Marston Conder: L'uomo che ha contato le simmetrie

Qualsiasi matematico in attività in qualsiasi parte del mondo che abbia bisogno di conoscere ogni grafo simmetrico trivalente con un massimo di diecimila vertici non lo deduce. Scarica l'elenco di Marston Conder. Lo stesso vale per le mappe regolari e chirali su superfici in un'ampia gamma di generi, per i gruppi di automorfismi di superfici di Riemann compatte e per i politopi regolari e chirali. Nel corso di quattro decenni ad Auckland, Conder ha trasformato la domanda astratta "quali sono gli oggetti più simmetrici di questo tipo?" in qualcosa che si può consultare; e, così facendo, è diventato silenziosamente uno dei matematici più utilizzati della sua generazione.

Da Matamata a Oxford

È nato nel settembre 1955 a Hamilton, in Nuova Zelanda, e ha studiato al Matamata College: un inizio in una piccola città quanto più lontano possibile dai centri della matematica pura. Il suo primo titolo accademico superiore non è stato in matematica: ha conseguito un master in scienze sociali all'Università di Waikato nel 1977. Tre anni dopo, ha ottenuto un dottorato a Oxford.

Il suo supervisore a Oxford era Graham Higman, una delle figure più imponenti della teoria dei gruppi del ventesimo secolo e fondatore dell'approccio combinatorio moderno alla materia. La tesi di Conder del 1980, "Minimal generating pairs for permutation groups" (Coppie generatrici minimali per gruppi di permutazione), annunciava nel titolo la sua preoccupazione di una vita. La domanda è ingannevolmente semplice: dato un gruppo, è possibile produrlo interamente a partire da soli due elementi e, se sì, quali due, scelti nel modo più economico possibile? La generazione a due elementi è il cardine su cui ruota un'enorme quantità di teoria della simmetria, perché gli oggetti più simmetrici in geometria e combinatoria sono precisamente quelli i cui gruppi di simmetria sono generati da un numero molto piccolo di movimenti molto semplici.

Oggetti di massima simmetria

Il programma di Conder, sostenuto per quarant'anni, può essere enunciato in una riga: studiare le strutture discrete che hanno la massima simmetria possibile soggetta a determinati vincoli. Fissare un vincolo (un grafo deve essere trivalente, una mappa deve trovarsi su una superficie di genere cinque, un politopo deve avere un dato rango) e chiedere quali oggetti che lo soddisfano siano i più simmetrici possibile. Le risposte sono raramente ovvie e quasi mai numerose, il che le rende degne di essere catalogate.

Gli strumenti provenivano dalla teoria combinatoria e computazionale dei gruppi, incluse le tecniche per gestire gruppi finitamente presentati e le loro immagini. Questo è il ramo dell'algebra in cui un gruppo non è specificato elencando i suoi elementi ma tramite una manciata di generatori e relazioni, e la difficoltà centrale è che una tale presentazione può nascondere quasi tutto, incluso un gruppo infinito o banale, senza un modo semplice per distinguerlo. La specialità di Conder era estrarre risposte difficili, esaustive e dimostrabilmente complete da presentazioni di questo tipo, su una scala che è diventata fattibile solo quando il calcolo è stato adeguatamente unito alla teoria.

Mappe, chiralità e politopi

Il filone più ricco è stato quello delle mappe: immersioni di grafi in superfici, dove i casi interessanti sono quelli regolari, il cui gruppo di simmetria agisce in modo tanto transitivo quanto la struttura consente. Accanto a loro si trovano gli oggetti chirali, che ammettono ogni simmetria rotazionale ma nessuna riflessione, l'analogo matematico di una mano sinistra, sovrapponibile a nessuna immagine speculare di se stessa. La Jones Medal 2018 della Royal Society of New Zealand citava esattamente questo: il suo lavoro su "simmetria e chiralità nelle strutture discrete".

Ha esteso lo stesso approccio verso l'esterno. L'Institute of Combinatorics and its Applications, nel conferirgli la Euler Medal, ha elencato le simmetrie e le immersioni di grafi, le mappe regolari e chirali, i politopi regolari e chirali, le partizioni degli spigoli dei grafi, i grafi espansori di dimensione superiore e i codici Gray binari: una gamma che va dalla topologia delle superfici classica agli oggetti con applicazione diretta nella teoria della codifica e delle reti. Ne sono scaturiti più di 170 articoli e quindici dottorandi.

