ג'ון פון נוימן

ג'ון פון נוימן

ג'ון פון נוימן (John von Neumann; בהונגרית: נוימן יאנוש לאיוש; 28 בדצמבר 1903 – 8 בפברואר 1957) היה מתמטיקאי, פיזיקאי, מדען מחשב ומהנדס הונגרי-אמריקאי. פון נוימן הקיף אולי את טווח התחומים הרחב ביותר מבין המתמטיקאים של תקופתו, תוך שהוא משלב מדעים עיוניים ויישומיים ותורם תרומות מרכזיות לתחומים רבים, בהם מתמטיקה, פיזיקה, כלכלה, מחשוב וסטטיסטיקה. הוא היה חלוץ בבניית המסגרת המתמטית של פיזיקת הקוונטים, בפיתוח האנליזה הפונקציונלית ובתורת המשחקים, והציג או קידד מושגים כגון אוטומטים תאיים, המכונה האוניברסלית והמחשב הדיגיטלי. הניתוח שלו את מבנה השכפול העצמי קדם לגילוי מבנה ה-DNA.

במהלך מלחמת העולם השנייה עבד פון נוימן על פרויקט מנהטן. הוא פיתח את המודלים המתמטיים שמאחורי עדשות הנפץ ששימשו בנשק גרעיני מסוג קריסה. לפני המלחמה ואחריה, הוא שימש כיועץ לארגונים רבים, בהם המשרד למחקר ופיתוח מדעי, מעבדת המחקר הבליסטי של צבא ארצות הברית, פרויקט הנשק המיוחד של הכוחות המזוינים והמעבדה הלאומית אוק רידג'. בשיא השפעתו בשנות ה-50, עמד בראש מספר ועדות של משרד ההגנה, כולל ועדת הערכת הטילים האסטרטגיים והוועדה המייעצת המדעית לטילים בליסטיים בין-יבשתיים (ICBM). הוא היה גם חבר בוועדה לאנרגיה אטומית שהייתה אחראית על כל פיתוח האנרגיה האטומית במדינה. הוא מילא תפקיד מפתח לצד ברנרד שריבר וטרבור גרדנר בתכנון ופיתוח תוכניות הטילים הבליסטיים הבין-יבשתיים הראשונים של ארצות הברית. באותה עת הוא נחשב למומחה המוביל של המדינה בנשק גרעיני ולמדען ההגנה הבכיר במשרד ההגנה האמריקאי.

תרומותיו ויכולתו האינטלקטואלית של פון נוימן זכו לשבחים מעמיתיו בפיזיקה, במתמטיקה ומעבר לכך. בין עיטוריו נמנים מדליית החירות ומכתש על הירח שנקרא על שמו.

חיים וחינוך

### רקע משפחתי

פון נוימן נולד בבודפשט, ממלכת הונגריה (אז חלק מהאימפריה האוסטרו-הונגרית), ב-28 בדצמבר 1903, למשפחה יהודית אמידה ולא דתייה. שם הולדתו היה נוימן יאנוש לאיוש. בהונגרית, שם המשפחה מופיע ראשון, ושמותיו הפרטיים מקבילים ל"ג'ון לואיס" באנגלית.

הוא היה הבכור מבין שלושה אחים; שני אחיו הצעירים היו מיהאי (מייקל) ומיקלוש (ניקולס). אביו, נוימן מיקשה (מקס פון נוימן), היה בנקאי ובעל דוקטורט במשפטים. הוא עבר לבודפשט מפץ' בסוף שנות ה-80 של המאה ה-19. אביו וסבו של מיקשה נולדו באונד (כיום חלק מסרנץ'), מחוז זמפלן, צפון הונגריה. אמו של ג'ון הייתה קאן מרגיט (מרגרט קאן); הוריה היו קאן יאקאב ומייזלס קטלין ממשפחת מייזלס. שלושה דורות של משפחת קאן חיו בדירות מרווחות מעל משרדי קאן-הלר בבודפשט; משפחתו של פון נוימן התגוררה בדירת 18 חדרים בקומה העליונה.

ב-20 בפברואר 1913 העלה הקיסר פרנץ יוזף את אביו של ג'ון לאצולה ההונגרית בשל שירותו לאימפריה האוסטרו-הונגרית. משפחת נוימן רכשה אפוא את התואר התורשתי "מרגיטאי", שפירושו "ממרגיטה" (כיום מרגיטה, רומניה). למשפחה לא היה קשר לעיירה; התואר נבחר בהתייחס למרגרט, וכך גם סמל המשפחה שנבחר, המתאר שלוש מרגניות. נוימן יאנוש הפך למרגיטאי נוימן יאנוש (ג'ון נוימן דה מרגיטה), שם ששינה מאוחר יותר לגרמנית ליוהאן פון נוימן.

### ילד פלא

פון נוימן היה ילד פלא. הוא, אחיו ובני דודיו חונכו על ידי אומנות. אביו של פון נוימן האמין שידיעת שפות מלבד הונגרית היא חיונית, ולכן הילדים קיבלו שיעורים פרטיים באנגלית, צרפתית, גרמנית ואיטלקית. על פי אגדה, בגיל שמונה כבר הכיר פון נוימן חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, ובגיל שתים-עשרה קרא את ספרו של בורל "תורת הפונקציות". הוא התעניין גם בהיסטוריה וקרא את סדרת ההיסטוריה העולמית בת 46 הכרכים של וילהלם אונקן, "היסטוריה כללית במונוגרפיות". אחד החדרים בדירה הוסב לספרייה וחדר קריאה.

פון נוימן החל ללמוד בגימנסיה הלותרנית Fasori Evangélikus Gimnázium בשנת 1914. יוג'ין ויגנר למד שנה מעל פון נוימן בבית הספר והפך עד מהרה לחברו.

