dà lo stesso risultato. Supponiamo che il conduttore apra la porta 3. Se l'auto è dietro la porta 1, lui apre la porta 3 la metà delle volte. Se è dietro la porta 2, apre la porta 3 ogni volta. Le ponderazioni sono 1/3 x 1/2 contro 1/3 x 1, ovvero da 1 a 2. La porta 2 detiene ora due terzi della probabilità.

L'abbiamo giocato un milione di volte

Gli argomenti convincono poche persone. Contare convince di più. Abbiamo scritto una breve simulazione in Python che posiziona l'auto in modo casuale, sceglie una porta in modo casuale e fa seguire al conduttore le regole standard. Seme casuale fisso, 1.000.000 di partite per strategia.

L'ultima riga è quella che conta di più. Quando il conduttore non sa dove sia l'auto e rivela solo una capra per caso, il vantaggio svanisce. Il vantaggio di due terzi deriva dalla sua conoscenza, non dalle porte.

Perché le persone intelligenti sbagliano

L'errore abituale è vedere due porte chiuse e assegnare a ciascuna una probabilità del 50 percento. Quel ragionamento tratta la scelta del conduttore come casuale. Non lo è. Gli è vietato aprire la tua porta e vietato mostrare l'auto, quindi la sua mossa veicola informazioni sulle altre porte e nessuna sulla tua.

Lo statistico Persi Diaconis ha dichiarato al Times nel 1991: "I nostri cervelli non sono semplicemente cablati per risolvere bene i problemi di probabilità, quindi non mi sorprende che ci siano stati errori."

La cura più pulita è aumentare la scala. Immagina 100 porte. Tu ne scegli una. Il conduttore, che sa tutto, ne apre altre 98 e mostra 98 capre, saltando solo una porta. Poche persone resterebbero sulla loro prima scelta a 1 su 100. Il gioco a tre porte segue la stessa logica con numeri più piccoli.

I puzzle di probabilità di questo tipo sono vicini agli elementi di ragionamento nei test di intelligenza, motivo per cui appaiono in collezioni di domande e risposte di test del QI. Premiano il conteggio lento ed esplicito rispetto a un'intuizione rapida, la stessa abitudine che risolve l'enigma di Einstein.

Le regole del conduttore decidono tutto

Monty Hall stesso sollevò l'obiezione più forte. Nello show reale, ha detto a Tierney, non doveva offrire un cambio, e poteva tentare i concorrenti con denaro contante per mantenere la loro porta. Un conduttore che offre lo scambio solo quando hai già l'auto trasforma il cambio in una perdita garantita. "Il mio unico consiglio è, se riesci a farmi offrire 5.000 dollari per non aprire la porta, prendi i soldi e torna a casa", ha detto.

Gli statistici discutono sulla formulazione sin da allora. Un articolo del 1991 di J. P. Morgan e colleghi su The American Statistician ha mostrato che se il conduttore ha una preferenza tra due porte con capre, le probabilità dopo l'apertura di una porta specifica possono variare da un mezzo alla certezza. La risposta di Vos Savant è valida per le regole standard, che è il modo in cui quasi tutti i libri di testo pongono ora il problema. Tratta il puzzle come una lezione di modellazione: prima di calcolare una probabilità, scrivi esattamente come è stata prodotta l'informazione. Questa abilità è alla base anche della teoria dei giochi.

Dieci varianti per esercitarsi, con risposte commentate

Ogni elemento seguente è una nostra variante. Assumi le regole standard a meno che l'elemento non le modifichi. Abbiamo verificato ogni risposta numerica tramite simulazione o conteggio esatto.

