מבוא וחיים
אם אנו מגיעים למשוואה המכילה בשני אגפיה את אותו האיבר אך עם מקדמים שונים, עלינו להחסיר שווים משווים עד שנקבל איבר אחד השווה לאיבר אחר. אך אם קיימים איברים שליליים בצד אחד או בשני הצדדים, יש להוסיף את החסרים לשני האגפים עד שכל האיברים בשני הצדדים יהיו חיוביים. לאחר מכן עלינו להחסיר שווים משווים עד שייוותר איבר אחד בכל אגף. דיופנטוס מאלכסנדריה היה מתמטיקאי אלכסנדרוני, שהיה מחבר סדרת ספרים בשם 'אריתמטיקה' (Arithmetica), שרבים מהם אבדו כיום. טקסטים אלו עוסקים בפתרון משוואות אלגבריות.
בעת שקרא את המהדורה של קלוד גספאר באשה דה מזירייאק (Claude Gaspard Bachet de Méziriac) ל'אריתמטיקה' של דיופנטוס, הגיע פייר דה פרמה (Pierre de Fermat) למסקנה שלמשוואה מסוימת שנדונה על ידי דיופנטוס אין פתרונות, וציין בשוליים ללא פירוט כי מצא "הוכחה מופלאה באמת לטענה זו", המכונה כיום המשפט האחרון של פרמה. הדבר הוביל להתקדמות אדירה בתורת המספרים, ומחקר משוואות דיופנטיות, "גאומטריה דיופנטית" וקירובים דיופנטיים נותרו תחומי מחקר מתמטיים חשובים. דיופנטוס טבע את המונח παρισότης (פריסוטס - parisotes) כדי להתייחס לשוויון מקורב. מונח זה תורגם כ-adaequalitas בלטינית, והפך לטכניקת ה-adequality שפיתח פייר דה פרמה כדי למצוא מקסימום לפונקציות וקווים משיקים לעקומות.
דיופנטוס היה המתמטיקאי היווני הראשון שהכיר בשברים כמספרים; לפיכך הוא התיר מספרים רציונליים חיוביים עבור המקדמים והפתרונות. בשימוש מודרני, משוואות דיופנטיות הן בדרך כלל משוואות אלגבריות עם מקדמים שלמים, שעבורן מחפשים פתרונות שלמים. ביוגרפיה מעט מאוד ידוע על חייו של דיופנטוס. הוא חי באלכסנדריה, מצרים, בתקופה הרומית, כנראה בין השנים 200–214 ל-284 או 298 לספירה. דיופנטוס תואר על ידי היסטוריונים באופן שונה כיווני, או אולי מצרי הלניסטי, או בבלי הלניסטי. רבות מהזהויות הללו עשויות לנבוע מבלבול עם הרטוריקן מהמאה ה-4 דיופנטוס הערבי. חלק גדול מהידע שלנו על חייו של דיופנטוס נגזר מאנתולוגיה יוונית מהמאה ה-5 של משחקי מספרים וחידות שנוצרו על ידי מטרודורוס (Metrodorus).
האפיטף ו'אריתמטיקה'
אחת הבעיות המכונה לעיתים האפיטף שלו מציינת: 'כאן שוכב דיופנטוס,' ראו את הפלא. באמצעות אמנות אלגברית, האבן מספרת בן כמה היה: 'אלוהים העניק לו את ילדותו שישית מחייו, עוד תריסר כנער בעוד זקנו צומח; ואז עוד שביעית בטרם החלו הנישואים; בחמש שנים הגיע בן חדש ומלא חיים. אבוי, הילד היקר של המאסטר והחכם לאחר שהגיע למחצית מידת חיי אביו גורל קר לקח אותו. לאחר שניחם את גורלו על ידי מדע המספרים במשך ארבע שנים, הוא סיים את חייו.' חידה זו מרמזת שניתן לבטא את גילו של דיופנטוס x כ-x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4, מה שנותן ל-x ערך של 84 שנים. עם זאת, לא ניתן לאשר את דיוק המידע באופן עצמאי.