אף שאביו של פון נוימן התעקש שילמד בכיתה המתאימה לגילו, הוא הסכים לשכור מורים פרטיים כדי להעניק לפון נוימן הוראה מתקדמת. בגיל 15 החל ללמוד חשבון מתקדם אצל האנליטיקאי גאבור סגֶה. בפגישתם הראשונה, סגה נדהם כל כך מהכישרון והמהירות המתמטית של פון נוימן, שעל פי זיכרונות אשתו, הוא חזר הביתה כשדמעות בעיניו. עד גיל 19 פרסם פון נוימן שני מאמרים מתמטיים חשובים, שהשני שבהם נתן את ההגדרה המודרנית למספרים סודרים, שהחליפה את הגדרתו של גאורג קנטור. בסיום לימודיו בגימנסיה, הוא הגיש מועמדות וזכה בפרס אטווש, פרס לאומי למתמטיקה.

### לימודים אוניברסיטאיים

לדברי חברו תיאודור פון קרמן, אביו של פון נוימן רצה שג'ון ילך בעקבותיו לתעשייה, וביקש מפון קרמן לשכנע את בנו לא לעסוק במתמטיקה. פון נוימן ואביו החליטו שמסלול הקריירה הטוב ביותר הוא הנדסה כימית. זה לא היה תחום שפון נוימן ידע עליו רבות, ולכן סוכם שיעבור קורס דו-שנתי ללא תואר בכימיה באוניברסיטת ברלין, ולאחריו ניגש לבחינת הכניסה ל-ETH ציריך, אותה עבר בספטמבר 1923. במקביל נרשם פון נוימן לאוניברסיטת פאזמאן פטר, שנודעה אז כאוניברסיטת בודפשט, כמועמד לדוקטורט במתמטיקה. עבור התזה שלו, הוא יצר אקסיומטיזציה לתורת הקבוצות של קנטור. בשנת 1926 סיים את לימודיו כמהנדס כימי ב-ETH ציריך ובמקביל עבר את בחינות הגמר בהצטיינות יתרה (summa cum laude) לדוקטורט במתמטיקה (עם מקצועות משניים בפיזיקה ניסויית ובכימיה) באוניברסיטת בודפשט.

לאחר מכן נסע לאוניברסיטת גטינגן במלגה מקרן רוקפלר כדי ללמוד מתמטיקה אצל דויד הילברט. הרמן וייל נזכר כיצד בחורף 1926–1927 היו הוא, פון נוימן ואמי נתר צועדים ב"רחובות הקרים, הרטובים והגשומים של גטינגן" לאחר השיעורים ודנים במערכות מספרים היפר-מרוכבים ובהצגותיהם.

קריירה וחיים פרטיים

ההביליטציה של פון נוימן הושלמה ב-13 בדצמבר 1927, והוא החל להרצות כמרצה פרטי (Privatdozent) באוניברסיטת ברלין ב-1928. הוא היה האדם הצעיר ביותר שנבחר למרצה פרטי בתולדות האוניברסיטה. הוא החל לכתוב כמעט מאמר מתמטי חשוב אחד בחודש. בשנת 1929 הפך לזמן קצר למרצה פרטי באוניברסיטת המבורג, שם סיכויי הקביעות היו טובים יותר, ולאחר מכן באוקטובר של אותה שנה עבר לאוניברסיטת פרינסטון כמרצה אורח לפיזיקה מתמטית.

פון נוימן הוטבל לנצרות הקתולית בשנת 1930. זמן קצר לאחר מכן, נישא למריאטה קובשי, שלמדה כלכלה באוניברסיטת בודפשט. לפון נוימן ומריאטה נולדה בת, מרינה, בשנת 1935; היא הפכה לימים לפרופסורית. הזוג התגרש ב-2 בנובמבר 1937. ב-17 בנובמבר 1938 נישא פון נוימן לקלארה דאן.

בשנת 1933 קיבל פון נוימן משרת פרופסור קבועה במכון למחקר מתקדם בניו ג'רזי, כאשר התוכנית של המוסד למנות את הרמן וייל נראתה ככישלון. פון נוימן אנגלז את שמו לג'ון, תוך שמירה על שם המשפחה האריסטוקרטי-גרמני פון נוימן. פון נוימן הפך לאזרח אמריקאי ב-1937, וניסה מיד להתקבל כסגן בחיל המילואים של צבא ארצות הברית. הוא עבר את המבחנים אך נדחה בשל גילו. אמו, אחיו וקרובי משפחתו הלכו בעקבות פון נוימן לארצות הברית ב-1939.

קלארה וג'ון פון נוימן היו פעילים חברתית בקהילה האקדמית המקומית. ביתו הלבן בדרך וסטקוט היה אחד מבתי המגורים הפרטיים הגדולים בפרינסטון. הוא תמיד לבש חליפות רשמיות. הוא נהנה מהומור ביידיש ומהומור "גס". פון נוימן עשה חלק מעבודתו הטובה ביותר בסביבות רועשות וכאוטיות. בפרינסטון הוא ספג תלונות על השמעת מוזיקת צעדה גרמנית בעוצמה גבוהה מאוד. לדברי צ'רצ'יל אייזנהארט, פון נוימן היה יכול להשתתף במסיבות עד השעות הקטנות של הלילה ואז להעביר הרצאה ב-8:30 בבוקר.

הוא היה ידוע בכך שתמיד שמח לספק לאחרים מכל רמות היכולת ייעוץ מדעי ומתמטי. ויגנר כתב שהוא כנראה הדריך יותר עבודה (במובן הלא רשמי) מכל מתמטיקאי מודרני אחר. בתו כתבה שהוא היה מודאג מאוד ממורשתו בשני היבטים: חייו ועמידות תרומותיו האינטלקטואליות לעולם.

