Les problèmes du prix du millénaire : sept questions, 7 millions de dollars, un refus

Ce que sont les problèmes du prix du millénaire

Le 24 mai 2000, au Collège de France à Paris, le Clay Mathematics Institute a nommé sept problèmes et promis 1 million de dollars pour la première solution acceptée pour chacun. John Tate et Michael Atiyah les ont présentés lors de conférences ce soir-là.

Le cadre était délibéré. Cent ans plus tôt, le 8 août 1900, David Hilbert avait présenté une liste de problèmes ouverts au Congrès international des mathématiciens à Paris, et cette liste a orienté une grande partie des mathématiques du XXe siècle. Clay voulait une nouvelle liste pour un nouveau siècle, avec de l'argent attaché pour attirer l'attention du public sur la recherche qui en reçoit rarement.

L'institut a commandé une déclaration officielle de chaque problème à un spécialiste de premier plan. Andrew Wiles a écrit la déclaration de Birch et Swinnerton-Dyer, Stephen Cook a écrit P contre NP, Pierre Deligne la conjecture de Hodge, Charles Fefferman Navier-Stokes, Enrico Bombieri l'hypothèse de Riemann, et Arthur Jaffe et Edward Witten le problème de Yang-Mills.

Les sept problèmes en bref

Les six qui restent ouverts

Hypothèse de Riemann

Le plus ancien de la liste. Bernhard Riemann l'a posée en 1859, et Hilbert l'a mise huitième sur sa liste de 1900. Les recherches informatiques n'ont trouvé aucun zéro hors de la ligne, mais une recherche n'est pas une preuve. Notre guide sur l'hypothèse de Riemann parcourt la déclaration.

P contre NP

Le seul problème issu de l'informatique théorique. La plupart des experts s'attendent à ce que P ne soit pas égal à NP, ce qui signifie que certains problèmes sont faciles à vérifier mais difficiles à résoudre. Une grande partie de la cryptographie moderne suppose tacitement que cette attente est vraie.

Navier-Stokes

Les ingénieurs utilisent ces équations tous les jours pour modéliser l'écoulement de l'air sur les ailes et de l'eau dans les tuyaux. Pourtant, personne n'a prouvé que des solutions lisses existent toujours en trois dimensions, ou trouvé un cas où elles explosent.

Yang-Mills et le saut de masse

La théorie remonte à un article de 1954 écrit par Chen Ning Yang et Robert Mills, et elle sous-tend le modèle standard de la physique des particules. Les physiciens l'utilisent avec beaucoup de succès. Les mathématiciens n'ont pas démontré qu'elle repose sur des bases rigoureuses.

Conjecture de Hodge

La plus abstraite des sept, et la plus difficile à énoncer sans vocabulaire technique. Elle demande si une classe d'objets définis par la topologie peut toujours être assemblée à partir d'objets définis par des équations polynomiales.

Birch et Swinnerton-Dyer

Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer sont parvenus à cette conjecture au début des années 1960 grâce à des calculs effectués sur l'un des premiers ordinateurs EDSAC à Cambridge. Andrew Wiles, qui a démontré la Conjecture de Poincaré dans les années 1990, a rédigé la déclaration de Clay à ce sujet.

Poincaré et Perelman : celui qui est tombé

Henri Poincaré a formulé sa conjecture en 1904. Elle demande, en gros, si une forme tridimensionnelle qui passe un test simple, chaque boucle pouvant être réduite à un point sans quitter la forme, doit être une sphère tridimensionnelle. La question a résisté à toute preuve pendant près d'un siècle.

Grigori Perelman, un mathématicien de Saint-Pétersbourg, l'a résolue dans trois articles publiés sur arXiv le 11 novembre 2002, le 10 mars 2003 et le 17 juillet 2003. Il s'est appuyé sur le flot de Ricci, une méthode introduite par Richard Hamilton dans un article de 1982, et a trouvé des moyens de surmonter les obstacles qui l'avaient bloqué. Perelman n'a pas soumis ses articles à une revue. Des équipes de spécialistes ont passé plusieurs années à les vérifier.

Le 18 mars 2010, Clay a annoncé le prix. « C'est une avancée majeure dans l'histoire des mathématiques dont on se souviendra longtemps », a déclaré James Carlson, alors président de Clay. Le 1er juillet 2010, Perelman l'a refusé. Il a déclaré à l'agence de presse russe Interfax que « la raison principale est mon désaccord avec la communauté mathématique organisée », ajoutant : « Je n'aime pas leurs décisions, je les considère injustes. » Il considérait la contribution de Hamilton comme n'étant pas moindre que la sienne.

C'était son deuxième refus. En août 2006, au Congrès international des mathématiciens à Madrid, il a refusé la médaille Fields, le prix le plus prestigieux pour les mathématiciens de moins de 40 ans. Dans une remarque largement attribuée à lui, il a dit : « Je ne suis pas intéressé par l'argent ou la renommée, je ne veux pas être exposé comme un animal dans un zoo. » Clay et l'Institut Henri Poincaré ont tout de même organisé une conférence à Paris en juin 2010 pour marquer la solution.

Comment une solution gagne l'argent

Personne ne gagne en envoyant une preuve par courrier à Clay. L'institut n'accepte pas les soumissions directes. Selon ses règles, révisées pour la dernière fois le 26 septembre 2018, une solution n'est qualifiée que lorsque trois conditions sont remplies :

• Elle a été publiée dans un support qualifié, tel que défini par les règles.
• Au moins deux ans se sont écoulés depuis la publication.
• Elle a obtenu une acceptation générale au sein de la communauté mathématique mondiale.

Ces conditions expliquent pourquoi les preuves revendiquées, qui apparaissent régulièrement en ligne et dans la presse, ne font pas bouger le compteur. Le cas de Perelman montre une certaine flexibilité : il n'a jamais publié dans une revue, pourtant Clay a accepté les articles arXiv une fois que les experts les ont vérifiés.

Faut-il un QI de génie pour en résoudre un ?

Aucun test d'intelligence ne peut le dire. Perelman n'a jamais publié de score de QI, et aucun chiffre vérifié n'existe pour lui ou pour tout mathématicien vivant travaillant sur ces problèmes. La preuve documentée de sa capacité est son travail : une médaille d'or avec un score parfait aux Olympiades internationales de mathématiques de 1982, puis la preuve elle-même.

Les tests manquent aussi de marge. Le WAIS-IV rapporte des scores globaux jusqu'à 160, un niveau que près d'une personne sur 31 600 atteint, et le nombre de personnes au-dessus de cette ligne est bien plus grand que le nombre de ceux qui ont fait progresser un problème du Millénaire. Ce qui sépare les deux groupes, ce sont des années de connaissances spécialisées, une concentration soutenue sur une seule question et, souvent, une nouvelle méthode. Le flot de Ricci de Hamilton avait deux décennies d'existence avant que Perelman ne termine le travail.

Pour le registre des mathématiciens historiques, voir classement des QI des mathématiciens. Pour ce que les scores élevés prédisent ou ne prédisent pas, voir ce qui compte comme un QI élevé et signes d'une intelligence élevée. Notre test de QI gratuit est un dépistage pratique, et les guides de QI expliquent comment fonctionne les tests professionnels.

Norme éditoriale : Les chiffres de QI pour les personnalités historiques sont des estimations rétrospectives et sont étiquetés comme tels ; les scores des personnes vivantes n'apparaissent que lorsque la personne les a divulgués ou qu'un média réputé les a rapportés. Corrections : contactez les éditeurs.