בתרבות הפופולרית, חידה זו הייתה חידה מס' 142 ב-'פרופסור לייטון ותיבת פנדורה' כאחת מחידות הפתרון הקשות ביותר במשחק, שהיה צריך לפתוח על ידי פתרון חידות אחרות תחילה. אריתמטיקה 'אריתמטיקה' היא יצירתו העיקרית של דיופנטוס והעבודה הבולטת ביותר על אלגברה במתמטיקה יוונית. זהו אוסף של בעיות הנותנות פתרונות מספריים למשוואות קובעות ובלתי-קובעות כאחד. מתוך שלושה עשר הספרים המקוריים שמהם הורכבה 'אריתמטיקה', שרדו רק שישה, אם כי יש הסבורים שארבעה ספרים בערבית שהתגלו בשנת 1968 הם גם של דיופנטוס. כמה בעיות דיופנטיות מ'אריתמטיקה' נמצאו במקורות ערביים. דף שער של המהדורה המקורית משנת 1621 של התרגום ללטינית על ידי קלוד גספאר באשה דה מזירייאק ל'אריתמטיקה' של דיופנטוס.
מתודולוגיה מתמטית והעברה
יש לציין כאן שדיופנטוס מעולם לא השתמש בשיטות כלליות בפתרונותיו. הרמן האנקל (Hermann Hankel), מתמטיקאי גרמני נודע, העיר את ההערה הבאה לגבי דיופנטוס: "אצל המחבר שלנו דיופנטוס לא ניכר אפילו שמץ של שיטה כללית ומקיפה; כל בעיה דורשת שיטה מיוחדת שמסרבת לעבוד אפילו עבור הבעיות הקרובות ביותר. מסיבה זו קשה לחוקר המודרני לפתור את הבעיה ה-101 גם לאחר שלמד 100 פתרונות של דיופנטוס". היסטוריה כמו טקסטים מתמטיים יווניים רבים אחרים, דיופנטוס נשכח במערב אירופה במהלך מה שמכונה 'ימי הביניים המוקדמים', שכן לימוד יוונית עתיקה, ואוריינות בכלל, ירדו מאוד.
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →חלק מה'אריתמטיקה' היוונית ששרד, לעומת זאת, היה, כמו כל הטקסטים היווניים העתיקים שהועברו לעולם המודרני המוקדם, מועתק על ידי, ולכן היה ידוע ל, חוקרים ביזנטיים של ימי הביניים. סכוליה על דיופנטוס מאת החוקר היווני הביזנטי יוחנן כורטסמנוס (John Chortasmenos) 1370–1437 נשמרו יחד עם פרשנות מקיפה שנכתבה על ידי החוקר היווני המוקדם יותר מקסימוס פלנודס (Maximos Planudes) 1260–1305, שהפיק מהדורה של דיופנטוס בתוך ספריית מנזר כורה בקונסטנטינופול הביזנטית. בנוסף, חלק מה'אריתמטיקה' כנראה שרד במסורת הערבית (ראו לעיל). בשנת 1463 כתב המתמטיקאי הגרמני רגיומונטנוס (Regiomontanus): איש עדיין לא תרגם מיוונית ללטינית את שלושה עשר הספרים של דיופנטוס, שבהם טמון הפרח האמיתי של כל האריתמטיקה . . . .
מהדורות והמשפט האחרון של פרמה
ה'אריתמטיקה' תורגמה לראשונה מיוונית ללטינית על ידי בומבלי (Bombelli) בשנת 1570, אך התרגום מעולם לא פורסם. עם זאת, בומבלי שאל רבות מהבעיות עבור ספרו שלו 'אלגברה'. ה-editio princeps של 'אריתמטיקה' פורסם בשנת 1575 על ידי זילנדר (Xylander). התרגום הלטיני הידוע ביותר של 'אריתמטיקה' נעשה על ידי באשה בשנת 1621 והפך למהדורה הלטינית הראשונה שהייתה זמינה באופן נרחב. פייר דה פרמה החזיק עותק, למד אותו ורשם הערות בשוליים. כתיבת שוליים מאת פרמה וכורטסמנוס מהדורת 1621 של 'אריתמטיקה' מאת באשה צברה תהילה לאחר שפייר דה פרמה כתב את ה"משפט האחרון" המפורסם שלו בשולי העותק שלו: אם מספר שלם n גדול מ-2, אז ל-an + bn = cn אין פתרונות במספרים שלמים שאינם אפס a, b ו-c. יש לי הוכחה מופלאה באמת לטענה זו ששוליים אלו צרים מכדי להכילה.