Il censore

Ciò che distingue Conder da altri validi algebristi è ciò che ha fatto con i risultati. Piuttosto che pubblicare un teorema e passare oltre, ha costruito e pubblicato archivi: censimenti completi di classi di oggetti, calcolati una volta, correttamente, e messi a disposizione. Il catalogo dei grafi simmetrici trivalenti arriva fino a 10.000 vertici. I censimenti delle mappe e dei politopi coprono intervalli che nessuno aveva raggiunto in precedenza. Questi sono consultati a livello internazionale, anche da ricercatori senza interesse per la teoria dei gruppi che hanno semplicemente bisogno di sapere se esiste un oggetto con determinate proprietà, o di testare una congettura contro ogni caso noto prima di sprecarci un anno.

Quell'abitudine, di trattare la conoscenza come infrastruttura piuttosto che come proprietà personale, fa parte esplicitamente del suo record di citazioni; l'ICA ha sottolineato la sua reputazione per la condivisione gratuita della conoscenza e per i repository di ricerca che chiunque può utilizzare.

Il matematico pubblico

Conder è diventato professore ordinario ad Auckland nel 1993 e Distinguished Professor nel 2012. È stato presidente della New Zealand Mathematical Society dal 1993 al 1995, co-direttore del New Zealand Institute of Mathematics and its Applications e presidente dell'Academy of the Royal Society of New Zealand dal 2006 al 2008: la più alta carica scientifica del paese, ricoperta da un matematico puro, il che non è l'accordo abituale in nessun luogo.

Gli onori hanno seguito il lavoro: la James Cook Research Fellowship nel 2011, l'adesione all'American Mathematical Society nel 2012, la Hector Medal nel 2014, la Jones Medal nel 2018 e nel 2020 sia la Euler Medal dell'Institute of Combinatorics and its Applications, per i contributi distinti di una vita alla ricerca combinatoria, sia la nomina a Ufficiale del New Zealand Order of Merit.

Perché Marston è chiamato un genio

La qualità specifica è un ibrido raro: profondità algebrica sposata con la disciplina computazionale. Molti matematici possono dimostrare un teorema sulle strutture simmetriche; molti altri possono scrivere codice che enumera esempi. Il risultato caratteristico di Conder è la classificazione esaustiva: una prova che un elenco calcolato non è semplicemente lungo ma completo, che nulla è stato tralasciato. Ciò richiede teoria per delimitare lo spazio di ricerca, calcolo per spazzarlo e una tolleranza per il controllo degli errori che la maggior parte dei teorici trova al di sotto di loro e la maggior parte dei programmatori trova al di sopra di loro. I suoi censimenti hanno retto; questo è il test completo.

La citazione della Euler Medal menziona quarant'anni di contributi distinti in simmetrie di grafi, mappe e politopi chirali, espansori e codici Gray, e la Jones Medal nomina specificamente simmetria e chiralità. Questi sono organi professionali che utilizzano i loro strumenti più alti, il che è quanto di più vicino la combinatoria arrivi a usare la parola.

Il controargomento vale la pena di essere esposto chiaramente. Conder non ha risolto nessun problema famoso e non ha introdotto nessuna teoria che porti il suo nome. Non c'è nessuna congettura di Conder, nessun invariante di Conder. Il suo genio è di tipo cartografico, la mappatura esaustiva e affidabile di un territorio i cui confini altri avevano tracciato, piuttosto che del tipo che apre nuove terre. Un valutatore spietato direbbe che è il miglior censore che la matematica abbia prodotto nella sua area, e che essere indispensabili non è la stessa cosa che essere rivoluzionari. La risposta è che in una disciplina che annega in affermazioni non verificate, le risposte complete e corrette sono più rare di quelle intelligenti, e durano più a lungo.

Eredità

L'eredità più duratura di Conder è peculiare per un matematico puro: è un insieme di tabelle. I suoi archivi saranno consultati da persone che non leggeranno mai le sue dimostrazioni e potrebbero non conoscere il suo nome, proprio come gli ingegneri consultano le tabelle delle costanti fisiche. Dietro di loro c'è l'eredità più difficile: una dimostrazione che un piccolo paese quasi senza massa critica nel suo campo poteva produrre lavori di livello mondiale e che un matematico poteva dirigere un'accademia nazionale senza smettere di essere un ricercatore attivo. Quindici dottorandi e 170 articoli dopo, la combinatoria neozelandese è un nodo internazionale riconosciuto piuttosto che un avamposto, e gran parte di ciò risale a un uomo ad Auckland che ha continuato a contare.