如果我只有定理就好了！那样我就能轻而易举地找到证明。
Georg Friedrich Bernhard Riemann是一位德国数学家，在分析、数论和微分几何领域做出了重要贡献。在实分析领域，他最著名的是首次严格阐述了积分，即Riemann积分，以及他在Fourier级数上的工作。他在复分析中的贡献包括最著名的Riemann曲面的引入，在复分析的自然几何处理中开辟了新的领域。他在1859年发表的关于素数计数函数的著名论文，包含了Riemann假设的原始陈述，被认为是解析数论中最具影响力的论文之一。通过他对微分几何的开创性贡献，Riemann为广义相对论的数学奠定了基础。许多人认为他是有史以来最伟大的数学家之一。
传记
早年
Riemann于1826年9月17日在Breselenz出生，这是一个靠近Dannenberg的村庄，位于Hanover王国。他的父亲Friedrich Bernhard Riemann是Breselenz的一位贫穷的路德教牧师，曾在拿破仑战争中作战。他的母亲Charlotte Ebell在孩子们成年前就去世了。Riemann是六个孩子中的第二个，性格羞涩，经常遭受神经衰弱的折磨。Riemann从小就表现出非凡的数学技能，比如计算能力，但他胆小怕事，害怕在公众面前讲话。
教育
在1840年，Riemann前往Hanover与他的祖母同住，并就读于中学。在他的祖母于1842年去世后，他就读于Johanneum Lüneburg高中。在高中期间，Riemann深入研究圣经，但他经常被数学分散注意力。他的老师对他进行复杂数学运算的出色能力感到惊讶，在这方面他常常超过他的老师的知识。1846年，19岁的他开始学习语文学和基督教神学，目的是成为一名牧师并帮助家庭的经济状况。
1846年春天，他的父亲筹集了足够的资金后，将Riemann送往Göttingen大学，他计划在那里攻读神学学位。然而，一旦到了那里，他开始在Carl Friedrich Gauss的指导下学习数学，特别是他关于最小二乘法的讲座。Gauss建议Riemann放弃神学工作，进入数学领域；在得到父亲的批准后，Riemann在1847年转入Berlin大学。在他的学习期间，Carl Gustav Jacob Jacobi、Peter Gustav Lejeune Dirichlet、Jakob Steiner和Gotthold Eisenstein都在教书。他在Berlin待了两年，在1849年回到Göttingen。
学术生涯
Riemann在1854年发表了他的第一次讲座，建立了Riemannian几何领域，为Albert Einstein的广义相对论奠定了基础。1857年，有人试图将Riemann晋升为Göttingen大学的特聘教授。尽管这次尝试失败了，但它确实导致Riemann最终获得了固定薪资。1859年，在持有Göttingen大学Gauss教席的Dirichlet去世后，他被晋升为Göttingen大学数学系的主任。他还首先建议使用高于三维或四维的维度来描述物理现实。
1862年，他与Elise Koch结婚，他们有一个女儿Ida Schilling，出生于1862年12月22日。
新教家庭和在意大利去世
1866年当Hanover和Prussia的军队在Göttingen发生冲突时，Riemann逃离了Göttingen。他在第三次意大利之行中死于肺结核，地点在Selasca，现在是Verbania在Maggiore湖上的一个小镇，他被埋葬在Biganzolo Verbania的墓地里。
Riemann是一位虔诚的基督徒，是一位新教部长的儿子，他把自己的数学家生涯看作是侍奉上帝的另一种方式。在他的一生中，他紧密坚持他的基督教信仰，并认为它是他生活中最重要的方面。在他去世时，他正与妻子一起背诵主祷文，并在他们完成祈祷前去世。与此同时，在Göttingen，他的女仆丢弃了他办公室里的一些文件，包括许多未发表的作品。Riemann拒绝发表不完整的作品，一些深刻的见解可能已经永远失去了。
Riemann在Biganzolo意大利的墓碑引用了罗马书8:28：
安息在上帝怀中
Georg Friedrich Bernhard Riemann
Göttingen教授
生于Breselenz，1826年9月17日
卒于Selasca，1866年7月20日
对于爱上帝的人，一切都必定互相效力，叫爱上帝的人得益处
安息在上帝怀中 Georg Friedrich Bernhard Riemann Göttingen教授 生于Breselenz，1826年9月17日 卒于Selasca，1866年7月20日 对于爱上帝的人，一切都必定互相效力，叫爱上帝的人得益处
Riemannian几何
Riemann的已发表著作开启了结合分析与几何的研究领域。这些随后成为Riemannian几何、代数几何和复流形理论的主要部分。Riemann曲面理论后来由Felix Klein和特别是Adolf Hurwitz进一步阐述。这一数学领域是拓扑学基础的一部分，仍在以新的方式应用于数学物理。
1853年，Gauss要求他的学生Riemann准备一篇关于几何基础的Habilitationsschrift论文。经过几个月的努力，Riemann发展了他的高维理论，并在1854年在Göttingen发表了题为"Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen"（几何所基于的假设）的讲座。它直到12年后的1868年才由Dedekind发表，这是他去世后两年。它的早期反响似乎很缓慢，但现在它被认为是几何中最重要的著作之一。
