גריגורי פרלמן
גריגורי יעקובלביץ' פרלמן (ברוסית: Григорий Яковлевич Перельман; נולד ב-13 ביוני 1966) הוא מתמטיקאי וגאומטר רוסי הידוע בתרומותיו לתחומי האנליזה הגאומטרית, הגאומטריה הרימנית והטופולוגיה הגאומטרית. בשנת 2005 התפטר פרלמן ממשרת המחקר שלו במכון סטקלוב למתמטיקה, ובשנת 2006 הצהיר כי פרש ממתמטיקה מקצועית בשל אכזבה מהסטנדרטים האתיים בתחום. הוא חי בהתבודדות בסנט פטרסבורג ודחה בקשות לראיונות מאז 2006.
בשנות ה-90, בחלקו בשיתוף פעולה עם יורי בוראגו, מיכאיל גרומוב ואנטון פטרונין, הוא תרם לחקר מרחבי אלכסנדרוב. בשנת 1994 הוכיח את השערת הנשמה בגאומטריה רימנית, שהייתה בעיה פתוחה במשך 20 השנים הקודמות. בשנים 2002 ו-2003 פיתח טכניקות חדשות באנליזה של זרימת ריצ'י והוכיח את השערת פואנקרה ואת השערת הגאומטריזציה של ת'רסטון, שהראשונה שבהן הייתה בעיה מתמטית פתוחה ומפורסמת במשך המאה האחרונה. הפרטים המלאים של עבודתו של פרלמן מולאו והוסברו על ידי מחברים שונים במהלך השנים הבאות.
באוגוסט 2006 הוצע לפרלמן מדליית פילדס עבור "תרומותיו לגאומטריה ותובנותיו המהפכניות למבנה האנליטי והגאומטרי של זרימת ריצ'י", אך הוא דחה את הפרס באומרו: "אני לא מעוניין בכסף או בתהילה; אני לא רוצה להיות מוצג כמו חיה בגן חיות." ב-22 בדצמבר 2006, כתב העת המדעי Science הכיר בהוכחתו של פרלמן להשערת פואנקרה כ"פריצת הדרך של השנה" המדעית, ההכרה הראשונה מסוגה בתחום המתמטיקה.
ב-18 במרץ 2010 הוכרז כי הוא עמד בקריטריונים לקבלת פרס המילניום הראשון של קליי עבור פתרון השערת פואנקרה. ב-1 ביולי 2010 הוא דחה את הפרס בסך מיליון דולר, באומרו שהוא רואה בהחלטת מועצת מכון קליי כלא הוגנת, שכן תרומתו לפתרון השערת פואנקרה לא הייתה גדולה מזו של ריצ'רד ס. המילטון, המתמטיקאי שחלוץ את זרימת ריצ'י בחלקה במטרה לתקוף את ההשערה. הוא דחה בעבר את הפרס היוקרתי של האגודה המתמטית האירופית בשנת 1996.
חיים מוקדמים וחינוך
גריגורי יעקובלביץ' פרלמן נולד בלנינגרד, ברית המועצות (כיום סנט פטרסבורג, רוסיה) ב-13 ביוני 1966, להורים יהודים, יעקב (שמתגורר כיום בישראל) וליובוב (שהמשיכה להתגורר בסנט פטרסבורג עם פרלמן). אמו של פרלמן, ליובוב, ויתרה על לימודי תואר שני במתמטיקה כדי לגדל אותו. כישרונו המתמטי של פרלמן התגלה בגיל 10, ואמו רשמה אותו לתוכנית הכשרה למתמטיקה לאחר שעות הלימודים של סרגיי רוקשין.
חינוכו המתמטי נמשך בבית הספר התיכון 239 בלנינגרד, בית ספר מתמחה עם תוכניות מתקדמות במתמטיקה ופיזיקה. פרלמן הצטיין בכל המקצועות למעט חינוך גופני. בשנת 1982, זמן קצר לאחר יום הולדתו ה-16, הוא זכה במדליית זהב כחבר בנבחרת הסובייטית באולימפיאדה הבינלאומית למתמטיקה שנערכה בבודפשט, כשהוא משיג ציון מושלם. הוא המשיך את לימודיו בבית הספר למתמטיקה ומכניקה של אוניברסיטת לנינגרד הממלכתית.
