Endre Szemerédi: En todo caos hay un orden

Tras seis meses en la facultad de medicina, Endre Szemerédi decidió que no confiaba en sí mismo con un bisturí —dudaba de su capacidad, según declaró más tarde, para "hacer un trabajo con tanta responsabilidad"— y lo dejó. Deambuló durante un tiempo, luego se inscribió para estudiar matemáticas y, por un accidente administrativo, le asignaron un director de tesis doctoral que nunca había solicitado. Ese papeleo mal archivado le llevó a Moscú bajo la tutela de Israel Gelfand, uno de los grandes matemáticos del siglo XX, en lugar de Alexander Gelfond, a quien Szemerédi realmente quería. Es uno de los mejores accidentes del campo.

De Budapest a Moscú por error

Szemerédi nació el 21 de agosto de 1940 en Budapest. Tras su breve y abandonado intento en la medicina, obtuvo su licenciatura en la Universidad Eötvös Loránd de Budapest antes de continuar en la Universidad Estatal de Moscú para sus estudios de máster y doctorado. Allí, bajo la supervisión de Gelfand —el error administrativo que le envió al supervisor equivocado—, comenzó la carrera en matemática discreta que eventualmente le valdría un reconocimiento cercano a la Medalla Fields, rara vez otorgado a la combinatoria: el Premio Abel.

El teorema que lleva su nombre

El logro definitorio de Szemerédi, anunciado en 1975, resolvió una conjetura que Paul Erdős y Pál Turán habían planteado décadas antes y que había resistido todos los ataques desde entonces: que cualquier conjunto de números naturales con densidad superior positiva —a grandes rasgos, cualquier conjunto que no se diluya hasta desaparecer en relación con la recta numérica entera— debe contener progresiones aritméticas de cualquier longitud, por muy largas que sean. Es una afirmación sobre el orden oculto: por muy irregular o disperso que parezca un conjunto suficientemente sustancial de enteros, inevitablemente hay secuencias estructuradas enterradas en su interior. El comité del Premio Abel resumió más tarde el espíritu de su trabajo en una sola frase: "en todo caos hay un orden".

El lema de regularidad

La demostración de ese teorema produjo algo aún más importante que el propio teorema. En el proceso, Szemerédi introdujo lo que ahora se denomina lema de regularidad de Szemerédi, un resultado estructural que demuestra que todo grafo suficientemente grande puede particionarse en un número limitado de piezas que se comportan, en un sentido estadístico preciso, de forma casi aleatoria unas respecto a otras. Suena a lema técnico; se convirtió en una de las herramientas centrales de la combinatoria moderna, apuntalando la prueba de propiedades, la teoría de límites de grafos y una gran parte de la teoría extremal de grafos desarrollada en las décadas siguientes. Medallistas Fields como Timothy Gowers y László Lovász han dedicado conferencias enteras a rastrear sus consecuencias: un caso raro en el que el subproducto de una demostración supera en influencia a su teorema original.

Un conjunto de resultados con nombre

La carrera de Szemerédi produjo un conjunto inusualmente grande de resultados que ahora llevan su nombre junto al de sus colaboradores: el teorema de Szemerédi-Trotter en geometría de incidencia, que delimita cuántas veces pueden encontrarse puntos y rectas en el plano; el teorema de Hajnal-Szemerédi en coloración de grafos; el teorema de Erdős-Szemerédi sobre sumas y productos en conjuntos finitos, un resultado fundamental en lo que se convirtió en el campo de la combinatoria aritmética; y, con Miklós Ajtai, el teorema de las esquinas. Con Ajtai y János Komlós estableció límites influyentes sobre los números de Ramsey y construyó redes de ordenamiento de profundidad óptima, una rara incursión de la matemática pura en la informática teórica que ayudó a justificar su eventual hogar académico en un departamento de ciencias de la computación. Con Ajtai, Václav Chvátal y Monroe Newborn también probó la desigualdad del número de cruce, un límite fundamental en el dibujo de grafos. A lo largo de más de doscientos artículos publicados, la línea conductora es coherente: encontrar una estructura rígida e inevitable dentro de objetos —conjuntos de enteros, grafos, configuraciones de puntos— que parecen desordenados en su superficie.

