エンドレ・セメレディ：あらゆる混沌の中に秩序はある

医学部の学生として6か月過ごした後、エンドレ・セメレディ（Endre Szemerédi）は、メスを握る自分を信用できないと判断し、「そのような責任を伴う仕事をする」能力に欠けていると後に語って、医学部を中退した。しばらくの間は進路を迷っていたが、その後数学を専攻することになり、事務的な手違いで、全く希望していなかった指導教官に割り当てられた。その書類の誤りが彼をモスクワへ導き、セメレディが本来希望していたアレクサンドル・ゲリフォント（Alexander Gelfond）ではなく、20世紀の偉大な数学者の一人であるイスラエル・ゲルファント（Israel Gelfand）の下で学ぶことになった。これは数学界における最高の事故の一つである。

間違いによってブダペストからモスクワへ

セメレディは1940年8月21日、ブダペストで生まれた。医学部での短い試みと挫折を経て、ブダペストのエトヴェシュ・ロラーンド大学で学士号を取得し、その後、モスクワ州立大学で修士および博士課程に進んだ。そこで、誤った指導教官を割り当てられたという事務的ミスを経てゲルファントの下で学び、離散数学のキャリアを始めた。この分野は後に、組合せ論にはめったに与えられないフィールズ賞に匹敵する評価、すなわちアーベル賞を彼にもたらすことになる。

彼の名を冠した定理

1975年に発表されたセメレディの決定的な功績は、ポール・エルデシュ（Paul Erdős）とトゥラーン・パール（Pál Turán）が数十年前に提起し、それ以来あらゆる攻撃を退けてきた予想を解決したことである。それは「正の上密度を持つ自然数の集合は、どれほど長くても、あらゆる長さの算術級数を含む」というものである。これは隠された秩序についての言明である。十分に大きな整数の集合は、どれほど不規則あるいは疎に見えても、その中に必ずパターン化された数列が埋め込まれているのである。アーベル賞委員会は後に、彼の業績の精神を「あらゆる混沌の中に秩序はある」という一言に要約した。

正規性補題

その定理の証明は、定理そのものよりもさらに重要なものを生み出した。その過程で、セメレディは現在「セメレディの正規性補題（Szemerédi regularity lemma）」と呼ばれるものを導入した。これは、十分に大きなグラフであれば、統計的に見て互いにほぼランダムに振る舞うような限定された数の断片に分割できることを示す構造的な結果である。技術的な補題のように聞こえるが、これは現代の組合せ論の核心的なツールの一つとなり、プロパティテスト、グラフ極限理論、そしてその後の数十年にわたって発展した極限グラフ理論の大部分の基礎となった。ティモシー・ガワーズ（Timothy Gowers）やラースロー・ロヴァース（László Lovász）のようなフィールズ賞受賞者が、この証明の帰結を追跡することに丸ごとの講義を費やしているほどであり、ある証明の副産物が元の定理以上に大きな影響力を持つに至った稀な例である。

多くの結果の命名

セメレディのキャリアは、現在彼と協力者の名前を冠した多くの結果を生み出している。入射幾何学における平面上の点と線が何回交差するかを制限するセメレディ・トロッターの定理（Szemerédi–Trotter theorem）、グラフ彩色におけるハイナル・セメレディの定理（Hajnal–Szemerédi theorem）、算術的組合せ論という分野の基礎となった有限集合における和と積に関するエルデシュ・セメレディの定理（Erdős–Szemerédi theorem）、そしてミクローシュ・アイタイ（Miklós Ajtai）とのコーナー定理（corners theorem）がある。さらにアイタイとヤーノシュ・コムロシュ（János Komlós）と共に、ラムゼー数に関する影響力のある境界を確立し、最適深さのソーティングネットワークを構築した。これは純粋数学から理論計算機科学への稀な進出であり、後の計算機科学科での学術的居場所を正当化する助けとなった。アイタイ、ヴァーツラフ・フヴァータル（Václav Chvátal）、モンロー・ニューボーン（Monroe Newborn）と共に、グラフ描画における基礎的な境界である交差数不等式も証明した。200以上の発表された論文全体を通して、一貫しているのは、表面上は無秩序に見える対象（整数の集合、グラフ、点の配置など）の中に、強固で避けられない構造を見つけ出すという姿勢である。