לאחר השלמת הדוקטורט שלו ב-1990, החל פרלמן לעבוד במחלקה הלנינגרדית של מכון סטקלוב למתמטיקה של האקדמיה למדעים של ברית המועצות, שם מנחיו היו אלכסנדר אלכסנדרוב ויורי בוראגו. בסוף שנות ה-80 ותחילת שנות ה-90, עם המלצה חזקה מהגאומטר מיכאיל גרומוב, השיג פרלמן משרות מחקר במספר אוניברסיטאות בארצות הברית. בשנת 1991 זכה פרלמן בפרס המתמטיקאי הצעיר של האגודה המתמטית של סנט פטרסבורג על עבודתו על מרחבי אלכסנדרוב עם עקמומיות חסומה מלמטה. בשנת 1992 הוזמן לבלות סמסטר בכל אחד ממכון קוראנט באוניברסיטת ניו יורק, שם החל לעבוד על יריעות עם חסמים תחתונים על עקמומיות ריצ'י. משם, הוא קיבל מלגת מחקר מילר לשנתיים באוניברסיטת קליפורניה, ברקלי, ב-1993. לאחר שהוכיח את השערת הנשמה ב-1994, הוצעו לו משרות במספר אוניברסיטאות מובילות בארה"ב, כולל פרינסטון וסטנפורד, אך הוא דחה את כולן וחזר למכון סטקלוב בסנט פטרסבורג בקיץ 1995 למשרת מחקר בלבד.
מחקר מוקדם
### גאומטריה קמורה
בלימודי התואר הראשון שלו, עסק פרלמן בסוגיות בתחום הגאומטריה הקמורה. מאמרו הראשון שפורסם חקר את המבנים הקומבינטוריים הנובעים מחיתוכים של פאונים קמורים. יחד עם א. ו. פוליקנובה, הוא ביסס ניסוח תאורטי-מידה למשפט הלי. בשנת 1987, השנה שבה החל את לימודי התואר השני, פרסם מאמר השולט בגודלם של גלילים חסומים על ידי זה של כדורים חסומים.
### משטחי-על בעלי עקמומיות שלילית
משטחים בעלי עקמומיות שלילית היו נושא לימודי התואר השני של פרלמן. תוצאתו הראשונה הייתה על האפשרות לקבוע את המבנה של משטחים פאוניים בעלי עקמומיות שלילית במרחב אוקלידי תלת-ממדי. הוא הוכיח שכל מטריקה כזו על המישור שהיא שלמה יכולה להיות מוטבלת ברציפות כמשטח פאוני. מאוחר יותר, הוא בנה דוגמה למשטח-על חלק של מרחב אוקלידי ארבע-ממדי שהוא שלם ובעל עקמומיות גאוס שלילית וחסומה הרחק מאפס. דוגמאות קודמות למשטחים כאלה היו ידועות, אך זו של פרלמן הייתה הראשונה שהציגה את תכונת האוכף על אי-קיום של משטחי-על תומכים מקומיים קפדניים. ככזה, הבנייה שלו סיפקה חסם נוסף להרחבת משפט ידוע של ניקולאי אפימוב לממדים גבוהים יותר.
### מרחבי אלכסנדרוב
עבודותיו הראשונות של פרלמן שהיו בעלות השפעה רבה על הספרות המתמטית היו בתחום מרחבי אלכסנדרוב, שמושגם מתוארך לשנות ה-50. במאמר ידוע מאוד שנכתב בשיתוף עם יורי בוראגו ומיכאיל גרומוב, ביסס פרלמן את היסודות המודרניים של תחום זה, עם המושג של התכנסות גרומוב-האוסדורף כעיקרון מארגן. במאמר המשך שלא פורסם, הוכיח פרלמן את "משפט היציבות" שלו, הקובע כי באוסף של כל מרחבי אלכסנדרוב עם חסם עקמומיות קבוע, כל האיברים של כל כדור מטרי קטן מספיק סביב מרחב קומפקטי הם הומיאומורפיים זה לזה. ויטאלי קאפוביץ', שתיאר את המאמר של פרלמן כ"קשה מאוד לקריאה", כתב מאוחר יותר גרסה מפורטת של ההוכחה של פרלמן, תוך שימוש בכמה פישוטים נוספים.
פרלמן פיתח גרסה של תורת מורס על מרחבי אלכסנדרוב. למרות היעדר החלקות במרחבי אלכסנדרוב, פרלמן ואנטון פטרונין הצליחו לשקול את זרימת הגרדיאנט של פונקציות מסוימות, בעבודה שלא פורסמה. הם גם הציגו את המושג של "תת-קבוצה קיצונית" של מרחבי אלכסנדרוב, והראו שהפנים של תת-קבוצות קיצוניות מסוימות מגדירים סטראטיפיקציה של המרחב על ידי יריעות טופולוגיות. בעבודה נוספת שלא פורסמה, חקר פרלמן פונקציות DC (הפרש של פונקציות קעורות) על מרחבי אלכסנדרוב וקבע שלקבוצת הנקודות הרגולריות יש מבנה של יריעה המודל על פונקציות DC.
