Georg Cantor : L'homme qui a rendu l'infini dénombrable

En janvier 1874, Cantor posa une question à son ami Richard Dedekind : « Peut-on mettre en relation unique une surface (disons un carré incluant sa frontière) avec une ligne... de telle sorte que pour chaque point de la surface il existe un point correspondant sur la ligne et inversement ? » Il supposait que la réponse était évidemment non. Trois ans plus tard, il prouva qu'elle était oui — qu'un carré entier, et même un espace à n'importe quel nombre de dimensions, contient exactement autant de points qu'un simple segment de droite. Il écrivit immédiatement à Dedekind : « Je le vois, mais je ne le crois pas ! »

Le fils d'un commerçant à Saint-Pétersbourg

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor est né le 3 mars 1845 à Saint-Pétersbourg. Son père, Georg Waldemar Cantor, était un commerçant prospère ; sa mère, Maria Anna Böhm, était russe et dotée de talents musicaux. En 1856, alors que Georg avait onze ans, la santé de son père contraignit la famille à partir pour l'Allemagne, où ils s'installèrent d'abord à Wiesbaden.

Il suivit des études au gymnase de Francfort et à la Realschule de Darmstadt, obtenant son diplôme en 1860 avec des notes exceptionnelles en mathématiques et en trigonométrie. Son père le destinait à l'ingénierie ; Cantor obtint la permission d'étudier les mathématiques à la place. Il entra à l'École polytechnique de Zurich en 1862 et, après le décès de son père en juin 1863, il fut transféré à l'université de Berlin, où il étudia sous la direction de Weierstrass, Kummer et Leopold Kronecker, et se lia d'amitié avec Hermann Schwarz. Sa thèse, sur les équations indéterminées, fut achevée en 1867.

Halle, et le problème de Heine

Après avoir enseigné dans une école de filles à Berlin, Cantor rejoignit l'université de Halle en 1869 — l'institution provinciale où il passerait toute sa carrière. Son collègue Heine lui soumit un problème de longue date concernant l'unicité des représentations en séries trigonométriques. Cantor le résolut en avril 1870.

Ce problème est le germe de tout. Le suivi des points exceptionnels où une telle série pourrait mal se comporter le força à réfléchir intensément aux ensembles infinis de points, et dès 1872, il avait défini les nombres irrationnels au moyen de suites convergentes de rationnels et entamé la correspondance avec Dedekind qui le soutiendrait pendant une décennie.

Plus d'un infini

En 1874, Cantor publia le résultat qui bouleversa le monde. Il prouva que les nombres rationnels peuvent être mis en correspondance biunivoque avec les nombres naturels — ils sont dénombrables — tandis que les nombres réels ne le peuvent pas. Il n'y a pas un seul infini ; il y en a au moins deux, et ils sont de tailles différentes.

La méthode était le critère qu'il avait inventé : deux collections ont la même taille si leurs éléments peuvent être appariés exactement, peu importe leur grandeur. Cela ressemblait à un tour de passe-passe, et ses conséquences furent immédiates et scandaleuses. Cantor observa qu'il en découlait que « presque tous » les nombres sont transcendants plutôt qu'algébriques — une preuve d'existence pour toute une classe de nombres, obtenue sans en exposer un seul.

Le transfini

Son article de 1878 dans le Journal de Crelle introduisit le terme « ensembles dénombrables ». L'hostilité de Kronecker bloqua presque sa publication et Dedekind dut intervenir ; Cantor ne soumit plus jamais d'article à Crelle.

Entre 1879 et 1884, il publia six articles dans les Mathematische Annalen fondant la théorie des ensembles. Les Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre de 1883 présentèrent les nombres transfinis comme « une extension autonome et systématique des nombres naturels » — non pas des approximations ou des limites, mais des nombres que l'on peut ordonner et avec lesquels on peut faire de l'arithmétique. Il savait ce qu'il faisait : « Je me rends compte que dans cette entreprise, je me place en opposition avec des opinions largement répandues concernant l'infini mathématique. »

Il désigna les cardinaux transfinis par la lettre hébraïque aleph, ℵ₀ étant le plus petit, et exprima la taille des nombres réels par 2^ℵ₀. Cela souleva la question qui occupa le reste de sa vie. Le continu est-il le tout prochain infini après le dénombrable — est-ce que 2^ℵ₀ = ℵ₁ ? Contre le constructivisme de Kronecker, il publia son manifeste : « l'essence des mathématiques réside précisément dans leur liberté. »

Dépression, Bacon et le Pape

Cantor a souffert de sa première dépression enregistrée en mai 1884. La vieille histoire raconte que la persécution de Kronecker l'a rendu fou ; la lecture moderne inverse la causalité, affirmant que la dépression a amplifié ses préoccupations mathématiques plutôt qu'elle n'en a été la cause. Il a alterné pendant des années entre la conviction qu'il avait prouvé l'hypothèse du continu vraie et celle qu'il l'avait prouvée fausse, trouvant à chaque fois l'erreur.

