Niels Henrik Abel был норвежским математиком, который внёс пионерский вклад в различные области. Его самый известный результат — первое полное доказательство невозможности решения общего уравнения пятой степени в радикалах.
Этот вопрос был одной из выдающихся открытых проблем его времени и оставался нерешённым более 250 лет. Он также был новатором в области эллиптических функций, открывателем абелевых функций. Он сделал свои открытия, живя в нищете, и умер в возрасте 26 лет от туберкулёза.
Большинство его работ было выполнено за шесть или семь лет его трудовой жизни. О Abel французский математик Charles Hermite сказал: "Abel оставил математикам достаточно работы на пятьсот лет." Другой французский математик, Adrien-Marie Legendre, сказал: "quelle tête celle du jeune Norvégien!" "какая голова у этого молодого норвежца!".
Премия Abel в математике, первоначально предложенная в 1899 году для дополнения премий Nobel, названа в его честь.
Жизнь
Ранняя жизнь
Niels Henrik Abel родился в Nedstrand, Норвегия, как второй ребёнок пастора Søren Georg Abel и Anne Marie Simonsen. Когда родился Niels Henrik Abel, семья жила в пастырском доме на Finnøy. Многое указывает на то, что Niels Henrik родился в соседском приходе, так как его родители были гостями байлифа в Nedstrand в июле/августе года его рождения.
Отец Niels Henrik Abel, Søren Georg Abel, имел степень по теологии и философии и служил пастором на Finnøy. Отец Søren, дедушка Niels, Hans Mathias Abel, также был пастором в церкви Gjerstad близ города Risør. Søren провёл своё детство в Gjerstad и также служил там капелланом; после смерти своего отца в 1804 году Søren был назначен пастором в Gjerstad и семья переехала туда. Семья Abel происходила из Schleswig и приехала в Норвегию в XVII веке.
Anne Marie Simonsen была из Risør; её отец, Niels Henrik Saxild Simonsen, был торговцем и владельцем торгового флота и считался самым богатым человеком в Risør. Anne Marie выросла с двумя мачехами в относительно роскошных условиях. В пастырском доме Gjerstad она с удовольствием устраивала балы и светские собрания. Многое указывает на то, что она рано стала алкоголичкой и мало интересовалась воспитанием детей. Niels Henrik и его братья получали образование от своего отца, используя рукописные книги для чтения. На странице таблицы сложения в книге по математике читается: 1+0=0.
Кафедральная школа и Королевский университет Frederick
С норвежской независимостью и первыми выборами, проведёнными в Норвегии в 1814 году, Søren Abel был избран представителем в Storting. Заседания Storting проводились до 1866 года в главном зале Кафедральной школы в Christiania, ныне известной как Oslo. Почти наверняка именно так он познакомился со школой, и он решил, что его старший сын, Hans Mathias, должен начать там в следующем году. Однако, когда приближалось время его отъезда, Hans был настолько опечален и подавлен необходимостью покидать дом, что его отец не осмелился отправить его. Он решил отправить вместо этого Niels.
В 1815 году Niels Abel поступил в Кафедральную школу в возрасте 13 лет. Его старший брат Hans присоединился к нему там год спустя. Они делили комнаты и посещали уроки вместе. Hans получал лучшие оценки, чем Niels; однако в 1818 году был назначен новый учитель математики, Bernt Michael Holmboe. Он давал студентам математические задания для домашней работы. Он увидел талант Niels Henrik к математике и поощрял его изучать этот предмет на продвинутом уровне. Он даже давал Niels приватные уроки после школы.
В 1818 году Søren Abel имел публичный теологический спор с теологом Stener Johannes Stenersen относительно его катехизиса от 1806 года. Спор был хорошо освещен в прессе. Søren получил прозвище "Abel Treating" норвежский: "Abel Spandabel". Реакция Niels на ссору была, как говорят, "чрезмерное веселье". В то же время Søren также едва не столкнулся с импичментом после оскорбления Carsten Anker, хозяина Норвежского учредительного собрания; и в сентябре 1818 года он вернулся в Gjerstad с разрушенной политической карьерой. Он начал пить тяжело и умер всего два года спустя, в 1820 году, в возрасте 48 лет.
Bernt Michael Holmboe поддержал Niels Henrik Abel стипендией, чтобы остаться в школе, и собрал деньги у своих друзей, чтобы позволить ему учиться в Королевском университете Frederick.