על עבודתו על מרחבי אלכסנדרוב, זכה פרלמן להרצאה מוזמנת בקונגרס הבינלאומי של מתמטיקאים ב-1994.
### גאומטריית השוואה
בשנת 1972, ג'ף צ'יגר ודטלוף גרומול ביססו את משפט הנשמה החשוב שלהם. הוא קובע שכל יריעה רימנית שלמה בעלת עקמומיות חתך לא-שלילית מכילה תת-יריעה קומפקטית בעלת עקמומיות לא-שלילית, הנקראת נשמה, שהצרור הנורמלי שלה הוא דיפאומורפי למרחב המקורי. מנקודת המבט של תורת ההומוטופיה, זה אומר בפרט שכל יריעה רימנית שלמה בעלת עקמומיות חתך לא-שלילית יכולה להיחשב כסגורה. צ'יגר וגרומול שיערו שאם העקמומיות חיובית ממש במקום כלשהו, אז ניתן לקחת את הנשמה כנקודה בודדת, ומכאן שהמרחב המקורי חייב להיות דיפאומורפי למרחב אוקלידי. בשנת 1994, פרלמן נתן הוכחה קצרה להשערה של צ'יגר וגרומול על ידי ביסוס העובדה שתחת התנאי של עקמומיות חתך לא-שלילית, הנסיגה של שרפוטדינוב היא סובמרסיה. המשפט של פרלמן משמעותי בביסוס חסם טופולוגי לעיוות מטריקה בעלת עקמומיות לא-שלילית לכזו שהיא בעלת עקמומיות חיובית, אפילו בנקודה בודדת.
חלק מעבודתו של פרלמן עסק בבנייה של יריעות רימניות מעניינות שונות בעלות עקמומיות ריצ'י חיובית. הוא מצא מטריקות רימניות על הסכום הקשיר של מספר שרירותי של מישורים פרויקטיביים מרוכבים בעלי עקמומיות ריצ'י חיובית, קוטר חסום ונפח חסום הרחק מאפס. כמו כן, הוא מצא מטריקה שלמה מפורשת על מרחב אוקלידי ארבע-ממדי בעלת עקמומיות ריצ'י חיובית וצמיחת נפח אוקלידית, וכך שהחרוט האסימפטוטי אינו מוגדר באופן ייחודי.
השערות הגאומטריזציה ופואנקרה
### הבעיות
השערת פואנקרה, שהוצעה על ידי המתמטיקאי אנרי פואנקרה ב-1904, נחשבה לאורך המאה ה-20 כבעיה מרכזית בטופולוגיה. על ה-3-ספירה, המוגדרת כקבוצת הנקודות באורך יחידה מהראשית במרחב אוקלידי ארבע-ממדי, כל לולאה יכולה להתכווץ לנקודה. פואנקרה הציע שההפך עשוי להיות נכון: אם ליריעה תלת-ממדית סגורה יש את התכונה שכל לולאה יכולה להתכווץ לנקודה, אז היא חייבת להיות שקולה טופולוגית ל-3-ספירה. סטיבן סמייל הוכיח אנלוגי בממדים גבוהים להשערת פואנקרה ב-1961, ומייקל פרידמן הוכיח את הגרסה הארבע-ממדית ב-1982. למרות עבודתם, המקרה של מרחבים תלת-ממדיים נותר לא פתור לחלוטין. יתרה מכך, לשיטות של סמייל ופרידמן לא הייתה השפעה על המקרה התלת-ממדי, שכן המניפולציות הטופולוגיות שלהם, הזזת "אזורים בעייתיים" מחוץ לדרך מבלי להפריע לאזורים אחרים, נראות כדורשות ממדים גבוהים כדי לעבוד.
בשנת 1982, ויליאם ת'רסטון פיתח נקודת מבט חדשנית, שהפכה את השערת פואנקרה למקרה פרטי קטן של תאוריית מבנה שיטתית היפותטית של טופולוגיה בשלושה ממדים. הצעתו, הידועה כהשערת הגאומטריזציה של ת'רסטון, הניחה שבהינתן כל יריעה תלת-ממדית סגורה כלשהי, יש אוסף כלשהו של ספירות וטורוסים דו-ממדיים בתוך היריעה שמנתקים את המרחב לחתיכות נפרדות, שכל אחת מהן יכולה להיות מצוידת במבנה גאומטרי אחיד. ת'רסטון הצליח להוכיח את השערתו תחת כמה הנחות זמניות. לדעתו של ג'ון מורגן, רק עם נקודת המבט השיטתית של ת'רסטון רוב הטופולוגים החלו להאמין שהשערת פואנקרה תהיה נכונה.