רבים ראו בו יושב ראש מצוין לוועדות, שמוותר בקלות יחסית בעניינים אישיים או ארגוניים אך מתעקש בעניינים טכניים. הרברט יורק תיאר את "ועדות פון נוימן" הרבות שבהן השתתף כ"יוצאות דופן בסגנונן ובתפוקתן". הדרך שבה הוועדות שבראשן עמד פון נוימן עבדו ישירות ובאופן אינטימי עם הגופים הצבאיים או התאגידיים הדרושים הפכה לתוכנית אב לכל תוכניות הטילים ארוכי הטווח של חיל האוויר. אנשים רבים שהכירו את פון נוימן תהו לגבי יחסו לצבא ולמבני כוח בכלל. סטניסלב אולם חשד שהייתה לו הערצה נסתרת לאנשים או לארגונים שיכלו להשפיע על מחשבותיהם וקבלת ההחלטות של אחרים.

הוא גם שמר על ידיעותיו בשפות שלמד בצעירותו. הוא ידע הונגרית, צרפתית, גרמנית ואנגלית באופן שוטף, ושמר על רמה שיחתית באיטלקית, יידיש, לטינית ויוונית עתיקה. הספרדית שלו הייתה פחות מושלמת. הייתה לו תשוקה וידע אנציקלופדי בהיסטוריה עתיקה, והוא נהנה לקרוא היסטוריונים יוונים עתיקים בשפת המקור. אולם חשד שהם אולי עיצבו את השקפותיו על האופן שבו אירועים עתידיים יכולים להתפתח ועל האופן שבו הטבע האנושי והחברה פועלים בכלל.

חברו הקרוב ביותר של פון נוימן בארצות הברית היה המתמטיקאי סטניסלב אולם. פון נוימן האמין שחלק גדול מחשיבתו המתמטית התרחש באופן אינטואיטיבי; הוא היה הולך לישון לעיתים קרובות עם בעיה לא פתורה ויודע את התשובה עם היקיצה. אולם ציין שדרך החשיבה של פון נוימן אולי לא הייתה חזותית, אלא יותר שמיעתית. אולם נזכר: "באופן בלתי תלוי בחיבתו לשנינות מופשטת, הייתה לו הערכה חזקה (אפשר לומר כמעט רעב) לסוג הארצי יותר של קומדיה והומור".

### מחלה ומוות

בשנת 1955 נמצא גוש ליד עצם הבריח של פון נוימן, שהתברר כסרטן שמקורו בשלד, בלבלב או בערמונית. (בעוד שיש הסכמה כללית שהגידול גרורתי, המקורות חלוקים לגבי מיקום הסרטן הראשוני.) הממאירות נגרמה אולי מחשיפה לקרינה במעבדה הלאומית לוס אלמוס. כשהמוות התקרב הוא ביקש כומר, אם כי הכומר נזכר מאוחר יותר שפון נוימן מצא מעט נחמה בקבלת הטקסים האחרונים – הוא נותר מבועת מהמוות ולא מסוגל לקבלו. על השקפותיו הדתיות, פון נוימן אמר כביכול: "כל עוד קיימת האפשרות של דמיון נצחי לכופרים, הגיוני יותר להיות מאמין בסוף", בהתייחסו להימור של פסקל. הוא התוודה בפני אמו: "כנראה חייב להיות אלוהים. דברים רבים קלים יותר להסבר אם הוא קיים מאשר אם לא".

פון נוימן חי ומת כקתולי ב-8 בפברואר 1957, בגיל 53, בבית החולים הצבאי וולטר ריד ונקבר בבית הקברות של פרינסטון.

מתמטיקה

### תורת הקבוצות

בתחילת המאה ה-20, מאמצים לבסס את המתמטיקה על תורת הקבוצות הנאיבית ספגו מכה בשל הפרדוקס של ראסל (על קבוצת כל הקבוצות שאינן שייכות לעצמן). הבעיה של אקסיומטיזציה הולמת של תורת הקבוצות נפתרה במשתמע כעשרים שנה לאחר מכן על ידי ארנסט צרמלו ואברהם פרנקל. תורת הקבוצות של צרמלו-פרנקל סיפקה סדרה של עקרונות שאפשרו את בניית הקבוצות המשמשות בפרקטיקה היומיומית של המתמטיקה, אך לא שללה במפורש את האפשרות לקיומה של קבוצה השייכת לעצמה. בתזת הדוקטורט שלו מ-1925, הדגים פון נוימן שתי טכניקות לשלילת קבוצות כאלה – אקסיומת היסוד והמושג של מחלקה.

אקסיומת היסוד הציעה שניתן לבנות כל קבוצה מלמטה למעלה ברצף סדור של שלבים באמצעות עקרונות צרמלו-פרנקל. אם קבוצה אחת שייכת לאחרת, הראשונה חייבת בהכרח לבוא לפני השנייה ברצף. זה שולל את האפשרות של קבוצה השייכת לעצמה. כדי להדגים שהוספת אקסיומה חדשה זו לאחרות לא יצרה סתירות, הציג פון נוימן את שיטת המודלים הפנימיים, שהפכה לכלי הדגמה חיוני בתורת הקבוצות.

הגישה השנייה לבעיית הקבוצות השייכות לעצמן לקחה כבסיס את המושג מחלקה, ומגדירה קבוצה כמחלקה השייכת למחלקות אחרות, בעוד שמחלקה ממשית מוגדרת כמחלקה שאינה שייכת למחלקות אחרות. בגישת צרמלו-פרנקל, האקסיומות מונעות את בניית קבוצת כל הקבוצות שאינן שייכות לעצמן. לעומת זאת, בגישתו של פון נוימן, ניתן לבנות את מחלקת כל הקבוצות שאינן שייכות לעצמן, אך זו מחלקה ממשית, לא קבוצה.

בסך הכל, הישגו העיקרי של פון נוימן בתורת הקבוצות היה "אקסיומטיזציה של תורת הקבוצות ו(קשור לכך) תיאוריה אלגנטית של מספרים סודרים ומונים, כמו גם הניסוח הקפדני הראשון של עקרונות הגדרה על ידי אינדוקציה טרנספיניטית".

