Ce que dit le théorème
Le Dernier théorème de Fermat stipule qu'il n'existe aucun nombre entier positif x, y, z et aucun entier n > 2 tels que xⁿ + yⁿ = zⁿ. Pour n = 2, il existe une infinité de solutions (triplets pythagoriciens : 3² + 4² = 5², etc.). Pour n ≥ 3, le théorème affirme qu'il n'en existe aucune. Simple à énoncer ; extraordinairement difficile à prouver.
Trois siècles de tentatives
Euler a prouvé le cas n = 3 en 1770. Dirichlet et Legendre ont prouvé n = 5 en 1825. Lamé a prouvé n = 7 en 1839. Kummer a prouvé le théorème pour tous les « nombres premiers réguliers » en 1850. Dans les années 1980, le Dernier théorème de Fermat avait été vérifié par ordinateur pour tout n jusqu'à 125 000, mais le calcul n'est pas une preuve. Le cas général a résisté à tout le monde.
La preuve de Wiles
Andrew Wiles était obsédé par Fermat depuis qu'il l'avait lu à 10 ans. En 1986, Ken Ribet a prouvé que la conjecture de Taniyama-Shimura implique le Dernier théorème de Fermat : si toutes les courbes elliptiques sont modulaires, alors le théorème est vrai. Wiles a passé 7 ans en secret à prouver la conjecture de Taniyama-Shimura pour les courbes elliptiques semi-stables. Il a annoncé la preuve en juin 1993. Une lacune a été trouvée. Après 14 mois de travail supplémentaire, la preuve complète est apparue en 1995 : 130 pages de théorie des nombres de pointe. La marge était en effet trop étroite pour la preuve de Fermat, car il est presque certain que sa preuve n'existait pas.
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Qu'est-ce que le Dernier théorème de Fermat ?
Le Dernier théorème de Fermat stipule que pour n > 2, il n'existe aucune solution en entiers positifs à xⁿ + yⁿ = zⁿ. Pour n = 2, les solutions sont abondantes (triplets pythagoriciens comme 3,4,5). Fermat a prétendu avoir une preuve en 1637 mais ne l'a jamais écrite. Andrew Wiles l'a prouvé en 1995 en utilisant des courbes elliptiques et des formes modulaires, des mathématiques qui n'existaient pas à l'époque de Fermat.
Fermat avait-il vraiment une preuve ?
Presque certainement non. La preuve de Wiles utilise des mathématiques du XXe siècle (courbes elliptiques, formes modulaires, représentations de Galois) que Fermat ne pouvait pas connaître. Les preuves des cas particuliers (n=3, n=5, n=7) nécessitaient déjà des innovations substantielles au-delà de l'ère de Fermat. Le consensus est que Fermat avait soit un argument erroné qu'il n'avait pas vérifié attentivement, soit qu'il s'est confondu avec un résultat lié plus simple.
Comment Andrew Wiles a-t-il prouvé le Dernier théorème de Fermat ?
Wiles a prouvé la conjecture de Taniyama-Shimura pour les courbes elliptiques semi-stables : chaque courbe de ce type correspond à une forme modulaire. Ken Ribet avait précédemment prouvé que cela implique le Dernier théorème de Fermat. Wiles a travaillé en secret pendant 7 ans à Princeton, a annoncé une preuve en 1993 (qui comportait une lacune), puis a terminé la preuve corrigée en 1994, publiée en 1995 sur 130 pages.