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →באותו זמן שת'רסטון פרסם את השערתו, ריצ'רד המילטון הציג את תאוריית זרימת ריצ'י שלו. זרימת ריצ'י של המילטון היא מרשם, המוגדר על ידי משוואה דיפרנציאלית חלקית אנלוגית רשמית למשוואת החום, לאופן שבו מעוותים מטריקה רימנית על יריעה. משוואת החום, כגון כאשר היא מיושמת במדעים לתופעות פיזיקליות כגון טמפרטורה, ממדלת כיצד ריכוזים של טמפרטורות קיצוניות יתפשטו עד להשגת טמפרטורה אחידה בכל אובייקט. בשלושה מאמרים מכוננים שפורסמו בשנות ה-80, הוכיח המילטון שהמשוואה שלו השיגה תופעות אנלוגיות, פיזור עקמומיות קיצוניות ואחידות של מטריקה רימנית, במסגרות גאומטריות מסוימות. כתוצר לוואי, הוא הצליח להוכיח כמה משפטים חדשים ומדהימים בתחום הגאומטריה הרימנית.
למרות דמיון רשמי, המשוואות של המילטון מורכבות ולא-ליניאריות משמעותית יותר ממשוואת החום, ובלתי אפשרי שאחידות כזו תושג ללא הנחות הקשריות. במסגרות כלליות לחלוטין, בלתי נמנע שיתרחשו "סינגולריות", כלומר עקמומיות מצטברת לרמות אינסופיות לאחר כמות סופית של "זמן" שחלפה. בעקבות הצעתו של שינג-טונג יאו שהבנה מפורטת של סינגולריות אלו יכולה להיות בעלת משמעות טופולוגית, ובפרט שמיקומן עשוי לזהות את הספירות והטורוסים בהשערה של ת'רסטון, החל המילטון בניתוח שיטתי. לאורך שנות ה-90, הוא מצא מספר תוצאות ושיטות טכניות חדשות, שהגיעו לשיאן בפרסום ב-1997 שבנה "זרימת ריצ'י עם ניתוח" עבור מרחבים ארבע-ממדיים. כיישום של הבנייה שלו, המילטון הצליח ליישב אנלוגי מבוסס עקמומיות ארבע-ממדי להשערת פואנקרה. יאו זיהה מאמר זה כאחד החשובים בתחום האנליזה הגאומטרית, באומרו שעם פרסומו התברר שזרימת ריצ'י יכולה להיות חזקה מספיק כדי ליישב את השערת ת'רסטון. המפתח לניתוח של המילטון היה הבנה כמותית של האופן שבו מתרחשות סינגולריות במסגרת הארבע-ממדית שלו; הקושי הבולט ביותר היה ההבנה הכמותית של האופן שבו מתרחשות סינגולריות במסגרות תלת-ממדיות. למרות שהמילטון לא הצליח לפתור סוגיה זו, ב-1999 הוא פרסם עבודה על זרימת ריצ'י בשלושה ממדים, המראה שאם ניתן לפתח גרסה תלת-ממדית של טכניקות הניתוח שלו, ואם ניתן לבסס השערה מסוימת על התנהגות ארוכת טווח של זרימת ריצ'י, אז השערת ת'רסטון תיושב. זה הפך להיות ידוע כתוכנית המילטון.
### עבודתו של פרלמן
בנובמבר 2002 ובמרץ 2003, פרסם פרלמן שני פרה-פרינטים ל-arXiv, שבהם טען ששרטט הוכחה להשערה של ת'רסטון. במאמר שלישי שפורסם ביולי 2003, שרטט פרלמן טיעון נוסף, מספיק להוכחת השערת פואנקרה (אך לא השערת ת'רסטון), הנקודה היא להימנע מהעבודה הטכנית ביותר בפרה-פרינט השני שלו.
הפרה-פרינט הראשון של פרלמן הכיל שתי תוצאות עיקריות, שתיהן קשורות לזרימת ריצ'י. הראשונה, תקפה בכל ממד, התבססה על התאמה חדשנית של אי-שוויונות הדיפרנציאליים של הארנאק של פיטר לי ושינג-טונג יאו למסגרת של זרימת ריצ'י. על ידי ביצוע ההוכחה של אי-שוויון בישופ-גרומוב עבור פונקציונל האורך לי-יאו המתקבל, ביסס פרלמן את "משפט אי-הקריסה" המפורסם שלו לזרימת ריצ'י, הקובע כי שליטה מקומית בגודל העקמומיות מרמזת על שליטה בנפחים. המשמעות של משפט אי-הקריסה היא ששליטה בנפח היא אחד התנאים המוקדמים למשפט הקומפקטיות של המילטון. כתוצאה מכך, ניתן היה להחיל את הקומפקטיות של המילטון ואת הקיום המקביל של גבולות תת-סדרתיים בחופשיות מסוימת.
