מרינה ויאזובסקה: הפונקציה הקסומה שארזה שמונה ממדים

בתוך שעות מרגע שמרינה ויאזובסקה פרסמה מאמר קצר באינטרנט במרץ 2016, שלח המתמטיקאי אקשאי ונקאטש (Akshay Venkatesh) דוא"ל לעמיתו עם שורת נושא בת מילה אחת: "וואו!" המאמר פתר, בהוכחה המשתרעת על פני מספר עמודים בודדים, בעיה בנושא אריזת כדורים במרחב שמונה-ממדי שהעסיקה את התחום במשך עשורים – והוא עשה זאת, לדברי פיטר סרנק (Peter Sarnak) מפרינסטון, בצורה כה אלגנטית עד שהמאמר היה "אחד מאותם מאמרים שאתה מרים, ולא מניח עד שסיימת לקרוא". שש שנים מאוחר יותר הפכה ויאזובסקה לאישה השנייה בלבד בהיסטוריה שזכתה במדליית פילדס.

בתו של כימאי בקייב הפוסט-סובייטית

מרינה סרגייבנה ויאזובסקה (Maryna Sergiivna Viazovska) נולדה ב-2 בדצמבר 1984 בקייב, הבכורה מבין שלוש אחיות, לאב שעבד ככימאי במפעל המטוסים אנטונוב ולאם שהייתה מהנדסת. היא גדלה בתוך התהפוכות הכלכליות של אוקראינה הפוסט-סובייטית ולמדה בגימנסיה הלאומית למדעי הטבע מס' 145 בקייב, בית ספר מתמחה לתלמידים מחוננים במדעים, שם אנדרי קניאזיוק (Andrii Knyazyuk), מתמטיקאי מחקר לשעבר שהפך למורה, עיצב את התפתחותה המתמטית המוקדמת. היא התחרתה ברצינות באולימפיאדות – דורגה במקום ה-13 ברמה הלאומית בתחרות לבחירת שנים-עשר תלמידים לנבחרת האולימפיאדה הבינלאומית במתמטיקה, והחמיצה את המקום בנבחרת במעט – וכסטודנטית לתואר ראשון באוניברסיטה הלאומית על שם טאראס שבצ'נקו בקייב, היא זכתה במקום הראשון בתחרות הבינלאומית במתמטיקה לסטודנטים באוניברסיטאות בשנים 2002 ו-2005, כשהיא כותבת שותפה למאמר המחקר הראשון שלה באותה שנה.

מקייב לבון

הכשרתה הרשמית עברה בכמה מדינות: תואר שני מאוניברסיטת קייזרסלאוטרן בגרמניה (2007), דוקטורט מהמכון למתמטיקה של האקדמיה הלאומית למדעים של אוקראינה (2010), ותואר דוקטור (Dr. rer. nat.) מאוניברסיטת בון בשנת 2013, שם למדה תחת דון זגייר (Don Zagier) וורנר מולר (Werner Müller) על פונקציות מודולריות ומחזורים מיוחדים בתורת המספרים האנליטית. עוד לפני פריצת הדרך המזוהה עמה, היא כבר ביססה מוניטין מחקרי: מאמר משנת 2011 עם אנדריי בונדרנקו (Andriy Bondarenko) ודנילו רדצ'נקו (Danylo Radchenko), שהוכיח השערה של קורוואר ומיירס על עיצובים כדוריים קטנים בממדים שרירותיים, פורסם ב-Annals of Mathematics – אחד מכתבי העת הסלקטיביים ביותר בתחום – שנים לפני שהפכה למוכרת באופן נרחב מחוץ לחוגי תורת המספרים.

