Niels Henrik Abel是一位挪威数学家，在多个领域做出了开创性贡献。他最著名的单项成果是首次完整证明了一般五次方程不能用根式求解。
这个问题是他那个时代最杰出的未解决问题之一，已经悬而未决超过250年。他还是椭圆函数领域的创新者，Abel函数的发现者。他在贫困中生活时做出了这些发现，26岁时死于肺结核。
他大部分工作是在六七年的工作生涯中完成的。关于Abel，法国数学家Charles Hermite说过："Abel为数学家留下了足够的工作，让他们忙上五百年。"另一位法国数学家Adrien-Marie Legendre说过："quelle tête celle du jeune Norvégien!""这位年轻的挪威人真是天才!"。
数学领域的Abel奖，最初在1899年提议以补充Nobel奖，以他的名字命名。
生平
早年
Niels Henrik Abel出生于挪威Nedstrand，是牧师Søren Georg Abel和Anne Marie Simonsen的次子。Niels Henrik Abel出生时，全家住在Finnøy的牧师宅邸。许多迹象表明Niels Henrik出生在邻近的教区，因为他的父母在他出生那年的7月/8月是Nedstrand执行官的客人。
Niels Henrik Abel的父亲Søren Georg Abel拥有神学和哲学学位，担任Finnøy的牧师。Søren的父亲、Niels的祖父Hans Mathias Abel也是牧师，在Risør镇附近的Gjerstad教堂任职。Søren在Gjerstad度过了童年，也曾在那里担任牧师助理；1804年他的父亲去世后，Søren被任命为Gjerstad的牧师，全家搬到了那里。Abel家族起源于Schleswig，17世纪来到挪威。
Anne Marie Simonsen来自Risør；她的父亲Niels Henrik Saxild Simonsen是商人和商船船主，据说是Risør最富有的人。Anne Marie在两个继母的抚养下长大，生活环境相对奢华。在Gjerstad牧师宅邸，她喜欢举办舞会和社交聚会。许多迹象表明她早年就酗酒成瘾，对孩子的教育不感兴趣。Niels Henrik和他的兄弟们由父亲教育，用手写的书籍阅读。一本数学书中的加法表上写着：1+0=0。
大教堂学校和皇家腓特烈大学
随着挪威独立和1814年挪威首次选举的举行，Søren Abel被选为Storting的代表。Storting的会议召开地是现在被称为Oslo的Christiania大教堂学校的主礼堂，直到1866年。几乎可以肯定，这是他与该校取得联系的方式，他决定让长子Hans Mathias从第二年开始在那里读书。但是，当Hans即将离家的时候，他对必须离开家而感到如此悲伤和沮丧，以至于他的父亲不敢把他送走。他决定改为送Niels。
1815年，13岁的Niels Abel进入大教堂学校。他的哥哥Hans一年后加入他。他们共享房间，一起上课。Hans的成绩比Niels好；但是，1818年一位新的数学教师Bernt Michael Holmboe被任命了。他给学生布置数学家庭作业。他看到了Niels Henrik在数学方面的天赋，并鼓励他在高级水平上学习这个科目。他甚至在放学后给Niels上私人课程。
1818年，Søren Abel与神学家Stener Johannes Stenersen就其1806年的教义问答发生了公开的神学争论。这次争论得到了新闻的广泛报道。Søren被起了绰号"Abel处理"挪威语："Abel Spandabel"。据说Niels对这场争吵的反应是"过度的欢乐"。与此同时，Søren在侮辱了挪威制宪议会的东道主Carsten Anker后，也几乎面临弹劾；1818年9月他带着一事无成的政治生涯回到了Gjerstad。他开始酗酒，仅两年后的1820年去世，时年48岁。
Bernt Michael Holmboe用奖学金支持Niels Henrik Abel继续在学校就读，并从他的朋友那里筹集资金以便他能在皇家腓特烈大学学习。