"משפט השכונות הקנוניות" הוא התוצאה העיקרית השנייה של הפרה-פרינט הראשון של פרלמן. במשפט זה, השיג פרלמן את ההבנה הכמותית של סינגולריות של זרימת ריצ'י תלת-ממדית שחמקה מהמילטון. באופן גס, פרלמן הראה שברמה מיקרוסקופית, כל סינגולריות נראית או כגליל הקורס לציר שלו, או כספירה הקורסת למרכז שלה. ההוכחה של פרלמן למשפט השכונות הקנוניות שלו היא הישג טכני ביותר, המבוסס על טיעונים נרחבים בדרך של סתירה שבהם מיושם משפט הקומפקטיות של המילטון (כפי שמתאפשר על ידי משפט אי-הקריסה של פרלמן) כדי לבנות יריעות סותרות את עצמן.
תוצאות אחרות בפרה-פרינט הראשון של פרלמן כוללות את הצגתם של כמויות מונוטוניות מסוימות ו"משפט פסאודו-לוקאליות" הקושר בין שליטה בעקמומיות לאיזופרימטריה. עם זאת, למרות היותן תוצאות מרכזיות בתאוריה של זרימת ריצ'י, תוצאות אלו לא שימשו בשאר עבודתו.
המחצית הראשונה של הפרה-פרינט השני של פרלמן, בנוסף לתיקון כמה הצהרות וטיעונים שגויים מהמאמר הראשון, השתמשה במשפט השכונות הקנוניות שלו כדי לבנות זרימת ריצ'י עם ניתוח בשלושה ממדים, תוך כריתה שיטתית של אזורים סינגולריים כשהם מתפתחים. כתוצאה מיידית של הבנייה שלו, פתר פרלמן השערה מרכזית על הסיווג הטופולוגי בשלושה ממדים של יריעות סגורות המודות במטריקות של עקמומיות סקלרית חיובית. הפרה-פרינט השלישי שלו (או לחלופין עבודתם של קולדינג ומיניקוצי) הראה שעל כל מרחב המספק את הנחות השערת פואנקרה, זרימת ריצ'י עם ניתוח קיימת רק לזמן סופי, כך שהניתוח לזמן אינסופי של זרימת ריצ'י אינו רלוונטי. הבנייה של זרימת ריצ'י עם ניתוח כוללת את השערת פואנקרה כתוצאה.
כדי ליישב את השערת ת'רסטון, המחצית השנייה של הפרה-פרינט השני של פרלמן מוקדשת לניתוח של זרימות ריצ'י עם ניתוח, שעשויות להתקיים לזמן אינסופי. פרלמן לא הצליח ליישב את השערת 1999 של המילטון על התנהגות ארוכת טווח, מה שהיה הופך את השערת ת'רסטון לתוצאה נוספת של קיום זרימת ריצ'י עם ניתוח. אף על פי כן, פרלמן הצליח להתאים את הטיעונים של המילטון לתנאים המדויקים של זרימת הריצ'י החדשה שלו עם ניתוח. סוף הטיעון של המילטון עשה שימוש במשפט של ג'ף צ'יגר ומיכאיל גרומוב המאפיין יריעות קורסות. בהתאמה של פרלמן, הוא דרש שימוש במשפט חדש המאפיין יריעות שבהן קריסה מונחת רק ברמה מקומית. בפרה-פרינט שלו, הוא אמר שהוכחת המשפט שלו תבוסס במאמר אחר, אך הוא לא פרסם אז פרטים נוספים. הוכחות פורסמו מאוחר יותר על ידי טקאשי שיויה וטקאו יאמאגוצ'י, ג'ון מורגן וגאנג טיאן, ג'יאנגו קאו וג'יאן גה, וברוס קליינר וג'ון לוט.
### אימות
הפרה-פרינטים של פרלמן זכו במהירות לתשומת הלב של הקהילה המתמטית, אם כי הם נתפסו באופן נרחב כקשים להבנה מכיוון שנכתבו בצורה תמציתית למדי. בניגוד לסגנון הרגיל בפרסומים מתמטיים אקדמיים, פרטים טכניים רבים הושמטו. עד מהרה התברר שפרלמן תרם תרומות מרכזיות ליסודות של זרימת ריצ'י, אם כי לא היה ברור מיד לקהילה המתמטית שתרומות אלו מספיקות כדי להוכיח את השערת הגאומטריזציה או את השערת פואנקרה.
באפריל 2003, ביקר פרלמן במכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס, אוניברסיטת פרינסטון, אוניברסיטת סטוני ברוק, אוניברסיטת קולומביה ואוניברסיטת ניו יורק כדי לתת סדרות קצרות של הרצאות על עבודתו, וכדי להבהיר כמה פרטים למומחים בתחומים הרלוונטיים. בשנים שלאחר מכן, הופיעו שלוש תערוכות מפורטות, הנדונות להלן. מאז, חלקים שונים מעבודתו של פרלמן הופיעו גם במספר ספרי לימוד ומאמרים הסבריים.