פרדוקס פון נוימן

בהתבסס על פרדוקס האוסדורף של פליקס האוסדורף (1914), סטפן בנך ואלפרד טרסקי הראו ב-1924 כיצד לחלק כדור תלת-ממדי לקבוצות זרות, ולאחר מכן להעתיק ולסובב קבוצות אלו כדי ליצור שני עותקים זהים של אותו כדור; זהו פרדוקס בנך-טרסקי. הם גם הוכיחו שלדיסק דו-ממדי אין פירוק פרדוקסלי כזה. אך ב-1929, פון נוימן חילק את הדיסק למספר סופי של חלקים וסידר אותם מחדש לשני דיסקים, תוך שימוש בטרנספורמציות אפיניות משמרות שטח במקום העתקות וסיבובים. התוצאה הייתה תלויה במציאת חבורות חופשיות של טרנספורמציות אפיניות, טכניקה חשובה שהורחבה מאוחר יותר על ידי פון נוימן בעבודתו על תורת המידה.

### תורת ההוכחות

עם תרומותיו של פון נוימן לקבוצות, המערכת האקסיומטית של תורת הקבוצות נמנעה מסתירות של מערכות קודמות והפכה לשימושית כבסיס למתמטיקה, למרות היעדר הוכחה לעקביותה. השאלה הבאה הייתה האם היא סיפקה תשובות סופיות לכל השאלות המתמטיות שניתן להציב בה, או שמא ניתן לשפרה על ידי הוספת אקסיומות חזקות יותר שניתן להשתמש בהן כדי להוכיח מחלקה רחבה יותר של משפטים.

עד 1927, פון נוימן היה מעורב בדיונים בגטינגן על האם חשבון אלמנטרי נובע מאקסיומות פאנו. בהתבסס על עבודתו של אקרמן, הוא החל לנסות להוכיח (באמצעות השיטות הפיניטיסטיות של האסכולה של הילברט) את העקביות של חשבון מסדר ראשון. הוא הצליח להוכיח את העקביות של קטע מחשבון המספרים הטבעיים (באמצעות שימוש במגבלות על אינדוקציה). הוא המשיך לחפש הוכחה כללית יותר לעקביות של המתמטיקה הקלאסית באמצעות שיטות מתורת ההוכחות.

תשובה שלילית חזקה לשאלה האם היא סופית הגיעה בספטמבר 1930 בוועידה השנייה לאפיסטמולוגיה של המדעים המדויקים, שבה הכריז קורט גדל על משפט האי-שלמות הראשון שלו: המערכות האקסיומטיות הרגילות אינן שלמות, במובן שהן אינן יכולות להוכיח כל אמת שניתן לבטא בשפתן. יתרה מכך, כל הרחבה עקבית של מערכות אלו נותרת בהכרח לא שלמה. בוועידה, הציע פון נוימן לגדל לנסות להפוך את תוצאותיו להצעות בלתי ניתנות להכרעה על מספרים שלמים.

פחות מחודש לאחר מכן, תקשר פון נוימן לגדל תוצאה מעניינת של המשפט שלו: המערכות האקסיומטיות הרגילות אינן מסוגלות להוכיח את עקביותן שלהן. גדל השיב שהוא כבר גילה תוצאה זו, הידועה כעת כמשפט אי-השלמות השני שלו, ושהוא ישלח טיוטה של מאמרו המכיל את שתי התוצאות, מה שמעולם לא קרה. פון נוימן הכיר בבכורה של גדל במכתבו הבא. עם זאת, שיטת ההוכחה של פון נוימן הייתה שונה מזו של גדל, והוא גם היה בדעה שמשפט אי-השלמות השני הנחית מכה חזקה הרבה יותר על התוכנית של הילברט ממה שגדל חשב. עם תגלית זו, ששינתה באופן דרסטי את השקפותיו על קפדנות מתמטית, הפסיק פון נוימן את המחקר ביסודות המתמטיקה ובמטא-מתמטיקה ובמקום זאת הקדיש זמן לבעיות הקשורות ליישומים.

### תורת הארגודיות

בסדרת מאמרים שפורסמו ב-1932, תרם פון נוימן תרומות יסוד לתורת הארגודיות, ענף במתמטיקה העוסק במצבים של מערכות דינמיות עם מידה אינווריאנטית. על מאמרי 1932 בנושא תורת הארגודיות, כתב פול הלמוש שאפילו "לו פון נוימן לא היה עושה שום דבר אחר, הם היו מספיקים כדי להבטיח לו אלמוות מתמטי". עד אז כבר כתב פון נוימן את מאמריו על תורת האופרטורים, והיישום של עבודה זו היה מכריע במשפט הארגודי הממוצע שלו.

המשפט עוסק בחבורות יוניטריות חד-פרמטריות שרירותיות

t

→

V

t

{\displaystyle {\mathit {t}}\to {\mathit {V_{t}}}}

וקובע כי עבור כל וקטור

ϕ

{\displaystyle \phi }

במרחב הילברט,

lim

T → ∞

1 T

∫

0

T

V

t

( ϕ )

d t

{\textstyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}V_{t}(\phi )\,dt}

קיים במובן של המטריקה המוגדרת על ידי נורמת הילברט והוא וקטור

ψ

{\displaystyle \psi }

המקיים

V

t

( ψ ) = ψ

{\displaystyle V_{t}(\psi )=\psi }

לכל

t

{\displaystyle t}

. זה הוכח במאמר הראשון. במאמר השני, טען פון נוימן שתוצאותיו כאן מספיקות ליישומים פיזיקליים הקשורים להשערה הארגודית של בולצמן. הוא גם ציין שהארגודיות טרם הושגה ובידד זאת לעבודה עתידית.

מאוחר יותר באותה שנה פרסם מאמר משפיע נוסף שהחל את המחקר השיטתי של ארגודיות. הוא נתן והוכיח משפט פירוק המראה שהפעולות הארגודיות משמרות המידה של הישר הממשי הן אבני הבניין הבסיסיות שמהן ניתן לבנות את כל הפעולות משמרות המידה. מספר משפטי מפתח אחרים ניתנים ומוכחים. לתוצאות במאמר זה ובמאמר נוסף בשיתוף עם פול הלמוש יש יישומים משמעותיים בתחומים אחרים של המתמטיקה.

