John Forbes Nash : Trois cents mots, trente années perdues

En 1948, un professeur du Carnegie Institute of Technology nommé Richard Duffin a été sollicité pour rédiger une lettre de recommandation pour un jeune homme de vingt ans postulant à Princeton. Il a écrit une seule phrase : "cet homme est un génie". Deux ans plus tard, le jeune homme a produit un article de 317 mots qui allait réorganiser l'économie, les sciences politiques, la biologie évolutive et l'étude de la dissuasion nucléaire. Puis, pendant trois décennies, presque rien.

De Bluefield au Carnegie Tech

Nash est né le 13 juin 1928 à Bluefield, en Virginie-Occidentale. Il est entré au Carnegie Institute of Technology — aujourd'hui Carnegie Mellon — dans l'intention d'étudier le génie chimique, avant de se tourner vers les mathématiques, la discipline qui l'appelait discrètement. Harvard était intéressé. Il a choisi Princeton, arrivant avec la seule ligne de témoignage de Duffin dans son dossier.

Trois cent dix-sept mots

L'idée est venue presque immédiatement. En 1950, alors qu'il était encore étudiant diplômé, Nash a publié Equilibrium points in N-person games — 317 mots, l'un des articles les plus marquants de l'histoire des sciences sociales — et a développé l'argument dans un autre article en 1951. Il a obtenu son doctorat à Princeton en 1950.

Ce qu'il avait fait, c'était tracer une ligne que personne n'avait tracée clairement auparavant, entre les jeux coopératifs, où les joueurs peuvent conclure des accords contraignants, et les jeux non coopératifs, où ils ne le peuvent pas. Pour le second cas, beaucoup plus courant, il a défini une solution : un équilibre de Nash survient lorsque personne ne peut augmenter sa récompense en changeant de stratégie, étant donné ce que font les autres. Il a ensuite prouvé qu'un tel point existe toujours.

Le pouvoir de cela réside dans le fait qu'il n'exige de personne d'être gentil, coordonné ou même communicatif. Il décrit à quoi ressemblent les résultats stables entre des agents rationnels poursuivant leurs propres intérêts en conflit — c'est-à-dire la plupart des affaires humaines. Les économistes ont passé les quarante années suivantes à reconstruire leur discipline autour de cela.

RAND et la guerre froide

Nash est allé travailler à la RAND Corporation, où la théorie des jeux était appliquée directement à la politique stratégique de la guerre froide. La course aux armements est le jeu non coopératif canonique : deux joueurs, aucun accord contraignant, un équilibre qui est stable et terrible pour les deux. Que son abstraction soit devenue la grammaire de la stratégie nucléaire est l'un des faits les plus dégrisants sur les mathématiques du XXe siècle.

Le mathématicien des mathématiciens

Ensuite, il a fait quelque chose d'inhabituel : il a quitté le domaine qu'il avait fondé pour faire un travail plus difficile ailleurs. Au MIT, son collègue Warren Ambrose l'a mis au défi avec le problème de plongement pour les variétés. Les théorèmes de plongement de Nash de 1954 et 1956 ont établi que toute variété riemannienne peut être plongée dans un espace euclidien — que toute géométrie courbe définie abstraitement peut être réalisée comme une surface située à l'intérieur d'un espace plat ordinaire. John Conway a qualifié cela de "l'une des pièces les plus importantes de l'analyse mathématique de ce siècle".

De la même période sont issus le théorème des fonctions inverses de Nash-Moser et, à la suite d'une suggestion de Louis Nirenberg, le théorème de Nash-De Giorgi sur les équations aux dérivées partielles paraboliques et elliptiques. Nash travaillait, essentiellement seul, au plus haut niveau de l'analyse géométrique. David Gabai de Princeton a déclaré que les théorèmes de plongement "exigeaient non seulement une perspicacité inhabituelle, mais aussi une expertise technique formidable" et les a qualifiés de "résultats absolument incroyables".