这部著作创立的学科是Riemannian几何。Riemann找到了正确的方法将曲面微分几何扩展到n维，Gauss本人在他的theorema egregium中证明了这一点。基本对象被称为Riemann曲率张量。对于曲面情况，这可以简化为一个标量数，为正、负或零；非零和常数情况是已知的非欧几何的模型。
Riemann的想法是在空间中的每一点引入一组数字，即一个张量，它会描述该点的弯曲或曲率程度。Riemann发现在四维空间中，需要在每一点上有十个数字的集合来描述流形的性质，无论它如何扭曲。这是他几何中的著名构造，现在称为Riemannian度量。
复分析
在他的博士论文中，他通过Riemann曲面为复分析建立了几何基础，通过Riemann曲面，多值函数如具有无穷多张的对数或具有两张的平方根可以变成单值函数。复函数是调和函数，即它们满足Laplace方程，因此在这些曲面上满足Cauchy-Riemann方程，由其奇点的位置和曲面的拓扑结构描述。Riemann曲面的拓扑"种数"由g = w / 2 − n + 1参数"模"给出。
他在这一领域的贡献众多。著名的Riemann映射定理指出，复平面中的单连通区域"双全纯等价"，即存在一个双射，它本身是全纯的且有全纯逆，要么对应于C，要么对应于单位圆的内部。定理对Riemann曲面的推广是著名的单值化定理，由19世纪的Henri Poincaré和Felix Klein证明。同样，严格的证明最初是在更丰富的数学工具发展之后才给出的，在这种情况下，拓扑学。为了证明Riemann曲面上函数的存在性，他使用了一个最小化条件，他称之为Dirichlet原理。Karl Weierstrass在证明中发现了一个漏洞：Riemann没有注意到他的工作假设即最小值存在可能不适用；函数空间可能不完整，因此最小值的存在是不能保证的。通过David Hilbert在变分法中的工作，Dirichlet原理最终被建立。此外，Weierstrass对Riemann印象深刻，特别是他的阿贝尔函数理论。当Riemann的著作发表时，Weierstrass从Crelle杂志撤回了他的论文并没有发表它。当Riemann在1859年访问他在Berlin时，他们有很好的理解。Weierstrass鼓励他的学生Hermann Amandus Schwarz在复分析中寻找Dirichlet原理的替代品，他很成功。一则来自Arnold Sommerfeld的轶事显示了当代数学家对Riemann新思想的困难。1870年，Weierstrass带着Riemann的论文去Rigi度假，抱怨说很难理解。物理学家Hermann von Helmholtz通宵帮助他研究，评论说它是"自然的"和"非常易懂的"。
其他亮点包括他在Riemann曲面上的阿贝尔函数和theta函数的工作。从1857年开始，Riemann一直在与Weierstrass竞争，以解决阿贝尔积分的Jacobian逆问题，这是椭圆积分的推广。Riemann使用了多个变量中的theta函数，并将问题简化为这些theta函数零点的确定。Riemann还研究了周期矩阵，并通过"Riemannian周期关系"（对称，实部为负）来表征它们。由Ferdinand Georg Frobenius和Solomon Lefschetz，该关系的有效性等价于C n / Ω的嵌入，这是Riemann曲面的Jacobian簇，是阿贝尔流形的一个例子。
许多数学家如Alfred Clebsch推进了Riemann在代数曲线上的工作。这些理论取决于定义在Riemann曲面上的函数的性质。例如，Riemann-Roch定理（Roch是Riemann的学生）说了关于在Riemann曲面的零点和极点处具有已知条件的线性独立微分形式个数的内容。
根据Detlef Laugwitz，自守函数首次出现在关于带电圆柱体上Laplace方程的论文中。然而，Riemann在他1859年关于超几何函数的讲座中或在他关于最小曲面的论文中使用这样的函数进行保角映射，比如将拓扑三角形映射到圆。
实分析
在实分析领域，他在其habilitation论文中发现了Riemann积分。除其他外，他证明了每个分段连续函数都是可积的。类似地，Stieltjes积分也可以追溯到这位Göttingen数学家，因此它们一起被命名为Riemann-Stieltjes积分。
在他关于Fourier级数的habilitation工作中，他追随他的老师Dirichlet的工作，他证明了Riemann可积函数可由Fourier级数"表示"。Dirichlet已经为连续的、分段可微的函数证明了这一点，即有可数个不可微点。Riemann给出了一个由Fourier级数表示的连续、几乎处处不可微函数的例子，这是Dirichlet未涵盖的情况。他还证明了Riemann-Lebesgue引理：如果一个函数可以由Fourier级数表示，那么当n很大时，Fourier系数趋于零。
Riemann的论文也是Georg Cantor使用Fourier级数进行工作的起点，这是集合论的动力。
他还在1857年使用复分析方法研究了超几何微分方程，并通过关于奇点的闭合路径的行为（由monodromy矩阵描述）来呈现解。通过预先已知的monodromy矩阵来证明这些微分方程存在性的证明是Hilbert问题之一。
数论
他对现代解析数论做出了一些著名的贡献。在一篇他发表的关于数论主题的短文中，他研究了现在以他的名字命名的zeta函数，建立了它对理解素数分布的重要性。Riemann假设是他对该函数性质所做的一系列猜想之一。
在Riemann的工作中，还有许多其他有趣的发展。他证明了zeta函数的函数方程，这个方程已为Leonhard Euler所知，其背后隐藏着一个theta函数。通过对具有实部1/2的直线上的非平凡零点的这个逼近函数的求和，他给出了π x的精确的"显式公式"。
Riemann知道Pafnuty Chebyshev关于素数定理的工作。他h
