Niels Henrik Abel était un mathématicien norvégien qui a apporté des contributions pionnières dans une variété de domaines. Son résultat unique le plus célèbre est la première preuve complète démontrant l'impossibilité de résoudre l'équation quintique générale en radicaux.
Cette question était l'un des grands problèmes ouverts de son époque et était restée irrésolue pendant plus de 250 ans. Il a également été un innovateur dans le domaine des fonctions elliptiques, découvreur des fonctions abéliennes. Il a fait ses découvertes en vivant dans la pauvreté et est décédé à l'âge de 26 ans de la tuberculose.
La plupart de son travail a été réalisé en six ou sept ans de sa vie professionnelle. À propos d'Abel, le mathématicien français Charles Hermite a déclaré : « Abel a laissé aux mathématiciens de quoi les occuper pendant cinq cents ans. » Un autre mathématicien français, Adrien-Marie Legendre, a déclaré : « quelle tête celle du jeune Norvégien! » « quel cerveau que celui du jeune Norvégien! ».
Le Prix Abel en mathématiques, initialement proposé en 1899 pour compléter les Prix Nobel, porte son nom en son honneur.
Vie
Jeunesse
Niels Henrik Abel est né à Nedstrand, en Norvège, comme deuxième enfant du pasteur Søren Georg Abel et Anne Marie Simonsen. Quand Niels Henrik Abel est né, la famille vivait au presbytère de Finnøy. Beaucoup de preuves suggèrent que Niels Henrik est né dans la paroisse voisine, car ses parents étaient les invités du bailli à Nedstrand en juillet/août de son année de naissance.
Le père de Niels Henrik Abel, Søren Georg Abel, avait un diplôme en théologie et philosophie et a servi en tant que pasteur à Finnøy. Le père de Søren, le grand-père de Niels, Hans Mathias Abel, était également pasteur, à l'église de Gjerstad près de la ville de Risør. Søren avait passé son enfance à Gjerstad et avait également servi comme aumônier là-bas; et après la mort de son père en 1804, Søren a été nommé pasteur à Gjerstad et la famille a déménagé là-bas. La famille Abel était originaire du Schleswig et s'est installée en Norvège au 17e siècle.
Anne Marie Simonsen était originaire de Risør; son père, Niels Henrik Saxild Simonsen, était un commerçant et propriétaire d'un navire marchand, et était réputé être la personne la plus riche de Risør. Anne Marie avait grandi avec deux belles-mères, dans un entourage relativement luxueux. Au presbytère de Gjerstad, elle aimait organiser des bals et des réceptions sociales. Beaucoup de preuves suggèrent qu'elle était alcoolique dès le départ et montrait peu d'intérêt pour l'éducation des enfants. Niels Henrik et ses frères ont reçu leur scolarité de leur père, avec des livres manuscrits à lire. Une table d'addition dans un livre de mathématiques lit : 1+0=0.
Cathédrale School et Université Royal Frederick
Avec l'indépendance de la Norvège et les premières élections tenues en Norvège, en 1814, Søren Abel a été élu comme représentant au Storting. Les réunions du Storting se sont tenues jusqu'en 1866 dans la grande salle de la Cathedral School à Christiania, maintenant connue sous le nom d'Oslo. C'est presque certainement ainsi qu'il a pris contact avec l'école, et il a décidé que son fils aîné, Hans Mathias, devrait y commencer l'année suivante. Cependant, à l'approche de son départ, Hans était tellement attristé et déprimé d'être obligé de quitter la maison que son père n'a pas osé l'envoyer. Il a décidé d'envoyer Niels à la place.
En 1815, Niels Abel est entré à la Cathedral School à l'âge de 13 ans. Son frère aîné Hans l'a rejoint l'année suivante. Ils partageaient des chambres et avaient des classes ensemble. Hans avait de meilleures notes que Niels; cependant, un nouveau professeur de mathématiques, Bernt Michael Holmboe, a été nommé en 1818. Il a donné aux étudiants des tâches mathématiques à faire à la maison. Il a vu le talent de Niels Henrik en mathématiques et l'a encouragé à étudier le sujet à un niveau avancé. Il a même donné à Niels des cours particuliers après l'école.
En 1818, Søren Abel a eu une dispute théologique publique avec le théologien Stener Johannes Stenersen concernant son catéchisme de 1806. La dispute a été largement couverte par la presse. Søren a reçu le surnom « Abel Traitement » norvégien: « Abel Spandabel ». La réaction de Niels à la querelle aurait été « une gaieté excessive ». En même temps, Søren a également failli faire face à une destitution après avoir insulté Carsten Anker, l'hôte de l'Assemblée constituante norvégienne; et en septembre 1818, il est retourné à Gjerstad avec sa carrière politique en ruines. Il a commencé à boire lourdement et est décédé seulement deux ans plus tard, en 1820, à l'âge de 48 ans.
Bernt Michael Holmboe a soutenu Niels Henrik Abel avec une bourse pour rester à l'école et a levé des fonds auprès de ses amis pour lui permettre d'étudier à l'Université Royal Frederick.
