יעקב ברנולי

יעקב ברנולי

יעקב ברנולי (Jacob Bernoulli;‏ 6 בינואר 1655 [לפי הלוח היוליאני 27 בדצמבר 1654] – 16 באוגוסט 1705) היה מתמטיקאי שווייצרי. הוא צידד בגוטפריד וילהלם לייבניץ (Gottfried Wilhelm Leibniz) במהלך המחלוקת על המצאת החשבון האינפיניטסימלי בין לייבניץ לניוטון (Isaac Newton), והיה תומך מוקדם בחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי של לייבניץ, שבו תרם תרומות רבות. כבן למשפחת ברנולי, הוא נמנה יחד עם אחיו יוהאן (Johann Bernoulli) עם מייסדי חשבון הווריאציות. הוא גם גילה את הקבוע המתמטי היסודי e. עם זאת, תרומתו החשובה ביותר הייתה בתחום ההסתברות, שבו גזר את הגרסה הראשונה של חוק המספרים הגדולים בספרו Ars Conjectandi.

שמו הפרטי של ברנולי ניתן לעיתים גם כ-Jakob (שזה היה שמו בגרמנית). הוא היה ידוע גם בשם ג'יימס באנגלית או ז'אק בצרפתית. כאשר פרסם בלטינית, כפי שנהג לעיתים קרובות, שמו הופיע כ-Jacobus Bernoullius. כדי להבדילו מקרובו יעקב ברנולי השני (Jakob II Bernoulli), לפעמים מצורפת לברנולי הסיומת הדורית I, כגון יעקב הראשון ברנולי.

ביוגרפיה

יעקב ברנולי נולד בבזל שבקונפדרציה השווייצרית; הוא היה בנם ונכדם של סוחרי תבלינים פרוטסטנטים מצד אביו. אמו נולדה למשפחה שעסקה בבנקאות ובממשל עירוני.

בהתאם לרצון אביו, הוא למד תיאולוגיה ונכנס לכמורה. אך בניגוד לרצון הוריו, הוא למד גם מתמטיקה ואסטרונומיה. הוא טייל ברחבי אירופה בין השנים 1676–1682, כשהוא לומד על התגליות האחרונות במתמטיקה ובמדעים אצל אישים מובילים באותה תקופה. אלו כללו את עבודתם של יוהאן הוד (Johannes Hudde), רוברט בויל (Robert Boyle) ורוברט הוק (Robert Hooke). במהלך תקופה זו הוא גם הפיק תיאוריה שגויה על שביטים.

ברנולי חזר לשווייץ והחל ללמד מכניקה באוניברסיטת בזל בשנת 1683. עבודת הדוקטורט שלו Solutionem tergemini problematis הוגשה בשנת 1684. היא הופיעה בדפוס בשנת 1687.

בשנת 1684 נישא ברנולי ליודית שטופאנוס (Judith Stupanus); לזוג נולדו שני ילדים. במהלך עשור זה החל גם בקריירת מחקר פורייה. נסיעותיו אפשרו לו ליצור התכתבות עם מתמטיקאים ומדענים מובילים רבים בתקופתו, התכתבות אותה שימר לאורך כל חייו. בתקופה זו למד את התגליות החדשות במתמטיקה, כולל ספרו של כריסטיאן הויגנס (Christiaan Huygens) "De ratiociniis in aleae ludo", "La Géométrie" של דקארט (René Descartes) ומהדורותיו של פרנס ואן סחוטן (Frans van Schooten). הוא גם למד את כתבי אייזק בארו (Isaac Barrow) וג'ון ווליס (John Wallis), מה שהוביל להתעניינותו בגיאומטריה אינפיניטסימלית. מלבד אלו, בין השנים 1684–1689 התגלו רבות מהתוצאות שהרכיבו את הספר Ars Conjectandi.

מקובל להניח כי הוא מונה לפרופסור למתמטיקה באוניברסיטת בזל בשנת 1687, משרה בה החזיק עד סוף ימיו. עד אז החל להדריך את אחיו יוהאן ברנולי בנושאים מתמטיים. שני האחים החלו לחקור את החשבון האינפיניטסימלי כפי שהוצג על ידי לייבניץ במאמרו משנת 1684 על החשבון הדיפרנציאלי ב-Nova Methodus pro Maximis et Minimis שפורסם בכתב העת Acta Eruditorum. הם גם למדו את פרסומיו של פון צ'ירנהאוס (Ehrenfried Walther von Tschirnhaus). יש להבין שפרסומיו של לייבניץ על החשבון היו מעורפלים מאוד עבור המתמטיקאים של אותה תקופה, והברנולים היו בין הראשונים שניסו להבין וליישם את תיאוריות לייבניץ.