ההוכחה של פרמה מעולם לא נמצאה, והבעיה של מציאת הוכחה למשפט נותרה ללא פתרון במשך מאות שנים. הוכחה נמצאה לבסוף בשנת 1994 על ידי אנדרו ויילס (Andrew Wiles) לאחר שעבד עליה במשך שבע שנים. מאמינים שלפרמה לא הייתה באמת ההוכחה שהוא טען שיש לו. אף על פי שהעותק המקורי שבו כתב פרמה את זה אבד כיום, בנו של פרמה ערך את המהדורה הבאה של דיופנטוס, שפורסמה בשנת 1670. למרות שהטקסט נחות אחרת ממהדורת 1621, ההערות של פרמה - כולל ה"משפט האחרון" - הודפסו בגרסה זו. בעיה II.8 ב'אריתמטיקה' (מהדורת 1670), מוערת עם הערתו של פרמה שהפכה למשפט האחרון של פרמה.
יצירות אחרות וכתבי יד שאבדו
פרמה לא היה המתמטיקאי הראשון שהונע לכתוב הערות שוליים משלו לדיופנטוס; החוקר הביזנטי יוחנן כורטסמנוס 1370–1437 כתב "נפשך, דיופנטוס, תהיה עם השטן בגלל הקושי של המשפטים האחרים שלך ובמיוחד של המשפט הנוכחי" ליד אותה בעיה. יצירות אחרות דיופנטוס כתב כמה ספרים נוספים מלבד 'אריתמטיקה', אך מעטים מאוד מהם שרדו. הפוריסמות (The Porisms) דיופנטוס עצמו מתייחס ליצירה המורכבת מאוסף למות בשם 'הפוריסמות' או 'פוריסמטה', אך ספר זה אבד לחלוטין. אף על פי ש'הפוריסמות' אבדו, אנו מכירים שלוש למות הכלולות שם, מכיוון שדיופנטוס מתייחס אליהן ב'אריתמטיקה'. למה אחת קובעת שההפרש בין הקוביות של שני מספרים רציונליים שווה לסכום הקוביות של שני מספרים רציונליים אחרים, כלומר
בהינתן כל a ו-b, עם a > b, קיימים c ו-d, כולם חיוביים ורציונליים, כך ש-a 3 − b 3 = c 3 + d 3. מספרים מצולעים ויסודות גאומטריים דיופנטוס ידוע גם כמי שכתב על מספרים מצולעים, נושא בעל עניין רב לפיתגורס ופיתגוראים. שברים של ספר העוסק במספרים מצולעים קיימים. ספר בשם 'הקדמות ליסודות הגאומטריים' יוחס באופן מסורתי להרון מאלכסנדריה (Hero of Alexandria). הוא נחקר לאחרונה על ידי וילבור נור (Wilbur Knorr), שהציע שהייחוס להרון אינו נכון, ושהמחבר האמיתי הוא דיופנטוס. השפעה לעבודתו של דיופנטוס הייתה השפעה רבה בהיסטוריה. מהדורות של 'אריתמטיקה' הפעילו השפעה עמוקה על התפתחות האלגברה באירופה בסוף המאה ה-16 ובמהלך המאות ה-17 וה-18.