### תורת המידה

בתורת המידה, ניתן לנסח את "בעיית המידה" עבור מרחב אוקלידי n-ממדי R כך: "האם קיימת פונקציית קבוצה חיובית, מנורמלת, אינווריאנטית ואדיטיבית על מחלקת כל תת-הקבוצות של R?" עבודתם של פליקס האוסדורף וסטפן בנך רמזה שלבעיית המידה יש פתרון חיובי אם n = 1 או n = 2 ופתרון שלילי (בגלל פרדוקס בנך-טרסקי) בכל שאר המקרים. עבודתו של פון נוימן טענה שה"בעיה היא במהותה בעלת אופי תורת-חבורות": קיומה של מידה יכול להיקבע על ידי התבוננות בתכונות של חבורת הטרנספורמציות של המרחב הנתון. הפתרון החיובי למרחבים מממד לכל היותר שני, והפתרון השלילי לממדים גבוהים יותר, נובע מכך שהחבורה האוקלידית היא חבורה פתירה לממד לכל היותר שני, ואינה פתירה לממדים גבוהים יותר. "לפיכך, לפי פון נוימן, השינוי בחבורה הוא שעושה את ההבדל, לא השינוי במרחב." בסביבות 1942 הוא אמר לדורותי מהרם כיצד להוכיח שלכל מרחב מידה σ-סופי שלם יש הרמה כפלית; הוא לא פרסם הוכחה זו והיא העלתה מאוחר יותר הוכחה חדשה.

במספר מאמרים של פון נוימן, שיטות הטיעון שבהן השתמש נחשבות למשמעותיות אף יותר מהתוצאות. בציפייה למחקרו המאוחר יותר על תורת הממדים באלגברות של אופרטורים, השתמש פון נוימן בתוצאות על שקילות על ידי פירוק סופי, וניסח מחדש את בעיית המידה במונחים של פונקציות. תרומה מרכזית שפון נוימן תרם לתורת המידה הייתה תוצאה של מאמר שנכתב כדי לענות על שאלה של האר לגבי האם קיימת אלגברה של כל הפונקציות החסומות על הישר הממשי כך שהן מהוות "מערכת שלמה של נציגים של מחלקות הפונקציות החסומות המדידות השוות כמעט בכל מקום". הוא הוכיח זאת בחיוב, ובמאמרים מאוחרים יותר עם סטון דן בהכללות שונות ובהיבטים אלגבריים של בעיה זו. הוא גם הוכיח בשיטות חדשות את קיומם של פירוקים עבור סוגים כלליים שונים של מידות. פון נוימן נתן גם הוכחה חדשה ליחידות של מידות האר על ידי שימוש בערכים ממוצעים של פונקציות, אם כי שיטה זו עבדה רק עבור חבורות קומפקטיות. הוא נאלץ ליצור טכניקות חדשות לחלוטין כדי להחיל זאת על חבורות קומפקטיות מקומית. הוא גם נתן הוכחה חדשה ומבריקה למשפט רדון-ניקודים. הערות ההרצאה שלו על תורת המידה במכון למחקר מתקדם היו מקור חשוב לידע בנושא באמריקה באותה עת, ופורסמו מאוחר יותר.

### חבורות טופולוגיות

באמצעות עבודתו הקודמת על תורת המידה, תרם פון נוימן מספר תרומות לתורת החבורות הטופולוגיות, החל במאמר על פונקציות כמעט-מחזוריות על חבורות, שבו הרחיב פון נוימן את התאוריה של בוהר על פונקציות כמעט-מחזוריות לחבורות שרירותיות. הוא המשיך עבודה זו במאמר נוסף בשיתוף עם בוכנר ששיפר את התאוריה של כמעט-מחזוריות כדי לכלול פונקציות שקיבלו איברים של מרחבים ליניאריים כערכים במקום מספרים. בשנת 1938 הוענק לו פרס בוכר על עבודתו באנליזה ביחס למאמרים אלו.

במאמר מ-1933, הוא השתמש במידת האר שהתגלתה לאחרונה בפתרון הבעיה החמישית של הילברט עבור המקרה של חבורות קומפקטיות. הרעיון הבסיסי מאחורי זה התגלה כמה שנים קודם לכן כאשר פון נוימן פרסם מאמר על התכונות האנליטיות של חבורות טרנספורמציות ליניאריות ומצא שתת-חבורות סגורות של חבורה ליניארית כללית הן חבורות לי. זה הורחב מאוחר יותר על ידי קרטן לחבורות לי שרירותיות בצורה של משפט תת-החבורה הסגורה.