יעקב שיתף פעולה עם אחיו ביישומים שונים של החשבון. עם זאת, אווירת שיתוף הפעולה בין שני האחים הפכה ליריבות ככל שהגאונות המתמטית של יוהאן החלה להבשיל, כאשר שניהם תוקפים זה את זה בכתובים ומציבים אתגרים מתמטיים קשים כדי לבחון את כישוריו של האחר. עד שנת 1697, היחסים התפרקו לחלוטין.

מכתש הירח ברנולי נקרא גם על שמו ועל שם אחיו יוהאן.

עבודות חשובות

תרומותיו החשובות הראשונות של יעקב ברנולי היו חוברת על הקבלות בין לוגיקה לאלגברה שפורסמה ב-1685, עבודה על הסתברות ב-1685 ועבודה על גיאומטריה ב-1687. תוצאת הגיאומטריה שלו סיפקה בנייה לחלוקת כל משולש לארבעה חלקים שווים באמצעות שני קווים ניצבים.

עד 1689 פרסם עבודה חשובה על טורים אינסופיים ופרסם את חוק המספרים הגדולים בתורת ההסתברות. יעקב ברנולי פרסם חמישה חיבורים על טורים אינסופיים בין 1682 ל-1704. השניים הראשונים שבהם הכילו תוצאות רבות, כגון התוצאה הבסיסית כי

∑

1 n

{\displaystyle \sum {\frac {1}{n}}}

מתבדר, תוצאה שברנולי האמין שהיא חדשה אך למעשה הוכחה על ידי פייטרו מנגולי (Pietro Mengoli) 40 שנה קודם לכן וכבר הוכחה על ידי ניקול אורזם (Nicole Oresme) במאה ה-14. ברנולי לא הצליח למצוא צורה סגורה עבור

∑

1

n

2

{\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{2}}}}

, אך הוא הראה שהטור מתכנס לגבול סופי הקטן מ-2. אוילר (Leonhard Euler) היה הראשון למצוא את הגבול של טור זה בשנת 1737. ברנולי גם חקר את הטור האקספוננציאלי שעלה מתוך בחינת ריבית דריבית.

במאי 1690, במאמר שפורסם ב-Acta Eruditorum, הראה יעקב ברנולי שבעיית קביעת האיזוכרון שקולה לפתרון משוואה דיפרנציאלית לא ליניארית מסדר ראשון. האיזוכרון, או עקומת הנפילה הקבועה, היא העקומה שלאורכה חלקיק ירד תחת כוח הכבידה מכל נקודה לתחתית בדיוק באותו זמן, ללא קשר לנקודת ההתחלה. היא נחקרה על ידי הויגנס בשנת 1687 ולייבניץ בשנת 1689. לאחר מציאת המשוואה הדיפרנציאלית, פתר אותה ברנולי באמצעות מה שאנו מכנים כיום הפרדת משתנים. מאמרו של יעקב ברנולי משנת 1690 חשוב לתולדות החשבון, שכן המונח "אינטגרל" מופיע בו בפעם הראשונה עם משמעותו האינטגרטיבית. בשנת 1696 פתר ברנולי את המשוואה, שנקראת כיום משוואת ברנולי,

y ′

= p ( x ) y + q ( x )

y

n

.

{\displaystyle y'=p(x)y+q(x)y^{n}.}

יעקב ברנולי גם גילה שיטה כללית לקביעת האבולוטות של עקומה כמעטפת של מעגלי העקמומיות שלה. הוא גם חקר עקומות קאוסטית ובמיוחד חקר עקומות קשורות אלו של הפרבולה, הספירלה הלוגריתמית והאפיציקלואידים בסביבות 1692. הלמניסקטה של ברנולי הוגתה לראשונה על ידי יעקב ברנולי בשנת 1694. בשנת 1695 הוא חקר את בעיית הגשר המתרומם, המחפשת את העקומה הנדרשת כך שמשקל המחליק לאורך הכבל ישמור תמיד על איזון הגשר.

עבודתו המקורית ביותר של ברנולי הייתה Ars Conjectandi, שפורסמה בבזל בשנת 1713, שמונה שנים לאחר מותו. היצירה לא הייתה שלמה בזמן מותו, אך היא עדיין מהווה יצירה בעלת חשיבות עליונה בתורת ההסתברות. הספר עוסק גם בנושאים קשורים אחרים, כולל סקירה של קומבינטוריקה, ובמיוחד עבודתם של ואן סחוטן, לייבניץ ופרסטה (Jean Prestet), וכן השימוש במספרי ברנולי בדיון על הטור האקספוננציאלי. בהשראת עבודתו של הויגנס, ברנולי נותן גם דוגמאות רבות לכמה ניתן לצפות לזכות במשחקי מזל שונים. המונח "ניסוי ברנולי" נולד מתוך עבודה זו.