ביוני 2003, ברוס קליינר וג'ון לוט, שניהם אז מאוניברסיטת מישיגן, פרסמו הערות באתר האינטרנט של לוט אשר, סעיף אחר סעיף, מילאו פרטים של הפרה-פרינט הראשון של פרלמן. בספטמבר 2004, ההערות שלהם עודכנו לכלול את הפרה-פרינט השני של פרלמן. לאחר תיקונים ותיקונים נוספים, הם פרסמו גרסה ל-arXiv ב-25 במאי 2006, גרסה מתוקנת שלה פורסמה בכתב העת האקדמי Geometry & Topology ב-2008. בקונגרס הבינלאומי של מתמטיקאים ב-2006, אמר לוט: "לקח לנו זמן מה לבחון את עבודתו של פרלמן. זה נובע בחלקו מהמקוריות של עבודתו של פרלמן ובחלקו מהתחכום הטכני של טיעוניו. כל הסימנים מראים שטיעוניו נכונים." במבוא למאמרם, הסבירו קליינר ולוט:
> ההוכחות של פרלמן תמציתיות ולעיתים סקיציוניות. מטרת הערות אלו היא לספק את הפרטים החסרים ב[שני הפרה-פרינטים הראשונים של פרלמן]... לגבי ההוכחות, [המאמרים של פרלמן] מכילים כמה הצהרות שגויות וטיעונים לא שלמים, שאותם ניסינו להצביע בפני הקורא. (חלק מהטעויות ב[מאמר הראשון של פרלמן] תוקנו ב[מאמר השני של פרלמן].) לא מצאנו בעיות רציניות, כלומר בעיות שלא ניתן לתקן באמצעות השיטות שהציג פרלמן.
מאז פרסומו ב-2008, המאמר של קליינר ולוט תוקן לאחר מכן פעמיים עבור תיקונים, כגון עבור הצהרה שגויה של "משפט הקומפקטיות" החשוב של המילטון לזרימת ריצ'י. התיקון האחרון למאמרם היה ב-2013. - ביוני 2006, ה-Asian Journal of Mathematics פרסם מאמר מאת הואי-דונג קאו מאוניברסיטת ליהיי וג'ו שיפינג מאוניברסיטת סון יאט-סן, שנתן תיאור מלא של הוכחתו של פרלמן להשערות פואנקרה והגאומטריזציה. בניגוד למאמר של קליינר ולוט, שהיה בנוי כאוסף של הערות למאמריו של פרלמן, המאמר של קאו וג'ו כוון ישירות להסבר ההוכחות של השערת פואנקרה והשערת הגאומטריזציה. במבוא שלהם, הם מסבירים:
> במאמר זה, נציג את תאוריית זרימת ריצ'י של המילטון-פרלמן. בהתבסס עליה, ניתן את הדיווח הכתוב הראשון של הוכחה מלאה להשערת פואנקרה ולהשערת הגאומטריזציה של ת'רסטון. בעוד שהעבודה המלאה היא מאמצים מצטברים של אנליסטים גאומטריים רבים, התורמים העיקריים הם ללא ספק המילטון ופרלמן. [...] במאמר זה, ניתן הוכחות מלאות ומפורטות [...] במיוחד לעבודתו של פרלמן במאמרו השני שבו רעיונות מפתח רבים של ההוכחות משורטטים או מתווים אך פרטים מלאים של ההוכחות חסרים לעיתים קרובות. כפי שציינו קודם, עלינו להחליף כמה טיעוני מפתח של פרלמן בגישות חדשות המבוססות על המחקר שלנו, מכיוון שלא הצלחנו להבין את הטיעונים המקוריים האלה של פרלמן שהם חיוניים להשלמת תוכנית הגאומטריזציה.