ハンガリーの基礎の上に築かれたアメリカでのキャリア

セメレディは1986年、ニュージャージー州のラトガース大学の計算機科学教授として着任し、現在も名誉教授としてその職にある。また、20世紀半ばからハンガリー数学の制度的拠点であるブダペストのアルフレッド・レニー数学研究所（Alfréd Rényi Institute of Mathematics）に常時所属し続けている。その間、スタンフォード大学、マギル大学、サウスカロライナ大学、シカゴ大学で客員教授を務めたほか、プリンストンの高等研究所の所員も務めた。これは、冷戦時代の数学的移動、つまりハンガリーやソビエト圏からアメリカの研究大学への流れを象徴するキャリアである。

受賞と栄誉

50年間にわたり栄誉が積み重なった。定理が発表された直後の1973年のアルフレッド・レニー賞、1975年のジョージ・ポーヤ賞（George Pólya Prize）、2008年のレロイ・P・スティール賞（Leroy P. Steele Prize）とロルフ・ショック賞数学部門、2010年の米国科学アカデミー会員選出、そして2012年のアーベル賞そのものである。アーベル賞は「離散数学および理論計算機科学への基礎的な貢献、ならびに加法的数論およびエルゴード理論に対するこれらの貢献の深遠かつ永続的な影響への認識」に対して授与され、その業績が厳密に定義された組合せ論を超えて多くの分野を再構築したことが明記された。ハンガリーは2020年に聖イシュトヴァーン勲章を彼に授与した。

なぜエンドレは天才と呼ばれるのか

セメレディの天才性を主張する根拠は、数学において可能な限り明白である。長年の予想に対するたった一つの証明から、「正規性補題」というツールが生まれ、そのツールがもたらした学問全体への影響は、それを証明するために構築された元の定理の影響を上回っている。このように、手法が本来の目的を生き延び、それを凌駕する「二次的影響」は、単に目の前の問題を解くだけでなく、最も深い構造レベルで思考する精神の最も明白な指標の一つである。アーベル賞委員会自身が「混沌の中に秩序を見出す」という言葉を使ったのは誇張ではない。それは正規性補題が実際に行っていることの公平な言い換えであり、この分野で最も勲章を受けているガワーズやロヴァースが、その帰結を説明するために主要な講義を構築したという事実は、捏造や誇張が困難な同業者からの評価である。

もし注意点があるとすれば、それは誇張ではなく狭さについてである。セメレディの名声は圧倒的に離散数学と組合せ論の結果に基づいているが、これらの分野は20世紀の大部分において、数学界の一部からは解析学、幾何学、あるいは古典的な数論よりも格下と見なされていた。組合せ論研究者へのアーベル賞授与は、当時はこの分野が受けるべき評価をようやく受けたという暗黙の主張として読まれていた。これは彼の業績を損なうものではない。ここで「天才」というラベルが意味するのは、物理学者や数学者のような、専門外でも結果が有名な普遍的な名声とは異なり、特定の技術的な構造的洞察力に対するものである。

遺産

正規性補題は現在、世界中の大学院の組合せ論のコースで標準的な教材として教えられており、セメレディが1975年に初めて執筆した当時はほとんど存在しなかった分野（理論計算機科学、加法的組合せ論、グラフ極限理論など）を含む、新しい研究の活発な原動力であり続けている。80代半ばとなった現在も名誉教授として現役であり、現代数学において一つの証明の手法が、それを確立するために考案された定理よりも大きな影響力を持つに至った最も明白なケースの一つである。