בחלק האחרון של הספר, ברנולי משרטט תחומים רבים של הסתברות מתמטית, כולל הסתברות כמידת ודאות מדידה; הכרח ומקריות; תוחלת מוסרית לעומת מתמטית; הסתברות אפריורית ואפוסטריורית; תוחלת זכייה כאשר שחקנים מחולקים לפי מיומנות; התחשבות בכל הטיעונים הזמינים, הערכתם והערכתם הניתנת לחישוב; וחוק המספרים הגדולים.

ברנולי היה אחד המקדמים המשמעותיים ביותר של השיטות הפורמליות של האנליזה הגבוהה. פיקחות ואלגנטיות נמצאות לעיתים רחוקות בשיטת ההצגה והביטוי שלו, אך יש בה יושרה מקסימלית.

גילוי הקבוע המתמטי e

בשנת 1683 גילה ברנולי את הקבוע e על ידי חקר שאלה על ריבית דריבית, שדרשה ממנו למצוא את הערך של הביטוי הבא (שהוא למעשה e):

lim

n → ∞

(

1 +

1 n

)

n

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}

דוגמה אחת היא חשבון שמתחיל ב-1.00 דולר ומשלם 100 אחוזי ריבית לשנה. אם הריבית נזקפת פעם אחת, בסוף השנה, הערך הוא 2.00 דולר; אך אם הריבית מחושבת ומתווספת פעמיים בשנה, ה-1 דולר מוכפל ב-1.5 פעמיים, מה שמניב 1.00×1.5 = 2.25 דולר. ריבית דריבית רבעונית מניבה 1.00×1.25 = 2.4414..., וריבית חודשית מניבה 1.00×(1.0833...) = 2.613035....

ברנולי הבחין שסדרה זו מתקרבת לגבול (כוח הריבית) עבור מרווחי ריבית קטנים ומרובים יותר. ריבית שבועית מניבה 2.692597..., בעוד שריבית יומית מניבה 2.714567..., רק שני סנט יותר. באמצעות n כמספר מרווחי הריבית, עם ריבית של 100% / n בכל מרווח, הגבול עבור n גדול הוא המספר שאוילר כינה מאוחר יותר e; עם ריבית דריבית רציפה, ערך החשבון יגיע ל-2.7182818.... באופן כללי יותר, חשבון שמתחיל ב-1 דולר ומניב (1+R) דולרים בריבית דריבית, יניב e דולרים בריבית דריבית רציפה.

ברנולי חישב את הקבוע הזה רק מספיק כדי לקבוע שערכו גדול מ-2.5 וקטן מ-3.

מצבה

ברנולי רצה שספירלה לוגריתמית והמוטו Eadem mutata resurgo ('אף כי השתניתי, אני קם מחדש כשהייתי') יחוקקו על מצבתו. הוא כתב שהספירלה בעלת הדמיון העצמי "עשויה לשמש כסמל, או לאומץ וקביעות במצוקה, או לגוף האנושי, שאחרי כל שינוייו, אפילו לאחר המוות, ישוב לעצמיותו המדויקת והמושלמת". ברנולי מת בשנת 1705, אך על המצבה נחקקה ספירלה ארכימדית במקום לוגריתמית.

תרגום הכתובת הלטינית:

יעקב ברנולי, המתמטיקאי שאין דומה לו. פרופסור באוניברסיטת בזל במשך יותר מ-18 שנים; חבר באקדמיות המלכותיות של פריז וברלין; מפורסם בכתביו. חלה במחלה כרונית, אך צלול בדעתו עד הסוף; נפטר בשנת החסד 1705, ב-16 באוגוסט, בגיל 50 שנים ו-7 חודשים, ממתין לתחיית המתים. יודית שטופאנוס, אשתו מזה 20 שנה, ושני ילדיו הקימו אנדרטה לבעל ולאב שהם כה מתגעגעים אליו.

עבודות

Conamen novi systematis cometarum (בלטינית). אמסטרדם: apud Henr. Wetstenium. 1682. (הכותרת מתורגמת בקירוב כ-"השערה חדשה למערכת השביטים".)

- De gravitate aetheris (בלטינית). אמסטרדם: apud Henricum Wetstenium. 1683.

- Ars conjectandi, opus posthumum, בזל, impensis Thurnisiorum Fratrum, 1713.

- Opera (בלטינית). כרך 1. ז'נבה: héritiers Cramer & frères Philibert. 1744. Opera (בלטינית). כרך 2. ז'נבה: héritiers Cramer & frères Philibert. 1744.