### אנליזה פונקציונלית

פון נוימן היה הראשון שהגדיר אקסיומטית מרחב הילברט מופשט. הוא הגדיר אותו כמרחב וקטורי מרוכב עם מכפלה סקלרית הרמיטית, כאשר הנורמה המתאימה היא גם ספרבילית וגם שלמה. באותם מאמרים הוא גם הוכיח את הצורה הכללית של אי-שוויון קושי-שוורץ שהייתה ידועה בעבר רק בדוגמאות ספציפיות. הוא המשיך בפיתוח התאוריה הספקטרלית של אופרטורים במרחב הילברט בשלושה מאמרים מכוננים בין 1929 ל-1932. עבודה זו הגיעה לשיאה בספרו "יסודות מתמטיים של מכניקת הקוונטים", שלצד שני ספרים אחרים של סטון ובנך באותה שנה היו המונוגרפיות הראשונות על תורת מרחבי הילברט. עבודה קודמת של אחרים הראתה שלא ניתן להשיג תאוריה של טופולוגיות חלשות באמצעות סדרות. פון נוימן היה הראשון ששרטט תוכנית כיצד להתגבר על הקשיים, מה שהוביל אותו להגדיר מרחבים קמורים מקומית ומרחבים וקטוריים טופולוגיים בפעם הראשונה. בנוסף, מספר תכונות טופולוגיות אחרות שהגדיר באותה עת (הוא היה בין המתמטיקאים הראשונים שהחילו רעיונות טופולוגיים חדשים של האוסדורף מהמרחבים האוקלידיים למרחבי הילברט) כגון חסימות וחסימות מוחלטת עדיין נמצאות בשימוש כיום. במשך עשרים שנה נחשב פון נוימן ל'מאסטר הבלתי מעורער' של תחום זה. התפתחויות אלו הונעו בעיקר על ידי צרכים במכניקת הקוונטים, שם הבין פון נוימן את הצורך להרחיב את התאוריה הספקטרלית של אופרטורים הרמיטיים מהמקרה החסום למקרה הלא חסום. הישגים מרכזיים אחרים במאמרים אלו כוללים הבהרה מלאה של התאוריה הספקטרלית עבור אופרטורים נורמליים, ההצגה המופשטת הראשונה של העקבה של אופרטור חיובי, הכללה של הצגת ריס למשפטים הספקטרליים של הילברט באותה עת, וגילוי אופרטורים הרמיטיים במרחב הילברט, כנבדלים מאופרטורים צמודים לעצמם, מה שאפשר לו לתת תיאור של כל האופרטורים ההרמיטיים המרחיבים אופרטור הרמיטי נתון. הוא כתב מאמר המפרט כיצד השימוש במטריצות אינסופיות, שהיה נפוץ באותה עת בתאוריה הספקטרלית, אינו הולם כהצגה לאופרטורים הרמיטיים. עבודתו על תורת האופרטורים הובילה להמצאתו העמוקה ביותר במתמטיקה עיונית, חקר אלגברות פון נוימן ובאופן כללי אלגברות אופרטורים.

עבודתו המאוחרת על חוגי אופרטורים הובילה אותו לבחון מחדש את עבודתו על התאוריה הספקטרלית ולספק דרך חדשה לעבוד דרך התוכן הגיאומטרי באמצעות שימוש באינטגרלים ישירים של מרחבי הילברט. כמו בעבודתו על תורת המידה, הוא הוכיח מספר משפטים שלא מצא זמן לפרסם. הוא אמר לנחמן ארונז'יין וק. ט. סמית' שבתחילת שנות ה-30 הוא הוכיח את קיומם של תת-מרחבים אינווריאנטיים ממש עבור אופרטורים רציפים לחלוטין במרחב הילברט בזמן שעבד על בעיית תת-המרחב האינווריאנטי.

עם י. ג'. שנברג הוא כתב מספר פריטים שחקרו מטריקות הילברטיות אינווריאנטיות להעתקה על הישר הממשי, מה שהוביל לסיווגן המלא. המוטיבציה שלהם נעוצה בשאלות שונות הקשורות להטמעת מרחבים מטריים במרחבי הילברט.

עם פסקל יורדן הוא כתב מאמר קצר שנתן את הגזירה הראשונה של נורמה נתונה ממכפלה פנימית באמצעות זהות המקבילית. אי-שוויון העקבה שלו הוא תוצאה מרכזית בתורת המטריצות המשמשת בבעיות קירוב מטריצות. הוא גם הציג לראשונה את הרעיון שהדואלי של פרה-נורמה הוא נורמה במאמר המרכזי הראשון שדן בתאוריה של נורמות אינווריאנטיות יוניטרית ופונקציות כיול סימטריות (הידועות כיום כנורמות מוחלטות סימטריות). מאמר זה מוביל באופן טבעי לחקר אידיאלים של אופרטורים סימטריים והוא נקודת ההתחלה למחקרים מודרניים של מרחבי אופרטורים סימטריים.

מאוחר יותר עם רוברט שאטן הוא יזם את חקר האופרטורים הגרעיניים על מרחבי הילברט, מכפלות טנזוריות של מרחבי בנך, הציג וחקר אופרטורים מסוג עקבה, האידיאלים שלהם, והדואליות שלהם עם אופרטורים קומפקטיים, ופרה-דואליות עם אופרטורים חסומים. ההכללה של נושא זה לחקר אופרטורים גרעיניים על מרחבי בנך הייתה בין ההישגים הראשונים של אלכסנדר גרותנדיק. בעבר ב-1937 פרסם פון נוימן מספר תוצאות בתחום זה, למשל מתן סולם של פרמטר אחד של נורמות צולבות שונות על

l

2

n

⊗

l

2

n

{\displaystyle {\textit {l}}\,_{2}^{n}\otimes {\textit {l}}\,_{2}^{n}}

והוכחת מספר תוצאות אחרות על מה שידוע כיום כאידיאלי שאטן-פון נוימן.

### אלגברות אופרטורים

פון נוימן ייסד את חקר חוגי האופרטורים, דרך אלגברות פון נוימן (שנקראו במקור W-אלגברות). בעוד שהרעיונות המקוריים שלו לחוגי אופרטורים היו קיימים כבר ב-1930, הוא לא החל לחקור אותם לעומק עד שפגש את פ. ג'. מאריי כמה שנים לאחר מכן. אלגברת פון נוימן היא -אלגברה של אופרטורים חסומים על מרחב הילברט שהיא סגורה בטופולוגיית האופרטור החלשה ומכילה את אופרטור הזהות. משפט הבי-קומוטנט של פון נוימן מראה שההגדרה האנליטית שקולה להגדרה אלגברית גרידא כשווה לבי-קומוטנט. לאחר הבהרת חקר מקרה האלגברה הקומוטטיבית, יצא פון נוימן ב-1936, בשיתוף פעולה חלקי של מאריי, למקרה הלא-קומוטטיבי, החקר הכללי של סיווג פקטורים של אלגברות פון נוימן. ששת המאמרים המרכזיים שבהם פיתח תאוריה זו בין 1936 ל-1940 "נמנים עם יצירות המופת של האנליזה במאה העשרים"; הם אוספים תוצאות יסוד רבות והחלו מספר תוכניות בתורת אלגברות האופרטורים שמתמטיקאים עבדו עליהן במשך עשורים לאחר מכן. דוגמה לכך היא סיווג הפקטורים. בנוסף ב-1938 הוא הוכיח שכל אלגברת פון נוימן על מרחב הילברט ספרבילי היא אינטגרל ישיר של פקטורים; הוא לא מצא זמן לפרסם תוצאה זו עד 1949. אלגברות פון נוימן קשורות קשר הדוק לתאוריה של אינטגרציה לא-קומוטטיבית, דבר שפון נוימן רמז עליו בעבודתו אך לא כתב במפורש. תוצאה חשובה נוספת על פירוק קוטבי פורסמה ב-1932.