בהתבסס גם על הכותרת "הוכחה מלאה להשערות פואנקרה והגאומטריזציה – יישום תאוריית זרימת ריצ'י של המילטון-פרלמן" והביטוי "הוכחה זו צריכה להיחשב כהישג העטרה של תאוריית זרימת ריצ'י של המילטון-פרלמן" מהתקציר, אנשים מסוימים פירשו שקאו וג'ו לוקחים קרדיט מפרלמן לעצמם. כשנשאל על הנושא, אמר פרלמן שהוא לא יכול לראות שום תרומה חדשה של קאו וג'ו ושהם "לא ממש הבינו את הטיעון ועיבדו אותו מחדש." בנוסף, אחד הדפים במאמר של קאו וג'ו היה זהה בעיקרו לאחד מהפרסום של קליינר ולוט מ-2003. בתיקון שפורסם, ייחסו קאו וג'ו זאת להשמטה, באומרם שב-2003 הם רשמו הערות מהגרסה הראשונית של ההערות של קליינר ולוט, ובכתיבתם ב-2006 לא הבינו את המקור הנכון של ההערות. הם פרסמו גרסה מתוקנת ל-ArXiv עם תיקונים בניסוח שלהם ובדף הרלוונטי של ההוכחה. ביולי 2006, ג'ון מורגן מאוניברסיטת קולומביה וגאנג טיאן מהמכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס פרסמו מאמר ב-arXiv שבו סיפקו הצגה מפורטת של הוכחתו של פרלמן להשערת פואנקרה. בניגוד לתערוכות של קליינר-לוט וקאו-ג'ו, מורגן וטיאן עוסקים גם במאמר השלישי של פרלמן. ב-24 באוגוסט 2006, מורגן נשא הרצאה ב-ICM במדריד על השערת פואנקרה, שבה הצהיר שעבודתו של פרלמן "נבדקה ביסודיות." בשנת 2015, עבאס בהרי הצביע על דוגמה נגדית לאחד המשפטים של מורגן וטיאן, שתוקן מאוחר יותר על ידי מורגן וטיאן ומקורו במשוואת אבולוציה שחושבה בצורה שגויה. השגיאה, שהוכנסה על ידי מורגן וטיאן, עסקה בפרטים שלא נדונו ישירות בעבודתו המקורית של פרלמן. בשנת 2008, מורגן וטיאן פרסמו מאמר שכיסה את פרטי ההוכחה של השערת הגאומטריזציה. שני המאמרים של מורגן וטיאן פורסמו בצורת ספר על ידי מכון קליי למתמטיקה.
מדליית פילדס ופרס המילניום
במאי 2006, ועדה של תשעה מתמטיקאים הצביעה להעניק לפרלמן מדליית פילדס על עבודתו על זרימת ריצ'י. עם זאת, פרלמן סירב לקבל את הפרס. סר ג'ון מ. בול, נשיא האיגוד המתמטי הבינלאומי, פנה לפרלמן בסנט פטרסבורג ביוני 2006 כדי לשכנע אותו לקבל את הפרס. לאחר 10 שעות של ניסיונות שכנוע במשך יומיים, בול ויתר. שבועיים לאחר מכן, סיכם פרלמן את השיחה כדלקמן:
> הוא הציע לי שלוש חלופות: לקבל ולבוא; לקבל ולא לבוא, ואנחנו נשלח לך את המדליה מאוחר יותר; שלישית, אני לא מקבל את הפרס. מההתחלה, אמרתי לו שבחרתי בשלישית... [הפרס] היה חסר רלוונטיות לחלוטין עבורי. כולם הבינו שאם ההוכחה נכונה, אז אין צורך בהכרה אחרת.
הוא צוטט כאומר:
> אני לא מעוניין בכסף או בתהילה, אני לא רוצה להיות מוצג כמו חיה בגן חיות. אני לא גיבור של מתמטיקה. אני אפילו לא כל כך מצליח; זו הסיבה שאני לא רוצה שכולם יסתכלו עליי.
אף על פי כן, ב-22 באוגוסט 2006, בקונגרס הבינלאומי של מתמטיקאים במדריד, הוצע לפרלמן מדליית פילדס "עבור תרומותיו לגאומטריה ותובנותיו המהפכניות למבנה האנליטי והגאומטרי של זרימת ריצ'י". הוא לא נכח בטקס והמציג הודיע לקונגרס שפרלמן סירב לקבל את המדליה, מה שהפך אותו לאדם היחיד שאי פעם סירב לפרס.
הוא גם דחה פרס יוקרתי מהאגודה המתמטית האירופית.
ב-18 במרץ 2010, הוענק לפרלמן פרס המילניום על פתרון הבעיה. ב-8 ביוני 2010, הוא לא נכח בטקס לכבודו במכון האוקיינוגרפי של פריז כדי לקבל את פרס מיליון הדולר שלו. על פי אינטרפקס, פרלמן סירב לקבל את פרס המילניום ביולי 2010. הוא ראה בהחלטת מכון קליי כלא הוגנת על כך שלא חלק את הפרס עם ריצ'רד ס. המילטון, וקבע ש"הסיבה העיקרית היא אי-הסכמתי עם הקהילה המתמטית המאורגנת. אני לא אוהב את ההחלטות שלהם, אני מחשיב אותן כלא צודקות."
מכון קליי השתמש לאחר מכן בכספי הפרס של פרלמן כדי לממן את "קתדרת פואנקרה", משרה זמנית למתמטיקאים צעירים ומבטיחים במכון אנרי פואנקרה בפריז.