En 1885, Mittag-Leffler l'a persuadé de retirer un article des Acta Mathematica au motif qu'il était en avance d'environ cent ans. La plaisanterie de Cantor fut amère : « Si Mittag-Leffler avait eu gain de cause, j'aurais dû attendre jusqu'en 1984, ce qui me semblait être une exigence trop grande ! » Leur correspondance prit fin, et avec elle l'élan créatif de douze ans qui avait bâti la théorie des ensembles.

Durant ses périodes dépressives, il s'est tourné vers la philosophie et la littérature, se fixant sur la théorie selon laquelle Francis Bacon aurait écrit les pièces de Shakespeare et publiant des brochures à ce sujet en 1896-97. Il était également profondément religieux et croyait que les nombres transfinis lui avaient été communiqués par Dieu. Il a correspondu avec des théologiens catholiques sur la nature de l'infini et a écrit directement au pape Léon XIII, espérant que ses mathématiques pourraient influencer la doctrine de l'Église.

Les dernières décennies

Il a fondé la Deutsche Mathematiker-Vereinigung vers 1890 et en a été le premier président. Ses derniers articles majeurs, en 1895 et 1897, traitaient de l'arithmétique transfinie et des ensembles bien ordonnés. Au Congrès international de Zurich de 1897, il fut publiquement loué par Hurwitz et Hadamard et réconcilié avec Dedekind.

À cette époque, il avait lui-même découvert les failles, informant Hilbert en 1896 des paradoxes qui rôdaient dans la théorie des ensembles ; Burali-Forti en publia un indépendamment en 1897. Les pertes personnelles s'enchaînèrent rapidement — sa mère en octobre 1896, son frère en janvier 1899, et son fils cadet le 16 décembre 1899. La dépression domina le reste de sa vie, et après 1900, il passa de longues périodes à la Nervenklinik de Halle, prenant des congés d'enseignement durant les hivers 1902-03, 1904-05 et 1907-08. Il reçut la médaille Copley de la Royal Society et un doctorat honorifique de St Andrews, où il se rendit en 1911 pour le 500e anniversaire de l'université. Il est mort d'une crise cardiaque à Halle le 6 janvier 1918.

Pourquoi Georg est appelé un génie

Hilbert lui-même a fourni le mot, qualifiant le travail de Cantor de « plus beau produit du génie mathématique et l'une des réalisations suprêmes de l'activité intellectuelle humaine pure. » La qualité spécifique était une volonté de faire confiance à une définition plutôt qu'à une intuition. Tous avant lui traitaient l'infini comme une direction, non comme une quantité. Cantor a proposé un critère pour l'égalité de taille — l'appariement exact — l'a appliqué sans faiblir à des collections infinies, et l'a suivi partout où cela menait, y compris vers des conclusions qu'il ne pouvait lui-même pas croire. « Je le vois, mais je ne le crois pas » est la phrase d'un homme entraîné par sa propre logique, et qui avance malgré tout.

Le contre-argument mérite d'être mentionné. Il n'a jamais résolu l'hypothèse du continu, et s'est convaincu à plusieurs reprises qu'il l'avait fait — dans les deux sens — avant de découvrir ses erreurs, ce qui témoigne autant de son jugement que de la profondeur du problème. Gödel et Cohen ont finalement montré que l'hypothèse est indépendante des axiomes standards, de sorte que ce qu'il a poursuivi pendant trente ans n'était pas là pour être attrapé. Ce qu'il a construit était également inachevé et incohérent : il a découvert des paradoxes dans son propre système, et il a fallu l'axiomatisation de Zermelo, puis plus tard celle de Fraenkel et von Neumann, pour sécuriser la théorie des ensembles. Sa conviction que les nombres transfinis venaient de Dieu, son lobbying auprès du Vatican et ses brochures baconiennes suggèrent une certitude qui n'était pas toujours bien calibrée. Et il n'a jamais obtenu la chaire prestigieuse qu'il désirait, passant quarante ans à Halle.

Héritage

La théorie des ensembles est devenue le fondement sur lequel reposent les mathématiques modernes, des Principia Mathematica aux axiomes de Zermelo-Fraenkel que les mathématiciens utilisent encore aujourd'hui. L'hommage de Hilbert est celui qui est resté : personne ne nous chassera du paradis que Cantor a créé.