### תורת הסריגים

בין 1935 ל-1937, עבד פון נוימן על תורת הסריגים, התאוריה של קבוצות סדורות חלקית שבה לכל שני איברים יש חסם תחתון עליון וחסם עליון תחתון. כפי שכתב גארט בירקהוף, "מוחו המבריק של ג'ון פון נוימן בער מעל תורת הסריגים כמו מטאור". פון נוימן שילב גיאומטריה פרויקטיבית מסורתית עם אלגברה מודרנית (אלגברה ליניארית, תורת החוגים, תורת הסריגים). תוצאות גיאומטריות רבות קודמות יכלו אז להתפרש במקרה של מודולים כלליים מעל חוגים. עבודתו הניחה את היסודות לחלק מהעבודה המודרנית בגיאומטריה פרויקטיבית.

תרומתו הגדולה ביותר הייתה ייסוד תחום הגיאומטריה הרציפה. זה בא בעקבות עבודתו פורצת הדרך על חוגי אופרטורים. במתמטיקה, גיאומטריה רציפה היא תחליף לגיאומטריה פרויקטיבית מרוכבת, שבה במקום שהממד של תת-מרחב יהיה בקבוצה בדידה

0 , 1 , . . . ,

n

{\displaystyle 0,1,...,{\mathit {n}}}

הוא יכול להיות איבר של הקטע היחידה

[ 0 , 1 ]

{\displaystyle [0,1]}

. מוקדם יותר, מנגר ובירקהוף אקסיומטיזו את הגיאומטריה הפרויקטיבית המרוכבת במונחים של התכונות של סריג תת-המרחבים הליניאריים שלה. פון נוימן, בעקבות עבודתו על חוגי אופרטורים, החליש את האקסיומות הללו כדי לתאר מחלקה רחבה יותר של סריגים, הגיאומטריות הרציפות.

בעוד שהממדים של תת-המרחבים של גיאומטריות פרויקטיביות הם קבוצה בדידה (המספרים השלמים הלא-שליליים), הממדים של איברי גיאומטריה רציפה יכולים לנוע ברציפות לאורך קטע היחידה

[ 0 , 1 ]

{\displaystyle [0,1]}

. פון נוימן הונע על ידי גילויו של אלגברות פון נוימן עם פונקציית ממד הלוקחת טווח רציף של ממדים, והדוגמה הראשונה לגיאומטריה רציפה שאינה מרחב פרויקטיבי הייתה ההטלות של פקטור היפר-סופי מסוג II.

בעבודה תאורטית טהורה יותר על סריגים, הוא פתר את הבעיה הקשה של אפיון המחלקה של

C G ( F )

{\displaystyle {\mathit {CG(F)}}}

(גיאומטריה פרויקטיבית בעלת ממד רציף מעל חוג חילוק שרירותי

F

{\displaystyle {\mathit {F}}\}

) בשפה מופשטת של תורת הסריגים. פון נוימן סיפק חקירה מופשטת של ממד בסריגים טופולוגיים מודולריים משלימים (תכונות העולות בסריגים של תת-מרחבים של מרחבי מכפלה פנימית):

> ממד נקבע, עד כדי טרנספורמציה ליניארית חיובית, על ידי שתי התכונות הבאות. הוא נשמר על ידי העתקות פרספקטיביות ("פרספקטיביות") ומסודר על ידי הכלה. החלק העמוק ביותר של ההוכחה נוגע לשקילות של פרספקטיביות עם "פרויקטיביות על ידי פירוק" – שמסקנה שלה היא הטרנזיטיביות של פרספקטיביות.

עבור כל מספר שלם

n > 3

{\displaystyle n>3}

כל

n

{\displaystyle {\mathit {n}}}

-ממדית גיאומטריה פרויקטיבית מופשטת היא איזומורפית לסריג תת-המרחבים של

n

{\displaystyle {\mathit {n}}}

-ממדי מרחב וקטורי

V

n

( F )

{\displaystyle V_{n}(F)}

מעל חוג חילוק מתאים (יחיד)

F

{\displaystyle F}

. זה ידוע כמשפט ובלן-יאנג. פון נוימן הרחיב תוצאת יסוד זו בגיאומטריה פרויקטיבית למקרה הממדי הרציף. משפט קואורדינטיזציה זה עורר עבודה ניכרת בגיאומטריה פרויקטיבית מופשטת ובתורת הסריגים, שרובה המשיכה להשתמש בטכניקות של פון נוימן. בירקהוף תיאר משפט זה כדלקמן:

> כל סריג מודולרי משלים L בעל "בסיס" של n ≥ 4 איברים פרספקטיביים בזוגות, הוא איזומורפי לסריג ℛ(R) של כל אידיאלי-ימין ראשיים של חוג רגולרי מתאים R. מסקנה זו היא השיא של 140 עמודים של אלגברה מבריקה וחדה הכוללת אקסיומות חדשות לחלוטין. כל מי שרוצה לקבל רושם בלתי נשכח מהקצה החד של מוחו של פון נוימן, צריך רק לנסות לעקוב אחר שרשרת ההסקה המדויקת הזו בעצמו – תוך הבנה שלעיתים קרובות חמישה עמודים ממנה נכתבו לפני ארוחת הבוקר, כשהוא יושב ליד שולחן כתיבה בסלון בחלוק רחצה.