פרישה אפשרית ממתמטיקה
פרלמן עזב את עבודתו במכון סטקלוב בדצמבר 2005. חבריו אמרו כי הוא מוצא כיום את המתמטיקה כנושא כואב לדיון; עד 2010, חלקם אף אמרו שהוא נטש לחלוטין את המתמטיקה.
פרלמן מצוטט במאמר מ-2006 ב"ניו יורקר" באומרו שהוא מאוכזב מהסטנדרטים האתיים של תחום המתמטיקה. המאמר מרמז שפרלמן מתייחס במיוחד למאמצים לכאורה של זוכה מדליית פילדס שינג-טונג יאו להמעיט בתפקידו של פרלמן בהוכחה ולהאדיר את עבודתם של קאו וג'ו. פרלמן הוסיף:
> אני לא יכול לומר שאני מזועזע. אנשים אחרים עושים דברים גרועים יותר. כמובן, יש הרבה מתמטיקאים שהם פחות או יותר ישרים. אבל כמעט כולם קונפורמיסטים. הם פחות או יותר ישרים, אבל הם סובלים את אלו שאינם ישרים. [...] זה לא אנשים ששוברים סטנדרטים אתיים שנחשבים לחייזרים. אלו אנשים כמוני שמבודדים.
זה, בשילוב עם האפשרות לקבל מדליית פילדס, הוביל אותו להצהיר כי פרש ממתמטיקה מקצועית עד 2006. הוא אמר:
> כל עוד לא הייתי בולט, הייתה לי בחירה. או לעשות איזה דבר מכוער או, אם לא עשיתי דבר כזה, להיות מטופל כחיית מחמד. עכשיו, כשאני הופך לאדם בולט מאוד, אני לא יכול להישאר חיית מחמד ולא לומר כלום. זו הסיבה שהייתי צריך לפרוש.
לא היה ברור אם יחד עם התפטרותו מסטקלוב וההתבודדות שלאחר מכן הפסיק פרלמן את מחקר המתמטיקה שלו. יעקב אליאשברג, מתמטיקאי רוסי אחר, אמר שב-2007 פרלמן התוודה בפניו שהוא עובד על דברים אחרים, אך שזה מוקדם מדי לדון בהם. פרלמן הראה עניין במשוואות נאוויה-סטוקס ובבעיית הקיום והחלקות של פתרונותיהן, על פי "לה פואן".
בשנת 2014, התקשורת הרוסית דיווחה שפרלמן עובד בתחום הננוטכנולוגיה בשוודיה. זמן קצר לאחר מכן, עם זאת, הוא נצפה שוב בעיר הולדתו סנט פטרסבורג. התקשורת הרוסית שיערה שהוא מבקר מדי פעם את אחותו בשוודיה, בזמן שהוא חי בסנט פטרסבורג ומטפל באמו הקשישה.
פרלמן והתקשורת
פרלמן נמנע מעיתונאים ומחברים אחרים בתקשורת. מ. גסן, מחברת ביוגרפיה על פרלמן, "דיוק מושלם: גאון ופריצת הדרך המתמטית של המאה", לא הצליחה לפגוש אותו. כתב שהתקשר אליו נענה: "אתה מפריע לי. אני קוטף פטריות."
סרט תיעודי רוסי על פרלמן שבו עבודתו נדונה על ידי כמה מתמטיקאים מובילים, כולל מיכאיל גרומוב, לודוויג פאדייב, אנטולי ורשיק, גאנג טיאן, ג'ון מורגן ואחרים, יצא לאור ב-2011 תחת הכותרת "Иноходец. Урок Перельмана" ("מאבריק: השיעור של פרלמן").
באפריל 2011, אלכסנדר זברובסקי, מפיק אולפן "פרזידנט-פילם", טען שקיים ראיון עם פרלמן והסכים לצלם סרט עליו, תחת הכותרת הזמנית "נוסחת היקום". זברובסקי אמר שבראיון, פרלמן הסביר מדוע דחה את פרס מיליון הדולר. מספר עיתונאים מאמינים שהראיון של זברובסקי הוא ככל הנראה זיוף, תוך הצבעה על סתירות בהצהרות שלכאורה נאמרו על ידי פרלמן.
הסופר ברט פורסט קיים אינטראקציה קצרה עם פרלמן ב-2012.
פרסומים
### דיסרטציה
פרלמן, גריגורי יעקובלביץ' (1990). Седловые поверхности в евклидовых пространствах [משטחי אוכף במרחבים אוקלידיים] (ברוסית). אוניברסיטת לנינגרד הממלכתית.
### מאמרי מחקר
### עבודה שלא פורסמה