בעיית אריזת הכדורים

לשאלה שויאזובסקה יצאה להשיב עליה יש היסטוריה עתיקה ומפורסמת: כיצד ניתן לארוז כדורים זהים במרחב כדי למלא את החלק הגדול ביותר האפשרי מהנפח? בשלושה ממדים, זוהי השערת קפלר, שהוכחה סופית רק בסוף שנות ה-90 ובתחילת שנות ה-2000 באמצעות טיעון ממצה בעזרת מחשב. בממדים גבוהים מסוימים הבעיה מקבלת מבנה בלתי צפוי בשל סריגים מיוחדים ובעלי סימטריה גבוהה – בולטים במיוחד סריג E₈ בשמונה ממדים וסריג ליץ' (Leech lattice) בעשרים וארבעה ממדים. מתמטיקאים חשדו זה מכבר שסריגים אלו מספקים את אריזות הכדורים הדחוסות ביותר האפשריות בממדים שלהם, אך לאיש לא הייתה דרך להוכיח זאת.

"הפונקציה הקסומה"

בשנת 2016, בעת שעבדה במידה רבה לבדה לאחר תקופות פוסט-דוקטורט בבית הספר למתמטיקה בברלין, באוניברסיטת הומבולדט ובמלגת מינרווה בפרינסטון, בנתה ויאזובסקה את מה שנודע כ"פונקציה קסומה" עבור ממד 8 – פונקציה שלא נבנתה מהצורות המודולריות שרוב תיאורטיקני המספרים ציפו שיופיעו בהוכחה כזו, אלא מצורה קוואזי-מודולרית בעלת סימטריות לא מושלמות במכוון. הפונקציה אפשרה לה להוכיח, בטיעון קצר ונקי בצורה יוצאת דופן לפי הסטנדרטים של התחום, שסריג E₈ אכן מעניק את אריזת הכדורים הדחוסה ביותר האפשרית בשמונה ממדים. בתוך שבוע, תוך עבודה עם הנרי קון (Henry Cohn), אבהינאב קומאר (Abhinav Kumar), סטיבן ד. מילר (Stephen D. Miller) ודנילו רדצ'נקו, היא הרחיבה את אותה טכניקה כדי לפתור את המקרה של 24 ממדים תוך שימוש בסריג ליץ' – התפרצות של עבודה שיתופית שרדצ'נקו כינה מאוחר יותר "כנראה השבוע המשוגע ביותר בחיי". שתי התוצאות, שפורסמו בהפרש של ימים זו מזו, הכריעו את סוגיית אריזת הכדורים בשני הממדים היחידים מעבר לשלושה שבהם הייתה ידועה אז תשובה מדויקת.

מעבר לאריזה: אופטימליות אוניברסלית

ויאזובסקה ושותפיה למחקר המשיכו הלאה בשנים שלאחר מכן, והוכיחו בשנת 2019 שסריגי E₈ וליץ' הם "אופטימליים באופן אוניברסלי" – כלומר, הם ממזערים אנרגיה פוטנציאלית לא רק עבור מודל פיזיקלי אחד אלא לאורך סיווג רחב שלם של פונקציות אנרגיה, עם השלכות המגיעות מדחייה אלקטרונית ועד לתצורות פולימרים. המתמטיקאית סילבי סרפטי (Sylvia Serfaty) השוותה את התוצאה ל"פריצות דרך גדולות של המאה ה-19", וכינתה אותה "קידום גדול של המדע". העבודה גם קידמה את ניתוח פורייה באופן רחב יותר, דרך הגישה של ויאזובסקה לשחזור פונקציות ממידע ספקטרלי חלקי – טכניקה עם יישומים הרבה מעבר לבעיית האריזה שנתנה לה השראה.