当Abel于1821年进入大学时，他已经是挪威最知识渊博的数学家。Holmboe没有更多东西可以教他，Abel已经研究了大学图书馆中所有最新的数学文献。在这段时间里，Abel开始研究用根式求解五次方程。数学家们一直在寻找这个问题的解决方案超过250年。1821年，Abel认为他找到了解决方案。Christiania的两位数学教授Søren Rasmussen和Christopher Hansteen在Abel的公式中没有发现错误，并将该工作发送给了北欧地区领先的数学家Carl Ferdinand Degen在Copenhagen。他也没有发现缺陷，但仍然怀疑那么多杰出数学家长期以来所寻求的解决方案，是否真的能由遥远的Christiania的一位无名学生找到。不过，Degen注意到了Abel非凡的敏锐思维，相信这样有才华的年轻人不应该把能力浪费在五次方程这样"不毛之地"的东西上，而应该花在椭圆函数和超越性上；那样的话，Degen写道，他会"发现通往广阔分析海洋的大部分地区的麦哲伦通道"。Degen要求Abel举例说明他的方法。在尝试提供一个例子时，Abel发现了他的论文中的一个错误。这导致了1823年的一个发现，即五次或更高次方程的解是不可能的。
Abel在1822年毕业。他在数学方面的表现异常优秀，其他方面表现一般。
职业生涯
他毕业后，大学的教授在财务上支持Abel，教授Christopher Hansteen让他住在自己家的阁楼里的一个房间。Abel后来将Hansteen太太视为他的第二母亲。住在这里时，Abel帮助他的弟弟Peder Abel通过了artium考试。他还帮助他的妹妹Elisabeth在镇上找到了工作。
1823年初，Niels Abel在挪威第一份科学期刊"Magazin for Naturvidenskaberne"上发表了他的第一篇文章，该期刊是由教授Hansteen共同创办的。Abel发表了多篇文章，但该期刊很快意识到这不是为普通读者准备的材料。1823年，Abel还用法语写了一篇论文。它是"关于可能对所有微分公式进行积分的一般表述"挪威语：en alminnelig Fremstilling af Muligheten at integrere alle mulige Differential-Formler。他向大学申请资金来发表它。但是，这部作品在评审过程中丢失了，再也没有找到。
1823年中期，教授Rasmussen送给Abel 100 speciedaler礼物，以便他可以前往Copenhagen拜访Ferdinand Degen和那里的其他数学家。在Copenhagen期间，Abel在Fermat最后定理上做了一些工作。Abel的叔叔Peder Mandrup Tuxen住在Copenhagen的Christianshavn海军基地，在那里的一次舞会上Niels Abel遇见了Christine Kemp，他未来的未婚妻。1824年，Christine搬到挪威的Son工作作为家庭教师，这对情侣在圣诞节求婚。
从Copenhagen返回后，Abel申请了政府奖学金，以便访问德国和法国的顶级数学家，但他被授予了200 speciedaler的年度津贴，为期两年，以留在Christiania并学习德语和法语。在接下来的两年里，他被承诺600 speciedaler的年度奖学金，然后他将被允许出国旅行。在学习这些语言的同时，Abel在1824年发表了他的第一部重要作品，《Mémoire sur les équations algébriques où on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré》（关于代数方程的回忆录，其中证明了五次一般方程求解的不可能性）。到1823年，Abel最终证明了用根式求解五次方程是不可能的，现在被称为Abel–Ruffini定理。然而，这篇论文的形式晦涩而困难，部分原因是他为了节省印刷成本而将自己限制在只有六页。更详细的证明在1826年发表在《Crelle期刊》的第一卷中。
1825年，Abel写了一封个人信给挪威/瑞典国王Carl Johan，请求允许出国旅行。他获得了许可，1825年9月他与来自大学的四位朋友Christian P.B Boeck、Balthazar M. Keilhau、Nicolay B. Møller和Otto Tank一起离开了Christiania。这四位Abel的朋友正在前往Berlin和阿尔卑斯山学习地质。Abel想追随他们前往Copenhagen，然后从那里前往Göttingen。他奖学金的条款规定他应该访问Göttingen的Gauss，然后继续前往Paris。但是，当他到达Copenhagen时，他改变了计划。他想改为追随他的朋友前往Berlin，打算随后访问Göttingen和Paris。