1959

Il a été hospitalisé pour la première fois en 1959 et diagnostiqué avec une schizophrénie paranoïde. Il a démissionné du MIT la même année. Lui et Alicia Lardé ont divorcé en 1962. Ce qui a suivi, ce sont des décennies où il était une présence plutôt qu'un participant à Princeton — le fantôme de Fine Hall, une silhouette que les étudiants voyaient écrire sur des tableaux noirs vides. Il a commencé à se rétablir progressivement au cours des années 1980. Lui et Alicia se sont remariés en 2001.

Le retour

En 1994, Nash a reçu un tiers du Prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel, cité avec ses co-lauréats "pour leur analyse pionnière des équilibres dans la théorie des jeux non coopératifs". Il était répertorié sous Princeton, où il a rejoint le département de mathématiques en 1995 en tant que chercheur senior, et où ses collègues se souvenaient de lui comme quelqu'un d'accessible et inspirant discrètement les plus jeunes mathématiciens. Des honneurs antérieurs incluaient le Prix de théorie John von Neumann en 1978 ; la Médaille Double Helix a suivi en 2010.

Le Prix Abel, et cinq jours

En 2015, l'Académie norvégienne a décerné le Prix Abel — l'honneur le plus prestigieux en mathématiques — conjointement à Nash et Nirenberg pour "des contributions frappantes et fondamentales à la théorie des équations aux dérivées partielles non linéaires et leurs applications à l'analyse géométrique". Sergiu Klainerman de Princeton a déclaré que le prix "réparait une anomalie historique" en reconnaissant enfin un travail bien plus profond que la théorie des jeux pour laquelle le public le connaissait. Nash, alors âgé de quatre-vingt-six ans, a été typiquement simple : "Le Prix Abel est au plus haut niveau parmi les prix de mathématiques. Il n'y a vraiment rien de mieux".

Il demeure la seule personne à avoir reçu à la fois le Prix de sciences économiques et le Prix Abel. Le 23 mai 2015, de retour de la cérémonie en Norvège, Nash et Alicia ont été tués dans un accident de taxi dans le New Jersey.

Pourquoi John est qualifié de génie

Le mot n'est pas un embellissement ultérieur ; il figure dans le dossier documentaire de 1948, quand Duffin l'a utilisé et rien d'autre. Ce qui le justifie, c'est l'étendue combinée à la directeté. Nash a produit des résultats fondamentaux dans trois domaines — théorie des jeux, géométrie différentielle, équations aux dérivées partielles non linéaires — qui ne partagent presque aucune technique, et dans chaque cas, il a attaqué le problème de front avec des machines qu'il a dû construire lui-même. Peter Sarnak a précisé son caractère : "Bien que sa liste de publications soit plus courte que celle de nombreux mathématiciens, la nouveauté et l'impact de chacun de ses articles sont uniques". Il n'a pas accumulé. Il a résolu.

Le contre-argument doit être formulé avec soin. Sa vie de recherche fut courte — environ la décennie de 1948 à 1958 — et la maladie qui a commencé en 1959 ne l'a pas enrichie, mais détruite. Rien dans le dossier ne soutient la confusion romantique entre folie et perspicacité ; la schizophrénie lui a coûté trente ans, son mariage et son poste, et les mathématiques se sont arrêtées. Sa renommée publique repose également sur la chose la moins exigeante mathématiquement qu'il ait faite : les articles sur l'équilibre sont brillants mais brefs, et le travail plus profond en analyse est resté essentiellement sans récompense jusqu'à ce qu'il ait quatre-vingt-six ans, ce que Klainerman voulait dire par une anomalie historique. Et le Nobel qu'il a reçu n'est pas du tout un prix de mathématiques. Il est possible d'admirer énormément Nash tout en remarquant que la version populaire de lui — le voyant tourmenté dont les visions étaient aussi son don — inverse ce qui lui est réellement arrivé.

Héritage

L'équilibre de Nash est désormais une infrastructure. Il sous-tend la conception des enchères, l'analyse antitrust, la biologie évolutive, la théorie du contrôle des armements et les algorithmes qui allouent le spectre et font correspondre les résidents en médecine aux hôpitaux. Parmi les mathématiciens, les théorèmes de plongement et le travail sur les EDP sont tenus en une estime comparable. Il a obtenu les deux moitiés d'une carrière que le monde accorde habituellement à des personnes différentes, et il les a obtenues avant ses trente ans.