מדליית פילדס והוקרה

ביולי 2022 קיבלה ויאזובסקה את מדליית פילדס, והייתה לאישה השנייה בלבד שזכתה בה אחרי מרים מירזחאני (Maryam Mirzakhani), המתמטיקאית השנייה שנולדה ברפובליקה הסובייטית הסוציאליסטית האוקראינית אחרי ולדימיר דרינפלד (Vladimir Drinfeld), וזוכת מדליית פילדס הראשונה שמחזיקה בתואר מאוניברסיטה אוקראינית. הכבוד הגיע בעקבות רצף פרסים חשובים: פרס סאלם (2016), פרס קליי למחקר (2017), פרס סאסטרה רמנוג'אן (2017), הפרס האירופי בקומבינטוריקה (2017), פרס האופקים החדשים (2018), פרס רות ליטל סאטר (2019), פרס פרמה (2019), פרס EMS‏ (2020), ופרס לאציס הלאומי (2020). היא נכללה ברשימת 100 הנשים של ה-BBC מאוחר יותר ב-2022. מאז ינואר 2018 היא מחזיקה בקתדרה לתורת המספרים ב-EPFL בלוזאן, שוויץ, שם היא מתגוררת עם בעלה, הפיזיקאי דניאיל אבטושקין (Daniil Evtushinsky) – אותו הכירה דרך חוג פיזיקה לאחר הלימודים כנערה – ושני ילדיהם.

מדוע מרינה ויאזובסקה מכונה גאונה

האיכות המתמטית הספציפית שמאחורי תווית ה"גאון" היא הבנייה של ויאזובסקה של הוכחה מדויקת וסגורה, במקום שבו התחום ציפה – וכפי שהיה צורך בעבר, במקרה של השערת קפלר התלת-ממדית – לטיעון מתיש בעזרת מחשב המשתרע על פני מאות עמודים. מציאת הצורה הקוואזי-מודולרית המדויקת שגרמה להוכחה בשמונה ממדים לעבוד דרשה שילוב יוצא דופן וקשה להוראה של שליטה טכנית עמוקה בצורות מודולריות ואינסטינקט אסתטי כמעט לגבי איזו פונקציה תספק את תנאי האינטרפולציה הדרושים; האינסטינקט הזה הוא בדיוק מה שהמתמטיקאים שבחנו את המאמר, מסרנק ועד ונקאטש, הגיבו אליו בהשתאות גלויה ולא באישור מקצועי שגרתי. המגבלה הכנה על מסגור זה היא שבעיית אריזת הכדורים בשמונה ובעשרים וארבעה ממדים הייתה פתירה דווקא בגלל ששני ממדים אלו ניחנים במבני סריג חריגים (E₈ וסריג ליץ') שאינם זמינים בממדים כלליים – ההישג אינו מכליל לממדים שרירותיים, ובעיית אריזת הכדורים הרחבה יותר של התחום נותרה פתוחה כמעט בכל מקום אחר. יתרה מכך, ההרחבה ל-24 ממדים הייתה במפורש עבודת צוות מהירה עם הנרי קון, אבהינאב קומאר, סטיבן ד. מילר ודנילו רדצ'נקו ולא עבודה עצמאית, ואפילו ההוכחה המפורסמת ל-8 ממדים התבססה על גישת תכנות ליניארי קיימת לגבולות אריזת כדורים שחוקרים אחרים, ובהם קון, כבר פיתחו לפני שויאזובסקה מצאה את הפונקציה הספציפית הדרושה להשלמתה.

מורשת

השיטות של ויאזובסקה הפכו כבר לנקודת ייחוס סטנדרטית בחקר בעיות אריזה, מזעור אנרגיה ואינטרפולציית פורייה, ומדליית פילדס שלה – שהוענקה במהלך החודשים הראשונים של הפלישה הרוסית מלאת ההיקף לאוקראינה – נשאה משקל סמלי מיוחד עבור המדע האוקראיני, מדינה שמוסדותיה המתמטיים המשיכה לדגול בהם בפומבי מאז. ב-EPFL היא ממשיכה להכשיר את הדור הבא של תיאורטיקני מספרים הפועלים בגבול שבין גיאומטריית סריגים ותורת המספרים האנליטית שקריירת שלה סייעה להגדיר.