Когда Abel поступил в университет в 1821 году, он уже был самым знающим математиком в Норвегии. Holmboe больше нечему было его учить, и Abel изучил всю последнюю математическую литературу в библиотеке университета. В то время Abel начал работать над уравнением пятой степени в радикалах. Математики искали решение этой проблемы более 250 лет. В 1821 году Abel подумал, что нашёл решение. Два профессора математики в Christiania, Søren Rasmussen и Christopher Hansteen, не нашли ошибок в формулах Abel и отправили работу ведущему математику скандинавских стран, Carl Ferdinand Degen в Copenhagen. Он тоже не нашёл недостатков, но всё же сомневался, что решение, которое так долго искали многие выдающиеся математики, действительно могло быть найдено неизвестным студентом в далёкой Christiania. Однако Degen отметил необычайно острый ум Abel и верил, что такой талантливый молодой человек не должен тратить свои способности на такой "бесплодный объект", как уравнение пятой степени, а скорее на эллиптические функции и трансцендентность; тогда, писал Degen, он "откроет магеллановы проливы в большие части обширного аналитического океана". Degen попросил Abel дать численный пример его метода. Пытаясь предоставить пример, Abel нашёл ошибку в своей статье. Это привело к открытию в 1823 году, что решение уравнения пятой или более высокой степени было невозможно.
Abel окончил университет в 1822 году. Его успеваемость была исключительно высокой в математике и средней в других предметах.
Карьера
После выпуска профессора университета финансово поддерживали Abel, и профессор Christopher Hansteen позволил ему жить в комнате на чердаке его дома. Abel позже рассматривал Ms. Hansteen как свою вторую мать. Живя здесь, Abel помогал своему младшему брату, Peder Abel, сдать экзамены. Он также помог своей сестре Elisabeth найти работу в городе.
В начале 1823 года Niels Abel опубликовал свою первую статью в "Magazin for Naturvidenskaberne", первом научном журнале Норвегии, который был основан в соавторстве профессором Hansteen. Abel опубликовал несколько статей, но журнал вскоре понял, что это был не материал для широкой публики. В 1823 году Abel также написал статью на французском языке. Это было "a general representation of the possibility to integrate all differential formulas" норвежский: en alminnelig Fremstilling af Muligheten at integrere alle mulige Differential-Formler. Он подал заявку на средства в университет для её публикации. Однако работа была потеряна во время рецензирования и никогда больше не была найдена.
В середине 1823 года профессор Rasmussen подарил Abel 100 speciedaler, чтобы он мог путешествовать в Copenhagen и посетить Ferdinand Degen и других математиков там. Находясь в Copenhagen, Abel проделал некоторую работу над Последней теоремой Fermat. Дядя Abel, Peder Mandrup Tuxen, жил на военно-морской базе в Christianshavn, Copenhagen, и на балу там Niels Abel встретил Christine Kemp, свою будущую невесту. В 1824 году Christine переехала в Son, Норвегия, чтобы работать гувернанткой, и пара обручилась на Рождество.
После возвращения из Copenhagen Abel подал заявку на государственную стипендию, чтобы посетить ведущих математиков в Germany и France, но вместо этого ему была предоставлена стипендия в размере 200 speciedaler в год на два года для проживания в Christiania и изучения немецкого и французского языков. В течение следующих двух лет ему была обещана стипендия в размере 600 speciedaler в год, и ему было разрешено бы путешествовать за границу. Изучая эти языки, Abel опубликовал свою первую значительную работу в 1824 году, Mémoire sur les équations algébriques où on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré Мемуар об алгебраических уравнениях, в котором доказана невозможность решения общего уравнения пятой степени. К 1823 году Abel наконец доказал невозможность решения уравнения пятой степени в радикалах, теперь называемую теоремой Abel–Ruffini. Однако эта статья была в абстрактной и трудной форме, отчасти потому, что он ограничился только шестью страницами, чтобы сэкономить на печати. Более подробное доказательство было опубликовано в 1826 году в первом томе Журнала Crelle.
В 1825 году Abel написал личное письмо королю Carl Johan Норвегии/Швеции с просьбой разрешения путешествовать за границу. Ему было дано это разрешение, и в сентябре 1825 года он покинул Christiania вместе с четырьмя друзьями из университета Christian P.B Boeck, Balthazar M. Keilhau, Nicolay B. Møller и Otto Tank. Эти четыре друга Abel путешествовали в Berlin и в Alps для изучения геологии. Abel хотел последовать за ними в Copenhagen и оттуда направиться в Göttingen. Условия его стипендии предусматривали, что он должен был посетить Gauss в Göttingen, а затем продолжить в Paris. Однако, когда он дошёл до Copenhagen, он изменил свои планы. Он хотел последовать за своими друзьями в Berlin, намереваясь посетить Göttingen и Paris впоследствии.