השפעה ותרומות מתמטיות
דיופנטוס ויצירותיו השפיעו גם על המתמטיקה הערבית והיו בעלי תהילה רבה בקרב מתמטיקאים ערבים. עבודתו של דיופנטוס יצרה בסיס לעבודה על אלגברה ולמעשה חלק גדול מהמתמטיקה המתקדמת מבוסס על אלגברה. כמה הוא השפיע על הודו הוא נושא לוויכוח. דיופנטוס מכונה לעיתים קרובות "אבי האלגברה" מכיוון שתרם רבות לתורת המספרים, לסימון מתמטי, ומכיוון ש'אריתמטיקה' מכילה את השימוש הקדום ביותר הידוע בסימון מקוצר (syncopated notation). ניתוח דיופנטי כיום, ניתוח דיופנטי הוא תחום המחקר שבו מחפשים פתרונות של מספרים שלמים עבור משוואות, ומשוואות דיופנטיות הן משוואות פולינומיות עם מקדמים שלמים שעבורן מחפשים רק פתרונות שלמים. בדרך כלל קשה למדי לדעת אם משוואה דיופנטית נתונה היא פתירה. רוב הבעיות ב'אריתמטיקה' מובילות למשוואות ריבועיות.
שיטות אלגבריות וסימון
דיופנטוס בחן 3 סוגים שונים של משוואות ריבועיות: ax2 + bx = c, ax2 = bx + c, ו-ax2 + c = bx. הסיבה לכך שהיו שלושה מקרים אצל דיופנטוס, בעוד שהיום יש לנו מקרה אחד בלבד, היא שלא היה לו מושג לאפס והוא נמנע ממקדמים שליליים על ידי התחשבות במספרים הנתונים a, b, c כחיוביים בכל אחד משלושת המקרים לעיל. דיופנטוס תמיד הסתפק בפתרון רציונלי ולא דרש מספר שלם, מה שאומר שהוא קיבל שברים כפתרונות לבעיותיו. דיופנטוס ראה בפתרונות שורש ריבועי שלילי או אי-רציונלי כ"חסרי תועלת", "חסרי משמעות" ואפילו "אבסורדיים". כדי לתת דוגמה ספציפית אחת, הוא מכנה את המשוואה 4 = 4x + 20 'אבסורדית' מכיוון שהיא תוביל לערך שלילי עבור x. פתרון אחד היה כל מה שחיפש במשוואה ריבועית.
אין עדות לכך שדיופנטוס אפילו הבין שיכולים להיות שני פתרונות למשוואה ריבועית. הוא בחן גם משוואות ריבועיות בו-זמניות. סימון מתמטי דיופנטוס עשה התקדמות חשובה בסימון מתמטי, והפך לאדם הראשון הידוע שהשתמש בסימון אלגברי ובסמליות. לפניו כולם כתבו משוואות במלואן. דיופנטוס הציג סמליות אלגברית שהשתמשה בסימון מקוצר לפעולות המתרחשות לעיתים קרובות, ובקיצור לנעלם ולחזקות של הנעלם. ההיסטוריון המתמטי קורט פוגל (Kurt Vogel) מציין: הסמליות שדיופנטוס הציג בפעם הראשונה, וללא ספק הגה בעצמו, סיפקה אמצעי קצר וניתן להבנה בקלות להבעת משוואה...
מגבלות האלגברה הסימבולית המוקדמת
מכיוון שנעשה שימוש בקיצור גם למילה 'שווה', דיופנטוס עשה צעד בסיסי מאלגברה מילולית לעבר אלגברה סימבולית. אף על פי שדיופנטוס עשה התקדמות חשובה בסמליות, עדיין חסר לו הסימון הדרוש כדי לבטא שיטות כלליות יותר. זה גרם לעבודתו להיות מודאגת יותר מבעיות מסוימות מאשר ממצבים כלליים. כמה מהמגבלות של הסימון של דיופנטוס הן שהיה לו סימון רק לנעלם אחד וכאשר בעיות כללו יותר מנעלם אחד, דיופנטוס צומצם לביטוי "נעלם ראשון", "נעלם שני", וכו' במילים. כמו כן חסר לו סמל למספר כללי n. במקום שבו היינו כותבים 12 + 6n/n2 − 3, דיופנטוס צריך להזדקק למבנים כמו: "... מספר פי שישה מוגדל ב-12, המחולק בהפרש שבו ריבוע המספר עולה על שלוש".
לאלגברה עדיין הייתה דרך ארוכה לעבור לפני שניתן היה לכתוב ולפתור בעיות כלליות מאוד בצורה תמציתית.