1. L'originale. Tre porte, un conduttore che sa e mostra sempre una capra. Rimanere o cambiare?
   Risposta: Cambiare, 2/3 contro 1/3. La tua porta vince solo se la tua prima ipotesi era corretta, un evento su 3.
2. Quattro porte. Un'auto, tre capre. Il conduttore apre una porta con capra e ti permette di passare a una delle altre due porte chiuse. Qual è la probabilità per una di esse?
   Risposta: 3/8 ciascuna, contro 1/4 per rimanere. La probabilità di 3/4 che l'auto sia altrove si divide equamente tra due porte.
3. Cento porte. Il conduttore apre 98 porte con capre. Cambiare?
   Risposta: Sì. Cambiare vince 99 volte su 100; abbiamo misurato 99,02 percento.
4. Il conduttore ignorante. Il conduttore apre una delle tue due porte non scelte in modo casuale, e per caso mostra una capra. Dovresti cambiare?
   Risposta: Non importa: 1/2 ciascuna. Una capra appare sempre quando hai l'auto, ma solo la metà delle volte quando non ce l'hai, il che annulla la probabilità precedente di 1 a 2.
5. Il conduttore con una porta preferita. Tu scegli la porta 1. Ogni volta che può, il conduttore apre la porta 2. Questa volta apre la porta 3. Cambiare?
   Risposta: Cambia e vinci con certezza. Ha saltato la sua preferita, quindi la porta 2 deve nascondere l'auto. Se avesse aperto la porta 2, le probabilità sarebbero state 1/2.
6. Il conduttore dispettoso. Offre un cambio solo quando la tua prima scelta è l'auto. Lui offre. Cosa fare ora?
   Risposta: Rimanere. L'offerta stessa dimostra che hai l'auto.
7. Due auto, due capre. Quattro porte. Il conduttore apre una porta con capra tra le tre che non hai scelto, e tu passi a una delle due rimanenti in modo casuale.
   Risposta: Cambiare vince 3/4; restare vince 1/2. Se hai iniziato con una capra, entrambe le porte rimanenti nascondono auto.
8. I tre prigionieri. Uno dei tre prigionieri, A, B o C, sarà graziato casualmente. Il direttore del carcere dice sinceramente ad A che B sarà giustiziato. Qual è ora la probabilità di A e quella di C?
   Risposta: A resta a 1/3; C sale a 2/3. Il direttore non potrebbe mai nominare A, quindi A non impara nulla sul proprio destino.
9. La scatola di Bertrand (1889). Tre scatole contengono due monete d'oro, due d'argento e una di ciascuna. Estrai una moneta d'oro da una scatola casuale. Qual è la probabilità che l'altra moneta in quella scatola sia d'oro?
   Risposta: 2/3, non 1/2. Ci sono tre monete d'oro che avresti potuto estrarre, e due di esse si trovano nella scatola oro-oro. La nostra simulazione ha restituito il 66,6 per cento.
10. Lo show dei pacchi. Ventisei pacchi sigillati, un primo premio. Tieni un pacco e ne apri tu stesso 24 altri, a caso, e nessuno contiene il primo premio. Dovresti scambiare con l'ultimo pacco?
    Risposta: 1/2 in entrambi i casi. Nessuno con conoscenza ha guidato le aperture, quindi questo è il gioco del conduttore ignorante, non Monty Hall.

La pratica sviluppa familiarità con un formato. Non aumenta l'intelligenza. Il nostro test del QI gratuito è uno screening di pratica, non una misurazione clinica.

Marilyn vos Savant e la cifra di 228

Parte della furia nel 1990 proveniva dalla fatturazione della giornalista. Il Guinness ha elencato vos Savant sotto "QI più alto" dal 1985 al 1989, citando un punteggio infantile di 228. Secondo il suo resoconto, ha fatto lo Stanford-Binet del 1937 nel settembre 1956, all'età di 10 anni, e la sua età mentale è stata misurata in 22 anni e 10 mesi. Età mentale divisa per l'età reale, per 100, dà 228.

Questo è un QI di rapporto, una vecchia formula che si gonfia agli estremi. I test moderni usano il QI di deviazione, con una media di 100 e una deviazione standard di 15, e si fermano vicino a 160. La nostra pagina su un QI di 228 mostra perché la cifra non può esistere sulle scale di oggi, e il Guinness ha ritirato la categoria nel 1990. Il nostro profilo di QI di Marilyn vos Savant copre il record completo.

L'episodio di Monty Hall è una pubblicità migliore per il suo ragionamento di qualsiasi numero. Ha mantenuto una posizione corretta contro migliaia di obiezioni, molte firmate da esperti accreditati. Per sapere come sono costruiti i punteggi e cosa significano, inizia con le nostre guide al QI e cosa conta come un QI alto.

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