Mark Kac: Si può sentire la forma di un tamburo?

Nel 1966, un probabilista polacco-americano pubblicò un articolo costruito attorno a una domanda che un bambino potrebbe porre: se senti un tamburo, puoi dire che forma ha? La risposta, si è scoperto, è no: diversi risonatori possono condividere identiche autofrequenze. La domanda ha fondato un campo. Kac vinse un Premio Chauvenet per l'articolo due anni dopo, il suo secondo, e lasciò in eredità una delle pochissime questioni matematiche diventate una frase che la gente cita senza sapere di chi fosse.

Kremenets e un confine che si è spostato

Kac nacque il 3 agosto 1914 a Kremenets — Krzemieniec in polacco — allora nell'Impero russo, da una famiglia ebraica polacca. La città cambiò mano quando era bambino, passando da quella che era diventata l'Ucraina sovietica alla Polonia sotto il Trattato di Riga. Lui non si spostò; il confine sì. È un'origine calzante per un matematico che ha passato la sua carriera sul comportamento di sistemi che cambiano sotto i piedi.

Leopoli, Steinhaus e la via d'uscita

Conseguì il dottorato all'Università di Leopoli (Lwów) nel 1937 sotto Hugo Steinhaus e fece parte della Scuola matematica di Leopoli — la più importante concentrazione di talento matematico nella Polonia tra le due guerre, e che il decennio successivo avrebbe annientato.

Nel 1938, una borsa della Parnas Foundation gli permise di partire per gli Stati Uniti. Arrivò a New York nel novembre 1938. Il tempismo fu, nel senso più letterale, la differenza tra una vita e una statistica: attraversò l'Atlantico nell'ultima finestra prima che si chiudesse.

Cornell e la guerra

Entrò alla Cornell University nel 1939, passando da istruttore a professore assistente nel 1943 e a professore ordinario nel 1947. Fu naturalizzato cittadino statunitense nel 1943. Dal 1943 al 1945 lavorò con George Uhlenbeck al Radiation Laboratory del MIT, l'iniziativa radar — uno di quei posti di guerra in cui i matematici puri scoprirono che le loro astrazioni avevano implicazioni fisiche immediate. La collaborazione con Uhlenbeck sopravvisse alla guerra; i due, con P. C. Hemmer, elaborarono in seguito la matematica del gas di van der Waals.

Agosto 1942

I suoi genitori e suo fratello rimasero a Kremenets. Furono assassinati dai nazisti nelle esecuzioni di massa dell'agosto 1942.

Il fatto rimane nella sua biografia senza commenti, come solitamente accade per tali fatti, e non dovrebbe essere attenuato in una narrazione. Kac era in America, a insegnare alla Cornell, nel mezzo di una carriera accademica in ascesa, quando la sua famiglia fu uccisa nella città in cui il confine si era spostato attorno a lui da bambino. Qualunque fossero le conseguenze interiori, il registro esterno mostra un uomo che ha lavorato, e lavorato produttivamente, per altri quarant'anni, e che più tardi nella vita è stato co-presidente del Committee of Concerned Scientists, dando pubblicità ai casi di scienziati perseguitati tra cui Vladimir Samuilovich Kislik e Yosif Begun. Aveva imparato presto cosa costa quando nessuno fa rumore.

Fisica statistica: l'anello e il modello di Ising

Gli anni '50 furono il suo decennio per la fisica. Nel 1952, con Theodore H. Berlin, introdusse il modello sferico di un ferromagnete; con J. C. Ward produsse una soluzione esatta del modello di Ising — raro e prezioso, perché i modelli esattamente risolvibili sono i punti fissi da cui un intero campo naviga.

Nel 1956 arrivò l'anello di Kac, e potrebbe essere la sua singola costruzione più elegante. L'enigma che affronta è vecchio e genuinamente inquietante: come può l'irreversibilità macroscopica — il fatto che le cose decadano e non tornino mai spontaneamente indietro — emergere da leggi microscopiche che sono perfettamente simmetriche nel tempo? Il paradosso di Loschmidt. Kac costruì un modello giocattolo abbastanza semplice da analizzare completamente e abbastanza ricco da esibire il fenomeno, e produsse così una spiegazione piuttosto che un argomento. Questa è la forma più alta di un certo tipo di fisica matematica: sostituire una disputa filosofica con un esempio calcolabile.

Il tamburo

Il suo articolo del 1966 chiedeva se la forma geometrica di un tamburo sia determinata univocamente dal suo suono. La risposta si rivelò negativa in generale — forme distinte possono produrre lo stesso spettro — sebbene per certe forme, inclusi i tamburi circolari, la geometria possa effettivamente essere dedotta dallo spettro del Laplaciano. Da lì è nata la geometria spettrale, lo studio sistematico di ciò che lo spettro di un operatore ti dice sullo spazio in cui vive.

Il potere della domanda risiede nella sua forma. È enunciata nel linguaggio comune, è immediatamente intelligibile per un non matematico, e si rivela richiedere un serio macchinario per rispondere. Pochissimi ricercatori formulano mai un problema con tutte e tre le proprietà.

Perché Mark è chiamato un genio

La facoltà distintiva è la selezione delle domande. Il lavoro tecnico di Kac — la soluzione di Ising, il modello sferico, la matematica di van der Waals — è di prim'ordine, ma molto lavoro tecnico di prim'ordine svanisce nella letteratura. Ciò che lo distingue è che ha ripetutamente trovato la formulazione che rendeva un'area oscura improvvisamente trattabile. L'anello di Kac lo fece per il paradosso di Loschmidt: un modello ridotto all'osso che tuttavia esibisce ciò di cui tutti discutevano. La domanda sul tamburo lo fece per la geometria spettrale: una frase inglese che ha aperto una disciplina matematica. Questo è un talento specifico e raro — non risolvere problemi difficili, ma individuare il problema difficile che vale la pena risolvere e dichiararlo così chiaramente che altri possano iniziare a lavorare.

Il suo dono espositivo è lo stesso istinto rivolto verso l'esterno, e fu riconosciuto: due premi Chauvenet, nel 1950 per un articolo del 1947 e nel 1968 per il saggio sul tamburo, oltre al Lester R. Ford Award nel 1967. Seguirono i riconoscimenti istituzionali — l'American Academy of Arts and Sciences nel 1959, la National Academy of Sciences nel 1965, l'American Philosophical Society nel 1969, conferenziere Solvay a Bruxelles nel 1971, conferenziere Fermi alla Scuola Normale di Pisa nel 1980.

Il controesempio: nessuno nei documenti applica realmente la parola a lui, i suoi premi sono per l'esposizione piuttosto che per la scoperta, e la domanda sul tamburo è famosa in parte perché è affascinante — la risposta è stata fornita da altri. Una lettura ostile lo definirebbe un eccellente comunicatore e un bravissimo matematico piuttosto che un grande. La lettura corretta è che l'inquadramento è esso stesso una forma di scoperta, e Kac lo ha fatto più di una volta.

Eredità

Kac lasciò la Cornell nel 1961 per la Rockefeller University, dove trascorse circa due decenni fino al 1981, concludendo alla University of Southern California. Morì il 26 ottobre 1984. I suoi libri — Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory (1959), Probability and Related Topics in the Physical Sciences (1959), Mathematics and Logic con Stanislaw Ulam (1968) — hanno istruito una generazione, e la sua autobiografia, Enigmas of Chance, è apparsa postuma nel 1985. Il titolo fu ben scelto da un uomo la cui famiglia morì per l'incidente di un confine e che sopravvisse per l'incidente di una borsa di studio.