简短回答： 千禧年大奖难题是由克雷数学研究所选定并于2000年5月24日在巴黎宣布的七个开放性问题，每道题奖励100万美元。目前仅有一道被解决：庞加莱猜想，由格里戈里·佩雷尔曼在2002年和2003年发布的论文中证明。克雷数学研究所在2010年3月18日授予他奖项。他拒绝了该奖项，正如他在2006年拒绝菲尔兹奖一样。
概览
| 赞助方 | 克雷数学研究所 |
|---|---|
| 宣布日期 | 2000年5月24日，巴黎法兰西学院 |
| 奖金 | 每道题100万美元 |
| 问题 | 7 |
| 已解决 | 1：庞加莱猜想（格里戈里·佩雷尔曼） |
| 授予奖项 | 2010年3月18日；于2010年7月1日拒绝 |
| 依然未解 | 黎曼猜想、P与NP问题、纳维-斯托克斯方程、杨-米尔斯理论、霍奇猜想、伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想 |
什么是千禧年大奖难题
2000年5月24日，在巴黎法兰西学院，克雷数学研究所提出了七个难题，并承诺为第一个被接受的解决方案每道提供100万美元奖金。约翰·泰特和迈克尔·阿蒂亚当晚在讲座中介绍了这些问题。
这一背景并非巧合。一百年前，即1900年8月8日， David Hilbert 大卫·希尔伯特在巴黎国际数学家大会上提出了一份开放性问题清单，该清单引领了20世纪大部分时间的数学发展。克雷数学研究所希望为新世纪列出一份新清单，并附带奖金以吸引公众对那些鲜受关注的研究的注意。
该研究所委托相关领域领先的专家对每个问题进行了正式陈述。安德鲁·怀尔斯撰写了伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想的陈述，斯蒂芬·库克撰写了P与NP问题，皮埃尔·德利涅撰写了霍奇猜想，查尔斯·费弗曼撰写了纳维-斯托克斯方程，恩里科·邦别里撰写了黎曼猜想，阿瑟·贾菲和爱德华·威滕撰写了杨-米尔斯问题。
七个问题概览
| 问题 | 领域 | 通俗易懂的问题描述 | 状态 |
|---|---|---|---|
| 黎曼猜想 | 数论 | 黎曼ζ函数的所有非平凡零点的实部是否都等于1/2？该答案决定了素数的分布规律。 | 未解 |
| P与NP问题 | 计算机科学 | 如果一个问题的解可以被快速验证，那么它是否总能被快速找到？ | 未解 |
| 纳维-斯托克斯方程的存在性与光滑性 | 流体力学 | 三维流体流动的方程是否总有光滑解，还是会发生崩溃？ | 未解 |
| 杨-米尔斯理论的存在性与质量间隙 | 数学物理 | 杨-米尔斯量子场论是否能被严格构建，且它是否预测了最低的正能量？ | 未解 |
| 霍奇猜想 | 代数几何 | 代数形状的某些拓扑特征是否总是由更简单的代数构件构成？ | 未解 |
| 伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想 | 数论 | 是否有一个单一函数可以预测椭圆曲线上的有理点数量？ | 未解 |
| 庞加莱猜想 | 拓扑学 | 每一个闭合的三维形状，若其上的任何环都能收缩成一点，它是否等同于三维球体？ | 佩雷尔曼解决；2010年授予奖项 |
六道未解之谜
黎曼猜想
榜单中最古老的问题。 Bernhard Riemann 伯恩哈德·黎曼于1859年提出，希尔伯特将其列为1900年清单中的第八个。计算机搜索未发现线上的零点，但搜索并非证明。我们的 黎曼猜想指南 详细介绍了该论述。
P与NP问题
唯一一个来自计算机科学的问题。大多数专家认为P不等于NP，这意味着有些问题很容易验证，但很难解决。现代密码学很大程度上默认了这一预期是正确的。
纳维-斯托克斯方程
工程师每天都在使用这些方程来模拟机翼上的空气流动和管道中的水流。然而，没有人证明三维空间中总是存在平滑解，也没有人发现它们在什么情况下会发生爆破。
杨-米尔斯理论与质量间隙
该理论可以追溯到1954年 Chen Ning Yang 和罗伯特·米尔斯（Robert Mills）的一篇论文，它是粒子物理学标准模型的基石。物理学家非常成功地运用了它。但数学家尚未证明其数学基础是严谨的。
霍奇猜想
这是七个问题中最抽象的一个，也是不使用技术词汇就最难表述的一个。它询问的是，由拓扑定义的某类对象是否总是可以由多项式方程定义的对象组合而成。
伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想
布莱恩·伯奇（Bryan Birch）和彼得·斯温纳顿-戴尔（Peter Swinnerton-Dyer）在20世纪60年代初，利用剑桥大学早期的EDSAC计算机进行计算时得出了这一猜想。 Andrew Wiles，他证明了 费马大定理 在20世纪90年代，他撰写了克雷数学研究所对此猜想的陈述。
庞加莱与佩雷尔曼：唯一被解决的问题
Henri Poincaré 于1904年提出了他的猜想。大致来说，它询问的是：一个通过简单测试的三维形状（即其中的每个闭合曲线都可以在不离开该形状的情况下收缩为一个点）是否一定是一个三维球面。这个问题在一个世纪的大部分时间里都未被证明。
Grigori Perelman，一位圣彼得堡的数学家，在2002年11月11日、2003年3月10日和2003年7月17日发布到arXiv的三篇论文中解决了这个问题。他建立在里奇流（Ricci flow）的基础上，这是理查德·汉密尔顿（Richard Hamilton）在1982年的一篇论文中引入的方法，并找到了克服阻碍其进展的困难的方法。佩雷尔曼没有将这些论文提交给期刊。专家组花了几年时间对其进行了验证。