По пути он посетил астронома Heinrich Christian Schumacher в Altona, ныне районе Hamburg. Затем он провёл четыре месяца в Berlin, где хорошо познакомился с August Leopold Crelle, который собирался опубликовать свой математический журнал, Journal für die reine und angewandte Mathematik. Этот проект был активно поддержан Abel, который внёс большой вклад в успех предприятия. Abel внёс семь статей в него в его первый год.
Из Berlin Abel также последовал за своими друзьями в Alps. Он отправился в Leipzig и Freiberg, чтобы посетить Georg Amadeus Carl Friedrich Naumann и его брата математика August Naumann. В Freiberg Abel проводил исследования в теории функций, в частности эллиптических, гиперэллиптических и нового класса, ныне известного как абелевы функции.
Из Freiberg они отправились в Dresden, Prague, Vienna, Trieste, Venice, Verona, Bolzano, Innsbruck, Luzern и Basel. С июля 1826 года Abel путешествовал самостоятельно из Basel в Paris. Abel отправил большинство своих работ в Berlin для публикации в Журнал Crelle, но он сохранил то, что он считал своей самой важной работой для Французской академии наук, теорему о сложении алгебраических дифференциалов. С помощью художника, Johan Gørbitz, он нашёл квартиру в Paris и продолжил работу над теоремой. Он закончил в октябре 1826 года и подал его в академию. Его должен был рецензировать Augustin-Louis Cauchy. Работа Abel была едва ли известна в Paris, и его скромность удерживала его от объявления о своих исследованиях. Теорема была отложена и забыта до его смерти.
Ограниченные финансы Abel наконец заставили его прекратить свой тур в январе 1827 года. Он вернулся в Berlin и ему предложили должность редактора Журнала Crelle, но он отказался. К май 1827 года он вернулся в Норвегию. Его тур за границей считался неудачей. Он не посетил Gauss в Göttingen и ничего не опубликовал в Paris. Его стипендия поэтому не была продлена, и ему пришлось взять личный заём в Norges Bank в размере 200 spesidaler. Он никогда не погасил этот заём. Он также начал заниматься репетиторством. Он продолжал отправлять большинство своих работ в Журнал Crelle. Но в середине 1828 года он опубликовал, в соперничестве с Carl Jacobi, важную работу об эллиптических функциях в Astronomische Nachrichten в Altona.
Смерть
Находясь в Paris, Abel заразился туберкулёзом. На Рождество 1828 года он путешествовал на санях в Froland, Норвегия, чтобы навестить свою невесту. Он серьёзно заболел во время путешествия. Хотя временное улучшение позволило паре провести праздник вместе, он умер вскоре после этого 6 апреля 1829 года, всего за два дня до того, как пришло письмо от August Crelle. Crelle искал новую работу для Abel в Berlin и фактически управлял его назначением профессором в Университет Berlin. Crelle написал Abel, чтобы рассказать ему об этом, но хорошая новость пришла слишком поздно.
Вклад в математику
Abel показал, что не существует общего алгебраического решения для корней уравнения пятой степени или любого общего полиномиального уравнения степени выше четырёх в терминах явных алгебраических операций. Для этого он независимо от Galois изобрёл раздел математики, известный как теория групп, который бесценен не только во многих областях математики, но и во многих областях физики. Abel отправил статью о неразрешимости уравнения пятой степени Carl Friedrich Gauss, который счёл нужным выбросить без взгляда то, что он считал бесполезной работой сумасшедшего.
В возрасте 16 лет Abel дал строгое доказательство биномиальной теоремы, справедливое для всех чисел, расширив результат Euler, который действовал только для рациональных чисел. Abel написал фундаментальную работу по теории эллиптических интегралов, содержащую основания теории эллиптических функций. Путешествуя в Paris, он опубликовал статью, раскрывающую двойную периодичность эллиптических функций, которую Adrien-Marie Legendre позже описал Augustin-Louis Cauchy как "памятник более долговечный, чем бронза" заимствуя знаменитую фразу римского поэта Horatius. Эта статья была,