Una carrera estadounidense construida sobre bases húngaras

Szemerédi se incorporó a la Universidad Rutgers en 1986 como profesor de Ciencias de la Computación del Estado de Nueva Jersey, cargo que sigue ocupando como emérito, mientras mantiene su afiliación permanente con el Instituto de Matemáticas Alfréd Rényi de Budapest, el hogar institucional de las matemáticas húngaras desde mediados del siglo XX. Entre medias ocupó puestos como profesor visitante en Stanford, McGill, la Universidad de Carolina del Sur y la Universidad de Chicago, así como una membresía en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton: una carrera que abarca la migración matemática de la Guerra Fría desde Hungría y la esfera soviética hacia las universidades de investigación estadounidenses.

Reconocimiento

Los honores se acumularon a lo largo de cinco décadas: el Premio Alfréd Rényi en 1973 y el Premio George Pólya en 1975, justo después de que apareciera su teorema; el Premio Leroy P. Steele y el Premio Rolf Schock de Matemáticas, ambos en 2008; su elección a la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos en 2010; y, en 2012, el propio Premio Abel, otorgado "por sus contribuciones fundamentales a la matemática discreta y a la ciencia de la computación teórica, y en reconocimiento del impacto profundo y duradero de estas contribuciones en la teoría aditiva de números y la teoría ergódica", una mención que acredita explícitamente su trabajo en la remodelación de campos mucho más allá de la combinatoria estrictamente definida. Hungría le hizo receptor de la Orden de San Esteban en 2020.

Por qué Endre es llamado genio

El argumento a favor del genio de Szemerédi es tan claro como permite la matemática: una única demostración, de una única conjetura de larga data, generó una herramienta —el lema de regularidad— cuya influencia posterior en toda una disciplina supera posiblemente a la del teorema que se construyó para probar. Ese tipo de impacto de segundo orden, donde el método sobrevive y supera su propósito original, es uno de los marcadores más claros de una mente que opera al nivel estructural más profundo en lugar de limitarse a resolver el problema que tiene delante. El propio lenguaje del comité del Premio Abel —localizar el orden dentro del caos— no es hipérbole; es una paráfrasis justa de lo que hace realmente el lema de regularidad, y el hecho de que Gowers y Lovász, ellos mismos entre las figuras más condecoradas de la disciplina, construyeran importantes conferencias en torno a la explicación de sus consecuencias a otros matemáticos es una forma de aclamación entre pares difícil de fabricar o inflar.

Si hay alguna salvedad, es de estrechez más que de exageración: la fama de Szemerédi descansa abrumadoramente en resultados de matemática discreta y combinatoria, campos que durante gran parte del siglo XX fueron considerados por sectores del estamento matemático como menos prestigiosos que el análisis, la geometría o la teoría de números en sus formas clásicas; el Premio Abel a un combinatorista fue leído en su momento como un argumento implícito de que el campo merecía un reconocimiento que había tardado en recibir. Eso no disminuye el trabajo; significa que la etiqueta de "genio" aquí sigue una forma específica y técnica de percepción estructural en lugar del tipo de renombre universal ligado a físicos o matemáticos cuyos resultados son famosos incluso fuera de su campo.

Legado

El lema de regularidad se enseña ahora como material estándar en los cursos de posgrado de combinatoria en todo el mundo y sigue siendo un motor activo de nuevas investigaciones, incluso en áreas —informática teórica, combinatoria aditiva, teoría de límites de grafos— que apenas existían cuando Szemerédi lo escribió por primera vez en 1975. Todavía activo como académico emérito a sus ochenta y tantos años, sigue siendo uno de los casos más claros en las matemáticas modernas de un método de una única demostración que se vuelve más consecuente que el teorema que fue diseñado para establecer.