マリナ・ヴィアゾフスカ：8次元を充填した魔法の関数

2016年3月、マリナ・ヴィアゾフスカ (Maryna Viazovska) が短い論文をオンラインで公開してから数時間のうちに、数学者のアクシャイ・ヴェンカテシュ (Akshay Venkatesh) は、同僚に「ワオ！」という一言だけの件名でメールを送った。その論文は、数十年にわたって未解決だった8次元空間における球充填に関する問題を、わずか数ページの証明で解決したのである。プリンストン大学のピーター・サルナック (Peter Sarnak) によれば、その論文は「手にとったら読み終わるまで置けないような論文」であるほどエレガントだった。6年後、ヴィアゾフスカは史上2人目の女性フィールズ賞受賞者となった。

ソ連崩壊後のキエフで育った化学者の娘

マリナ・セルヒーイヴナ・ヴィアゾフスカは1984年12月2日、キエフで3人姉妹の長女として生まれた。父はアントノフ航空機工場の化学者、母はエンジニアであった。彼女はソ連崩壊後のウクライナの経済的混乱の中で育ち、科学の才能がある学生のための専門学校であるキエフ第145自然科学リセウムに通った。そこで、数学研究者から教師に転身したアンドリー・クニャジュク (Andrii Knyazyuk) が彼女の初期の数学的発達を形作った。彼女はオリンピックで本格的に競い合い、国際数学オリンピックのトレーニングに参加する12人の生徒を選ぶ国内大会で13位となり、惜しくも選出を逃したが、タラス・シェフチェンコ記念キエフ国立大学の学部生として、2002年と2005年の両方で国際大学数学コンペティションで優勝し、同じ年に初の研究論文を共著した。

キエフからボンへ

彼女の正式なトレーニングは複数の国にわたる。ドイツのカイザースラウテルン大学で修士号（2007年）、ウクライナ国立科学アカデミー数学研究所で博士号（2010年）、そして2013年にはボン大学で博士号（Dr. rer. nat.）を取得した。ボン大学ではドン・ザギエ (Don Zagier) とヴェルナー・ミュラー (Werner Müller) の下で、モジュラー形式と解析的整数論における特別なサイクルを学んだ。画期的な成果を上げる以前から、彼女は研究者としての評価を確立していた。アンドリー・ボンダレンコ (Andriy Bondarenko) およびダニーロ・ラチェンコ (Danylo Radchenko) との2011年の論文は、任意の次元における小さな球状デザインに関するコリーヴァールとメイヤーズの予想を証明するもので、整数論のサークル外で広く知られるようになる数年前に、最も選択的なジャーナルの一つである『Annals of Mathematics』に掲載された。

球充填問題

ヴィアゾフスカが答えを出そうとした問いには、古くからの有名な歴史がある。同一の球を空間に充填して、可能な限り最大の体積率を占めるにはどうすればよいか？3次元ではこれはケプラー予想であり、1990年代後半から2000年代にかけて、コンピュータ支援による網羅的な論証を通じてようやく証明された。ある高次元では、非常に高度に対称的な特殊な格子（特に8次元のE₈格子と24次元のリーチ格子）のために、問題は予期せぬ構造を持つようになる。数学者たちは長い間、これらの格子がそれぞれの次元において最も密な球充填を与えるのではないかと疑っていたが、それを証明する方法を誰も持っていなかった。

「魔法の関数」

2016年、ベルリン数学学校、フンボルト大学でのポスドク研究員、およびプリンストンでのミネルヴァ・フェローシップを経て、ほぼ独力で作業を進めていたヴィアゾフスカは、8次元に対する「魔法の関数」と呼ばれるものを構築した。それは、ほとんどの整数論学者がこのような証明に必要だと考えていたモジュラー形式からではなく、意図的に不完全な対称性を持つ準モジュラー形式から構築されたものだった。この関数により彼女は、この分野の基準から見ても驚くほど短くクリーンな議論で、E₈格子が8次元で最も密な球充填を確かに提供することを証明した。1週間以内に、ヘンリー・コーン (Henry Cohn)、アビナフ・クマール (Abhinav Kumar)、スティーブン・D・ミラー (Stephen D. Miller)、ダニーロ・ラチェンコと協力して、彼女は同じ手法を拡張し、リーチ格子を用いて24次元のケースを解決した。これは後にラチェンコが「おそらく私の人生で最もクレイジーな1週間」と呼んだ、爆発的な共同研究であった。互いに数日おきに発表されたこれらの2つの結果は、3次元以外で正確な答えが知られていた唯一の2つの次元における球充填を解決した。