2010年3月18日，克雷数学研究所宣布了该奖项。时任克雷数学研究所所长的詹姆斯·卡尔森（James Carlson）表示：“这是数学史上的一大进步，将被长久铭记。”2010年7月1日，佩雷尔曼拒绝了该奖项。他告诉俄罗斯国际文传电讯社：“主要原因是我不同意有组织的数学界，”并补充说：“我不喜欢他们的决定，我认为它们是不公正的。”他认为汉密尔顿的贡献不亚于他自己。
这是他第二次拒绝获奖。2006年8月，在马德里举行的国际数学家大会上，他拒绝了菲尔兹奖，这是颁发给40岁以下数学家的最高奖项。在一句广为流传的言论中，他说：“我对金钱或名声不感兴趣，我不想像动物园里的动物一样被展示。”尽管如此，克雷数学研究所和庞加莱研究所还是在2010年6月于巴黎举行了会议以纪念这一成果。
解决方案如何赢得奖金
没有人通过邮寄证明给克雷数学研究所而获奖。该研究所不接受直接提交的稿件。根据其2018年9月26日最新修订的规则，解决方案只有在满足三个条件时才符合资格：
- 它已在规则定义的合格出版物上发表。
- 自发表之日起至少已过去两年。
- 它已在国际数学界获得普遍认可。
这些条件解释了为什么定期在网上和媒体上出现的所谓证明并未改变获奖统计。佩雷尔曼的案例显示了一定的灵活性：他从未在期刊上发表过论文，但克雷数学研究所在专家验证其arXiv论文后还是接受了它们。
需要天才的智商才能解决其中一个问题吗？
没有任何智力测试可以说明这一点。佩雷尔曼从未公布过智商分数，对于他或任何研究这些问题的在世数学家，都没有经过验证的智商数据。证明他能力的证据是他的工作：1982年国际数学奥林匹克竞赛中获得满分的金牌，以及证明本身。
测试也有其局限性。WAIS-IV报告的最高全量表分数为 160，大约每31600人中才有1人达到这个水平，而高于该分数的人数远多于在千禧年大奖难题上取得进展的人数。将这两个群体区分开来的是多年的专业知识、对单一问题的持续专注，以及通常情况下的一种新方法。汉密尔顿的里奇流在佩雷尔曼完成工作前已经存在了二十年。
有关历史数学家的记录，请参阅 数学家智商排名。关于高分能预测什么和不能预测什么，请参阅 什么算高智商 以及 高智力的迹象。我们的 免费智商测试 是一个练习筛选器，而 智商指南 解释了专业测试的工作原理。
常见问题
已经解决了多少个千禧年大奖难题？
一个。庞加莱猜想由格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman）在2002年和2003年发布的论文中证明，克雷数学研究所于2010年3月18日授予他该奖项。其他六个问题，包括黎曼猜想和P对NP问题，仍然未解。
格里戈里·佩雷尔曼为什么要拒绝100万美元的奖金？
他于2010年告诉国际文传电讯社，主要原因是由于他与有组织的数学界意见不合，他称其决定是不公正的。他还认为理查德·汉密尔顿（Richard Hamilton）的贡献，即他所建立的里奇流（Ricci flow）方法，并不亚于他自己的贡献。他此前已于2006年拒绝了菲尔兹奖。
千禧年大奖难题由谁支付？
克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute），美国的一家私人基金会。它于2000年5月24日在巴黎宣布了这些问题，并承诺为每一个被接受的首次解决方案提供100万美元奖金。解决方案必须发表，经过至少两年的检验，并赢得数学界的普遍认可。
哪一个千禧年大奖难题最简单？
没有一个难题是简单的，专家们对于哪一个最接近被解决也存在分歧。P与NP问题在日常语言中最容易表述，而纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）问题看起来最具体，因为工程师们每天都在使用这些方程。表述的难易度并不代表证明的难易度。
我可以向克雷数学研究所提交证明吗？
不可以。克雷不接受直接提交。拟议的解决方案必须首先出现在合格的出版物中，至少经过两年的时间，并且在数学界获得普遍认可后，该研究所才会考虑它。
来源
- 千禧年大奖难题（维基百科） — 公告日期和演讲者、问题列表、官方声明作者、截至2026年的状态
- 克雷数学研究所：庞加莱猜想解决奖授予（新闻稿，2010年3月18日） — 颁奖日期、佩雷尔曼（Perelman）在arXiv上的三个日期、汉密尔顿的里奇流、卡尔森（Carlson）引述、2010年6月巴黎会议
- 千禧年大奖难题规则（克雷数学研究所） — 不接受直接提交；合格的发表渠道、两年等待期、普遍认可；规则于2018年9月26日通过
- 千禧年大奖难题（克雷数学研究所和美国数学学会，书籍） — 法兰西公学院会议、泰特（Tate）和阿蒂亚（Atiyah）讲座、希尔伯特（Hilbert）1900年8月8日的讲座、Birch和Swinnerton-Dyer问题的EDSAC起源
- 俄罗斯数学家拒绝100万美元奖金（美联社通过NBC新闻，2010年） — 佩雷尔曼对国际文传电讯社的引述及其对汉密尔顿贡献的看法
- 格里戈里·佩雷尔曼（维基百科） — 2006年8月22日在马德里拒绝菲尔兹奖，关于金钱和名声的引述，2010年7月1日拒绝领奖，1982年奥林匹克竞赛金牌
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