Quand Abel est entré à l'université en 1821, il était déjà le mathématicien le plus compétent de Norvège. Holmboe n'avait plus rien à lui enseigner et Abel avait étudié toute la littérature mathématique la plus récente dans la bibliothèque de l'université. Pendant ce temps, Abel a commencé à travailler sur l'équation quintique en radicaux. Les mathématiciens cherchaient une solution à ce problème depuis plus de 250 ans. En 1821, Abel pensait qu'il avait trouvé la solution. Les deux professeurs de mathématiques à Christiania, Søren Rasmussen et Christopher Hansteen, n'ont trouvé aucune erreur dans les formules d'Abel et ont envoyé le travail au mathématicien le plus éminent des pays nordiques, Carl Ferdinand Degen à Copenhagen. Il n'a trouvé aucune faute non plus, mais doutait toujours que la solution, que tant de mathématiciens éminents avaient cherchée pendant si longtemps, aurait vraiment pu être trouvée par un étudiant inconnu dans la Christiania lointaine. Degen a noté, cependant, l'esprit exceptionnellement aigu d'Abel et a cru qu'un jeune homme aussi talentueux ne devrait pas gaspiller ses capacités sur un « objet stérile » comme l'équation du cinquième degré, mais plutôt sur les fonctions elliptiques et la transcendance; car alors, écrivit Degen, il « découvrirait les passages magellaniques de grandes portions d'un vaste océan analytique ». Degen a demandé à Abel de donner un exemple numérique de sa méthode. En essayant de fournir un exemple, Abel a trouvé une erreur dans son article. Cela a conduit à une découverte en 1823 qu'une solution à une équation du cinquième degré ou d'un degré supérieur était impossible.
Abel a obtenu son diplôme en 1822. Ses performances étaient exceptionnellement élevées en mathématiques et moyennes dans les autres matières.
Carrière
Après sa graduation, les professeurs de l'université ont soutenu Abel financièrement, et le professeur Christopher Hansteen lui a permis de vivre dans une chambre au grenier de sa maison. Abel verrait plus tard Mme Hansteen comme sa deuxième mère. En vivant ici, Abel a aidé son frère cadet, Peder Abel, à passer l'examen artium. Il a également aidé sa sœur Elisabeth à trouver du travail en ville.
Au début de 1823, Niels Abel a publié son premier article dans « Magazin for Naturvidenskaberne », le premier journal scientifique de Norvège, qui avait été cofondé par le professeur Hansteen. Abel a publié plusieurs articles, mais le journal s'est bientôt rendu compte que ce n'était pas un matériel pour le lecteur ordinaire. En 1823, Abel a également écrit un article en français. C'était « une représentation générale de la possibilité d'intégrer toutes les formules différentielles » norvégien: en alminnelig Fremstilling af Muligheten at integrere alle mulige Differential-Formler. Il a demandé des fonds à l'université pour le publier. Cependant, le travail a été perdu lors de l'examen et n'a jamais été retrouvé par la suite.
Au milieu de 1823, le professeur Rasmussen a fait cadeau à Abel de 100 speciedaler pour qu'il puisse voyager à Copenhagen et visiter Ferdinand Degen et d'autres mathématiciens. À Copenhagen, Abel a travaillé sur le Dernier Théorème de Fermat. L'oncle d'Abel, Peder Mandrup Tuxen, vivait à la base navale de Christianshavn, Copenhagen, et à un bal là-bas, Niels Abel a rencontré Christine Kemp, sa future fiancée. En 1824, Christine a déménagé à Son, en Norvège, pour travailler comme gouvernante et le couple s'est fiancé à Noël.
Après son retour de Copenhagen, Abel a demandé une bourse gouvernementale afin de visiter les meilleurs mathématiciens en Allemagne et en France, mais il a plutôt reçu 200 speciedaler par an pendant deux ans, pour rester à Christiania et étudier l'allemand et le français. Au cours des deux années suivantes, il lui a été promis une bourse de 600 speciedaler par an et il lui aurait alors été permis de voyager à l'étranger. Pendant qu'il étudiait ces langues, Abel a publié son premier travail notable en 1824, Mémoire sur les équations algébriques où on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré Mémoire sur les équations algébriques, dans lequel l'impossibilité de résoudre l'équation générale du cinquième degré est prouvée. En 1823, Abel avait finalement prouvé l'impossibilité de résoudre l'équation quintique en radicaux, maintenant appelée le théorème d'Abel-Ruffini. Cependant, cet article était sous une forme obscure et difficile, en partie parce qu'il s'était limité à seulement six pages afin d'économiser de l'argent sur l'impression. Une preuve plus détaillée a été publiée en 1826 dans le premier volume du Journal de Crelle.