充填を超えて：普遍的最適性

ヴィアゾフスカと彼女の共同研究者たちはその後数年間でさらに研究を進め、2019年にE₈格子とリーチ格子が「普遍的に最適」であることを証明した。これは、1つの物理モデルだけでなく、電子反発からポリマー構成に至るまで、幅広いエネルギー関数全体でポテンシャルエネルギーを最小化することを意味する。数学者のシルビア・セルファティ (Sylvia Serfaty) はこの結果を「19世紀の偉大な進歩」になぞらえ、「科学の偉大な前進」と呼んだ。この研究はまた、部分的なスペクトル情報から関数を再構築するというヴィアゾフスカのアプローチを通じて、フーリエ解析をより広く発展させた。これは、この問題を触発した球充填問題を超えた応用を持つ手法である。

フィールズ賞と評価

2022年7月、ヴィアゾフスカはフィールズ賞を受賞した。これはマリアム・ミルザハニ (Maryam Mirzakhani) に続く史上2人目の女性、ウラジーミル・ドリンフェルト (Vladimir Drinfeld) に続くウクライナ・ソビエト社会主義共和国出身で2人目の数学者、そしてウクライナの大学で学位を取得した初のフィールズ賞受賞者となった。この栄誉に先立ち、彼女はサレム賞（2016年）、クレイ研究賞（2017年）、SASTRAラマヌジャン賞（2017年）、欧州組合せ論賞（2017年）、ニュー・ホライズン賞（2018年）、ルース・リトル・サッター賞（2019年）、フェルマー賞（2019年）、EMS賞（2020年）、ラツィス賞（2020年）など、多くの主要な賞を受賞している。2022年後半にはBBCの「100人の女性」リストに選出された。2018年1月より、スイスのローザンヌにあるEPFLで整数論の教授を務めている。彼女は、10代の頃の放課後の物理グループで出会った夫の物理学者ダニール・エヴトゥシンスキー (Daniil Evtushinsky) と、彼らの2人の子供と共に暮らしている。

マリナ・ヴィアゾフスカが天才と呼ばれる理由

「天才」というラベルの背景にある具体的な数学的性質は、ヴィアゾフスカが閉形式で正確な証明を構築したことである。専門分野では、3次元のケプラー予想の場合と同様に、数百ページに及ぶコンピュータ支援による網羅的な証明が必要だと期待されていた。8次元の証明を成功させた精密な準モジュラー形式を見つけるには、モジュラー形式の深い技術的習得と、どの関数が必要な補間条件を満たすかという、教えるのが難しいほぼ美的感覚に近い直感の組み合わせが必要であった。この直感こそが、サルナックからヴェンカテシュに至るまで、論文を査読した数学者たちが日常的な専門的承認ではなく、あからさまな驚きをもって反応した理由である。このフレームワークの誠実な限界は、8次元と24次元における球充填問題が解決可能だったのは、まさにこれらの2つの次元が一般次元には利用できない例外的な格子構造（E₈とリーチ格子）を持つためであるという点だ。この成果は任意の次元に一般化されるものではなく、球充填問題は他のほとんどの場所で未解決のままである。さらに、24次元への拡張は、ソロでの作業ではなく、ヘンリー・コーン、アビナフ・クマール、スティーブン・D・ミラー、ダニーロ・ラチェンコとの迅速なグループ共同研究であり、称賛された8次元の証明でさえ、コーンを含む他の研究者がヴィアゾフスカが完成に必要な特定の関数を見つける前に既に開発していた球充填境界に対する既存の線形計画法のアプローチに基づいていた。

功績

ヴィアゾフスカの手法は、充填、エネルギー最小化、フーリエ補間問題の研究における標準的な参照点となっており、ロシアによるウクライナ全面侵攻の最初の数ヶ月の間に授与された彼女のフィールズ賞は、ウクライナの科学にとって特別な象徴的意味を持った。彼女は以来、ウクライナの数学機関を公に支援し続けている。EPFLでは、自身のキャリアを定義するのに貢献した格子幾何学と解析的整数論の境界線で取り組む次世代の整数論学者を育て続けている。