עבודה זו דרשה יצירת חוגים רגולריים. חוג רגולרי של פון נוימן הוא חוג שבו לכל

a

{\displaystyle a}

, קיים איבר

x

{\displaystyle x}

כך ש

a x a = a

{\displaystyle axa=a}

. חוגים אלו הגיעו מעבודתו על אלגברות פון נוימן, כמו גם AW-אלגברות וסוגים שונים של C-אלגברות, ויש להם קשרים אליהן.

תוצאות טכניות קטנות רבות הוכחו במהלך היצירה וההוכחה של המשפטים לעיל, במיוחד בנוגע לדיסטריבוטיביות (כגון דיסטריבוטיביות אינסופית), כאשר פון נוימן פיתח אותן לפי הצורך. הוא גם פיתח תאוריה של הערכות בסריגים, והשתתף בפיתוח התאוריה הכללית של סריגים מטריים.

בירקהוף ציין במאמרו שלאחר המוות על פון נוימן שרוב התוצאות הללו פותחו בתקופת עבודה אינטנסיבית של שנתיים, ושאף על פי שתחומי העניין שלו נמשכו בתורת הסריגים לאחר 1937, הם הפכו להיקפיים והתרחשו בעיקר במכתבים למתמטיקאים אחרים. תרומה אחרונה ב-1940 הייתה לסמינר משותף שערך עם בירקהוף במכון למחקר מתקדם בנושא שבו פיתח תאוריה של חוגים סדורי סריג σ-שלמים. הוא מעולם לא כתב את העבודה לפרסום.

### סטטיסטיקה מתמטית

פון נוימן תרם תרומות יסוד לסטטיסטיקה מתמטית. בשנת 1941, הוא גזר את ההתפלגות המדויקת של היחס בין ממוצע הריבועים של הפרשים עוקבים לבין שונות המדגם עבור משתנים בלתי תלויים ומתפלגים נורמלית באופן זהה. יחס זה הוחל על השאריות ממודלי רגרסיה והוא ידוע בדרך כלל כסטטיסטי דורבין-ווטסון לבדיקת השערת האפס שהשגיאות בלתי תלויות סדרתית מול החלופה שהן עוקבות אחרי אוטורגרסיה מסדר ראשון סטציונרית.

לאחר מכן, דניס סארגן ואלוק בהרגאווה הרחיבו את התוצאות לבדיקה האם השגיאות במודל רגרסיה עוקבות אחרי הילוך מקרי גאוסי (כלומר, בעלות שורש יחידה) מול החלופה שהן אוטורגרסיה מסדר ראשון סטציונרית.

### עבודה אחרת

בשנותיו המוקדמות פרסם פון נוימן מספר מאמרים הקשורים לאנליזה ריאלית תורת-קבוצתית ולתורת המספרים. במאמר מ-1925, הוא הוכיח שלכל סדרה צפופה של נקודות ב

[ 0 , 1 ]

{\displaystyle [0,1]}

, קיימת סידור מחדש של אותן נקודות שהוא בהתפלגות אחידה. בשנת 1926 הפרסום היחיד שלו היה על התאוריה של פרופר של מספרים אלגבריים אידיאליים שבה מצא דרך חדשה לבנות אותם, ובכך הרחיב את התאוריה של פרופר לשדה של כל המספרים האלגבריים, והבהיר את הקשר שלהם למספרים p-אדיים. בשנת 1928 פרסם שני מאמרים נוספים שהמשיכו בנושאים אלו. הראשון עסק בחלוקת קטע לתת-קבוצות חופפות בנות-מנייה. הוא פתר בעיה של הוגו שטיינהאוס ששאלה האם קטע הוא

ℵ

0

{\displaystyle \aleph _{0}}

-פריק. פון נוימן הוכיח שאכן כל הקטעים, חצי-פתוחים, פתוחים או סגורים הם

ℵ

0

{\displaystyle \aleph _{0}}

-פריקים על ידי העתקות (כלומר שניתן לפרק קטעים אלו ל-

ℵ

0

{\displaystyle \aleph _{0}}

תת-קבוצות שהן חופפות על ידי העתקה). מאמרו הבא עסק במתן הוכחה קונסטרוקטיבית ללא אקסיומת הבחירה שקיימים מספרים ממשיים בלתי תלויים אלגברית

2

ℵ

0

{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}

. הוא הוכיח ש-

A

r

=

∑

n = 0

∞

2

2

[ n r ]

/

2

2

n

2

{\displaystyle A_{r}=\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{2^{[nr]}}\!{\big /}\,2^{2^{n^{2}}}}

הם בלתי תלויים אלגברית עבור

r > 0

{\displaystyle r>0}

. כתוצאה מכך, קיימת קבוצה מושלמת בלתי תלויה אלגברית של מספרים ממשיים בגודל הרצף. תוצאות משניות אחרות מהקריירה המוקדמת שלו כוללות הוכחה לעקרון מקסימום עבור הגרדיאנט של פונקציית מינימיזציה בתחום חשבון הווריאציות, ופישוט קטן של משפט הרמן מינקובסקי עבור צורות ליניאריות בתורת המספרים הגיאומטרית. מאוחר יותר בקריירה שלו יחד עם פסקל יורדן ויוג'ין ויגנר הוא כתב מאמר יסוד המסווג את כל אלגברות יורדן הממשיות פורמלית מממד סופי ומגלה את אלגברות אלברט תוך ניסיון לחפש פורמליזם מתמטי טוב יותר לתאוריית הקוונטים. בשנת 1936 הוא ניסה לקדם את התוכנית של החלפת האקסיומות של תוכנית מרחב הילברט הקודמת שלו באלו של אלגברות יורדן במאמר שחקר את המקרה האינסופי-ממדי; הוא תכנן לכתוב לפחות מאמר נוסף אחד בנושא אך מעולם לא עשה זאת. עם זאת, אקסיומות אלו היוו את הבסיס לחקירות נוספות של מכניקת קוונטים אלגברית שהחל אירווינג סיגל.