En 1825, Abel a écrit une lettre personnelle au roi Carl Johan de Norvège/Suède demandant la permission de voyager à l'étranger. Il a reçu cette permission et en septembre 1825, il a quitté Christiania avec quatre amis de l'université Christian P.B Boeck, Balthazar M. Keilhau, Nicolay B. Møller et Otto Tank. Ces quatre amis d'Abel voyageaient à Berlin et aux Alpes pour étudier la géologie. Abel voulait les suivre à Copenhagen et de là se rendre à Göttingen. Les termes de sa bourse stipulaient qu'il devait visiter Gauss à Göttingen et ensuite continuer à Paris. Cependant, quand il est arrivé à Copenhagen, il a changé ses plans. Il voulait plutôt suivre ses amis à Berlin, avec l'intention de visiter Göttingen et Paris par la suite.
En chemin, il a visité l'astronome Heinrich Christian Schumacher à Altona, maintenant un district de Hamburg. Il a ensuite passé quatre mois à Berlin, où il s'est bien familiarisé avec August Leopold Crelle, qui était sur le point de publier son journal mathématique, Journal für die reine und angewandte Mathematik. Ce projet a été chaleureusement encouragé par Abel, qui a beaucoup contribué au succès de l'entreprise. Abel a contribué sept articles à sa première année.
De Berlin, Abel a également suivi ses amis aux Alpes. Il s'est rendu à Leipzig et à Freiberg pour visiter Georg Amadeus Carl Friedrich Naumann et son frère le mathématicien August Naumann. À Freiberg, Abel a mené des recherches sur la théorie des fonctions, en particulier, elliptiques, hyperelliptiques et une nouvelle classe maintenant connue sous le nom de fonctions abéliennes.
De Freiberg, ils se sont rendus à Dresden, Prague, Vienne, Trieste, Venise, Vérone, Bolzano, Innsbruck, Luzern et Bâle. À partir de juillet 1826, Abel a voyagé seul de Bâle à Paris. Abel avait envoyé la plupart de ses travaux à Berlin pour être publiés dans le Journal de Crelle, mais il avait conservé ce qu'il considérait comme son travail le plus important pour l'Académie des Sciences française, un théorème sur l'addition de différentielles algébriques. Avec l'aide d'un peintre, Johan Gørbitz, il a trouvé un appartement à Paris et a continué son travail sur le théorème. Il a terminé en octobre 1826 et l'a présenté à l'académie. Il devait être examiné par Augustin-Louis Cauchy. Le travail d'Abel était à peine connu à Paris, et sa modestie l'a retenu de proclamer ses recherches. Le théorème a été mis de côté et oublié jusqu'à sa mort.
Les finances limitées d'Abel l'ont finalement forcé à abandonner son tour en janvier 1827. Il est retourné à Berlin et s'est vu offrir un poste d'éditeur du Journal de Crelle, mais s'en est abstenu. En mai 1827, il était de retour en Norvège. Son tour à l'étranger a été considéré comme un échec. Il n'avait pas visité Gauss à Göttingen et il n'avait rien publié à Paris. Sa bourse n'a donc pas été renouvelée et il a dû contracter un prêt privé à la Norges Bank de 200 spesidaler. Il n'a jamais remboursé ce prêt. Il a également commencé à donner des cours particuliers. Il a continué à envoyer la plupart de ses travaux au Journal de Crelle. Mais au milieu de 1828, il a publié, en concurrence avec Carl Jacobi, un travail important sur les fonctions elliptiques dans Astronomische Nachrichten à Altona.
Décès
Pendant qu'il était à Paris, Abel a contracté la tuberculose. À Noël 1828, il a voyagé en traîneau à Froland, en Norvège, pour visiter sa fiancée. Il est devenu gravement malade en chemin. Bien qu'une amélioration temporaire ait permis au couple de profiter des vacances ensemble, il est décédé relativement peu de temps après le 6 avril 1829, seulement deux jours avant l'arrivée d'une lettre d'August Crelle. Crelle cherchait un nouvel emploi pour Abel à Berlin et avait en fait réussi à le faire nommer professeur à l'Université de Berlin. Crelle a écrit à Abel pour le lui dire, mais la bonne nouvelle arriva trop tard.
Contributions aux mathématiques
Abel a montré qu'il n'existe pas de solution algébrique générale pour les racines d'une équation quintique, ou de toute équation polynomiale générale de degré supérieur à quatre, en termes d'opérations algébriques explicites. Pour ce faire, il a inventé indépendamment de Galois une branche des mathématiques connue sous le nom de théorie des groupes, qui est inestimable non seulement dans de nombreux domaines des mathématiques, mais aussi pour une grande partie de la physique. Abel a envoyé un article sur l'insolubilité de l'équation quintique à Carl Friedrich Gauss, qui a procédé à rejeter sans un regard ce qu'il croyait être le travail sans valeur d'un excentrique.
À l'âge de 16 ans, Abel a donné une preuve rigoureuse du théorème binomial valide pour tous les nombres, étendant le résultat d'Euler qui ne s'était appliqué qu'aux rationnels. Abel a écrit un travail fondamental sur la théorie des intégrales elliptiques, contenant les fondations de la théorie des fonctions elliptiques. En voyageant à Paris, il a publié un article révélant la double périodicité des fonctions elliptiques, que Adrien-Marie Legendre a plus tard décrit à Augustin-Louis Cauchy comme « un monument plus durable que le bronze » en empruntant une phrase célèbre du poète romain Horace. Le document était,