在路上，他拜访了现在是Hamburg一个地区的Altona的天文学家Heinrich Christian Schumacher。然后他在Berlin呆了四个月，在那里他与August Leopold Crelle很熟悉，后者当时正要出版他的数学期刊《Journal für die reine und angewandte Mathematik》。Abel热情鼓励这个项目，为其成功做出了很大贡献。Abel在其第一年贡献了七篇文章。
从Berlin，Abel还跟随他的朋友前往阿尔卑斯山。他去了Leipzig和Freiberg拜访Georg Amadeus Carl Friedrich Naumann和他的兄弟数学家August Naumann。在Freiberg，Abel在函数理论上进行了研究，特别是椭圆、超椭圆和一类现在被称为abelian函数的新函数。
从Freiberg他们继续前往Dresden、Prague、Vienna、Trieste、Venice、Verona、Bolzano、Innsbruck、Luzern和Basel。1826年7月，Abel独自从Basel前往Paris。Abel已将大部分工作发送到Berlin，由《Crelle期刊》发表，但他为法国科学院保存了他认为最重要的工作，一个关于代数微分加法的定理。在画家Johan Gørbitz的帮助下，他在Paris找到了一间公寓并继续从事定理研究。他在1826年10月完成并将其提交给学院。它由Augustin-Louis Cauchy评审。Abel的工作在Paris鲜为人知，他的谦虚阻止他宣传他的研究。该定理被搁置一旁并遗忘直到他去世。
Abel有限的财务状况最终迫使他在1827年1月放弃了他的旅行。他回到Berlin，被提供了《Crelle期刊》编辑的职位，但他选择了退出。到1827年5月他已经回到挪威。他的国外旅行被视为失败。他没有访问Göttingen的Gauss，他也没有在Paris发表任何东西。因此他的奖学金没有更新，他不得不从挪威银行Norges Bank申请了200 spesidaler的私人贷款。他从未偿还这笔贷款。他也开始了辅导。他继续将大部分工作发送到《Crelle期刊》。但在1828年中期，他与Carl Jacobi竞争，在Altona的《Astronomische Nachrichten》上发表了一部关于椭圆函数的重要著作。
去世
在Paris期间，Abel感染了肺结核。1828年圣诞节，他乘雪橇前往挪威的Froland拜访他的未婚妻。在旅途中他变得非常病重。虽然暂时的好转使这对情侣能够一起享受假期，但他不久后在1829年4月6日去世，仅在一封来自August Crelle的信到达前两天。Crelle一直在为Abel在Berlin寻找新工作，实际上已经设法让他被任命为柏林大学的教授。Crelle写信给Abel告诉他，但这个好消息来得太晚了。
对数学的贡献
Abel证明了不存在五次方程根的一般代数解，或任何次数大于四的一般多项式方程的根的一般代数解，用明确的代数运算表示。为了做到这一点，他独立于Galois发明了一门数学分支，称为群论，这不仅在数学的许多领域中非常宝贵，而且对物理学的大部分也是如此。Abel将一篇关于五次方程不可解性的论文寄给了Carl Friedrich Gauss，后者随即毫不看一眼就丢弃了他认为是疯子毫无价值的工作。
作为一个16岁的少年，Abel给出了对二项式定理的严格证明，对所有数字都有效，扩展了Euler只对有理数成立的结果。Abel写了一部关于椭圆积分理论的基础著作，包含了椭圆函数理论的基础。在前往Paris的旅途中，他发表了一篇论文，揭示了椭圆函数的双周期性，Adrien-Marie Legendre后来向Augustin-Louis Cauchy描述为"比青铜更持久的纪念碑"，借用了罗马诗人Horatius的一句著名句子。该论文是、
